专题04 一次方程（组）与一元二次方程 （山西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题04 一次方程（组）与一元二次方程（解析版） 考点1 解二元一次方程组 1．（2025·山西·中考真题）解方程组： 【详解】 解：①+②，得，                 ．                   将代入②，得，                  ．                     所以原方程组的解是． 2．（2022·山西·中考真题）解方程组：． 【详解】 解：． ①＋②，得， ∴． 将代入②，得， ∴． 所以原方程组的解为， 考点2 利用一次方程（组）/一元二次方程解决实际问题 1．（2024·山西·中考真题）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．已知从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克． 【答案】从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克，根据从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克， 根据题意得：， 解得：， 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克． 2．（2023·山西·中考真题）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．    (1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； (2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？ 【答案】(1)一个部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨 (2)6套 【分析】（1）设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．然后根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可； （2）设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．根据“载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行”列不等式再结合为整数求解即可． 【详解】（1）解：设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨． 根据题意，得， 解得． 答：一个A部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨． （2）解：设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥． 根据题意，得． 解得． 因为为整数，取最大值，所以． 答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键． 3．（2020·山西·中考真题）年月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满元立减元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金元．求该电饭煲的进价． 【答案】该电饭煲的进价为元 【分析】根据满元立减元可知，打八折后的总价减去128元是实际付款数额，即可列出等式． 【详解】解：设该电饭煲的进价为元 根据题意，得 解，得． 答；该电饭煲的进价为元 【点睛】本题主要考查了打折销售知识点，准确找出它们之间的关系列出等式方程是解题关键． 4．（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】5 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为． 根据题意，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键． 一、单选题 1．（2025·山西太原·二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？这个问题可用方程来解决，则方程中的x表示（　　） A．长木的长 B．长木一半的长 C．绳子的长 D．绳子对折后的长 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，而方程中出现，可得方程中的x表示绳子的长，再检查符合题意． 【详解】解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则可得方程， ∴方程中的x表示绳子的长， 故选：C． 2．（2025·山西吕梁·一模）约公元820年，中亚细亚数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》，其中，“对消”指的是“合并同类项”，“还原”指的是“移项”．我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法，体现的数学思想是（   ） A．分类思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程，理解一元一次方程的解法是解答关键． 根据题中的材料，结合一元一次方程的解法来进行求解． 【详解】解：约公元820年，中亚细亚数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》，其中，“对消”指的是“合并同类项”，“还原”指的是“移项”．我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法，体现的数学思想是：转化思想． 故选：C． 3．（2025·山西大同·二模）2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为200元，为庆祝这一好消息，商场决定在12月22日，将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售．若打8折后仍能获利，则这批“国潮”年货礼盒每盒的标价应为（    ） A．220元 B．260元 C．300元 D．320元 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用之打折问题，熟练掌握打折问题的解法是解题的关键． 设该服装每件标价是x元，根据题意，得，求解即可． 【详解】解：设该服装每件标价是x元，根据题意，得 ， 解得， 故选C． 4．（2025·山西·模拟预测）“朝三暮四”是一个源自于《庄子·齐物论》的寓言故事，某数学老师将其情景内容改编成一道数学题：老翁计划早上给猴子的粮食是晚上的，猴子们很不满意，于是老翁进行了调整，从晚上的粮食中取3千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的，猴子们非常满意．问老翁每天给猴子的食物总量共多少千克？设原计划早上投食千克，那么晚上投食千克，根据这一情景，你认为下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设原计划早上投食千克，那么晚上投食千克，根据从晚上的粮食中取3千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的列出方程即可； 【详解】解：设原计划早上投食千克，那么晚上投食千克， 根据题意，得：， 故选：D． 5．（2025·山西吕梁·二模）晋祠，这座承载着厚重历史文化的园林胜境，已成为海内外游客心驰神往的旅游地标．晋祠旺季每张门票的价格比淡季每张门票的价格多30元，旺季3张门票的总费用和淡季4张门票的总费用相同，求晋祠旺季每张门票的价格和淡季每张门票的价格分别是多少元．若设晋祠旺季每张门票的价格是元，淡季每张门票的价格是元，则下列方程组正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据晋祠旺季每张门票的价格比淡季每张门票的价格多30元，旺季3张门票的总费用和淡季4张门票的总费用相同，且设旺季门票的单价为元/张，淡季门票的单价为元/张，进行列方程组，即可作答． 【详解】解：根据题意：， 故选：B． 6．（2025·山西晋中·二模）我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟算羊”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计，甲对乙说：“我若得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我若得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多．”设甲有只羊，乙有只羊，则下列所列方程组正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解题意中的数量关系正确列式是关键． 根据题意，分别表示出甲、乙得到对方的羊是的数量即可求解． 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊， 甲对乙说：“我若得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．” ∴， 乙对甲说：“我若得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多．” ∴， ∴方程组为， 故选：C ． 7．（2025·辽宁铁岭·二模）《九章算术》“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何?”大意为：“今有人一起购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物品价格各是多少?”设有x人，物品价格为y钱，以下列出的方程组正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据每人出8钱，则多出3钱，可得，根据每人出7钱，则还差4钱，可得，从而可以列出相应的方程组即可． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 8．（2025·山西忻州·二模）《哪吒之魔童闹海》连续三个月获得全国月度票房冠军，某小组12名同学相约一起观看该电影，其中8人购买了电影票，4人购买了电影票，共花费560元．已知每张电影票的售价比电影票的售价多5元，求每张电影票、电影票的售价分别为多少元．设每张电影票的售价为元，每张电影票的售价为元，根据题意，可列方程组为（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，审清题意、找到等量关系是解答本题的关键． 设每张电影票的售价为元，每张电影票的售价为元；根据等量关系“8人购买了电影票，4人购买了电影票，共花费560元．已知每张电影票的售价比电影票的售价多5元”即可列出二元一次方程组． 【详解】解：设每张电影票的售价为元，每张电影票的售价为元， 根据题意，可列方程组为， 故选：B． 9．（2025·山东临沂·一模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 根据他们的对话得到以下四个结论： ①每辆甲车的载客量要比乙车多15人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，设甲车载客量为人，乙车载客量为人，列出方程组得出甲车载客量为人，乙车载客量为人，即可判断①，设租甲车辆，则租乙车辆，根据题意列出不等式组，得出，进而判断②③④，即可求解． 【详解】解：设甲车载客量为人，乙车载客量为人，根据题意得， 解得： ∴甲车载客量为人，乙车载客量为人， ∴每辆甲车的载客量要比乙车多15人，故①正确； 设租甲车辆，则租乙车辆，根据题意得， 解得：， ∴ ∴方案一：租甲车4辆，则租乙车2辆， 方案二：租甲车5辆，则租乙车1辆， ∴共有两种租车方案，故②正确； 依题意，甲车的费用为元/辆，乙车的费用为元/辆 方案一费用：元，方案二费用：元 ③租车最低费用是2160元，故③正确；④不正确 故选：B． 10．（2025·湖北襄阳·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器—小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斜斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛；问：1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组若设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，则列方程组是 ， 故选：B． 11．（2025·山西太原·模拟预测）化学方程式是用化学式来表示物质化学反应的式子．化学方程式不仅表明了反应物、生成物和反应条件，同时化学计量数代表了各反应物、生成物物质的量关系．例如就表示两份（氢气）与一份（氧气）点燃生成两份的（水）．依据化学反应过程中的质量守恒定律，在化学方程式等号左边和等号右边同一元素原子的个数一定相同．已知，由此可列出关于x，y的二元一次方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程，正确找出等量关系是解题的关键，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：∵化学方程式等号左边和等号右边氧元素原子的个数一定相同， ∴． 故选∶D． 12．（2025·山西吕梁·二模）如图是一块长、宽的矩形区域，中间有四块等面积的绿化区域，其余部分为等宽的道路，绿化区域的面积为616．设道路的宽度为xm，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设道路的宽度为xm，则余下的部分可合成长为，宽为的长方形，根据花圃的面积是，可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：设道路的宽度为xm，， 由题意得， 故选：D． 13．（2025·山西吕梁·二模）太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价元，再根据利润（售价进价）销量即可列出方程． 【详解】解：设每盒应降价元， ∵商场平均每天可销售老陈醋礼盒100盒，如果降价2元，则每天可多售出20盒， ∴销量为：盒， ∵平均每天盈利2240元， ∴， 故选：B． 14．（2025·山西阳泉·模拟预测）一元二次方程的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式即可解答． 【详解】解：， ，，， ， 方程没有实数根． 故选：D． 15．（2025·山西朔州·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：； 故选：A． 16．（2025·山西·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题的关键． 直接利用一元二次方程根的判别式对每个方程逐一计算即可求解． 【详解】A、，故选项A有两个不相等的实数根，不合题意； B、 ，故选项B有两个不相等的实数根，不合题意； C、 ，故选项C没有实数根，符合题意； D、方程化为，，故选项D有两个相等的实数根，不合题意． 故选C． 17．（2025·山西长治·模拟预测）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数m的取值有关 【答案】A 【分析】先计算出根的判别式的值得到，然后利用根的判别式的意义对各选项进行判断．本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：依题意， ， 方程无实数根． 故选：A． 18．（2025·山西忻州·三模）如图，某广场欲在角落半径为5米的扇形区域内做绿化，先在外围种植一圈大叶黄杨作为隔离带，再在内部扇形区域内种植月季花，已知若种植大叶黄杨和月季花的区域面积相等，则扇形的半径为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．π米． 【答案】A 【分析】本题考查的是求解扇形的面积，一元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，根据面积相等建立方程求解即可． 【详解】解：∵，设， 而种植大叶黄杨和月季花的区域面积相等， ∴， 解得， 故选A 19．（2025·山西阳泉·二模）已知关于的一元二次方程，其中一次项系数被墨迹污染了．若这个方程的一个根为，则一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的解，一元二次方程的定义是解题的关键． 设一元二次方程为，将代入，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设一元二次方程为， 将代入得，， 解得，， ∴一次项系数为， 故选：C． 二、填空题 20．（2025·山西长治·模拟预测）2024年11月1日，山西省商务厅等部门发布了关于增加家电以旧换新补贴品类的通知．某品牌打印机按进价提高后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该打印机时，将家里的旧打印机用于以旧换新，抵扣了258元后，又支付了942元，则该打印机的进价为 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设该打印机的进价为元，根据题意列一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：设该打印机的进价为元，则标价为元，售价为元， 根据题意得， 解得，即该打印机的进价为元， 故答案为：． 21．（2025·山西太原·二模）运动心率（次/分）是指人体在运动时保持的心率状态，保持最佳运动心率对于运动效果和运动安全都很重要．对于一般人来说，最佳运动心率控制区域计算法如下：(220－年龄)×0.8=最大运动心率，(220－年龄)×0.6=最小运动心率．健身教练给一位正常成年男性制定的运动方案中，最大运动心率与最小运动心率之差为33次/分，则这位男性的年龄是 岁． 【答案】55 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设这位男性的年龄是岁，根据“最大运动心率与最小运动心率之差为33次/分”列一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这位男性的年龄是岁， 依题意得， 解得， 答：这位男性的年龄是55岁， 故答案为：55． 22．（2025·山西·模拟预测）如图，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为，宽为，可列方程组： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每块小长方形地砖的长为，宽为，由图示可得等量关系：①个长个长个宽，②一个长一个宽，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每块小长方形地砖的长为，宽为，由题意得： ， 故答案为：． 23．（2025·山西晋城·三模）已知是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键， 根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，据此可求出和的值，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 24．（2025·山西大同·三模）为贯彻落实省纪委监委开展群众身边不正之风和腐败问题集中整治的部署安排，结合近年来部分群众对出租汽车运营乱象反映强烈的实际情况，吕梁市交通运输局加强整治出租汽车拒载、宰客等运营不规范及驾驶员仪容仪表不整洁、服务不文明等行为，并通过“红、黑榜”形式，激励优秀者，教育落后者，以此推动全市出租汽车行业专项整治取得实效．已知3月份进入红、黑榜的司机共有15人，进入红榜的司机比进入黑榜的司机的2倍还多3人，求进入红、黑榜的司机各有多少人． 【答案】进入红榜的司机有人，进入黑榜的司机有人． 【分析】本题可通过设未知数，利用进入红、黑榜司机人数的数量关系建立方程来求解．本题主要考查一元一次方程的应用．解题的关键在于准确设出未知数，根据题目中所给的数量关系列出方程，再利用等式的基本性质求解方程，从而得出进入红、黑榜司机的人数． 【详解】解：设进入黑榜的司机有人，则进入红榜的司机有人． 由题意可得， 解得． 把代入，可得（人）． 答：进入红榜的司机有人，进入黑榜的司机有人． 25．（2025·山西晋中·二模）山西作为典型的旱作农业区，种植业结构以粮食作物为主，尤其是小麦、玉米、杂粮等，近年来山西在有机旱作农业、特色杂粮、设施农业等方面有较多布局．年吕梁和晋中为谷子主要种植区，晋谷号和长农号是两个广泛推广的优质谷子品种．吕梁某农业基地有两块试验田，各亩，试验田种植晋谷号，试验田种植长农号，收获后统计发现，长农号亩产量是晋谷号的倍，两块试验田单次共收获谷子千克，求晋谷号的亩产量是多少千克？ 【答案】晋谷号的亩产量是千克 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解一元一次方程，理解题意、正确列出方程是解题关键． 设晋谷号的亩产量是千克，则长农号的亩产量是千克，结合题意，构建一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设晋谷号的亩产量是千克． 根据题意，得：， 解得：． 答：晋谷号的亩产量是千克． 26．（2025·山西阳泉·一模）炎炎夏日，外观迷你、携带方便的迷你小电扇受到越来越多人的喜爱，某商家计划购进两款迷你小电扇进行销售，已知款迷你小电扇的进价为30元，款迷你小电扇的进价为40元．该商家购进这两种迷你小电扇共100台，用去了3350元． (1)该商家分别购进这两款迷你小电扇多少台？ (2)为了满足市场需求，该商家决定用不超过5200元的资金再购进一批这两款迷你小电扇共150台，问该商家这次至少购进款迷你小电扇多少台？ 【答案】(1)购进A款小电扇65台，款小电扇35台． (2)80 【分析】此题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． (1) 设购进A款小电扇台，则款小电扇台，根据小电扇共100台，用去了3350元列一元一次方程，即可得出结论； (2) 设购进款小电扇台，则购进款小电扇台，根据用不超过元的资金购进，两款小电扇共台，即可得出关于y的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进A款小电扇台，则款小电扇台， 解得： 答：购进A款小电扇65台，款小电扇35台． （2）解：设购进款小电扇台，则购进款小电扇台． 购进款小电扇至少80台． 27．（2025·山西吕梁·一模）每年的5月15日是“全国低碳日”，2024年的主题是“绿色低碳、美丽中国”，鼓励市民骑自行车出行，减少碳排放．某社区在这一天对平时骑自行车出行和开车出行的总数1000人进行统计，结果显示骑自行车出行的人数比平时增加了，而开车出行的人数比平时减少了，已知活动当天骑自行车出行的人数比开车出行的人数多360人．求平时骑自行车出行的人数和开车出行的人数． 【答案】平时骑自行车出行的人数为人，平时开车出行的人数为人． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．设平时骑自行车出行的人数为人，根据“骑自行车出行的人数比平时增加了，而开车出行的人数比平时减少了，已知活动当天骑自行车出行的人数比开车出行的人数多360人”，列方程求解即可． 【详解】解：设平时骑自行车出行的人数为人，则平时开车出行的人数为人， 则， 解得：， （人）， 答：平时骑自行车出行的人数为人，平时开车出行的人数为人． 28．（2025·山西·模拟预测）年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的少天． (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）根据题意列出算式计算即可求解； （）设甲乙还需合作天才能修完这条水渠，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：乙工程队单独完成需要天； （2）解：设甲乙还需合作天才能修完这条水渠， 由题意得，， 解得， 答：甲乙还需合作天才能修完这条水渠． 29．（2025·山西晋中·三模）（1）计算：； （2）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解：去分母，得．…………………第一步 去括号，得．…………………… 第二步 移项，得．…………………… 第三步 合并同类项，得．………………………………第四步 两边都除以，得………………………… 第五步 任务： ①以上解答过程中，第一步的依据是　　； ②以上解答过程中，从前一步到后一步的变形中，共出现　　处错误，其中最后一次错误在第　　步，原因是　　； ③直接写出该方程的正确解是　　． 【答案】（1）；（2）①等式的基本性质2；②；五，没有除以；③ 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，解分式方程； （1）根据零指数幂，负整数指数幂进行计算即可求解； （2）根据解分式方程的步骤进行计算即可求解． 【详解】（1） （2）①以上答过程中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式的基本性质2； ②以上解答过程中，从前一步到后一步的变形中，共出现处错误，其中最后一次错误在第五步，原因是没有除以 故答案为：；五，没有除以． ③ 解：去分母，得 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边都除以，得 故答案为：． 30．（2025·山西临汾·二模）山西省科学技术馆（后称“科技馆”）是一座集科普展览、科教影视、科技培训、学术交流和天文观测等多功能为一体的重要科普场所．科技馆内部设有五个展厅，包括．“数学展厅”、．“宇宙与生命”、．“机器与动力”、．“儿童科学乐园”和．“走向未来”．为了让学生近距离接触各种先进的科技设备和展品．直观感受科技给人们带来的便捷，我校组织九年级全体师生参观科技馆． (1)在科技馆内部的五个展厅中，君君和娜娜两位同学计划各选一个展厅进行深入了解参观，请用树状图或列表来分析她们两人选到同一个展厅的概率； (2)参观科技馆当天，为考虑路途及安全问题，我校租用了两种型号的大巴车共6辆．已知中型大巴车载客45人，大型大巴车载客60人，师生共有330人．求租用中型大巴车和大型大巴车各多少辆？ 【答案】(1) (2)租用中型大巴车2辆，大型大巴车4辆 【分析】（1）利用画树状图法计算概率即可； （2）设租用中型大巴车x辆，大型大巴有辆，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了画树状图求概率，一元一次方程的应用，熟练掌握画树状图，列方程是解题的关键． 【详解】（1）画树状图如下： 根据题意，一共有25种等可能性，同一展馆的等可能性有5种， 故她们两人选到同一个展厅的概率为． （2）设租用中型大巴车x辆，大型大巴有辆， 根据题意，得， 解得， 则， 答：租用中型大巴车2辆，大型大巴车4辆． 31．（2025·山西吕梁·模拟预测）某校计划租用两种型号的客车送300名师生去劳动实践基地开展综合实践活动．已知租用1辆A型客车和1辆B型客车共需550元，租用2辆A型客车所需的费用比租用3辆B型客车所需的费用多100元．已知每辆A型客车允许载客35人，每辆B型客车允许载客18人． (1)分别求租用一辆型客车和一辆型客车需要多少元． (2)若学校计划租用12辆客车，至少需要租用A型客车多少辆？ 【答案】(1)租用一辆A型客车的费用为350元，租用一辆B型客车的费用为200元 (2)至少需要租用型客车5辆 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式解决实际问题，分析题意，找到数量关系是解题的关键． （1）设租用一辆型客车的费用为元，租用一辆型客车的费用为元．根据“租用1辆A型客车和1辆B型客车共需550元，租用2辆A型客车所需的费用比租用3辆B型客车所需的费用多100元”列出方程组，求解即可； （2）设租用型客车辆，型客车辆，根据租用的两种客车能提供的座位数不少于师生总数300即可列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设租用一辆型客车的费用为元，租用一辆型客车的费用为元． 根据题意得 解得 答：租用一辆A型客车的费用为350元，租用一辆B型客车的费用为200元． （2）解：设租用型客车辆，型客车辆， 根据题意得， 解得． 取整数， 的最小值为5． 答：至少需要租用型客车5辆． 32．（2025·山西大同·三模）纪念青春时光、传承校园文化．初三学生毕业之际，某学校计划给同学们定制校徽摆件和校徽钥匙扣作为纪念品．已知定制2个摆件和3个钥匙扣共125元，定制1个摆件比2个钥匙扣贵10元． (1)分别求定制校微摆件和校徽钥匙扣的单价； (2)若学校计划定制校徽摆件和校徽钥匙扣共500个，且定制这两种纪念品的总费用不超过16000元，则最多能定制校徽摆件多少个？ 【答案】(1)摆件和钥匙扣的单价分别为40元和15元 (2)最多能定制校徽摆件340个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设摆件和钥匙扣的单价分别为x元，y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设定制校徽摆件数量为m个，钥匙扣为个，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设摆件和钥匙扣的单价分别为x元，y元， 由题意，得 解，得 答：摆件和钥匙扣的单价分别为40元和15元． （2）解：设定制校徽摆件数量为m个，钥匙扣为个， 由题意，得． 解，得． ∴m的最大值为340． 答：最多能定制校徽摆件340个． 33．（2025·山西长治·三模）人工智能的发展改变了人们的工作与生活，某市农业局准备购买甲、乙两种型号的无人机在农田上空精准喷洒农药和肥料．已知购买1台甲型无人机的费用比购买1台乙型无人机的费用高5万元；购买甲型无人机2台，乙型无人机1台，共需要花费25万元． (1)求甲、乙两种型号无人机的单价． (2)若计划购买甲、乙两种型号的无人机共12台，总费用不超过100万元，则最多能购买甲型无人机多少台？ 【答案】(1)甲、乙两种型号的无人机每台价格分别是10万元、5万元． (2)最多能购买甲型无人机8台． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用等知识点，分析题意、找到关键描述语、找到合适的关系列出方程组和不等式是解题的关键． （1）根据“购买1台甲型无人机的费用比购买1台乙型无人机的费用高5万元；购买甲型无人机2台，乙型无人机1台，共需要花费25万”，列出方程组求解即可； （2）设购买甲型无人机a台，乙型无人机台，根据购买总费用不超过100万元列出不等式求出a的最大整数值即可． 【详解】（1）解：甲、乙两种型号无人机的单价分别为x万元、y万元， 根据题意得： ，解得， 答：甲、乙两种型号的无人机每台价格分别是10万元、5万元． （2）解：设购买甲型无人机a台，乙型无人机台， 根据题意得：，解得：， 所以a的最大值为5，即最多能购买甲型无人机8台． 答：最多能购买甲型无人机8台． 34．（2025·山西朔州·三模）超市购物车使我们的购物方式更方便、快捷，如图为购物车叠放在一起的示意图．3辆超市购物车叠放在一起的长度为，6辆超市购物车叠放在一起的长度为． (1)求每一辆超市购物车的长度； (2)若该超市只有扶手电梯，且倾斜长度为12米，工作人员可以通过电梯转运超市购物车．为安全起见，规定电梯一次只能转运1列超市购物车，并且不能超过电梯总长度的，则工作人员一次最多可以转运多少辆超市购物车？ 【答案】(1)每一辆超市购物车的长度为1米 (2)工作人员一次最多可以转运16辆超市购物车 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设每一辆超市购物车的长度为米，两辆超市购物车重叠部分的长度为米，根据3辆超市购物车叠放在一起的长度为，6辆超市购物车叠放在一起的长度为建立方程组求解即可； （2）设一次最多可以转运辆超市购物车，则购物车的总长度为，再根据购物车的总长度不能超过电梯总长度的建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每一辆超市购物车的长度为米，两辆超市购物车重叠部分的长度为米， 根据题意得，， 解得， 答：每一辆超市购物车的长度为1米； （2）解：设一次最多可以转运辆超市购物车， 根据题意得，， 解得， 取最大正整数， 的值为16． 答：工作人员一次最多可以转运16辆超市购物车 35．（2025·山西太原·二模）“太空育种”是种子被宇航员带入太空，经历一段太空环境后，再返回地球进行培育的育种方法，是将辐射、宇航、育种和遗传等学科综合的高新技术．经太空育种后的鲜花花期更长、花朵更鲜艳、价格也较高.我国培育成功的太空育种鲜花“延丹号”山丹丹单价为元盆，“太空玫瑰”单价为元盆． (1)为美化环境，公园计划购买这两种太空育种鲜花共盆，若购买这两种鲜花的总价为元，请计算购买“延丹号”山丹丹和“太空玫瑰”的盆数； (2)若公园购买这两种太空育种鲜花的预算资金只有元，所需购买两种鲜花的总数仍为盆，则最多可购买“太空玫瑰”多少盆？ 【答案】(1)购买“延丹号”山丹丹盆，购买“太空玫瑰”盆； (2)最多可购买“太空玫瑰”盆． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程组和不等式． （）设购买“延丹号”山丹丹盆，购买“太空玫瑰”盆，由题意得， 然后解方程组即可； （）设购买“太空玫瑰”盆， 由题意得，然后解不等式，再检验即可． 【详解】（1）解：设购买“延丹号”山丹丹盆，购买“太空玫瑰”盆， 由题意，得， 解得， 答：购买“延丹号”山丹丹盆，购买“太空玫瑰”盆； （2）解：设购买“太空玫瑰”盆， 由题意，得， 解得， 因为为正整数， 所以的最大值为， 答：最多可购买“太空玫瑰”盆． 36．（2025·山西太原·一模）从2025年起，山西中考体育测试分值提高为60分，增加了专项运动技能测试，分值为10分，学生可选择足球、篮球、排球中的一项专项运动技能进行测试．某校为加强专项运动技能的训练，用6800元从体育用品商店购买篮球30个，足球40个．已知篮球的单价比足球的单价贵40元．求篮球和足球的单价分别为多少元？ 【答案】篮球和足球的单价分别为120元和80元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；由题意可设篮球和足球的单价分别为元和元，然后可得方程组，进而求解即可． 【详解】解：设篮球和足球的单价分别为元和元， 根据题意得：， 解得： 答：篮球和足球的单价分别为120元和80元． 37．（2025·山西晋中·一模）春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》在某影院推出了和三种放映版式．小颖调查了解到多数人选择版或版，在该影院购买某时段的《哪吒之魔童闹海》电影票，5张电影票的费用和4张电影票的费用一样；2张电影票和1张电影票共需130元．请你帮助小颖求出该影院《哪吒之魔童闹海》该时段的版和版的电影票单价． 【答案】3D版电影票单价为40元，IMAX版电影票单价为50元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．根据题意设该影院《哪吒之魔童闹海》该时段版电影票单价为x元，版电影票单价为y元，再列式计算即可． 【详解】解：设该影院《哪吒之魔童闹海》该时段版电影票单价为x元，版电影票单价为y元， 根据题意，得： 解得： 答：设该影院《哪吒之魔童闹海》该时段版电影票单价为40元，版电影票单价为50元． 38．（2025·山西·模拟预测）【热点素材】从2025年起山西中考体育总分值为60分，新增球类项目（足球、篮球、排球三选一），为适应中考改革，某校开学前用10500元从体育用品专卖店一次性购买三类球共160个，已知每个篮球120元，每个足球55元，每个排球40元，购买足球和排球的数量相同． (1)求购买三类球各多少个． (2)学校计划再次从该体育用品专卖店购买篮球和排球共40个，费用不超过3000元，求该校最多可以购买多少个篮球． 【答案】(1)购买足球60个，排球60个，篮球40个 (2)该校最多可以购买17个篮球 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设购买足球x个，购买篮球y个，根据球的总数为160个以及总费用为10500元建立方程组求解即可； （2）设购买篮球m个，则购买排球个，根据球的费用不超过3000元列出不等式求出m的最大值即可． 【详解】（1）解：设购买足球x个，购买篮球y个， 由题意得，， 解得， 答：购买足球60个，排球60个，篮球40个； （2）解：设购买篮球m个，则购买排球个， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为17， 答：该校最多可以购买17个篮球． 39．（2025·山西运城·模拟预测）2024年10月30日，搭载“神舟十九号”载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，将航天员蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利送入太空，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功.某电商平台经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具，已知销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元；购进3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等.分别求“天宫”模型和“神舟”模型的进货单价. 【答案】“天宫”模型的进货单价为80元，“神舟”模型的进货单价为60元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设“天宫”模型的进货单价为x元，“神舟”模型的进货单价为y元，根据销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元及购进3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设“天宫”模型的进货单价为x元，“神舟”模型的进货单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：“天宫”模型的进货单价为80元，“神舟”模型的进货单价为60元． 40．（2025·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务． 换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明． 例1：计算：． 解：设，则原式． 请你利用上述方法解答下列问题： (1)计算：； (2)已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了换元法解复杂式子以及二元一次方程组，整式的乘法运算，解决本题（2）的关键是先求、的解，再求、的值． （1）仿照例题的思路，设，分别表示原式，然后进行整式乘法运算即可； （2）根据加减法，可得、的解，再根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：依题意， 设， （2）解：方程组的解是， 同理方程组中 41．（2025·山西吕梁·二模）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，含乘方的有理数混合计算，零指数幂，熟知相关计算方法是解题的关键． （1）先计算零指数幂和乘方，再计算绝对值和乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先移项，然后把方程左边分解因式后得到两个一元一次方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵ ∴． ∴． ∴． ∴，或． 解得． 42．（2025·山西忻州·二模）平遥古城、乔家大院等景区推出“数字晋商”沉浸式体验项目，2025年3月份的游客数量比去年3月份增长，入选文旅部“非遗旅游经典案例”．以下是某旅行社推出的平遥古城特价一日游信息： 人数 收费标准 不超过30人 人均收费130元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于50元 某公司组织一批员工进行平遥古城一日游，并支付给旅行社4800元，求该公司参加旅游的员工人数． 【答案】40人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先判断该公司参加旅游的员工人数大于30人．设该公司参加旅游的员工人数为人，根据支付给旅行社4800元列方程求解，然后舍去不符合题意的根即可． 【详解】解：当人数为30人时，总费用为（元）． ， 该公司参加旅游的员工人数大于30人． 设该公司参加旅游的员工人数为人． 根据题意，得． 解得，． 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去． 答：该公司参加旅游的员工人数为40人． 43．（2025·山西大同·二模）平遥古城、乔家大院等景区推出“数字晋商”沉浸式体验项目，2025年3月份的游客数量比去年3月份增长，入选文旅部“非遗旅游经典案例”．以下是某旅行社推出的平遥古城特价一日游信息： 人数 收费标准 不超过30人 人均收费130元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于50元 某公司组织一批员工进行平遥古城一日游，并支付给旅行社4800元，求该公司参加旅游的员工人数． 【答案】该公司参加旅游的员工人数为40人 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于根据题意找出题干中的数量关系． 根据题意推出该公司参加旅游的员工人数大于30人．设该公司参加旅游的员工人数为人．结合“支付给旅行社4800元，”列出方程求解，并根据人均收费不低于50元对结果进行分析判断，即可解题． 【详解】解：当人数为30人时，总费用为（元）． ， 该公司参加旅游的员工人数大于30人． 设该公司参加旅游的员工人数为人． 根据题意，得． 解得． 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去． 答：该公司参加旅游的员工人数为40人． 44．（2025·山西·一模）（1）计算：； （2）下面是小含同学解方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． ． 解：．…………第一步 ．………………第二步 第三步 所以，或第四步 解得．······…………第五步 任务一：①以上解题过程中，第一步变形依据的运算律是___________． ②第___________步开始出现错误，错误的原因是___________ 任务二：请你直接写出该方程的正确解． 【答案】（1）；（2）任务一：①乘法分配律；②二，将变形为其相反数时，没有添加负号；任务二： 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、立方根、解一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则和方法成为解题的关键． （1）先运用、平方根、立方根、乘方化简，然后按照有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据乘法运算律、运用因式分解法解一元二次方程求解即可． 【详解】解：（1） ； 解：任务一：①乘法分配律． ②二，将变形为其相反数时，没有添加负号， 任务二： 解：， ， ， 所以，或， 解得． 方程的解为． 45．（2025·山西·模拟预测）关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程有一个根为1，求方程的另一个根． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程的根与判别式的关系、解一元二次方程： （1）求出方程的判别式，再根据一元二次方程的根与判别式的关系即可做出判断； （2）将代入原方程中可求得m值，再将m值代入原方程，解一元二次方程即可求得方程的另一个根． 【详解】（1）证明： 无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：将代入中，得， 解得， 原方程为：， 即， 解得，， 方程的另一个根为． 46．（2025·山西大同·模拟预测）阅读与思考 下面是小文同学撰写的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应任务． 探索特殊系数一元二次方程的解 通过学习我们知道：一元二次方程（，a，b，c为常数）的根是由它的系数决定的．我们小组的同学研究了两类特殊一元二次方程的解． 第一类，当时，根据方程解的概念可知方程必有一个解为1，那么另一个解是多少呢？分析如下： ∵，∴． ∴ ． ∴方程可变形为． ∴或．∴，． ∴当时，一元二次方程的两个实数根为，． 我还用求根公式法，证明了以上结论是正确的． 第二类，当时，同理可以求出这类方程的实数根．…… 任务： (1)阅读内容中，将方程变形为，然后求出方程的解，这种解方程的方法是（    ） A．配方法    B．公式法    C．因式分解法 (2)请直接写出一个二次函数的表达式，使其函数图象经过点； (3)请直接写出当时，一元二次方程的两个实数根； (4)请写出材料中划线部分小文同学的证明过程． 【答案】(1)C (2)（答案不唯一）． (3)， (4)详见解析 【分析】（1）根据所给解题方式可知，使用的是因式分解法． （2）按要求写出满足要求的二次函数解析式即可． （3）根据所给解题方法，补充完整解题过程即可． （4）先得，当当其求根公式为，再把代入化简式子，即可作答． 本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将方程变形为 即把等号左边的多项式变成两个整式乘积的形式，等式右边都等于0 这种解方程的方法是因式分解法． 故答案为：C． （2）解：二次函数的图形经过点， 则， ，，便是一组符合要求的取值， 这个二次函数表达式可以为（答案不唯一）． （3）解：由题知，， ， ， 方程可变形为， 或， ， 当时，一元二次方程的两个实数根为． （4）解：依题意，∵ ∴ ∵对于来说，存在一解是 ∴ 则其求根公式为 ∴ ∴． 47．（2025·山西大同·三模）山西汾酒是中国传统名酒的典型代表，属于清香型白酒，在国内外享有较高的知名度和美誉度．某商家在销售某款山西汾酒时发现，该款汾酒每件的销售价为60元时，每个月可销售100件，为了让顾客得到更多实惠，现决定降价销售，根据销售统计，每件的销售价每降低1元，每个月的销售量将增加10件．设该商品每件降价x元，每个月的销售量为y件． (1)求y与x的函数关系式； (2)已知每件汾酒的成本为42元，商家想要每月获利1920元，则这款汾酒每件可以降价多少元？ 【答案】(1)； (2)这款汾酒每件可以降价2元或6元，每月获利1920元． 【分析】本题一元二次方程的应用和一次函数的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设该商品每件降价x元，则销售量将增加件，依题意可得y与x的函数关系式； （2）每件汾酒的成本为42元，初始售价为60元，则降价后每件的利润为，依题意得：，求解即可． 【详解】（1）解：设该商品每件降价x元，则销售量将增加件，且售价为60元时，每个月可销售100件，依题意可得： ． （2）解：每件汾酒的成本为42元，初始售价为60元，则降价后每件的利润为，依题意得： ， ∴， 解得：或， ∴这款汾酒每件可以降价2元或6元，每月获利1920元． 48．（2025·山西朔州·三模）“五一国际劳动节”是世界上多个国家的全国性节日，中国中央人民政府政务院于年月作出决定，将5月1日确定为“劳动节”．如图是年5月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为，求这个最小的数（请用方程知识解答）． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设这个最小的数为x，则最大的数为．依题意得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设这个最小的数为x，则最大的数为． 依题意得． 解得，（不合题意，舍去）． ∴这个最小的数为8． 49．（2025·山西临汾·一模）（1）计算：； （2）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：第一步 第二步 解得第三步 小颖同学： 解：第一步 第二步 第三步 或第四步 解得或第五步 任务一： ①小刚同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是__________； ②小颖同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是_________． 任务二：该一元二次方程的解为__________． 【答案】（1）；（2）任务一：①二，方程两边同时除以可能为0的代数式；②三，提公因式时，后边的未变号 任务二：或 【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的运算． （1）根据乘方，绝对值，零次幂的性质计算即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）任务一：①小刚同学的解答过程中，从第二步开始出现错误．错误的原因是方程两边同时除以可能为0的代数式； 故答案为：二，方程两边同时除以可能为0的代数式； ②小颖同学的解答过程中，从第三步开始出现错误．错误的原因是后边的没有变号． 故答案为：三，提公因式时，后边的未变号． 任务二：， ， ， 或， 解得或． 50．（2025·山西临汾·一模）列方程解应用题： 山西是面食之乡，面食种类繁多，其中以刀削面最为有名，可谓“面食之王”，它有内虚外筋、柔软光滑、易于消化等特点，与北京的炸酱面、河南烩面、武汉的热干面、四川的担担面被誉为我国著名的五大面食．在某县城内一家特色刀削面馆考察得知，一份刀削面的成本价为7元，若每份卖12元，平均每天将销售160份，若价格每提高1元，则平均每天少销售10份，每天面馆内所需其他各种费用为280元．每份刀削面的价格是多少元时，该面馆才能实现每天800元的净利润？ 【答案】16元或19元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每份刀削面的价格是元，则销售量为份，设再根据净利润总收入总成本其它各种费用列出方程求解即可．理解销售中的数量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：每份刀削面的价格是元， 由题意可得，， 整理得：， 解得：或， 答：每份刀削面的价格是16元或19元时，该面馆才能实现每天800元的净利润． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次方程（组）与一元二次方程（原卷版） 考点1 解二元一次方程组 1．（2025·山西·中考真题）解方程组： 2．（2022·山西·中考真题）解方程组：． 考点2 利用一次方程（组）/一元二次方程解决实际问题 1．（2024·山西·中考真题）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．已知从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克． 2．（2023·山西·中考真题）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．    (1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； (2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？ 3．（2020·山西·中考真题）年月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满元立减元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金元．求该电饭煲的进价． 4．（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）． 一、单选题 1．（2025·山西太原·二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？这个问题可用方程来解决，则方程中的x表示（　　） A．长木的长 B．长木一半的长 C．绳子的长 D．绳子对折后的长 2．（2025·山西吕梁·一模）约公元820年，中亚细亚数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》，其中，“对消”指的是“合并同类项”，“还原”指的是“移项”．我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法，体现的数学思想是（   ） A．分类思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．公理化思想 3．（2025·山西大同·二模）2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为200元，为庆祝这一好消息，商场决定在12月22日，将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售．若打8折后仍能获利，则这批“国潮”年货礼盒每盒的标价应为（    ） A．220元 B．260元 C．300元 D．320元 4．（2025·山西·模拟预测）“朝三暮四”是一个源自于《庄子·齐物论》的寓言故事，某数学老师将其情景内容改编成一道数学题：老翁计划早上给猴子的粮食是晚上的，猴子们很不满意，于是老翁进行了调整，从晚上的粮食中取3千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的，猴子们非常满意．问老翁每天给猴子的食物总量共多少千克？设原计划早上投食千克，那么晚上投食千克，根据这一情景，你认为下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山西吕梁·二模）晋祠，这座承载着厚重历史文化的园林胜境，已成为海内外游客心驰神往的旅游地标．晋祠旺季每张门票的价格比淡季每张门票的价格多30元，旺季3张门票的总费用和淡季4张门票的总费用相同，求晋祠旺季每张门票的价格和淡季每张门票的价格分别是多少元．若设晋祠旺季每张门票的价格是元，淡季每张门票的价格是元，则下列方程组正确的是（    ） A．B．C． D． 6．（2025·山西晋中·二模）我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟算羊”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计，甲对乙说：“我若得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我若得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多．”设甲有只羊，乙有只羊，则下列所列方程组正确的是（   ） A．B．C． D． 7．（2025·辽宁铁岭·二模）《九章算术》“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何?”大意为：“今有人一起购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物品价格各是多少?”设有x人，物品价格为y钱，以下列出的方程组正确的是（    ） A．B．C． D． 8．（2025·山西忻州·二模）《哪吒之魔童闹海》连续三个月获得全国月度票房冠军，某小组12名同学相约一起观看该电影，其中8人购买了电影票，4人购买了电影票，共花费560元．已知每张电影票的售价比电影票的售价多5元，求每张电影票、电影票的售价分别为多少元．设每张电影票的售价为元，每张电影票的售价为元，根据题意，可列方程组为（   ） A．B．C． D． 9．（2025·山东临沂·一模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 根据他们的对话得到以下四个结论： ①每辆甲车的载客量要比乙车多15人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 10．（2025·湖北襄阳·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器—小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斜斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛；问：1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则列方程组是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·山西太原·模拟预测）化学方程式是用化学式来表示物质化学反应的式子．化学方程式不仅表明了反应物、生成物和反应条件，同时化学计量数代表了各反应物、生成物物质的量关系．例如就表示两份（氢气）与一份（氧气）点燃生成两份的（水）．依据化学反应过程中的质量守恒定律，在化学方程式等号左边和等号右边同一元素原子的个数一定相同．已知，由此可列出关于x，y的二元一次方程为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·山西吕梁·二模）如图是一块长、宽的矩形区域，中间有四块等面积的绿化区域，其余部分为等宽的道路，绿化区域的面积为616．设道路的宽度为xm，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·山西吕梁·二模）太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 14．（2025·山西阳泉·模拟预测）一元二次方程的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 15．（2025·山西朔州·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2025·山西·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·山西长治·模拟预测）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数m的取值有关 18．（2025·山西忻州·三模）如图，某广场欲在角落半径为5米的扇形区域内做绿化，先在外围种植一圈大叶黄杨作为隔离带，再在内部扇形区域内种植月季花，已知若种植大叶黄杨和月季花的区域面积相等，则扇形的半径为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．π米． 19．（2025·山西阳泉·二模）已知关于的一元二次方程，其中一次项系数被墨迹污染了．若这个方程的一个根为，则一次项系数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 20．（2025·山西长治·模拟预测）2024年11月1日，山西省商务厅等部门发布了关于增加家电以旧换新补贴品类的通知．某品牌打印机按进价提高后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该打印机时，将家里的旧打印机用于以旧换新，抵扣了258元后，又支付了942元，则该打印机的进价为 元． 21．（2025·山西太原·二模）运动心率（次/分）是指人体在运动时保持的心率状态，保持最佳运动心率对于运动效果和运动安全都很重要．对于一般人来说，最佳运动心率控制区域计算法如下：(220－年龄)×0.8=最大运动心率，(220－年龄)×0.6=最小运动心率．健身教练给一位正常成年男性制定的运动方案中，最大运动心率与最小运动心率之差为33次/分，则这位男性的年龄是 岁． 22．（2025·山西·模拟预测）如图，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为，宽为，可列方程组： ． 23．（2025·山西晋城·三模）已知是一元二次方程的两个实数根，则 ． 三、解答题 24．（2025·山西大同·三模）为贯彻落实省纪委监委开展群众身边不正之风和腐败问题集中整治的部署安排，结合近年来部分群众对出租汽车运营乱象反映强烈的实际情况，吕梁市交通运输局加强整治出租汽车拒载、宰客等运营不规范及驾驶员仪容仪表不整洁、服务不文明等行为，并通过“红、黑榜”形式，激励优秀者，教育落后者，以此推动全市出租汽车行业专项整治取得实效．已知3月份进入红、黑榜的司机共有15人，进入红榜的司机比进入黑榜的司机的2倍还多3人，求进入红、黑榜的司机各有多少人． 25．（2025·山西晋中·二模）山西作为典型的旱作农业区，种植业结构以粮食作物为主，尤其是小麦、玉米、杂粮等，近年来山西在有机旱作农业、特色杂粮、设施农业等方面有较多布局．年吕梁和晋中为谷子主要种植区，晋谷号和长农号是两个广泛推广的优质谷子品种．吕梁某农业基地有两块试验田，各亩，试验田种植晋谷号，试验田种植长农号，收获后统计发现，长农号亩产量是晋谷号的倍，两块试验田单次共收获谷子千克，求晋谷号的亩产量是多少千克？ 26．（2025·山西阳泉·一模）炎炎夏日，外观迷你、携带方便的迷你小电扇受到越来越多人的喜爱，某商家计划购进两款迷你小电扇进行销售，已知款迷你小电扇的进价为30元，款迷你小电扇的进价为40元．该商家购进这两种迷你小电扇共100台，用去了3350元． (1)该商家分别购进这两款迷你小电扇多少台？ (2)为了满足市场需求，该商家决定用不超过5200元的资金再购进一批这两款迷你小电扇共150台，问该商家这次至少购进款迷你小电扇多少台？ 27．（2025·山西吕梁·一模）每年的5月15日是“全国低碳日”，2024年的主题是“绿色低碳、美丽中国”，鼓励市民骑自行车出行，减少碳排放．某社区在这一天对平时骑自行车出行和开车出行的总数1000人进行统计，结果显示骑自行车出行的人数比平时增加了，而开车出行的人数比平时减少了，已知活动当天骑自行车出行的人数比开车出行的人数多360人．求平时骑自行车出行的人数和开车出行的人数． 28．（2025·山西·模拟预测）年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的少天． (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 29．（2025·山西晋中·三模）（1）计算：； （2）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解：去分母，得．…………………第一步 去括号，得．…………………… 第二步 移项，得．…………………… 第三步 合并同类项，得．………………………………第四步 两边都除以，得………………………… 第五步 任务： ①以上解答过程中，第一步的依据是　　； ②以上解答过程中，从前一步到后一步的变形中，共出现　　处错误，其中最后一次错误在第　　步，原因是　　； ③直接写出该方程的正确解是　　． 30．（2025·山西临汾·二模）山西省科学技术馆（后称“科技馆”）是一座集科普展览、科教影视、科技培训、学术交流和天文观测等多功能为一体的重要科普场所．科技馆内部设有五个展厅，包括．“数学展厅”、．“宇宙与生命”、．“机器与动力”、．“儿童科学乐园”和．“走向未来”．为了让学生近距离接触各种先进的科技设备和展品．直观感受科技给人们带来的便捷，我校组织九年级全体师生参观科技馆． (1)在科技馆内部的五个展厅中，君君和娜娜两位同学计划各选一个展厅进行深入了解参观，请用树状图或列表来分析她们两人选到同一个展厅的概率； (2)参观科技馆当天，为考虑路途及安全问题，我校租用了两种型号的大巴车共6辆．已知中型大巴车载客45人，大型大巴车载客60人，师生共有330人．求租用中型大巴车和大型大巴车各多少辆？ 31．（2025·山西吕梁·模拟预测）某校计划租用两种型号的客车送300名师生去劳动实践基地开展综合实践活动．已知租用1辆A型客车和1辆B型客车共需550元，租用2辆A型客车所需的费用比租用3辆B型客车所需的费用多100元．已知每辆A型客车允许载客35人，每辆B型客车允许载客18人． (1)分别求租用一辆型客车和一辆型客车需要多少元． (2)若学校计划租用12辆客车，至少需要租用A型客车多少辆？ 32．（2025·山西大同·三模）纪念青春时光、传承校园文化．初三学生毕业之际，某学校计划给同学们定制校徽摆件和校徽钥匙扣作为纪念品．已知定制2个摆件和3个钥匙扣共125元，定制1个摆件比2个钥匙扣贵10元． (1)分别求定制校微摆件和校徽钥匙扣的单价； (2)若学校计划定制校徽摆件和校徽钥匙扣共500个，且定制这两种纪念品的总费用不超过16000元，则最多能定制校徽摆件多少个？ 33．（2025·山西长治·三模）人工智能的发展改变了人们的工作与生活，某市农业局准备购买甲、乙两种型号的无人机在农田上空精准喷洒农药和肥料．已知购买1台甲型无人机的费用比购买1台乙型无人机的费用高5万元；购买甲型无人机2台，乙型无人机1台，共需要花费25万元． (1)求甲、乙两种型号无人机的单价． (2)若计划购买甲、乙两种型号的无人机共12台，总费用不超过100万元，则最多能购买甲型无人机多少台？ 34．（2025·山西朔州·三模）超市购物车使我们的购物方式更方便、快捷，如图为购物车叠放在一起的示意图．3辆超市购物车叠放在一起的长度为，6辆超市购物车叠放在一起的长度为． (1)求每一辆超市购物车的长度； (2)若该超市只有扶手电梯，且倾斜长度为12米，工作人员可以通过电梯转运超市购物车．为安全起见，规定电梯一次只能转运1列超市购物车，并且不能超过电梯总长度的，则工作人员一次最多可以转运多少辆超市购物车？ 35．（2025·山西太原·二模）“太空育种”是种子被宇航员带入太空，经历一段太空环境后，再返回地球进行培育的育种方法，是将辐射、宇航、育种和遗传等学科综合的高新技术．经太空育种后的鲜花花期更长、花朵更鲜艳、价格也较高.我国培育成功的太空育种鲜花“延丹号”山丹丹单价为元盆，“太空玫瑰”单价为元盆． (1)为美化环境，公园计划购买这两种太空育种鲜花共盆，若购买这两种鲜花的总价为元，请计算购买“延丹号”山丹丹和“太空玫瑰”的盆数； (2)若公园购买这两种太空育种鲜花的预算资金只有元，所需购买两种鲜花的总数仍为盆，则最多可购买“太空玫瑰”多少盆？ 36．（2025·山西太原·一模）从2025年起，山西中考体育测试分值提高为60分，增加了专项运动技能测试，分值为10分，学生可选择足球、篮球、排球中的一项专项运动技能进行测试．某校为加强专项运动技能的训练，用6800元从体育用品商店购买篮球30个，足球40个．已知篮球的单价比足球的单价贵40元．求篮球和足球的单价分别为多少元？ 37．（2025·山西晋中·一模）春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》在某影院推出了和三种放映版式．小颖调查了解到多数人选择版或版，在该影院购买某时段的《哪吒之魔童闹海》电影票，5张电影票的费用和4张电影票的费用一样；2张电影票和1张电影票共需130元．请你帮助小颖求出该影院《哪吒之魔童闹海》该时段的版和版的电影票单价． 38．（2025·山西·模拟预测）【热点素材】从2025年起山西中考体育总分值为60分，新增球类项目（足球、篮球、排球三选一），为适应中考改革，某校开学前用10500元从体育用品专卖店一次性购买三类球共160个，已知每个篮球120元，每个足球55元，每个排球40元，购买足球和排球的数量相同． (1)求购买三类球各多少个． (2)学校计划再次从该体育用品专卖店购买篮球和排球共40个，费用不超过3000元，求该校最多可以购买多少个篮球． 39．（2025·山西运城·模拟预测）2024年10月30日，搭载“神舟十九号”载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，将航天员蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利送入太空，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功.某电商平台经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具，已知销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元；购进3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等.分别求“天宫”模型和“神舟”模型的进货单价. 40．（2025·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务． 换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明． 例1：计算：． 解：设，则原式． 请你利用上述方法解答下列问题： (1)计算：； (2)已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 41．（2025·山西吕梁·二模）（1）计算：； （2）解方程：． 42．（2025·山西忻州·二模）平遥古城、乔家大院等景区推出“数字晋商”沉浸式体验项目，2025年3月份的游客数量比去年3月份增长，入选文旅部“非遗旅游经典案例”．以下是某旅行社推出的平遥古城特价一日游信息： 人数 收费标准 不超过30人 人均收费130元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于50元 某公司组织一批员工进行平遥古城一日游，并支付给旅行社4800元，求该公司参加旅游的员工人数． 43．（2025·山西大同·二模）平遥古城、乔家大院等景区推出“数字晋商”沉浸式体验项目，2025年3月份的游客数量比去年3月份增长，入选文旅部“非遗旅游经典案例”．以下是某旅行社推出的平遥古城特价一日游信息： 人数 收费标准 不超过30人 人均收费130元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于50元 某公司组织一批员工进行平遥古城一日游，并支付给旅行社4800元，求该公司参加旅游的员工人数． 44．（2025·山西·一模）（1）计算：； （2）下面是小含同学解方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． ． 解：．…………第一步 ．………………第二步 第三步 所以，或第四步 解得．······…………第五步 任务一：①以上解题过程中，第一步变形依据的运算律是___________． ②第___________步开始出现错误，错误的原因是___________ 任务二：请你直接写出该方程的正确解． 45．（2025·山西·模拟预测）关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程有一个根为1，求方程的另一个根． 46．（2025·山西大同·模拟预测）阅读与思考 下面是小文同学撰写的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应任务． 探索特殊系数一元二次方程的解 通过学习我们知道：一元二次方程（，a，b，c为常数）的根是由它的系数决定的．我们小组的同学研究了两类特殊一元二次方程的解． 第一类，当时，根据方程解的概念可知方程必有一个解为1，那么另一个解是多少呢？分析如下： ∵，∴． ∴ ． ∴方程可变形为． ∴或．∴，． ∴当时，一元二次方程的两个实数根为，． 我还用求根公式法，证明了以上结论是正确的． 第二类，当时，同理可以求出这类方程的实数根．…… 任务： (1)阅读内容中，将方程变形为，然后求出方程的解，这种解方程的方法是（    ） A．配方法    B．公式法    C．因式分解法 (2)请直接写出一个二次函数的表达式，使其函数图象经过点； (3)请直接写出当时，一元二次方程的两个实数根； (4)请写出材料中划线部分小文同学的证明过程． 47．（2025·山西大同·三模）山西汾酒是中国传统名酒的典型代表，属于清香型白酒，在国内外享有较高的知名度和美誉度．某商家在销售某款山西汾酒时发现，该款汾酒每件的销售价为60元时，每个月可销售100件，为了让顾客得到更多实惠，现决定降价销售，根据销售统计，每件的销售价每降低1元，每个月的销售量将增加10件．设该商品每件降价x元，每个月的销售量为y件． (1)求y与x的函数关系式； (2)已知每件汾酒的成本为42元，商家想要每月获利1920元，则这款汾酒每件可以降价多少元？ 48．（2025·山西朔州·三模）“五一国际劳动节”是世界上多个国家的全国性节日，中国中央人民政府政务院于年月作出决定，将5月1日确定为“劳动节”．如图是年5月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为，求这个最小的数（请用方程知识解答）． 49．（2025·山西临汾·一模）（1）计算：； （2）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：第一步 第二步 解得第三步 小颖同学： 解：第一步 第二步 第三步 或第四步 解得或第五步 任务一： ①小刚同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是__________； ②小颖同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是_________． 任务二：该一元二次方程的解为__________． 50．（2025·山西临汾·一模）列方程解应用题： 山西是面食之乡，面食种类繁多，其中以刀削面最为有名，可谓“面食之王”，它有内虚外筋、柔软光滑、易于消化等特点，与北京的炸酱面、河南烩面、武汉的热干面、四川的担担面被誉为我国著名的五大面食．在某县城内一家特色刀削面馆考察得知，一份刀削面的成本价为7元，若每份卖12元，平均每天将销售160份，若价格每提高1元，则平均每天少销售10份，每天面馆内所需其他各种费用为280元．每份刀削面的价格是多少元时，该面馆才能实现每天800元的净利润？ 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$