21.1二次根式 课件 2025—2026学年华东师大版数学九年级上册

第21章 二次根式 二次根式 21.1 二次根式 1 1.理解二次根式的概念; 2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围; (重点) 3.探索二次根式的性质; (难点) 4.运用二次根式的性质进行化简计算. (难点) 学习目标 2 问题2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 问题1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. 0的算术平方根是0. a的平方根是 . 用　 (a≥0)表示. 观察与思考 3 正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根. 问题3 平方根的性质： 问题4 所有实数都有算术平方根吗？ 正数和0都有算术平方根； 负数没有算术平方根. 4 下球体 S 圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为__________. 5 如图所示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是 . b-3 表示一些正数的算术平方根． 你认为下列各代数式有哪些共同特点？ 二次根式的定义及有意义的条件 一 6 二次根式的定义 理解要点： 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开数a ≥0 2.二次根式实质上是非负数的算术平方根. 3. a既可以是一个数，也可以是一个式子. 1. 既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 的认识！ 知识归纳 7 例 下列各式是二次根式吗?    (m≤0), (x,y 异号) 解析： （1）、（4）、（6）均是二次根式，其中 +1属于 “非负数+正数”的形式一定大于零.而（5）中xy<0, （7）根指数不是2，是3.而（3）不是，是因为在实数范围内，负数没有平方根. 典例精析 8 4 2 0 1.根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据． 二次根式的性质1及应用 二 9 一般地，有 由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下：a2, ︱a︱, 文字叙述：任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数. 归纳 10 计算 解： （2）用到了 （ab）2=a2b2这个 结论. 练一练 11 类似地，计算： 再计算： 0.5 0 0.5 二次根式的性质2及应用 三 12 一般地，有 a -a (a≥0) (a＜0) 归纳 13 2.从取值范围来看, a≥0 a取任何实数 1.从运算顺序来看, 先开方,后平方 先平方,后开方 3.从运算结果来看: =a a (a≥0) -a(a＜0) = =∣a∣ 知识要点 14 化简： 解： 练一练 15 解：由x-1≥0，得 x≥1 1. 当x取何值时, 二次根式有意义? 当x≥1时， 在实数范围内有意义. 试求当x=5时，二次根式 的值. 当x=5时， 思考：当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ x为全体实数. 当堂练习 16 2.（1）若 , 则a-b+c=___ ； 解： （1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3. （2）由题意知1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2015, 所以x+2y=1+2×2015=4031. 17 （1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的值 抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集. 课堂小结 18 二次根式 定义 性质 （a≥0） （即 表示一个非负数） 19 EQ \R(, ) EQ \R(,a) EQ \R(,a) 一般地，我们把形如 EQ \R(,a) (a≥0)的式子叫做二次根式.“ EQ \R(, ) ”称为二次根号，a叫做被开方数. 性质1.( EQ \R(,a) )2=a (a≥0) 性质2： 一般地，我们把形如 EQ \R(,a) (a≥0)的式子叫做二次根式.“ EQ \R(, ) ”称为二次根号，a叫做被开方数. $$