1.3集合间的基本运算【13个题型】讲义-2025年暑假新高一数学常考题型归纳

2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【1.3集合间的基本运算】 总览 题型梳理 【知识点总览】 1．求集合的并集 【知识点的认识】 由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B． 符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素． 运算性质： ①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B． 【解题方法点拨】 定义并集：集合A和集合B的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记为A∪B．元素合并：将A和B的所有元素合并，去重，得到并集． 2．Venn图表示并集 【知识点的认识】 由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B． 符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． 图形语言：． 【解题方法点拨】 绘制集合圆圈：在Venn图中绘制两个（或多个）集合的圆圈．标记并集区域：将所有属于任意集合的区域标记出来，形成并集区域．颜色或阴影：使用颜色或阴影标记并集部分，直观表示并集． 3．集合并集关系的应用 【知识点的认识】 两个或两个以上的集合中，元素含有待确定的变量，需要通过集合的子集、相等、交集、并集、补集等关系求出变量的取值等问题． 4．求集合的交集 【知识点的认识】 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B． 符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． 运算性质： ①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B． 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图． 5．Venn图表示交集 【知识点的认识】 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B． 符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 图形语言： 【解题方法点拨】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来． 6．集合交集关系的应用 【知识点的认识】 两个或两个以上的集合中，元素含有待确定的变量，需要通过集合的子集、相等、交集、并集、补集等关 7．补集及其运算 【知识点的认识】 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）． 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．． 【解题方法点拨】 常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法． 8．全集及其运算 【知识点的认识】 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．全集是相对概念，元素个数可以是有限的，也可以是无限的．例如{1，2}；R；Q等等． 9．求集合的补集 【知识点的认识】 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）． 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 【解题方法点拨】 常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法． 10．Venn图表示补集 【知识点的认识】 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．． 【解题方法点拨】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来． 11．集合补集关系的应用 【知识点的认识】 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）． 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．． 【解题方法点拨】 常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法． 12．交、并、补集的混合运算 【知识点的认识】 集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）． 集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． 集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB． 集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A． 集合求补律 　A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．求集合的并集（共5小题） 1．已知集合A＝{﹣2，0，2，5}，B＝{x∈N|x2＜5}，则A∪B＝（　　） A．{0，1，2} B．{﹣2，0，1，2} C．{0，1，2，5} D．{﹣2，0，1，2，5} 【考点】求集合的并集．版权所有 【分析】根据集合的并运算的定义即可求解． 【解答】解：由B＝{x∈N|x2＜5}＝{0，1，2}，A＝{﹣2，0，2，5}， 故A∪B＝{﹣2，0，1，2，5}， 故选：D． 【点评】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题． 2．已知集合M＝{x|﹣3＜x＜1}，N＝{x|﹣1≤x＜4}，则M∪N＝（　　） A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|x＞﹣3} C．{x|﹣3＜x＜4} D．{x|x＜4} 【考点】求集合的并集．版权所有 【分析】利用并集定义、不等式性质求解． 【解答】解：集合M＝{x|﹣3＜x＜1}，N＝{x|﹣1≤x＜4}， 则M∪N＝{x|﹣3＜x＜4}． 故选：C． 【点评】本题考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∪B＝（　　） A．{x|0≤x＜2} B．{x|0≤x≤3} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣2＜x≤3} 【考点】求集合的并集．版权所有 【分析】由已知直接利用并集运算的定义得答案． 【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|0≤x≤3}， ∴A∪B＝{x|﹣2＜x＜2}∪{x|0≤x≤3}＝{x|﹣2＜x≤3}． 故选：D． 【点评】本题考查并集及其运算，是基础题． 4．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，，则A∪B＝（　　） A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞0} D．{x|x＞1} 【考点】求集合的并集；分式不等式．版权所有 【分析】化简B，由集合并集运算即可求解； 【解答】解：知集合A＝{x|0＜x＜2}，， 所以A∪B＝{x|x＞0}． 故选：C． 【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题． 5．已知集合A＝{0，a，a2}，B＝{a﹣1，3a﹣2}，a∈R，则A∪B中的元素个数至少为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】求集合的并集．版权所有 【分析】先根据A求出a≠0且a≠1，再根据可得a﹣1与0，a，a2均互异，结合特例可得正确的选项． 【解答】解：集合A＝{0，a，a2}，B＝{a﹣1，3a﹣2}， 由A中元素的互异性可得a≠0，a≠a2，故a≠0且a≠1， 而，故当a≠0且a≠1时，a﹣1与0，a，a2均互异， 故A∪B中至少有4元素，取a＝2，此时A＝{0，2，4}，B＝{1，4}， 此时A∪B有4个元素，故A∪B中的元素个数至少为4个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题． 二．Venn图表示并集（共2小题） 6．根据所给的韦恩图，求A∪B（　　） A．{7，8，3，5} B．{1，3，5，6} C．{3，5} D．{7，8，3，5，1，6} 【考点】Venn图表示并集．版权所有 【分析】直接结合图形求解即可． 【解答】解：由图可得：A∪B＝{1，3，5，6，7，8}． 故选：D． 【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 7．设集合A＝{2，4，6}，B＝{1，3，6}，则如图中阴影部分表示的集合是 　{1，2，3，4，6}　 ． 【考点】Venn图表示并集．版权所有 【分析】图中阴影的部分表示为集合A∪B，结合并集的定义和运算即可求解． 【解答】解：由题意知，图中阴影的部分表示为集合A∪B， 又A＝{2，4，6}，B＝{1，3，6}， 所以A∪B＝{1，2，3，4，6}． 故答案为：{1，2，3，4，6}． 【点评】本题考查并集定义、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 三．集合并集关系的应用（共7小题） 8．已知集合A＝{2，3}，B＝{x|x2﹣（m+1）x+m＝0}，若A∪B＝{1，2，3}，则所有满足条件的实数m组成的集合为（　　） A．{2} B．{3} C．{2，3} D．{1，2，3} 【考点】集合并集关系的应用．版权所有 【分析】化简集合B，根据集合A，B的关系可得m组成的集合． 【解答】解：集合A＝{2，3}，B＝{x|x2﹣（m+1）x+m＝0}＝{x|（x﹣1）（x﹣m）＝0}， 若A∪B＝{1，2，3}， 则所有满足条件的实数m组成的集合为{1，2，3}． 故选：D． 【点评】本题考查集合间关系的应用，属于基础题． 9．已知集合N＝{1，2，3}，则满足M∪N＝{x∈Z|x2﹣5x＜0}的集合M共有（　　） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 【考点】集合并集关系的应用．版权所有 【分析】先解不等式得到M∪N＝{1，2，3，4}，结合N＝{1，2，3}即可确定集合M的个数． 【解答】解：因为集合N＝{1，2，3}， M∪N＝{x∈Z|x2﹣5x＜0}＝{x∈Z|0＜x＜5}＝{1，2，3，4}， 则4∈M， 故集合M的个数有23＝8个． 故选：D． 【点评】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题． 10．已知集合A，B满足：A＝{x∈N*|x2﹣2≤0}，A∪B＝A，则满足条件的集合B的个数为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【考点】集合并集关系的应用．版权所有 【分析】先求出集合A，再结合并集的定义，即可求解． 【解答】解：A＝{x∈N*|x2﹣2≤0}＝{1}， A∪B＝A，则满足条件的集合B为∅，{1}，共2个． 故选：B． 【点评】本题主要考查并集的运算，属于基础题． 11．已知集合A＝{x|x2+mx＝0}，B＝{1}．若A∪B＝{0，1}，则m＝（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．0或﹣1 【考点】集合并集关系的应用．版权所有 【分析】解方程求出集合A，根据A∪B即可确定参数m的值． 【解答】解：集合A＝{x|x2+mx＝0}， 由x2+mx＝0可得x＝0或x＝﹣m， 当m≠0时，A＝{0，﹣m}；当m＝0时，A＝{0}； 因B＝{1}，且A∪B＝{0，1}， 则m＝0或m＝﹣1． 故选：D． 【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题． 12．已知集合A＝{x|1≤x＜2}，B＝{x|x＞a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥2 B．a＞2 C．a≤1 D．a＜1 【考点】集合并集关系的应用．版权所有 【分析】分析可得A⊆B，利用集合的包含关系可得出实数a的取值范围． 【解答】解：因为A∪B＝B，故A⊆B，故a＜1． 故选：D． 【点评】本题考查了集合的运算，集合的包含关系，是基础题． 13．集合A＝{x|x2﹣4x+4＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∪B＝A，则a＝ 　0或　 ． 【考点】集合并集关系的应用．版权所有 【分析】由题意可知A＝{2}，分a＝0和a≠0两种情况讨论，结合B⊆A求解即可． 【解答】解：集合A＝{x|x2﹣4x+4＝0}＝{2}， 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当a＝0时，B＝∅，符合题意， 当a≠0时，B＝{}，则2， 解得a， 综上所述，a＝0或． 故答案为：0或． 【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题． 14．设集合A＝{x|x2﹣5x+6＝0}，B＝{x|（a﹣1）x2+4x﹣8＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 【考点】集合并集关系的应用．版权所有 【分析】根据题意就判别式的正负分情况依次求解． 【解答】即：∵A＝{x|x2﹣5x+6＝0}，∴A＝{2，3}，由题设可得B为A的子集． 当B＝∅时，解得． 当B≠∅时， 若a﹣1＝0，即a＝1时， 此时（a﹣1）x2+4x﹣8＝0的解为x＝2， 即B＝{2}，符合题意． 若a﹣1≠0，即a≠1时， ①Δ＝42+32（a﹣1）＞0，即时，由此时集合B＝{2，3}． 则，解得， 与矛盾，不符合题意． ②Δ＝42+32（a﹣1）＝0，即时，此时， 即（x﹣4）2＝0，解得x＝4，即B＝{4}，不符合题意． 综上所述，实数a的取值范围为． 【点评】本题主要考查并集关系的应用，属于中档题． 四．求集合的交集（共6小题） 15．设集合A＝{x|x＞0}，B＝{y|y≥0}，则A∩B＝（　　） A．∅ B．{x|x＞0} C．{x|x≥0} D．R 【考点】求集合的交集．版权所有 【分析】由交集的概念即可得解． 【解答】解：因为集合A＝{x|x＞0}，B＝{y|y≥0}， 所以A∩B＝A＝{x|x＞0}． 故选：B． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 16．已知集合M＝{x∈N||2x|≤6}，N＝{﹣2，﹣1，0，2，4}，则M∩N＝（　　） A．{0，2} B．{﹣2，﹣1，0，2} C．{2} D．{0，1，2} 【考点】求集合的交集．版权所有 【分析】先求出集合M，再结合交集的定义求解即可． 【解答】解：集合M＝{x∈N||2x|≤6}＝{0，1，2，3}，N＝{﹣2，﹣1，0，2，4}， 所以M∩N＝{0，2}． 故选：A． 【点评】本题考查集合的运算，属于基础题． 17．若集合，N＝{﹣2，0，2，4，6}，则M∩N＝（　　） A．{﹣2，0，2，4} B．{﹣2，0，2} C．{0，2} D．{2} 【考点】求集合的交集．版权所有 【分析】利用幂函数的性质求解不等式得到M＝{x|0≤x＜4}，再利用交集的定义求解即可． 【解答】解：集合{x|0≤x＜4}， 因为N＝{﹣2，0，2，4，6}， 所以M∩N＝{0，2}，故C正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 18．已知集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{x|x2＜4，x∈N}，则A∩B＝（　　） A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜4} 【考点】求集合的交集．版权所有 【分析】结合交集的定义，即可求解． 【解答】解：集合A＝{x||x﹣1|＜3}＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x2＜4，x∈N}＝{0，1}， 故A∩B＝{0，1}． 故选：A． 【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题． 19．已知集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则（A∩B）∩C＝（　　） A．∅ B．{1，2，3} C．{3} D．{1，2} 【考点】求集合的交集；解一元二次不等式．版权所有 【分析】解出集合C，再根据交集含义即可得到答案． 【解答】解：因为集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}， 所以A∩B＝{1，2}， 因为C＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}， 所以（A∩B）∩C＝{1，2}． 故选：D． 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题． 20．已知集合S＝{s|s＝3n+2，n∈Z}，T＝{t|t＝6n+2，n∈Z}，则S∩T＝（　　） A．∅ B．S C．T D．Z 【考点】求集合的交集．版权所有 【分析】结合交集的定义，即可求解． 【解答】解：集合S＝{s|s＝3n+2，n∈Z}，T＝{t|t＝6n+2，n∈Z}， 则T⊆S， 则S∩T＝T． 故选：C． 【点评】本题主要考查交集的定义，属于基础题． 五．Venn图表示交集（共4小题） 21．已知集合A＝{x|x是8的约数}，B＝{x|x2﹣8x+15＜0}，则Venn图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{2} B．{4} C．{2，4} D．∅ 【考点】Venn图表示交集．版权所有 【分析】求得集合A，B，利用交集的意义求解即可． 【解答】解：由题意，集合A＝{1，2，4，8}， 由x2﹣8x+15＜0，可得（x﹣3）（x﹣5）＜0，解得B＝{x|3＜x＜5}， 则A∩B＝{4}． 故选：B． 【点评】本题考查集合的运算，属于基础题． 22．已知集合M＝{1，2，3，4，5}，N＝{1，3，5，7，9}，且M，N都是全集U的子集，则如图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{1，3，5} B．{2，4} C．{7，9} D．{1} 【考点】Venn图表示交集．版权所有 【分析】根据韦恩图即可求解． 【解答】解：因为M＝{1，2，3，4，5}，N＝{1，3，5，7，9}， 所以M∩N＝{1，3，5}． 故选：A． 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题． 23．设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|2≤x＜5}，则图中的阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|1＜x＜2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|2≤x＜4} D．{x|1＜x＜5} 【考点】Venn图表示交集．版权所有 【分析】根据给定条件，利用韦恩图，结合交集的定义求解即得． 【解答】解：集合B＝{x|2≤x＜5}，A＝{x|1＜x＜4}， 由韦恩图可知，阴影部分表示的集合A∩B＝{x|2≤x＜4}． 故选：C． 【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 24．设集合A＝{2，3，4，5}，B＝{x|﹣2＜x＜4}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4} 【考点】Venn图表示交集．版权所有 【分析】利用交集定义、韦恩图直接求解． 【解答】解：集合A＝{2，3，4，5}，B＝{x|﹣2＜x＜4}， 则图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2，3}． 故选：B． 【点评】本题考查交集定义、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 六．集合交集关系的应用（共6小题） 25．设集合A＝[0，a]，B＝（2，3），若A∩B＝∅，则（　　） A．0＜a≤2 B．0＜a＜2 C．0＜a＜3 D．0＜a≤3 【考点】集合交集关系的应用．版权所有 【分析】结合交集的定义，即可求解． 【解答】解：A＝[0，a]，B＝（2，3），A∩B＝∅， 则0＜a≤2． 故选：A． 【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 26．已知集合A＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，若A∩C＝A，B∩C＝C，则满足条件的集合C共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】集合交集关系的应用．版权所有 【分析】由已知结合集合的交集性质进行转化，然后结合集合的包含关系即可求解． 【解答】解：集合A＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}＝{1，2，3，4}， 若A∩C＝A，B∩C＝C，则A⊆C⊆B， 满足条件的集合C共有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了集合子集个数的求解，属于基础题． 27．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|a＜x＜2}．若a∈Z，且A∩B＝{1}，则a＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考点】集合交集关系的应用．版权所有 【分析】结合交集的定义，即可求解． 【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|a＜x＜2}．a∈Z，且A∩B＝{1}， 则a＝0． 故选：B． 【点评】本题主要考查交集的定义，属于基础题． 28．已知集合M＝{﹣1，0，a﹣1}，N＝{a+1，﹣2}，若M∩N＝N，则a＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考点】集合交集关系的应用．版权所有 【分析】分析可知N⊆M，结合集合M，N的元素特征运算求解即可． 【解答】解：因为M∩N＝N，则N⊆M， 集合M＝{﹣1，0，a﹣1}， ﹣2∈M，则﹣2＝a﹣1，解得a＝﹣1， 经检验，a＝﹣1符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题． （多选）29．设集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，则下列选项中，满足A∩B＝∅的实数a的取值范围可以是（　　） A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2} C．{a|a≤0} D．{a|a≥8} 【考点】集合交集关系的应用．版权所有 【分析】由A∩B＝∅，得到a﹣1≥5或a+1≤1，先求出实数a的取值范围，即可判断． 【解答】解：因B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+1，x∈R}，满足A∩B＝∅， 则得a﹣1≥5或a+1≤1， 解得a≥6或a≤0． 结合选项，实数a的取值范围可以是{a|a≥8}或{a|a≤0}． 故选：CD． 【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题． 30．已知集合A＝{x|4≤x＜8}，B＝{x|5＜x＜10}，C＝{x|x＞a}． （1）求A∪B，（∁RA）∩B； （2）若A∩C≠∅，求a的取值范围． 【考点】集合交集关系的应用；集合的交并补混合运算．版权所有 【分析】（1）由A，B，求出A与B的并集，求出A补集与B的交集即可； （2）由A与C的交集为空集，确定出a的范围即可． 【解答】解：（1）∵A＝{x|4≤x＜8}，B＝{x|5＜x＜10}， ∴A∪B＝{x|4≤x＜10}， ∵∁RA＝{x|x＜4或x≥8}， ∴（∁RA）∩B＝{x|8≤x＜10}； （2）∵A＝{x|4≤x＜8}，C＝{x|x＞a}， ∴a的范围是a＜8． 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 七．全集及其运算（共4小题） 31．已知三个集合U，A，B及元素间的关系如图所示，则（∁UA）∩B＝（　　） A．{5，6} B．{3，5，6} C．{3} D．{0，4，5，6，7，8} 【考点】全集及其运算；交、并、补集的混合运算．版权所有 【分析】由图象可知U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3}，B＝{3，5，6}，根据集合的混合运算法则即可得出答案． 【解答】解：∵U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3}，B＝{3，5，6}， ∴∁UA＝{0，4，5，6，7，8}， ∴（∁UA）∩B＝{5，6}， 故选：A． 【点评】本题考查了集合的混合运算，属于基础题，关键是掌握集合的运算法则． 32．设集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U＝A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【考点】全集及其运算；交、并、补集的混合运算．版权所有 【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解． 【解答】解：A∪B＝{3，4，5，7，8，9}， A∩B＝{4，7，9}∴∁U（A∩B）＝{3，5，8}故选A． 也可用摩根律：∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB） 故选：A． 【点评】本题考查集合的基本运算，较简单． 33．设全集为R，集合A＝{x|﹣5＜x＜5}，则∁RA＝　{x|x≥5或x≤﹣5}　 ． 【考点】全集及其运算．版权所有 【分析】根据集合的基本运算即可得到结论． 【解答】解：∵A＝{x|﹣5＜x＜5}， ∴∁RA＝{x|x≥5或x≤﹣5}， 故答案为：{x|x≥5或x≤﹣5} 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 34．若U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U（A∪B）＝　{2，4，8}　 ． 【考点】全集及其运算；补集及其运算．版权所有 【分析】先求出满足条件的全集U，进而求出满足条件的集合A与集合B，求出A∪B后，易根据全集U求出∁U（A∪B）． 【解答】解：∵U＝{n|n是小于9的正整数}， ∴U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}， 则A＝{1，3，5，7}，B＝{3，6}， 所以A∪B＝{1，3，5，6，7}， 所以∁U（A∪B）＝{2，4，8}． 【点评】本题考查的知识点是并集运算和补集运算，运算的关键是准确列举出满足条件的集合． 八．求集合的补集（共4小题） 35．已知全集U＝{﹣3，﹣2，1，5}，∁UA＝{﹣2，1}，则集合A＝（　　） A．{﹣3} B．{5} C．{﹣3，5} D．{﹣3，2} 【考点】求集合的补集．版权所有 【分析】由补集的定义可知． 【解答】解：由全集U＝{﹣3，﹣2，1，5}，∁UA＝{﹣2，1}， 可知，A＝{﹣3，5}． 故选：C． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 36．已知集合U＝N，A＝{x∈N|x2﹣4＞0}，则∁UA＝（　　） A．{0，1，2} B．{0} C．{0，1} D．{2} 【考点】求集合的补集．版权所有 【分析】化简集合A，由补集的概念即可求解． 【解答】解：∵U＝N，A＝{x∈N|x2﹣4＞0}＝{3，4，5，⋯}， ∴∁UA＝{0，1，2}． 故选：A． 【点评】本题考查补集及其运算，是基础题． 37．集合A＝{x∈N|5﹣x＞1}，B＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}，则∁BA＝（　　） A．{5} B．{4，5} C．{﹣1，4，5} D．{﹣1，0，4，5} 【考点】求集合的补集．版权所有 【分析】用列举法表示集合A，再利用补集的定义求解． 【解答】解：集合B＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}，A＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}， 所以∁BA＝{﹣1，4，5}． 故选：C． 【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 38．已知全集U＝{﹣3，﹣1，3，4}，集合A满足∁UA＝{﹣3，4}，则A＝（　　） A．{﹣1，3} B．{﹣3，﹣1} C．{1，﹣3} D．{1，3} 【考点】求集合的补集．版权所有 【分析】根据补集运算的定义求解． 【解答】解：因为全集U＝{﹣3，﹣1，3，4}，集合A满足∁UA＝{﹣3，4}， 所以A＝{﹣1，3}． 故选：A． 【点评】本题主要考查了补集的运算，属于基础题． 九．Venn图表示补集（共4小题） 39．若集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x∈Z|1≤x≤9}，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】Venn图表示补集．版权所有 【分析】利用集合运算求解阴影部分即可． 【解答】解：B＝{x∈Z|1≤x≤9}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}， 故图中阴影部分表示的集合为∁BA＝{2，4，6，8，9}，共5个元素． 故选：C． 【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系和运算，属于基础题． 40．若全集U＝R，集合，N＝{y|y＝x2+1}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x≤1} 【考点】Venn图表示补集．版权所有 【分析】化简集合M，N，由图可知图中阴影部分表示的集合为M∩（∁UN），从而可求得答案． 【解答】解：由y＝x2+1≥1，所以N＝[1，+∞）， 故∁UN＝（﹣∞，1）， 由，得，解得0＜x≤3， 所以M＝{x|0＜x≤3}， 图中阴影部分表示的集合为M∩（∁UN）＝（0，1）． 故选：A． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，考查计算能力，属于基础题． 41．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥﹣1}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}，则阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|﹣3＜x＜﹣1} C．{x|﹣3＜x≤1} D．{x|﹣3≤x＜﹣1} 【考点】Venn图表示补集．版权所有 【分析】由题知图中阴影部分表示的集合为（∁UA）∩B，先求得集合B，再根据集合运算求解即可． 【解答】解：由题知图中阴影部分表示的集合为（∁UA）∩B， 又B＝{x|x2+2x﹣3＜0}，得B＝{x|﹣3＜x＜1}， 又A＝{x|x≥﹣1}，则∁UA＝{x|x＜﹣1}， 所以（∁UA）∩B＝{x|﹣3＜x＜﹣1}． 故选：B． 【点评】本题考查交集、补集定义、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 42．已知U＝{x|﹣3≤x＜3}，A＝{x|﹣1≤x＜3}，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A．{x|﹣3≤x≤﹣1} B．{x|x＜﹣3或x≥3} C．{x|x≤0} D．{x|﹣3≤x＜﹣1} 【考点】Venn图表示补集．版权所有 【分析】由图可得，所求为集合A关于全集U的补集，后由补集定义可得答案． 【解答】解：由图可得，所求为集合A关于全集U的补集∁UA，则∁UA＝{x|﹣3≤x＜﹣1}． 故选：D． 【点评】本题考查了韦恩图的应用，属于基础题． 十．集合补集关系的应用（共3小题） 43．设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{x|x2﹣7x+p＝0}，若∁UM＝{1，2}，则实数p的值为（　　） A．﹣6 B．﹣12 C．12 D．6 【考点】集合补集关系的应用．版权所有 【分析】由题意可确定集合M中的元素，利用根与系数的关系，即可求得答案． 【解答】解：由于集合U＝{1，2，3，4}，∁UM＝{1，2}， 根据集合补集定义可知，M＝{3，4}，即x2﹣7x+p＝0的两根为3，4， 故p＝3×4＝12． 故选：C． 【点评】本题主要考查了集合补集运算的应用，属于基础题． 44．已知U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，m}，且∁UA＝{1，3，5}，则m＝　4　 ． 【考点】集合补集关系的应用．版权所有 【分析】由集合的补集运算求解． 【解答】解：因为m∈U，且m∉∁UA， 所以m＝2或4． 又A＝{2，m}，由元素的互异性知m≠2， 所以m＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查集合的应用，属于基础题． 45．若全集U＝{3，﹣3，a2+2a﹣3}，A＝{a+1，3}，且∁UA＝{5}，求实数a的值． 【考点】集合补集关系的应用．版权所有 【分析】根据补集运算求解即可． 【解答】解：由题意可知：5∈U，﹣3∈A， 则，解得a＝﹣4， 所以实数a的值为﹣4． 【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题． 十一．集合的交并补混合运算（共5小题） 46．已知全集U＝{﹣1，2，3，4，6，8}，集合A＝{﹣1，3，4，6}，B＝{2，3，6}，则A∩（∁UB）＝（　　） A．{﹣1，4} B．{﹣1，3，4} C．{2，8} D．{﹣1，4，8} 【考点】集合的交并补混合运算．版权所有 【分析】先求得集合B的补集，再根据交集定义即可求解结论． 【解答】解：由题可得：∁UB＝{﹣1，4，8}， 所以A∩（∁UB）＝{﹣1，4}． 故选：A． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 47．已知全集U＝{x|x＜10，x∈N*}，集合A，B是U的子集，若A∩B＝{2}，（∁UA）∩B＝{5，7，9}，（∁UA）∩（∁UB）＝{6，8}，则集合A＝（　　） A．{2，3，4} B．{1，2，4} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4} 【考点】集合的交并补混合运算．版权所有 【分析】结合集合的基本运算即可求解． 【解答】解：因为全集U＝{x|x＜10，x∈N*}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}， 若A∩B＝{2}，（∁UA）∩B＝{5，7，9}，（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）＝{6，8}， 则集合A＝{1，2，3，4}． 故选：D． 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题． 48．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合，则A∩（∁RB）＝（　　） A．（3，4） B．{1，4} C．{2，3} D．{1，2，3，4} 【考点】集合的交并补混合运算；简单函数的定义域．版权所有 【分析】先求出集合B，然后结合集合的交集及补集运算即可求解． 【解答】解：因为集合A＝{1，2，3，4}，集合{x|2≤x≤3}， 所以∁RB＝{x|x＜2或x＞3}， 则A∩（∁RB）＝{1，4}． 故选：B． 【点评】本题主要考查了集合的交集及补集运算，属于基础题． 49．已知全集U＝A∪B＝{x∈N*|﹣1≤x≤4}，A∩（∁UB）＝{1，2}，则集合B＝（　　） A．{﹣1，0} B．{3，4} C．{0，3，4} D．{1，2，3，4} 【考点】集合的交并补混合运算．版权所有 【分析】结合集合的基本运算即可求解． 【解答】解：U＝A∪B＝{x∈N*|﹣1≤x≤4}＝{1，2，3，4}，A∩（∁UB）＝{1，2}， 则集合B＝{3，4}． 故选：B． 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题． 50．若集合A，B，U满足：A⫋B⫋U，则U＝（　　） A．A∪B B．A∪∁UB C．B∪∁UA D．∁UA∪∁UB 【考点】集合的交并补混合运算．版权所有 【分析】根据已知条件，结合集合的混合运算法则，即可求解． 【解答】解：集合A，B，U满足：A⫋B⫋U， 则U＝B∪∁UA． 故选：C． 【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题． 十二．Venn图表示交并补混合运算（共3小题） 51．图中阴影部分用集合符号可以表示为（　　） A．B∩（A∪C） B．B∩（A∩C） C．B∩∁U（A∪C） D．（A∪B）∩（B∪C） 【考点】Venn图表示交并补混合运算．版权所有 【分析】根据集合的运算即可得到答案． 【解答】解：由图中阴影部分可知，阴影为集合A，B的交集和B，C的交集的并集， 故阴影部分可表示为（A∩B）∪（B∩C）或B∩（A∪C），故A正确． 故选：A． 【点评】本题考查了韦恩图表示集合的交并补混合运算，属于基础题． 52．已知全集U＝R，A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|0≤x＜2}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|﹣3＜x＜0} B．{x|﹣3＜x≤0} C．{x|﹣3＜x＜2} D．{x|0≤x＜1} 【考点】Venn图表示交并补混合运算．版权所有 【分析】根据韦恩图表达的集合A和B之间的关系，求解阴影部分所表达的集合即可． 【解答】解：根据韦恩图，阴影部分表达的是集合A中不属于集合B的元素组成的集合， 又A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|0≤x＜2}， 故阴影部分表示的集合为{x|﹣3＜x＜0}． 故选：A． 【点评】本题考查利用venn图解集合运算问题，属基础题． 53．如图，U是全集，M，N，P是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（　　） A．（∁UM）∩（∁UN）∩P B．（∁UM）∩P C．∁U（M∩N）∩P D．∁U（M∪N）∪P 【考点】Venn图表示交并补混合运算．版权所有 【分析】根据维恩图的意义，阴影部分所表示的集合是集合M，N在全集上的补集的公共部分和集合P的交集，由此能求出结果． 【解答】解：根据维恩图的意义，知阴影部分所表示的集合是集合M，N在全集上的补集的公共部分和集合P的交集， ∴阴影部分所表示的集合是（∁UM）∩（∁UN）∩P． 故选：A． 【点评】本题考查集合的求法，考查补集、交集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 十三．集合交并补混合关系的应用（共7小题） 54．已知集合M，N均为U的子集，且M⊆N，则（∁UM）∩（∁UN）等于（　　） A．U B．∁UM C．∁UN D．∅ 【考点】集合交并补混合关系的应用．版权所有 【分析】根据题意作出Venn图，结合图形判断即可． 【解答】解：集合M，N均为U的子集，且M⊆N， 作出Venn图如下： 因为（∁UM）∩（∁UN）＝∁U（M∪N）＝∁UN． 故选：C． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 55．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜4}，N＝{x|2m﹣1＜x＜2m+1}． （1）当m＝﹣2时，求（∁RM）∩N； （2）若（∁RM）∩N＝∅，求实数m的取值范围． 【考点】集合交并补混合关系的应用；集合的交并补混合运算．版权所有 【分析】（1）根据已知，应用集合的交补运算求（∁RM）∩N； （2）由交集结果列不等式组求参数范围即可． 【解答】解：（1）当m＝﹣2时，N＝{x|2m﹣1＜x＜2m+1}＝{x|﹣5＜x＜﹣3}， 又M＝{x|﹣4＜x＜4}， 所以∁RM＝{x|x≤﹣4或x≥4}， 则（∁RM）∩N＝{x|﹣5＜x≤﹣4}． （2）因为∁RM＝{x|x≤﹣4或x≥4}，又（∁RM）∩N＝∅，且N＝{x|2m﹣1＜x＜2m+1}≠∅， 所以，解得， 故实数m的取值范围为． 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题． 56．（1）已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x≤10}，求∁R（A∪B），（∁RA）∩B； （2）若集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，B＝{x|2＜x≤10}，若A∩B＝A，求实数a的取值范围． 【考点】集合交并补混合关系的应用．版权所有 【分析】（1）利用集合的交并补定义即可求解；（2）利用集合的包含关系建立不等式即可求解． 【解答】解：（1）由已知可得A∪B＝{x|2＜x≤10}，∁RA＝{x|x＜3或x≥7}， 则∁R（A∪B）＝{x|x≤2或x＞10}，（∁RA）∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x≤10}； （2）由A∩B＝A可得A⊆B， 当A＝∅时，a﹣1≥2a，解得a≤﹣1满足题意， 当A≠∅时，要满足题意，只需，可得3≤a≤5， 综上，实数a的范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，5]． 【点评】本题考查了集合的运算关系，考查了学生的运算能力，属于中档题． 57．已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}，．在①A∩（∁UB）＝∅；②A∪B＝B；③A∩B＝∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． （1）当a＝3时，求∁R（A∩B）； （2）若_____，求实数a的取值范围． 【考点】集合交并补混合关系的应用．版权所有 【分析】（1）解分式不等式化简集合B，由交集、补集的概念即可得解； （2）由题意条件①与②都等价于A是B的子集，条件③等价于A是B的补集的子集，只需分集合A是否是空集，列不等式进行讨论即可求解． 【解答】解：（1）当a＝3时，A＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}＝{x|2≤x≤7}， ． 所以A∩B＝{x|2≤x＜4}，所以∁R（A∩B）＝{x|x＜2或x≥4}； （2）若①A∩（∁UB）＝∅成立，则当且仅当A是B的子集，若②A∪B＝B成立，则当且仅当A是B的子集， 所以条件①与②等价， 若条件①或②成立， 此时若A是空集，则a﹣1＞2a+1，解得a＜﹣2， 若A不是空集，即a≥﹣2，且A是B的子集，则，解得，所以， 从而无论条件①还是②都有a＜﹣2或； 若条件③A∩B＝∅成立， 若A是空集，则a﹣1＞2a+1，解得a＜﹣2， 若A不是空集，即a≥﹣2，且A是B的补集的子集，而∁UB＝{x|x＜﹣2或x≥4}， 则2a+1＜﹣2或a﹣1≥4，解得或a≥5， 所以或a≥5， 从而若条件③A∩B＝∅成立，则或a≥5， 综上所述，无论条件①或②，a的范围为{a|a＜﹣2或}； 若条件③A∩B＝∅成立，则{a|或a≥5}． 【点评】本题主要考查了集合的交并补的运算，还考查了集合包含关系的应用，属于中档题． 58．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜0}，B＝{x|m﹣1＜x＜1+m}． （1）若（∁RA）∩B＝∅，求实数m的取值范围； （2）若集合A∩B中仅有一个整数元素，求A∪B． 【考点】集合交并补混合关系的应用．版权所有 【分析】（1）求出∁RA，根据题意列出不等式组，即可求得答案； （2）根据题意讨论整数元素可能是﹣2和﹣1，列出相应的不等式求出m范围，集合的并集运算，即可求得答案． 【解答】解：集合A＝{x|﹣3＜x＜0}，B＝{x|m﹣1＜x＜1+m}， （1）由题意知∁RA＝{x|x≤﹣3或x≥0}，B≠∅， ∵（∁RA）∩B＝∅，故，解得﹣2≤m≤﹣1， ∴实数m的取值范围为{m|﹣2≤m≤﹣1}； （2）∵A＝{x|﹣3＜x＜0}中的整数元素为﹣2，﹣1， 而集合A∩B中仅有一个整数元素， 当该整数元素为﹣2时，m﹣1＜﹣2＜m+1≤﹣1， 此时﹣3＜m≤﹣2，则A∪B＝{x|m﹣1＜x＜0}； 当该整数元素为﹣1时，﹣2≤m﹣1＜﹣1＜m+1， 此时﹣1≤m＜0，则A∪B＝{x|﹣3＜x＜1+m}． 【点评】本题考查交集、补集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、子集等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 59．已知全集U＝R，集合M＝{x|﹣2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a+1}． （Ⅰ）若a＝1，求M∩∁RN； （Ⅱ）M∪N＝M，求实数a的取值范围． 【考点】集合交并补混合关系的应用．版权所有 【分析】（Ⅰ）根据集合的基本运算进行求解即可． （Ⅱ）根据M∪N＝M，得N⊆M，讨论N是否是空集，集合的关系进行转化求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）若a＝1，则N＝{x|2≤x≤3}， 则∁RN＝{x|x＞3或x＜2}； 则M∩（∁RN）＝{x|﹣2≤x＜2或3＜x≤5}； （Ⅱ）若M∪N＝M， 则N⊆M， ①若N＝∅，即a+1＞2a+1，得a＜0，此时满足条件； ②当N≠∅，则满足，得0≤a≤2； 综上：{a|a≤2}． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据集合的基本关系以及基本运算是解决本题的关键． 60．设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+（a2﹣3）＝0}． （1）若B集合中有两个元素x1，x2，求|x1﹣x2|； （2）若U＝R，B∩∁RA＝∅，求实数a的取值范围． 【考点】集合交并补混合关系的应用；一元二次方程的根的分布与系数的关系．版权所有 【分析】（1）结合二次方程根的分布及方程的根与系数关系即可求解； （2）结合集合的基本运算及集合基本关系即可求解． 【解答】解：（1）因为B＝{x|x2+2（a+1）x+（a2﹣3）＝0}中有两个元素x1，x2， 所以方程x2+2（a+1）x+（a2﹣3）＝0有两个根， 所以Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣3）＝8a+16＞0，且x1+x2＝﹣2（a+1），， 所以； （2）因为A＝{1，2}，且B∩∁RA＝∅，所以B⊆A， 当B＝∅时，Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣3）＝8a+16＜0，解得a＜﹣2，符合题意； 当B＝{1}时，则， 所以a＝﹣2， 当B＝{2}时，则，无解， 当B＝{1，2}时，则无解， 综上，a的范围为{a|a≤﹣2}． 【点评】本题主要考查了集合的基本运算及集合包含关系的应用，属于基础题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【1.3集合间的基本运算】 总览 题型梳理 【知识点总览】 1．求集合的并集 【知识点的认识】 由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B． 符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素． 运算性质： ①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B． 【解题方法点拨】 定义并集：集合A和集合B的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记为A∪B．元素合并：将A和B的所有元素合并，去重，得到并集． 2．Venn图表示并集 【知识点的认识】 由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B． 符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． 图形语言：． 【解题方法点拨】 绘制集合圆圈：在Venn图中绘制两个（或多个）集合的圆圈．标记并集区域：将所有属于任意集合的区域标记出来，形成并集区域．颜色或阴影：使用颜色或阴影标记并集部分，直观表示并集． 3．集合并集关系的应用 【知识点的认识】 两个或两个以上的集合中，元素含有待确定的变量，需要通过集合的子集、相等、交集、并集、补集等关系求出变量的取值等问题． 4．求集合的交集 【知识点的认识】 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B． 符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． 运算性质： ①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B． 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图． 5．Venn图表示交集 【知识点的认识】 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B． 符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 图形语言： 【解题方法点拨】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来． 6．集合交集关系的应用 【知识点的认识】 两个或两个以上的集合中，元素含有待确定的变量，需要通过集合的子集、相等、交集、并集、补集等关 7．补集及其运算 【知识点的认识】 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）． 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．． 【解题方法点拨】 常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法． 8．全集及其运算 【知识点的认识】 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．全集是相对概念，元素个数可以是有限的，也可以是无限的．例如{1，2}；R；Q等等． 9．求集合的补集 【知识点的认识】 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）． 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 【解题方法点拨】 常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法． 10．Venn图表示补集 【知识点的认识】 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．． 【解题方法点拨】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来． 11．集合补集关系的应用 【知识点的认识】 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）． 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．． 【解题方法点拨】 常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法． 12．交、并、补集的混合运算 【知识点的认识】 集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）． 集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． 集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB． 集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A． 集合求补律 　A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．求集合的并集（共5小题） 1．已知集合A＝{﹣2，0，2，5}，B＝{x∈N|x2＜5}，则A∪B＝（　　） A．{0，1，2} B．{﹣2，0，1，2} C．{0，1，2，5} D．{﹣2，0，1，2，5} 2．已知集合M＝{x|﹣3＜x＜1}，N＝{x|﹣1≤x＜4}，则M∪N＝（　　） A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|x＞﹣3} C．{x|﹣3＜x＜4} D．{x|x＜4} 3．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∪B＝（　　） A．{x|0≤x＜2} B．{x|0≤x≤3} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣2＜x≤3} 4．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，，则A∪B＝（　　） A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞0} D．{x|x＞1} 5．已知集合A＝{0，a，a2}，B＝{a﹣1，3a﹣2}，a∈R，则A∪B中的元素个数至少为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．Venn图表示并集（共2小题） 6．根据所给的韦恩图，求A∪B（　　） A．{7，8，3，5} B．{1，3，5，6} C．{3，5} D．{7，8，3，5，1，6} 7．设集合A＝{2，4，6}，B＝{1，3，6}，则如图中阴影部分表示的集合是 　 　 ． 三．集合并集关系的应用（共7小题） 8．已知集合A＝{2，3}，B＝{x|x2﹣（m+1）x+m＝0}，若A∪B＝{1，2，3}，则所有满足条件的实数m组成的集合为（　　） A．{2} B．{3} C．{2，3} D．{1，2，3} 9．已知集合N＝{1，2，3}，则满足M∪N＝{x∈Z|x2﹣5x＜0}的集合M共有（　　） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 10．已知集合A，B满足：A＝{x∈N*|x2﹣2≤0}，A∪B＝A，则满足条件的集合B的个数为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 11．已知集合A＝{x|x2+mx＝0}，B＝{1}．若A∪B＝{0，1}，则m＝（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．0或﹣1 12．已知集合A＝{x|1≤x＜2}，B＝{x|x＞a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥2 B．a＞2 C．a≤1 D．a＜1 13．集合A＝{x|x2﹣4x+4＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∪B＝A，则a＝ 　 　 ． 14．设集合A＝{x|x2﹣5x+6＝0}，B＝{x|（a﹣1）x2+4x﹣8＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 四．求集合的交集（共6小题） 15．设集合A＝{x|x＞0}，B＝{y|y≥0}，则A∩B＝（　　） A．∅ B．{x|x＞0} C．{x|x≥0} D．R 16．已知集合M＝{x∈N||2x|≤6}，N＝{﹣2，﹣1，0，2，4}，则M∩N＝（　　） A．{0，2} B．{﹣2，﹣1，0，2} C．{2} D．{0，1，2} 17．若集合，N＝{﹣2，0，2，4，6}，则M∩N＝（　　） A．{﹣2，0，2，4} B．{﹣2，0，2} C．{0，2} D．{2} 18．已知集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{x|x2＜4，x∈N}，则A∩B＝（　　） A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜4} 19．已知集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则（A∩B）∩C＝（　　） A．∅ B．{1，2，3} C．{3} D．{1，2} 20．已知集合S＝{s|s＝3n+2，n∈Z}，T＝{t|t＝6n+2，n∈Z}，则S∩T＝（　　） A．∅ B．S C．T D．Z 五．Venn图表示交集（共4小题） 21．已知集合A＝{x|x是8的约数}，B＝{x|x2﹣8x+15＜0}，则Venn图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{2} B．{4} C．{2，4} D．∅ 22．已知集合M＝{1，2，3，4，5}，N＝{1，3，5，7，9}，且M，N都是全集U的子集，则如图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{1，3，5} B．{2，4} C．{7，9} D．{1} 23．设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|2≤x＜5}，则图中的阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|1＜x＜2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|2≤x＜4} D．{x|1＜x＜5} 24．设集合A＝{2，3，4，5}，B＝{x|﹣2＜x＜4}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4} 六．集合交集关系的应用（共6小题） 25．设集合A＝[0，a]，B＝（2，3），若A∩B＝∅，则（　　） A．0＜a≤2 B．0＜a＜2 C．0＜a＜3 D．0＜a≤3 26．已知集合A＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，若A∩C＝A，B∩C＝C，则满足条件的集合C共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 27．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|a＜x＜2}．若a∈Z，且A∩B＝{1}，则a＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 28．已知集合M＝{﹣1，0，a﹣1}，N＝{a+1，﹣2}，若M∩N＝N，则a＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 （多选）29．设集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，则下列选项中，满足A∩B＝∅的实数a的取值范围可以是（　　） A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2} C．{a|a≤0} D．{a|a≥8} 30．已知集合A＝{x|4≤x＜8}，B＝{x|5＜x＜10}，C＝{x|x＞a}． （1）求A∪B，（∁RA）∩B； （2）若A∩C≠∅，求a的取值范围． 七．全集及其运算（共4小题） 31．已知三个集合U，A，B及元素间的关系如图所示，则（∁UA）∩B＝（　　） A．{5，6} B．{3，5，6} C．{3} D．{0，4，5，6，7，8} 32．设集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U＝A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 33．设全集为R，集合A＝{x|﹣5＜x＜5}，则∁RA＝　 　 ． 34．若U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U（A∪B）＝　 　 ． 八．求集合的补集（共4小题） 35．已知全集U＝{﹣3，﹣2，1，5}，∁UA＝{﹣2，1}，则集合A＝（　　） A．{﹣3} B．{5} C．{﹣3，5} D．{﹣3，2} 36．已知集合U＝N，A＝{x∈N|x2﹣4＞0}，则∁UA＝（　　） A．{0，1，2} B．{0} C．{0，1} D．{2} 37．集合A＝{x∈N|5﹣x＞1}，B＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}，则∁BA＝（　　） A．{5} B．{4，5} C．{﹣1，4，5} D．{﹣1，0，4，5} 38．已知全集U＝{﹣3，﹣1，3，4}，集合A满足∁UA＝{﹣3，4}，则A＝（　　） A．{﹣1，3} B．{﹣3，﹣1} C．{1，﹣3} D．{1，3} 九．Venn图表示补集（共4小题） 39．若集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x∈Z|1≤x≤9}，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 40．若全集U＝R，集合，N＝{y|y＝x2+1}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x≤1} 41．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥﹣1}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}，则阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|﹣3＜x＜﹣1} C．{x|﹣3＜x≤1} D．{x|﹣3≤x＜﹣1} 42．已知U＝{x|﹣3≤x＜3}，A＝{x|﹣1≤x＜3}，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A．{x|﹣3≤x≤﹣1} B．{x|x＜﹣3或x≥3} C．{x|x≤0} D．{x|﹣3≤x＜﹣1} 十．集合补集关系的应用（共3小题） 43．设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{x|x2﹣7x+p＝0}，若∁UM＝{1，2}，则实数p的值为（　　） A．﹣6 B．﹣12 C．12 D．6 44．已知U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，m}，且∁UA＝{1，3，5}，则m＝　 　 ． 45．若全集U＝{3，﹣3，a2+2a﹣3}，A＝{a+1，3}，且∁UA＝{5}，求实数a的值． 十一．集合的交并补混合运算（共5小题） 46．已知全集U＝{﹣1，2，3，4，6，8}，集合A＝{﹣1，3，4，6}，B＝{2，3，6}，则A∩（∁UB）＝（　　） A．{﹣1，4} B．{﹣1，3，4} C．{2，8} D．{﹣1，4，8} 47．已知全集U＝{x|x＜10，x∈N*}，集合A，B是U的子集，若A∩B＝{2}，（∁UA）∩B＝{5，7，9}，（∁UA）∩（∁UB）＝{6，8}，则集合A＝（　　） A．{2，3，4} B．{1，2，4} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4} 48．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合，则A∩（∁RB）＝（　　） A．（3，4） B．{1，4} C．{2，3} D．{1，2，3，4} 49．已知全集U＝A∪B＝{x∈N*|﹣1≤x≤4}，A∩（∁UB）＝{1，2}，则集合B＝（　　） A．{﹣1，0} B．{3，4} C．{0，3，4} D．{1，2，3，4} 50．若集合A，B，U满足：A⫋B⫋U，则U＝（　　） A．A∪B B．A∪∁UB C．B∪∁UA D．∁UA∪∁UB 十二．Venn图表示交并补混合运算（共3小题） 51．图中阴影部分用集合符号可以表示为（　　） A．B∩（A∪C） B．B∩（A∩C） C．B∩∁U（A∪C） D．（A∪B）∩（B∪C） 52．已知全集U＝R，A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|0≤x＜2}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|﹣3＜x＜0} B．{x|﹣3＜x≤0} C．{x|﹣3＜x＜2} D．{x|0≤x＜1} 53．如图，U是全集，M，N，P是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（　　） A．（∁UM）∩（∁UN）∩P B．（∁UM）∩P C．∁U（M∩N）∩P D．∁U（M∪N）∪P 十三．集合交并补混合关系的应用（共7小题） 54．已知集合M，N均为U的子集，且M⊆N，则（∁UM）∩（∁UN）等于（　　） A．U B．∁UM C．∁UN D．∅ 55．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜4}，N＝{x|2m﹣1＜x＜2m+1}． （1）当m＝﹣2时，求（∁RM）∩N； （2）若（∁RM）∩N＝∅，求实数m的取值范围． 56．（1）已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x≤10}，求∁R（A∪B），（∁RA）∩B； （2）若集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，B＝{x|2＜x≤10}，若A∩B＝A，求实数a的取值范围． 57．已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+1}，．在①A∩（∁UB）＝∅；②A∪B＝B；③A∩B＝∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． （1）当a＝3时，求∁R（A∩B）； （2）若_____，求实数a的取值范围． 58．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜0}，B＝{x|m﹣1＜x＜1+m}． （1）若（∁RA）∩B＝∅，求实数m的取值范围； （2）若集合A∩B中仅有一个整数元素，求A∪B． 59．已知全集U＝R，集合M＝{x|﹣2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a+1}． （Ⅰ）若a＝1，求M∩∁RN； （Ⅱ）M∪N＝M，求实数a的取值范围． 60．设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+（a2﹣3）＝0}． （1）若B集合中有两个元素x1，x2，求|x1﹣x2|； （2）若U＝R，B∩∁RA＝∅，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$