专题01 圆中常见的辅助线（4重难点题型）考试满分全攻略同步备考系列（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册（苏科版）

专题01 圆中常见的辅助线 题型梳理 题型方法 题型一 连半径构造等腰三角形 题型二 作直径构造直角三角形 题型三 遇弦加弦心距 题型四 遇切线，巧作过切点的半径 题型方法 【题型一】连半径构造等腰三角形 【例1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知是的直径，点是的中点，弦交于，过点的直线交延长线于点且． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求阴影部分的面积（结果保留． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆分别交，于点，．在的延长线上取点，使得． (1)试判断所在直线与的位置关系，并说明理由； (2)连接，若，，求扇形的面积． 【变式2】（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． (1)求证：是的切线； (2)已知，求的值． 【变式3】如图，是直角三角形的外接圆，直径，过点作的切线，与延长线交于点，为的中点，连接，且与相交于点． (1)求证：与相切； (2)当时，在的圆上取点，使，求点到直线的距离． 【题型二】作直径构造直角三角形 【例2】如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，内接于，若，则的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式2】（22-23九年级上·江苏镇江·期中）如图，A、B、C是上的点，且．在这个图中，画出下列度数的圆周角：，，，，仅用无刻度的直尺能画出的有（    ）    A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3】一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．    【题型三】遇弦加弦心距 【例3】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，是的弦，是的三等分点，连接并延长交于点．若，，则圆心到弦的距离是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心O．若，则的半径长是（   ） A．6 B． C． D．6.25 【变式2】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图是圆柱形油罐的横截面，油面宽为，油的最大深度为，则圆形半径是 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，已知的直径，点P是弦上一点，连结，，求 (1)弦的长； (2)的正切． 【题型四】遇切线，巧作过切点的半径 【例4】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，与相切于点A，连接，并延长交于点B，连接，且，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，是直径，直线l与相切于点C，，垂足为．若，，则的长为（ ） A． B．5 C． D．6 【变式2】（2025九年级下·江苏连云港·专题练习）如图，是外一点，是的切线，为切点，，．连接并延长，且与交于点，，则的长为 ． 【变式3】（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，菱形的顶点，，在上，过点作的切线交的延长线于点．若的直径为4，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 2．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，，为的外接圆，半径为（        ） A．2 B． C． D．1 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，是外一点，是的切线，，，则的半径为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ）    A． B． C． D． 5．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，已知的半径为10，的一条弦，若内的一点P恰好在上，则线段的长度为整数的值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则 ． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则 °． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，为的直径，弦交于点，且，若，，则的半径为 ． 9．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是半圆的直径，将沿弦折叠，使与相切，若，则的长的取值范围是 ． 三、解答题 10．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，中，，以为半径的交于D，求的长． 11．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点在边上，以为圆心，为半径作，交于点，与边相切于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 12．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在同心圆O中，大圆的弦切小圆点P， (1)试说明：； (2)若，求圆环的面积. 13．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，以为圆心的同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，求证： (1)； (2)． 14．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知内接于，点在的延长线上， (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 16．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，C是弧的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 圆中常见的辅助线 题型梳理 题型方法 题型一 连半径构造等腰三角形 题型二 作直径构造直角三角形 题型三 遇弦加弦心距 题型四 遇切线，巧作过切点的半径 题型方法 【题型一】连半径构造等腰三角形 【例1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知是的直径，点是的中点，弦交于，过点的直线交延长线于点且． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求阴影部分的面积（结果保留． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据切线的判断方法，利用等腰三角形的性质，圆周角定理得出即可； （2）根据扇形面积，三角形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接、， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：中，， ， 在中，，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，切线的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，掌握切线的判定方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆分别交，于点，．在的延长线上取点，使得． (1)试判断所在直线与的位置关系，并说明理由； (2)连接，若，，求扇形的面积． 【答案】(1)与相切；理由见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了切线的判定和扇形的面积公式． 连接，根据圆的基本性质可知，所以，又因为，，可得，所以可得，从而可证直线与相切； 根据，，可知，利用扇形的面积公式可求扇形的面积． 【详解】（1）解：直线与相切， 理由如下： 连接， ， ， ， ， 又， ， ， ， 直线与相切； （2）解：， ， ， 扇形的面积为：， 答：扇形的面积为． 【变式2】（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． (1)求证：是的切线； (2)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定证明是的切线即可； （2）根据，求得，继而得到，，，根据计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：∵为的直径， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的证明，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正切函数的应用，正弦函数的应用，圆周角定理，角的平分线，熟练掌握三角函数的应用，切线的证明是解题的关键． 【变式3】如图，是直角三角形的外接圆，直径，过点作的切线，与延长线交于点，为的中点，连接，且与相交于点． (1)求证：与相切； (2)当时，在的圆上取点，使，求点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据题意可得，根据直径所对的圆周角是直角，得出，进而得出，证明，得出，即可得证； （2）分点在以及半圆上，分别作出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图， 为的中点，是中点， ， 是的直径， ， ， ， 又， ， ， 是切线 ， ， ， 是切线； （2）当点在上时，连接，交于点， ， ， ， ， 直径， ， ， 当点在半圆上时，过点作，垂足为点,，垂足为点， 四边形是矩形， 在中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键． 【题型二】作直径构造直角三角形 【例2】如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，连接，根据直角所对的弦为直径，以及同弧所对的圆周角相等，得到为直径，，进而求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵，，， ∴， ∴的半径为； 故选A． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，内接于，若，则的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形．连接，并延长交于点，连接，由圆周角定理可得与的度数，再由勾股定理即可解答． 【详解】解：连接，并延长交于点，连接， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 的半径． 故选：B 【变式2】（22-23九年级上·江苏镇江·期中）如图，A、B、C是上的点，且．在这个图中，画出下列度数的圆周角：，，，，仅用无刻度的直尺能画出的有（    ）    A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】作直径，连接、，在弧上取一点，连接、，如图，利用圆周角定理得到，，利用圆内接四边形的性质得到，根据直角三角形两锐角互余计算可得出． 【详解】解：如图，作直径，连接、，在弧上取一点，连接、， 、、是上的点，且， ， 四边形内接于， ， ， 为的直径， ， ， 仅用无刻度的直尺能画出的圆周角有，和． 故选：C．    【点睛】本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．还考查了圆内接四边形的性质，直角三角形两锐角互余．掌握圆周角定理是解题的关键． 【变式3】一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．    【答案】 【分析】连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可． 【详解】解：连接AC，    ∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角， ∴AC是圆形镜面的直径， 由勾股定理得：， 所以圆形镜面的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键． 【题型三】遇弦加弦心距 【例3】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，是的弦，是的三等分点，连接并延长交于点．若，，则圆心到弦的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程组等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过圆心作于，得到和，在这两个三角形中用勾股定理计算可以求出的值，也就是圆心到弦的距离． 【详解】解：如图：过作于，连接， 根据垂径定理得：， 设，则，，， 在中，， 在中，， 又，，代入中，解方程组得：，， 所以圆心到弦的距离是， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心O．若，则的半径长是（   ） A．6 B． C． D．6.25 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和折叠的性质.过点作于点， 交于点，连接，根据折叠的性质得到垂直平分， 所以， 再判断为等边三角形得到，接着根据垂径定理得到， 然后证明是的中位线得到最后利用含度角的直角三角形三边的关系得到的长即可. 【详解】如图， 过点作于点， 交于点，连接， 如图， ∵沿弦折叠后，刚好经过圆心， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ， 又∵， ∴. 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图是圆柱形油罐的横截面，油面宽为，油的最大深度为，则圆形半径是 ． 【答案】50 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，学会利用垂径定理求线段长度是解题的关键．过点作交于点，交圆于点，连接，根据垂径定理求出的长，设圆形半径为，在中利用勾股定理建立方程，求解方程得到的值即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于点，交圆于点，连接， ， ， 由题意得，， 设圆形半径为，则， 在中，， ， 解得：， 圆形半径为． 故答案为：50． 【变式3】（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，已知的直径，点P是弦上一点，连结，，求 (1)弦的长； (2)的正切． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）作于，则，由得到，得到，设，则，，由得到，由勾股定理得，求出的值即可得到答案； （2）由（1）得：，，，根据正切的定义进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，作于，则，   ， ， ， 设，则， ， ， 是的弦，， ， ，且是的直径， ， 在中，， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ，， ； （2）解：由（1）得：，，， ． 【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、正切的定义，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【题型四】遇切线，巧作过切点的半径 【例4】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，与相切于点A，连接，并延长交于点B，连接，且，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 如图：连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，然后根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图：连接， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：． 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，是直径，直线l与相切于点C，，垂足为．若，，则的长为（ ） A． B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】本题重点考查切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，作于点F，由直线l与相切于点C，得，可证明四边形是矩形，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点F，则， 直线l与相切于点C，于点D， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 的长为6， 故选：D 【变式2】（2025九年级下·江苏连云港·专题练习）如图，是外一点，是的切线，为切点，，．连接并延长，且与交于点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是切线的性质，连接，根据切线的性质得到，解直角三角形分别求出、，计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了圆与三角形的综合，角平分线性质，圆的切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，一元一次方程解决实际问题等知识点，熟练掌握各性质定理是解题的关键． （1）作 于点，根据角平分线性质得 ，得点 在 上，即得 与 相切； （2）根据勾股定理求得，表示出，根据切线性质定理表示出所需要的边，根据勾股定理列出关于 的方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）证明： 如图，作 于点 ， ， 平分 交 于点 ， 于点 ， ， 是 的半径，， 点 在 上， 是 的半径，且 ， 与 相切． （2）解： ，，， ， ， ， 是 的半径，且 ， 是 的切线， ， ， ， ， ， ， ， 的长为 3． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，菱形的顶点，，在上，过点作的切线交的延长线于点．若的直径为4，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据切线的性质定理得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：连接， 是的切线， ， 四边形为菱形， ， ， ， ∴为等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得，， 故选：D． 【点睛】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，，为的外接圆，半径为（        ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】此题主要考查了圆周角定理和勾股定理等内容，连接，，由圆周角定理求得，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，， ∵， ∴， 在中， ，，， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴的半径是， 故选：B 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，是外一点，是的切线，，，则的半径为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质和勾股定理，熟练运用切线的性质是解题的关键．连接，根据与相切于点A可得，由勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接， 与相切于点A， ， ，， ∴在中， ， 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点O作，由折叠可得，运用勾股定理可求，再由垂径定理即可求解． 【详解】解：过点O作，如图所示，    ∵将半圆O沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心O， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，经过圆心， ∴， 故选：A． 5．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，已知的半径为10，的一条弦，若内的一点P恰好在上，则线段的长度为整数的值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，过点O作于点，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出的范围，计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点， 则， 由勾股定理得：， 则， ∴线段的长度为整数的值有6、7、8、9共4个， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则 ． 【答案】42 【分析】本题考查了圆周角定理、切线的性质，熟练掌握圆周角定理和切线的性质定理是解题的关键．连接，由切线的性质可得，再根据圆周角定理得到，即可求解的度数． 【详解】解：如图，连接， 是的切线， ，即， 又， ． 故答案为：42． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，余角的性质，熟练掌握圆周角定理，切线性质定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理，切线的性质，余角的性质解答即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵过点C作的切线交的延长线于点E， ∴， ∴， 故答案为：42． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，为的直径，弦交于点，且，若，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理和等腰直角三角形，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 过点作于点，连接，由垂径定理得出，再由得出，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵是的直径，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是半圆的直径，将沿弦折叠，使与相切，若，则的长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据题意画出图形，分别求出的最大值和最小值即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，的值最大， 过点作交于点，连接，则， 由折叠可得，    ， ∴， ∴； 如图，当点与点重合，时，的值最小， ∵，， ∴； ∴的长的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题 10．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，中，，以为半径的交于D，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，过C作，交于点M，由垂径定理可知M为的中点，由三角形的面积可求出的长，在中，根据勾股定理可求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：∵在中，， ∴， 过C作，交于点M，如图所示， ∵， ∴M为的中点， ∵，且，， ∴， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴． 11．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点在边上，以为圆心，为半径作，交于点，与边相切于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）连接，由切线的性质推导出，因为，所以，则，所以，又，所以，则，从而求证； （）过点作，垂足为，则四边形四边形是矩形，则，设的半径为，则，然后由垂径定理和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，过点作，垂足为， ， ∴四边形是矩形， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即的半径为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行线的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，垂径定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 12．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在同心圆O中，大圆的弦切小圆点P， (1)试说明：； (2)若，求圆环的面积. 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，圆的面积，正确作出辅助线利用垂径定理求解是解题的关键． （1）如图所示，连接，利用切线的性质可得，则利用垂径定理可证明； （2）如图所示，连接，利用勾股定理和垂径定理求出，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵大圆的弦切小圆点P，， ∴， ∴由垂径定理可知； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 13．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，以为圆心的同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． （1）过作，由等腰三角形的性质可知，，由此可得出结论； （2）根据垂径定理得到，，从而得到． 【详解】（1）证明：过作， 与均为等腰三角形， ，， ，即； （2）证明：， ，， ，即． 14．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识， （1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，由是的直径，得，则，因为，，所以，有勾股定理可求得直径，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ， ， ， ， ∴， ， 于点， ， ∴， 是的半径，， 是的切线； （2）解：连接， 是的直径， ， ，， ，， ， ， ， ∴， 解得（负值舍去）， ， 即的半径为2． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知内接于，点在的延长线上， (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理求出，推导出三角形为等边三角形，利用等边三角形的性质求出，即可求出，根据切线的判定推出即可； （2）由垂径定理和线段垂直平分线的性质得到，则，在中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∴是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴垂直平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定、等边三角形的性质和判定、垂径定理、圆周角定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握切线的判定是解本题的关键． 16．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，C是弧的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，矩形的判定和性质等知识点，熟练地掌握切线的判定方法是解决本题的关键． （1）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （2）连接、，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接、，交于点， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$