第09讲 圆周角（知识清单+易错+3必考题型）考试满分全攻略同步备考系列（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册（浙教版）

第09讲 圆周角 题型梳理 易错分析 易错点一 在求弦所对的圆周角时，因考虑不全面造成漏解致错 题型方法 题型一 圆周角的概念及圆周角定理 题型二 圆周角定理的推论1 题型三 圆周角定理的推论2 知识清单 知识点1.圆周角的概念（重点） 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． 知识点2.圆周角定理（重点）（难点） 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 知识点3.圆周角定理的推论（难点） 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 易错分析 【易错点一】在求弦所对的圆周角时，因考虑不全面造成漏解致错 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）的一条弦分圆周长为两部分，则弦所对的圆周角的度数是（    ） A． B．或 C． D．或 【举一反三】【变式1】（20-21九年级上·浙江杭州·期末）已知弦把圆周分成的两部分，则弦所对应的圆周角的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是（      ） A．30° B．60° C．150° D．150°或30° 【变式3】（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）半径为的圆中有一条弦长为的弦，那么这条弦所对的圆周角的度数等于 . 题型方法 【题型一】圆周角的概念及圆周角定理 【例1】（21-22九年级上·浙江湖州·期末）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则 . 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，是弦，半径，连结． 求证：． 【题型二】圆周角定理的推论1 【例2】（22-23九年级下·浙江台州·期中）有一个未知圆心的圆形工件需要画出圆心．暂时只能用一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用．为此同学们需要先得到两条不同的直径，下列寻找直径的方法正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，半圆的直径，弦，平分，则长（   ） A． B． C． D．4 【变式2】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，为的直径，的平分线交于点，则 ． 【变式3】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图是一个的正方形网格，格点A，B，C均在上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母．（图1、图2在答题纸上） (1)在图1中画出所在圆直径． (2)在图2中作，且点E在上． 【题型三】圆周角定理的推论2 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的弦，点，都在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知点、、、在上，弦、的延长线交外一点，，，则的度数为 ． 【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，是的直径，弦于点P，连结，，． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为半圆的直径，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点在以为直径的上，连结．若，则（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，C、D是以线段为直径的上两点（位于AB两侧），，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，内接于，连结．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的圆周角，若则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，有大、小两个量角器的零刻度线都在直线上，且小量角器的中心点恰好在大量角器的外边缘上．若它们外边缘上的公共点在大量角器上对应的度数为，则的度数为 ． 8．（22-23九年级下·浙江温州·期中）如图，点A，B，C，D，E，F都在上，且．若的半径为4，则的面积是 ． 9．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，AB是的直径，，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①；②；③；④的最小值是10． 上述结论中正确的个数是 10．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结．若的半径长为，，则 ． 11．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，等边三角形内接于，若的度数是，则的长为 ． 三、解答题 12．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．    (1)连接，求的度数； (2)若，求的长． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，解答下列各题： (1)求线段的长； (2)求的半径及圆心的坐标． 14．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，的弦，相交于点E，且，求证：． 15．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知：如图在中，弦．求证：． 16．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，锐角内接于，D是的中点，连结，已知． (1)求证：； (2)若，求的度数． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，弦于点P，连接． (1)若，求的度数． (2)若，，求的半径． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图中，，为的直径，，分别交于，，连接，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 圆周角 题型梳理 易错分析 易错点一 在求弦所对的圆周角时，因考虑不全面造成漏解致错 题型方法 题型一 圆周角的概念及圆周角定理 题型二 圆周角定理的推论1 题型三 圆周角定理的推论2 知识清单 知识点1.圆周角的概念（重点） 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． 知识点2.圆周角定理（重点）（难点） 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 知识点3.圆周角定理的推论（难点） 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 易错分析 【易错点一】在求弦所对的圆周角时，因考虑不全面造成漏解致错 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）的一条弦分圆周长为两部分，则弦所对的圆周角的度数是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，根据题意得到弦所对的圆心角的度数，再结合圆周角定理求解，即可解题． 【详解】解：的一条弦分圆周长为两部分， 弦所对的圆心角的度数是或， 弦所对的圆周角的度数是或， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（20-21九年级上·浙江杭州·期末）已知弦把圆周分成的两部分，则弦所对应的圆周角的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由弦AB把圆周分成1：5的两部分，即可求得弦AB所对应的圆心角的度数，然后由圆周角定理，求得弦AB所对应的圆周角的度数，注意弦所对应的圆周角是一对且互补． 【详解】解：∵弦AB把圆周分成1：5的两部分， ∴弦AB所对应的圆心角的度数为：×360°=60°， ∴弦AB所对应的圆周角的度数为：30°或150°． 故选：B． 【点睛】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意弦所对应的圆周角是一对且互补． 【变式2】圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是（      ） A．30° B．60° C．150° D．150°或30° 【答案】D 【分析】首先根据题意画出图形，由某个圆的弦长等于它的半径，△OAB是等边三角形，即可求得∠AOB的度数，又由圆周角定理与圆的内接四边形的性质，求得答案． 【详解】如图， 根据题意得：OA=AB=OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴∠ACB=∠AOB=30°， ∴∠ADB=180°−∠ACB=150°. 即这条弦所对的圆周角的度数为：30°或150°. 故答案为30°或150°. 【点睛】本题考查圆周角定理与圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆周角定理与圆的内接四边形的性质. 【变式3】（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）半径为的圆中有一条弦长为的弦，那么这条弦所对的圆周角的度数等于 . 【答案】或． 【分析】根据垂径定理求得的长，再得到的度数，再根据圆周角定理得到的度数，根据圆内接四边形的对角互补即可求得的度数． 【详解】解：过O作， 则． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， 又∵四边形是圆内接四边形， ∴． 故这条弦所对的圆周角的度数等于或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质．在解答此类题目时一定要注意，一条弦所对的圆周角有两个，这两个角互补，不要漏解． 题型方法 【题型一】圆周角的概念及圆周角定理 【例1】（21-22九年级上·浙江湖州·期末）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心 【答案】A 【分析】根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可． 【详解】解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确； B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误； C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误； D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误. 故选A. 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理；由及互补关系，可求得，再圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则 . 【答案】40°、20°、100° 【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段上，点P在延长线上，点P在的延长线上．分这三种情况进行讨论即可． 【详解】解：①根据题意，画出图1， 在中，， ∴， 在中， ∴ 又∵ ∴ 在中， 即 整理得， ∴ ． ②当P在线段的延长线上，如图2 在中， 把①②代入③得 则 ∴ ③当P在线段的反向延长线上，如图3， ①②③④联立得 故答案为：40°、20°、100°． 【点睛】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，画出图形，进行分类讨论是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，是弦，半径，连结． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，延长交于点E，得，由垂径定理得，故可得，由 的度数，的度数，可得结论． 【详解】证明：延长交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵的度数，的度数， ∴． 【题型二】圆周角定理的推论1 【例2】（22-23九年级下·浙江台州·期中）有一个未知圆心的圆形工件需要画出圆心．暂时只能用一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用．为此同学们需要先得到两条不同的直径，下列寻找直径的方法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角所对的弦是直径进行求解即可 【详解】解：∵直角所对的弦是直径， ∴四个选项中只有B选项中的是直径， 故选B． 【点睛】本题主要考查了直角所对的弦是直径，熟知相关知识是解题的关键． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，半圆的直径，弦，平分，则长（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理以及勾股定理，解题关键是掌握圆周角定理并灵活运用，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对的圆心角的一半． 本题先连接，，作于，于，运用圆周角定理，可证得，即证，所以，根据勾股定理，得，在直角三角形中，根据勾股定理，可求的长． 【详解】解：连接，，作于，于， 如图：， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，为的直径，的平分线交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，角平分线的定义，根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图是一个的正方形网格，格点A，B，C均在上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母．（图1、图2在答题纸上） (1)在图1中画出所在圆直径． (2)在图2中作，且点E在上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接格点,得线段即为所求．由垂径定理推论知经过弧所在圆的圆心，而，于是是圆的直径． （2）如图，连接格点，线段交弧于点E，即为所求．由圆周角定理，得，，于是． 【详解】（1）解：连接格点,得线段即为所求． 由网格图知， ∴经过弧所在圆的圆心． 又， ∴是圆的直径． （2）解：如图，连接格点，线段交弧于点E，即为所求． 由图1，， ∴是圆的直径． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理及推论，垂径定理及推论；理解圆周角定理及推论是解题的关键． 【题型三】圆周角定理的推论2 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的弦，点，都在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同弧所对圆周角相等，根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，得到，得出，即可得到答案． 【详解】如图，连接， 是的中点， ， ， ， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知点、、、在上，弦、的延长线交外一点，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角性质，根据三角形的外角性质求出，根据圆周角定理得到，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由同弧所对的圆周角相等得：， ∴， 故答案为： 【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，是的直径，弦于点P，连结，，． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等弧所对的圆周角相等，垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）由垂径定理可得，再由等弧所对的圆周角相等即可得出结论； （2）由垂径定理可得，设的半径为，利用勾股定理列方程求解即可得出答案． 【详解】（1）证明：是的直径，， ∴， ； （2）解：是的直径，， ∴， 设的半径为， 根据勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴的半径为． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，为半圆的直径，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系．利用圆周角定理求得，推出，由，得到，据此计算求得答案即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点在以为直径的上，连结．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理．先根据为的直径得出，再由得出，进而可得出结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论， 连接，根据直径所对的圆周角是直角得，进而得出，再根据同弧所对的圆周角相等得出答案． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，C、D是以线段为直径的上两点（位于AB两侧），，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆和三角形的知识，解题的关键是熟练掌握圆周角、等腰三角形的性质；根据直径所对圆周角的性质，得；再根据直角三角形两锐角互余、圆周角的性质，得，再根据等腰三角形、三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，内接于，连结．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据等边对等角以及三角形的内角和定理求出，再结合圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的圆周角，若则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出的度数，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵是的圆周角，， ∴， ∵， ∴； 故选A． 二、填空题 7．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，有大、小两个量角器的零刻度线都在直线上，且小量角器的中心点恰好在大量角器的外边缘上．若它们外边缘上的公共点在大量角器上对应的度数为，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，连接，由圆周角定理得，，进而由三角形外角性质得，即得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 8．（22-23九年级下·浙江温州·期中）如图，点A，B，C，D，E，F都在上，且．若的半径为4，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理，根据圆心角、弧、弦的关系的关系求出是解题的关键．连接、，交于H，根据圆心角、弧、弦的关系的关系求出，解直角三角形分别求出，，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接、，交于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 9．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，AB是的直径，，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①；②；③；④的最小值是10． 上述结论中正确的个数是 【答案】2/2个 【分析】①根据等弧所对的圆心角所对得；根据圆的对称性得；故①正确；②根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得，故②错误；③根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得，再根据三角形内角和即可得；故③正确；④作C关于的对称点F，连接交于点N，连接交于点M，此时的值最短，即为长，连接，根据圆周角定理得，，再由三角形内角和得，再由圆周角定理得是的直径，即可得出的最小值，故④正确． 【详解】解：①∵， ∴； 又∵点E是点D关于的对称点， ∴；故①正确； ②∵，故②错误； ③由M为AB上动点，D为定点， ∴不一定垂直于CE；故③错误； ④作C关于的对称点F，连接交于点N，连接交于点M，此时的值最短，即为长，连接， ∵， ∴， ∴， ∴是的直径， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故正确的个数为2个 故答案为：2． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，轴对称的应用—最短距离问题，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 10．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结．若的半径长为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．如图，延长交于点，连接，利用折叠的性质可判断和所在圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以，根据圆周角定理得到，再利用勾股定理可计算出即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， 劣弧沿弦翻折，交翻折后的弧于点，而和都对， ， ， 为直径，的半径长为， ，， 在中，， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，等边三角形内接于，若的度数是，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，根据题意得出，，，进而可得，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵等边三角形内接于，若的度数是， ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴中， ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题 12．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．    (1)连接，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解题的关键． （1）根据是直径，求出，再根据点D在上且平分，求出的度数； （2）由题意得，利用勾股定理求出的长，即可求得的长． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∵点在上且平分， ， ； （2）解：点D在上且平分， ， ， ， ， ． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，解答下列各题： (1)求线段的长； (2)求的半径及圆心的坐标． 【答案】(1) (2)的半径为，圆心的坐标为 【分析】（）连接，利用勾股定理即可求得线段的长； （）过点作于点，过点作于点，由垂径定理可求得点的坐标，然后由圆周角定理可得是直径，即可求得的半径． 【详解】（1）解：连接， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴圆心的坐标为； ∵， ∴是的直径， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，坐标与图形，正确作出辅助线是解题的关键． 14．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，的弦，相交于点E，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，等弧所对的圆周角相等，等角对等边等知识点，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系及等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 由弧、弦、圆心角的关系可得，进而可得，由等弧所对的圆周角相等可得，然后由等角对等边即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 15．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知：如图在中，弦．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等等知识点，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 连接，由平行线的性质可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等即可得出结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴． 16．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，锐角内接于，D是的中点，连结，已知． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，平行线的性质： （1）由D是的中点，得．由得，进而得出，即可证明； （2）由，可得，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，弦于点P，连接． (1)若，求的度数． (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是的直径，可得，由，可得，然后作答即可； （2）由题意知，，设半径为，则，由勾股定理得，，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵弦， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：∵弦， ∴， 设半径为，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图中，，为的直径，，分别交于，，连接，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，三线合一，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，是解题的关键： （1）连接，易得，三线合一，得到，进而得到，等角对等边即可得证； （2）勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）知：，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$