专题01 三角形中的线段和角【重难点题型】专练-2025-2026学年八年级数学上册（苏科版2024）

◆专题01 三角形中的线段和角 题型一 利用三角形三边关系判断能否组成三角形 1．（24-25七年级下·上海静安·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．2，2，3 D．10，5，5 2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）小敏同学想用三根木棍做一个置物架支架，现有以下长度的木棍（单位：），她能成功拼成三角形支架的是（   ） A．4，5，10 B．6，7，13 C．2，2，3 D．1，3，5 3．（24-25七年级下·广西南宁·期末）将下列长度的三根木棒首尾相接，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）长度为2cm、3cm、4cm、5cm的四条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二 利用三角形三边关系确定线段长 1．（24-25九年级下·河北沧州·期中）如图，的值可能是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 2．（2025·贵州贵阳·二模）坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·湖南·期中）如果等腰三角形的两边长是10cm和5cm，那么它的周长是 ． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）三角形的两边长为2和5，周长是偶数，则第三边长是 ． 5．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）在中，，，并且的长为偶数，则的周长为 ． 题型三 利用三角形三边关系确定取值范围 1．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南焦作·期中）已知长度为4、5、3x的三条线段可围成一个三角形，那么的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·四川德阳·期中）已知的三边长分别为，，10．则的取值范围 ． 4．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． (1)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (2)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 题型四 利用三角形三边关系进行化简 1．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）已知是的三边，则化简： ． 2．（24-25七年级下·重庆·期末）已知的三边分别为，化简： 3．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 4．已知a，b，c是一个三角形的三边长， （1）填入“＞、＜或＝”号：a﹣b﹣c　 0，b﹣a﹣c　 　0，c+b﹣a　 　0． （2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|． 5．（2024春•福田区校级期中）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|． 题型五 利用三角形三边关系进行证明 1．如图，点P是△ABC内任意一点，求证：PA+PB+PCABBCAC． 2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．证明：AB+BC+CD+AD＞AC+BD． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上的一点，求证：AC（BD+CD）． 4．如图所示，在△ABC中，D是BA上一点，则AB+2CD＞AC+BC成立吗？说明理由． 题型六 三角形的中线 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）数学课上，同学们开展折纸探究活动，以下是将三角形纸片折叠的示意图．图中点的位置表示点C经折叠后的对应位置，阴影部分表示三角形纸片经折叠后同部重叠的部分，点D是折痕所在直线与边的交点．那么线段一定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃平凉·二模）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（   ） A．47 B．43 C．38 D．25 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，D、E分别是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则（    ） A．3 B．2 C． D．4 5． （24-25七年级下·吉林长春·期中）已知是的中线，的周长比的周长大，若的周长为，且，求和的长． 题型七 三角形三边的高线 1．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 2．（24-25七年级下·河南新乡·期末）小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A．B． C．D． 3．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图： （1）在△ABC中，BC边上的高是　 　． （2）在△AEC中，AE边上的高是　 　． （3）在△FEC中，EC边上的高是　 　． （4）若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，则S△AEC＝　 　cm2，CE＝　 　cm． 题型八 三角形三边的角平分线 1．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，已知，则是三角形的（    ） A．角平分线 B．中线 C．高 D．垂直平分线 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 3．如图，AE是△ABC的角平分线，AD是∠EAC的角平分线，若∠BAC=80°，则∠EAD=　 . 4．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分线，则∠DAC＝　 　，∠BCE＝　 　，∠ACB＝　 　． 5．如图，AD是△ABC的中线，AE、AF分别是△BAD、△CAD的角平分线，且∠BAC＝90°． （1）BD＝　 　　 　； （2）∠BAE＝∠　 　∠　 　； （3）∠　 　＝∠　 　∠DAC； （4）∠EAF＝　 　°． 题型九 三角形高、中线、角平分线的综合应用 1．如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，EF∥AD交BC于F，试问：EF是△BDE的角平分线吗？说说你的理由． 2．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB＝5，AC＝3． （1）边BC的取值范围是 　 ； （2）△ABD与△ACD的周长之差为 　 　； （3）在△ABC中，若AB边上的高为2，求AC边上的高． 3．如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上． （1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长． （2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长． 4．如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠CAB＝90°． （1）求AD的长． （2）求△ABE的面积． 5.（2024春•方城县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，点P从点A出发，沿射线AB以2cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿线段CB以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点Q运动到点B时P、Q停止运动，设Q点的运动时间为t秒． （1）当t＝　 　时，BP＝2CQ； （2）当t＝　 　时，BP＝BQ； （3）画CD⊥AB于点D，并求出CD的值； （4）当t＝　 　时，有S△ACP＝2S△ABQ． 1．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，为估计池塘两岸A，B两点之间的距离，在池塘的一侧选取一点O，测得，，则A，B两点间的距离可能是（　　） A．5 B．10 C．16 D．17 2．（2024秋•合肥期末）如图，△ABC的边AC上的高是（　　） A．AF B．DB C．CF D．BE 3．（23-24七年级下·上海静安·期中）下列判断错误的是（    ） A．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点 4．（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．（2024秋•新罗区期末）如图，剪去四边形的“一角”，得到一个五边形，这个五边形的周长一定小于这个四边形的周长，依据是　 　 ． 7．（2024秋•赣州期末）若长度分别为3，5，x的三条线段能组成一个三角形，写出一个符合条件的x的值 　 　 ． 8．如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6cm，AC＝4cm，则　 　． 9．（2024秋•六安期中）已知△ABC的三边长均为整数，△ABC的周长为偶数： （1）若AC＝9，BC＝3，求AB的长； （2）若AC+BC＝15，求AB的最大值． 10．（2024秋•封丘县月考）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，点P为AC上一点，连接BP，． （1）BP是△ABC的 　 ．（填“高”、“中线”或“角平分线”） （2）若∠A＝34°，求∠BPC的度数． 11．（23-24八年级上·重庆万州·开学考试）如图，在中，是的高，点D为边上的一点，连接．    (1)当为边上的中线时，若，求的面积． (2)当为的角平分线时，若，求的度数． 12．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连结．    (1)当为上的中线时，若，的面积为24，求的长； (2)当为的平分线时． ①若，，求的度数； ②若，则______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ ◆专题01 三角形中的线段和角 题型一 利用三角形三边关系判断能否组成三角形 1．（24-25七年级下·上海静安·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．2，2，3 D．10，5，5 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定需要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】解：A中，三条线段不能构成三角形，故不符合题意； B中，三条线段不能构成三角形，故不符合题意； C中，三条线段能构成三角形，故符合题意； D中，三条线段不能构成三角形，故不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）小敏同学想用三根木棍做一个置物架支架，现有以下长度的木棍（单位：），她能成功拼成三角形支架的是（   ） A．4，5，10 B．6，7，13 C．2，2，3 D．1，3，5 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定需要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】解：A中，不能构成三角形支架，故不符合题意； B中，不能构成三角形支架，故不符合题意； C中，能构成三角形支架，故符合题意； D中，不能构成三角形支架，故不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·广西南宁·期末）将下列长度的三根木棒首尾相接，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，只需验证每组中最长边是否小于其余两边之和即可． 【详解】解：A、，不满足两边之和大于第三边，无法组成三角形； B、，不满足条件，无法组成三角形； C、，且，，均满足条件，能组成三角形； D、，不满足条件，无法组成三角形； 故选：C 4．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）长度为2cm、3cm、4cm、5cm的四条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】分析：根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，进行判断． 详解：2cm，3cm，4cm可以构成三角形； 2cm，4cm，5cm可以构成三角形； 3cm，4cm，5cm可以构成三角形； 所以可以构成3个不同的三角形． 故选B． 点睛：考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 题型二 利用三角形三边关系确定线段长 1．（24-25九年级下·河北沧州·期中）如图，的值可能是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系．注意要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三边关系得到，，再取公共部分即可． 【详解】解：∵两边长分别为8，9， ∴此时． 又∵两边长分别为5，18， ∴此时． ∵x的取值范围为：， ∴x的值可能是14． 故选：D． 2．（2025·贵州贵阳·二模）坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边得到，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∵ ∴ ∴ ∴段的长可能为． 故选：D． 3．（22-23八年级上·湖南·期中）如果等腰三角形的两边长是10cm和5cm，那么它的周长是 ． 【答案】25cm 【分析】分两种情况讨论，当10cm为腰长和5cm为腰长时，根据三角形三边定理判断能否构成三角形后求出周长即可． 【详解】若以5cm为腰，该三角形的三边长为5cm、5cm、10cm， ∵5+5=10， ∴不能构成三角形，不合题意，舍去； 若以10cm为腰，该三角形的三边长为5cm、10cm、10cm， ∴它的周长是cm； 综上所述，该三角形的周长为25cm． 故答案为：25cm． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义及三角形三边关系，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）三角形的两边长为2和5，周长是偶数，则第三边长是 ． 【答案】5. 【分析】本题主要考查的是三角形的三边关系和特殊解，注意：偶数加偶数为偶数，奇数加奇数为偶数． 设第三边边长为，先求出第三边的取值范围．再根据周长是偶数，从而找出取值范围中的奇数，即为第三边的长． 【详解】设第三边边长为， 则， 解得． 又∵周长是偶数， ∴的结果是偶数， ∴是奇数． 综上，可以取5． 故答案为：5． 5．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）在中，，，并且的长为偶数，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．根据“三角形的两边的和一定大于第三边，两边的差一定小于第三边”进行分析，解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴长是偶数， ∴为10， ∴的周长为：. 故答案为：21． 题型三 利用三角形三边关系确定取值范围 1．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ， ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·河南焦作·期中）已知长度为4、5、3x的三条线段可围成一个三角形，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，列出不等式组求解即可． 【详解】解：由三角形的三边关系可得：5﹣4＜3x＜4+5， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及解一元一次不等式组，解答本题的关键是根据三角形的三边关系列出不等式组． 3．（24-25八年级上·四川德阳·期中）已知的三边长分别为，，10．则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，由此得到关于的不等式组，即可求出的取值范围．关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， 解①得， 解②得， 解③得， 不等式组的解集为． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． (1)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (2)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 【答案】(1)该三角形最短边的最小值4； (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键． （1）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答； （2）设，然后根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为， 由题意可得：，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4； （2）解：设， 由题意可得：， 解得：． 题型四 利用三角形三边关系进行化简 1．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）已知是的三边，则化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，整式化简，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可． 【详解】解： 是的三边， ， ， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·重庆·期末）已知的三边分别为，化简： 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，整式的加减运算，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 首先根据三角三边的关系化简绝对值，然后再根据同类项的定义和合并同类项的方法进行化简即可． 【详解】解： 的三边分别为， ，， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质．直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：因为的三边长分别为1，4，a． 所以． 解得． ∴，，， ∴ ． 4．已知a，b，c是一个三角形的三边长， （1）填入“＞、＜或＝”号：a﹣b﹣c　 0，b﹣a﹣c　 　0，c+b﹣a　 　0． （2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|． 【分析】（1）利用三边关系直接写出答案即可； （2）根据（1）的判断去掉绝对值符号后合并同类项即可． 【详解】解：（1）∵a，b，c是一个三角形的三边长， ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0． 故答案为：＜，＜，＞； （2）原式＝b+c﹣a+a+c﹣b﹣c﹣b+a ＝a﹣b+c． 【点睛】考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0． 5．（2024春•福田区校级期中）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|． 【答案】（1）11或13；（2）a+b+c． 【分析】（1）先根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为偶数即可得出c的值，进而可得出结论； （2）根据三角形的三边关系得出a+c＞b，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：（1）∵a＝2，b＝5， ∴5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， ∵c为偶数， ∴c＝4或6， 当c＝4时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+4＝11； 当c＝6时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+6＝13， 综上所述，△ABC的周长为11或13； （2）∵△ABC的边长为a，b，c， ∴a+c＞b， ∴|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c| ＝a+c﹣b﹣（a+c﹣b）+a+b+c ＝a+c﹣b﹣a﹣c+b+a+b+c ＝a+b+c． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 题型五 利用三角形三边关系进行证明 1．如图，点P是△ABC内任意一点，求证：PA+PB+PCABBCAC． 【分析】根据三角形的三边关系可得出结论． 【解答】证明：∵PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PC+PA＞AC． ∴把它们相加，再除以2，得 PA+PB+PCABBCAC． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键． 2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．证明：AB+BC+CD+AD＞AC+BD． 【分析】首先利用三角形的三边关系得到AB+BC＞AC、CD+AD＞AC、BC+CD＞BD、AB+AD＞BD，然后将四个算式相加即可得到要证明的结论． 【详解】解：根据题意得：AB+BC＞AC、CD+AD＞AC、BC+CD＞BD、AB+AD＞BD， 全部相加得：2AB+2BC+2CD+2AD＞2AC+2BD， 所以AB+BC+CD+AD＞AC+BD 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是从图中得到AB+BC＞AC、CD+AD＞AC、BC+CD＞BD、AB+AD＞BD． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上的一点，求证：AC（BD+CD）． 【分析】根据三角形两边之和大于第三边即可得到AC（BD+DC）． 【详解】证明：∵AC＝AD+CD，AB＝AC， ∴2AC＝AB+AD+CD＞BD+DC， ∴AC（BD+DC）． 【点睛】主要考查了三角形三边关系，三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边． 4．如图所示，在△ABC中，D是BA上一点，则AB+2CD＞AC+BC成立吗？说明理由． 【分析】先根据三角形三边关系定理可得AD+CD＞AC，BD+CD＞BC，再将两式相加得（AD+BD）+2CD＞AC+BC，即AB+2CD＞AC+BC． 【详解】解：AB+2CD＞AC+BC成立，理由如下： 在三角形ADC中，AD+CD＞AC， 在三角形BCD中，BD+CD＞BC， 两式相加得（AD+BD）+2CD＞AC+BC， 即AB+2CD＞AC+BC． 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．同时考查了不等式的性质． 题型六 三角形的中线 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）数学课上，同学们开展折纸探究活动，以下是将三角形纸片折叠的示意图．图中点的位置表示点C经折叠后的对应位置，阴影部分表示三角形纸片经折叠后同部重叠的部分，点D是折痕所在直线与边的交点．那么线段一定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质和中线的定义，根据此来逐一分析选项； 【详解】解： 折叠的性质是折叠前后的图形全等，对应边相等，点C的对应点在点B处，则点D为 的中点，故是的中线，则选项A正确； 由折叠可知， ​​，不能得出，所以无法判定是的中线，该选项B错误； 由折叠可知，且点落在上，此时也不能推出，因此不能确定是的中线，该选项C错误； 由折叠可知，点C与点A重合，无法判断出，故该选项D错误； 故选：A． 2．（2025·甘肃平凉·二模）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的有关计算，掌握三角形中线的定义是关键． 根据三角形的中线，周长的计算得到，，根据的周长为，的周长为，得到与的周长之差为，由此即可求解． 【详解】解：的周长为， ∴， ∵是边上的中线， ∴，则， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴与的周长之差为， 故选：A ． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（   ） A．47 B．43 C．38 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据的周长为45，可得，再结合三角形中线的定义，即可求解． 【详解】解： 的周长为45， ， 是边上的中线， ， ， ， ， 的周长是． 故选：B． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，D、E分别是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则（    ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积、三角形的中线等知识点，能灵活运用三角形的中线以及等分线求面积成为解题的关键． 由、、可以求出的面积和的面积，再结合图形可得即可解答． 【详解】解：∵， ， ∵， ， ∵， ∴，， ， ． 故选：D． 5．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知是的中线，的周长比的周长大，若的周长为，且，求和的长． 【答案】的长为，的长度为 【分析】此题考查了三角形中线的性质，二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质．首先根据三角形中线的概念得到，然后根据的周长比的周长大，得到，由的周长为，且，得到，联立方程组即可求解． 【详解】解：是中线， ， ， ， ， ，且， ， 联立， ， 答：三角形中的长为的长度为． 题型七 三角形三边的高线 1．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的高，根据高的定义，从三角形的一个顶点向对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是三角形的高． 【详解】解：由图可知，所对顶点为或， 在中，并没有由点向引垂线，所以排除点， 在中，由于为钝角三角形，所以边上的高在三角形外部，也就是过点向的延长线上引垂线，即线段． 故答案选：D． 2．（24-25七年级下·河南新乡·期末）小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，作边上的高即过点向边引垂线，垂足为即可． 【详解】解：由题意，作图正确的是： 故选D． 3．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案. 【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高， ． ，， ． ， ． ． 解得． 点到直线的距离是． 故选：A． 4．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，熟记面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的根本，关键是列出的方程． 根据三角形的面积公式列出的方程进行解答便可． 【详解】解：∵、是的两条高， ∴， 又∵，，， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 5．如图： （1）在△ABC中，BC边上的高是　 　． （2）在△AEC中，AE边上的高是　 　． （3）在△FEC中，EC边上的高是　 　． （4）若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，则S△AEC＝　 　cm2，CE＝　 　cm． 【分析】（1）（2）（3）三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段； （4）在△AEC中，要看作AE是底，CD是AE上的高，由面积公式计算，也可把CE看作底，AB是高，故也可求得CE的长． 【详解】解：（1）在△ABC中，BC边上的高是AB； （2）在△AEC中，AE边上的高是CD； （3）在△FEC中，EC边上的高是FE； （4）∵AE＝3cm，CD＝2cm， ∴S△AECAE•CD＝3cm2， ∵S△AECAB•CE＝3cm2， ∴CE＝3cm． 故S△AEC＝3cm2，CE＝3cm． 【点睛】本题考查了三角形高线的概念及直角三角形的面积公式． 题型八 三角形三边的角平分线 1．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，已知，则是三角形的（    ） A．角平分线 B．中线 C．高 D．垂直平分线 【答案】A 【分析】由题意直接根据角平分线的概念和三角形的角平分线的概念进行分析判断选择即可． 【详解】解：∵∠1=∠2，AH是线段， ∴AH必为三角形ABC的角平分线． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的角平分线性质，注意掌握三角形的角平分线和角平分线的联系和区别：三角形的角平分线是线段，角平分线是射线． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线的定义，根据已知可得，即可得出角平分线为，即可求解． 【详解】解：因为 所以，即 所以的一条角平分线为 故选：B． 3．如图，AE是△ABC的角平分线，AD是∠EAC的角平分线，若∠BAC=80°，则∠EAD=　 . 【答案】20°． 【分析】根据三角形的角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵∠BAC=80°， AE是△ABC的角平分线， ∴∠EAC= ∠BAC=40°， ∵AD是△AEC的角平分线， ∴∠EAD= ∠EAC=20°． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线的定义，解决本题的关键是熟练运用角平分线定义． 4．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分线，则∠DAC＝　 　，∠BCE＝　 　，∠ACB＝　 　． 【答案】30°、40°、80°． 【分析】由AD平分∠ABC，得∠DAC30°．由CE平分∠BCA，得∠BCE＝∠ACE40°，进而解决此题． 【详解】解：∵AD平分∠ABC， ∴∠DAC30°． ∵CE平分∠BCA， ∴∠BCE＝∠ACE40°． ∴∠BCE＝40°，∠BCA＝2∠ACE＝2×40°＝80°． 故答案为：30°、40°、80°． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键． 5．如图，AD是△ABC的中线，AE、AF分别是△BAD、△CAD的角平分线，且∠BAC＝90°． （1）BD＝　 　　 　； （2）∠BAE＝∠　 　∠　 　； （3）∠　 　＝∠　 　∠DAC； （4）∠EAF＝　 　°． 【分析】（1）根据三角形中线的定义即可得到结论； （2）根据三角形角平分线的定义即可得到结论； （3）根据三角形角平分线的定义即可得到结论； （4）根据三角形角平分线的定义即可得到结论． 【详解】解：（1）∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CDBC， 故答案为：CD，BC； （2）∵AE是△BAD的角平分线， ∴∠BAE＝∠DAEBAD， 故答案为：DAE，BAD； （3）∵AF是△CAD的角平分线， ∴∠DAF＝∠CAFDAC， 故答案为：DAF，CAF； （4）∵AE、AF分别是△BAD、△CAD的角平分线， ∴∠DAEBAD，∠DAFCAD， ∴∠EAF＝∠DAE+∠DAF（∠BAD+∠CAD）BAC90＝45°， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线，是一道基础题，能够根据三角形的中线、角平分线的概念得到线段、角之间的关系． 题型九 三角形高、中线、角平分线的综合应用 1．如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，EF∥AD交BC于F，试问：EF是△BDE的角平分线吗？说说你的理由． 【分析】由平行线的性质得出同位角相等、内错角相等∠BED＝∠BAC，∠BEF＝∠BAD，由角平分线得出∠BAD∠BAC，得出∠BEF∠BED即可． 【详解】解：EF是△BDE的角平分线；理由如下： ∵DE∥AC，EF∥AD， ∴∠BED＝∠BAC，∠BEF＝∠BAD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC， ∴∠BEF∠BED， 即EF平分∠BED， ∴EF是△BDE的角平分线． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 2．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB＝5，AC＝3． （1）边BC的取值范围是 　 ； （2）△ABD与△ACD的周长之差为 　 　； （3）在△ABC中，若AB边上的高为2，求AC边上的高． 【分析】（1）利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围即可； （2）根据题意，AD是△ABC的边BC上的中线，可得BD＝CD，进而得出△ABD的周长＝AB+BD+AD，△ACD的周长＝AC+CD+AD，相减即可得到周长差； （3）根据三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，列出等式，解答出即可； 【详解】（1）解：∵AB＝5，AC＝3． ∴2＜BC＜8， 故答案为：2＜BC＜8； （2）解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD与△ACD的周长之差为： （AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB+BD+AD﹣AC﹣CD﹣AD＝AB﹣AC＝5﹣3＝2； 故答案为：2； （3）解：设AC边上的高为h， 则S△ABC， 解得，h． 答：AC边上的高． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线、高和三角形面积的求法，掌握三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半． 3．如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上． （1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长． （2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长． 【分析】（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，BD＝DC，所以BE＝AE+AC，则可解得AE＝2cm； （2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．解得AE＝1cm或2cm． 【详解】解：（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE， 又三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D为BC中点， ∴BD＝DC，BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE， 即BE＝AE+AC， ∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴10﹣AE＝AE+6， ∴AE＝2cm． （2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2． 解①得AE＝1cm，解②得AE＝3cm． 故AE长为1cm或3cm． 【点睛评】本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，关键是要学会分类讨论的思想思考问题． 4．如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠CAB＝90°． （1）求AD的长． （2）求△ABE的面积． 【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD的长度； （2）由于AE是中线，那么BE＝CE，可知△ABE的面积是△ABC的面积的一半． 【解答】解：（1）∵AB＝3cm，AC＝4cm，∠CAB＝90°，BC＝5cm， ∵AD是边BC上的高， ∴AB•ACBC•AD， ∴（cm）， 即AD的长度为cm； （2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm， ∴S△ABCAB•AC3×4＝6（cm2）． 又∵AE是边BC的中线， ∴BE＝EC， ∴BE•ADEC•AD，即S△ABE＝S△AEC， ∴S△ABES△ABC＝3（cm2）． ∴△ABE的面积是3cm2． 【点评】本题考查了高线和中线的定义、三角形面积的计算．解题的关键是利用三角形面积相等列式，求出AD． 5.（2024春•方城县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，点P从点A出发，沿射线AB以2cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿线段CB以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点Q运动到点B时P、Q停止运动，设Q点的运动时间为t秒． （1）当t＝　 　时，BP＝2CQ； （2）当t＝　 　时，BP＝BQ； （3）画CD⊥AB于点D，并求出CD的值； （4）当t＝　 　时，有S△ACP＝2S△ABQ． 【分析】（1）利用BP＝2CQ列方程得到10﹣2t＝2t，然后解方程即可； （2）利用BP＝BQ列方程得到6﹣t＝10﹣2t或6﹣t＝2t﹣10，然后解方程即可； （3）先根据三角形高的定义画图，然后利用面积法求CD的长； （4）根据三角形面积公式得到2t＝28×（6﹣t），然后解方程即可． 【详解】解：（1）根据题意得10﹣2t＝2t， 解得t； 故答案为：； （2）根据题意得6﹣t＝10﹣2t或6﹣t＝2t﹣10， 解得t＝4或t； 故答案为：4或； （3）如图， ∵CD•ABAC•BC， ∴CD（cm）； （4）∵S△ACP＝2S△ABQ， ∴2t＝28×（6﹣t）， 解得t． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高． 1．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，为估计池塘两岸A，B两点之间的距离，在池塘的一侧选取一点O，测得，，则A，B两点间的距离可能是（　　） A．5 B．10 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系定理的应用，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系求出的取值范围即可求解． 【详解】解：根据三角形的三边关系定理得： ， 即：， ∴AB的值在6和16之间， ∴A、B间的距离可能是10． 故选：B． 2．（2024秋•合肥期末）如图，△ABC的边AC上的高是（　　） A．AF B．DB C．CF D．BE 【答案】D． 【分析】根据三角形的高的定义，作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可． 【详解】解：∵BE⊥AC， ∴△ABC的边AC上的高是线段BE， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解决问题的关键． 3．（23-24七年级下·上海静安·期中）下列判断错误的是（    ） A．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点 【答案】A 【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解．A．三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高的交点不一定在三角形内，说法错误，符合题意； B．三角形的三条中线交于三角形内一点，说法正确，不符合题意； C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点，说法正确，不符合题意； D．三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，说法正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是掌握各性质定义． 4．（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均分为两份． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键． 根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解． 【详解】解： 段之和为， 若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小， 每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形， 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，， ， ， 小段的长度分别为，，，，，，，，，， 的最大值为． 故选：B． 6．（2024秋•新罗区期末）如图，剪去四边形的“一角”，得到一个五边形，这个五边形的周长一定小于这个四边形的周长，依据是　 　 ． 【答案】三角形任意两边和大于第三边． 【分析】剪去的四边形的“一角”可以看作为一个三角形，去掉两条边后加上一条边后总长度变短，是因为三角形任意两边和大于第三边． 【解答】解：剪去四边形的“一角”，得到一个五边形，这个五边形的周长一定小于这个四边形的周长，依据是三角形任意两边和大于第三边， 故答案为：三角形任意两边和大于第三边． 【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 7．（2024秋•赣州期末）若长度分别为3，5，x的三条线段能组成一个三角形，写出一个符合条件的x的值 　 　 ． 【答案】5（答案不唯一）． 【分析】根据三角形的三边关系即可解答． 【详解】解：∵长度分别为3，5，x的三条线段能组成一个三角形， ∴5﹣2＜x＜5+2， ∴3＜x＜7， ∴一个符合条件的x的值为5． 故答案为：5（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6cm，AC＝4cm，则　 　． 【答案】． 【分析】由题意，△ABC中，AD为中线，可知△ABD和△ADC的面积相等；利用面积相等，问题可求． 【详解】解：∵△ABC中，AD为中线， ∴BD＝DC． ∴S△ABD＝S△ADC． ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝6，AC＝4． ∴•AB•ED•AC•DF， ∴6×ED4×DF， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中线性质，关键在于利用中线把三角形的面积分成相等的两部分进行知识解答．属于基础题． 9．（2024秋•六安期中）已知△ABC的三边长均为整数，△ABC的周长为偶数： （1）若AC＝9，BC＝3，求AB的长； （2）若AC+BC＝15，求AB的最大值． 【分析】（1）根据三角形的三边关系求出AB的取值范围，再由AB为偶数即可得出结论； （2）根据AC+BC＝15，△ABC的周长为偶数，可得AB为正整数，且AB为奇数，再根据AB＜AC+BC＝15，即可得出AB的最大值． 【详解】解：（1）由题意可知，根据三角形的三边关系得，AC﹣BC＜AB＜AC+BC，即：9﹣3＜AB＜9+3， ∴6＜AB＜12， 又∵△ABC的周长为偶数，而AC、BC为奇数， ∴AB为偶数，且AB为正整数，故AB＝8或10， 所以AB的长为8或10； （2）∵AC+BC＝15，△ABC的周长为偶数， ∴AB为正整数，且AB为奇数， ∵AB＜AC+BC＝15 所以AB的最大值为13． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 10．（2024秋•封丘县月考）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，点P为AC上一点，连接BP，． （1）BP是△ABC的 　 ．（填“高”、“中线”或“角平分线”） （2）若∠A＝34°，求∠BPC的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义即可得到答案． （2）求出∠ABC＝56°，得到∠ABP＝∠CBP＝28°，由直角三角形的性质求出∠BPC＝90°﹣28°＝62°． 【详解】解：（1）∵∠ABP∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP， ∴BP是△ABC的角平分线． 故答案为：角平分线． （2）∵∠ACB＝90°，∠A＝34°， ∴∠ABC＝56°， ∴∠ABP＝∠CBP＝28°， ∴∠BPC＝90°﹣28°＝62°． 【点睛】本题考查三角形的角平分线，关键是掌握角平分线定义，由角平分线定义得到∠ABP＝∠CBP＝28°． 11．（23-24八年级上·重庆万州·开学考试）如图，在中，是的高，点D为边上的一点，连接．    (1)当为边上的中线时，若，求的面积． (2)当为的角平分线时，若，求的度数． 【答案】(1)30 (2) 【分析】（1）根据三角形的中线的定义可得，再根据三角形的面积公式求解； （2）先根据三角形的内角和求出，再根据三角形的外角性质求出，再根据三角形的内角和定理即可求出答案． 【详解】（1）解：∵为边上的中线，， ∴， ∵是的高，， ∴的面积； （2）解：∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的基本知识，涉及三角形的中线、三角形的高、三角形的角平分线、三角形的内角和以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握三角形的基础知识是关键． 12．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连结．    (1)当为上的中线时，若，的面积为24，求的长； (2)当为的平分线时． ①若，，求的度数； ②若，则______． 【答案】(1) (2)①；②10 【分析】本题考查三角形的角平分线与三角形内角和定理，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题． （1）利用三角形的面积公式求出的长，再根据中线的性质即可解决问题； （2）①根据三角形内角和求出和的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，从而求解；②根据三角形内角和可求出，然后根据角平分线的定义求得，从而求解． 【详解】（1）解：因为为边上的高，，的面积为24， 所以， 所以． 因为是边上的中线， 所以． （2）解：①因为，， 所以． 因为平分， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． ②因为， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 ， 因为， 所以． 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$