高考中的等角定理讲义-2026届高三数学一轮复习

( 第 1 页 共 4 页 ) 高考中的等角定理 一、何谓等角定理？ 【椭圆等角定理】 如图1，过椭圆 长轴上任一点 ， 的一条弦 端点与对应点 的连线所成的角被焦点所在直线平分，即 图1 【双曲线等角定理】 如图2-1、2-2，过双曲线 实轴上任一点 ， 的一条弦 端点与对应点 的连线所成的角被焦点所在直线平分，即 图2-1 图2-2 【抛物线等角定理】 如图3，过抛物线 对称轴上任一点 ， 的一条弦 端点与对应点 的连线所成的角被对称轴平分，即 图3 证明： （只证明椭圆等角定理，双曲线与抛物线等角定理同理可证） 如上图1，设直线 联立椭圆 ，得 设 ， 则 恒成立，且由韦达定理得 所以 所以直线 与直线 互为相反数， 则 ，即 二、等角定理高观点背景 若 四点成调和点列，在这四点所在直线外任取一点 ，所形成的的四条射线 ，，， 称为调和线束. 对于一组调和线束，其斜率之间所满足的基本关系，如下面结论 图4 【结论】 如图4，若调和线束 ，，， 的方程为 ，， 那么 将此结论应用到椭圆的等角定理中，如下图5，设直线 与过点 并且垂直 轴的直线交于点 ， 图5 所以 成调和点列， 分别设直线 为 那么四直线的交比 利用交比的性质可得 又由于 ，则 即 ，又 ， 所以 所以直线 与直线 互为相反数， 则 ，即 注： 在下面的典例4 ，选择比较经典的一道高考题个问题，即2013年江西高考的文理科圆锥曲线题目来作为上述拓展结论应用的范例. 由上述证明中可进一步归纳出下面的结论， 【结论】 如图6，已知椭圆 ，过定点 作一直线交椭圆 于 两点，交 点的极线 于点 ， 是椭圆 上一点，且点 横坐标为 ，则直线 的斜率成等差数列 . 图6 三、高考中的等角定理 典例1． 设椭圆 的右焦点为 ，过的直线 与交于 ， 两点，点 的坐标为 ． （1） 当 与 轴垂直时，求直线 的方程； （2） 设 为坐标原点，证明： 解析： （1） ， 与 轴垂直， 由 ，解得 或 即 或 直线 的方程 ， （2） 证明 方法1： 当 与 轴重合时， 当 与 轴垂直时， 为 的垂直平分线， 当 与 轴不重合也不垂直时，设 的方程为 ， 联立 和 ，得 设 ，，则 ，，且由韦达定理得 所以 而 进而 故 的倾斜角互补，所以 综上 方法2： 由（1）知椭圆 的右焦点为 ，设直线 ， 联立椭圆 ，得 设直线 与椭圆 的交点为 ，， 则 恒成立，且由韦达定理可得 所以 故 的倾斜角互补，所以 综上 典例2． 设抛物线 ，点 ，，过点 的直线 与 交于 ， 两点． （1） 当 与 轴垂直时，求直线 的方程； （2） 证明： 解析： （1） 当 与 轴垂直时，，代入抛物线解得 ， 所以 或 ， 直线 的方程为 ，或 （2） 证明：设直线 的方程为 ，， 联立直线 与抛物线方程 ， 消 得 即 则有 所以直线 与 的倾斜角互补， 即 典例3． 在直角坐标系 中，曲线 与直线 交于 ， 两点． （1） 当 时，分別求 在点 和 处的切线方程． （2） 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，总有 ？（说明理由） 解析： （1） 联立 ，不妨取 ， 由曲线 可得： 曲线 在 点处的切线斜率为 其切线方程为：，即为 同理可得曲线 在点 处的切线方程为 （2） 存在符合条件的点 ，下面给出证明：设 满足 联立 ，得 设 ， ，直线 ， 的斜率分别为 ． 则 所以 当 时，，直线 ， 的倾斜角互补， 即点 符合条件． 典例4．如图7，椭圆 经过点 ，离心率 ，直线 的方程为 . （1） 求椭圆 的方程； （2） 是经过右焦点 的任一弦（不经过点 ），设直线 与直线 相交于点 ，记 ，， 的斜率分别为 . 问：是否存在常数 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由. 图7 解析： （1） （2） 由于直线 是点 关于椭圆 的极线，所以 成调和点列， 分别设直线 为 ， 那么四直线的交比 ，利用交比的性质可得 ， 又由于 故 即 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 4 页 高考中的等角定理 一、何谓等角定理？ 【椭圆等角定理】 如图1，过椭圆 长轴上任一点 ， 的一条弦 端点与对应点 的连线所成的角被焦点所在直线平分，即 图1 【双曲线等角定理】 如图2-1、2-2，过双曲线 实轴上任一点 ， 的一条弦 端点与对应点 的连线所成的角被焦点所在直线平分，即 图2-1 图2-2 【抛物线等角定理】 如图3，过抛物线 对称轴上任一点 ， 的一条弦 端点与对应点 的连线所成的角被对称轴平分，即 图3 证明： （只证明椭圆等角定理，双曲线与抛物线等角定理同理可证） 如上图1，设直线 联立椭圆 ，得 设 ， 则 恒成立，且由韦达定理得 所以 所以直线 与直线 互为相反数， 则 ，即 二、等角定理高观点背景 若 四点成调和点列，在这四点所在直线外任取一点 ，所形成的的四条射线 ，，， 称为调和线束. 对于一组调和线束，其斜率之间所满足的基本关系，如下面结论 图4 【结论】 如图4，若调和线束 ，，， 的方程为 ，， 那么 将此结论应用到椭圆的等角定理中，如下图5，设直线 与过点 并且垂直 轴的直线交于点 ， 图5 所以 成调和点列， 分别设直线 为 那么四直线的交比 利用交比的性质可得 又由于 ，则 即 ，又 ， 所以 所以直线 与直线 互为相反数， 则 ，即 注： 在下面的典例4 ，选择比较经典的一道高考题个问题，即2013年江西高考的文理科圆锥曲线题目来作为上述拓展结论应用的范例. 由上述证明中可进一步归纳出下面的结论， 【结论】 如图6，已知椭圆 ，过定点 作一直线交椭圆 于 两点，交 点的极线 于点 ， 是椭圆 上一点，且点 横坐标为 ，则直线 的斜率成等差数列 . 图6 三、高考中的等角定理 典例1． 设椭圆 的右焦点为 ，过的直线 与交于 ， 两点，点 的坐标为 ． （1） 当 与 轴垂直时，求直线 的方程； （2） 设 为坐标原点，证明： 解析： 典例2． 设抛物线 ，点 ，，过点 的直线 与 交于 ， 两点． （1） 当 与 轴垂直时，求直线 的方程； （2） 证明： 典例3． 在直角坐标系 中，曲线 与直线 交于 ， 两点． （1） 当 时，分別求 在点 和 处的切线方程． （2） 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，总有 ？（说明理由） 典例4．如图7，椭圆 经过点 ，离心率 ，直线 的方程为 . （1） 求椭圆 的方程； （2） 是经过右焦点 的任一弦（不经过点 ），设直线 与直线 相交于点 ，记 ，， 的斜率分别为 . 问：是否存在常数 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由. 图7 学科网（北京）股份有限公司 $$