第一章 二次函数 单元试卷 2025-2026学年浙教版数学九年级上册

第一章 二次函数 单元试卷 2025-2026学年浙教版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________ 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的有（ ） ；；；. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A．先向左平移个单位，再向上平移个单位 B．先向右平移个单位，再向上平移个单位 C．先向左平移个单位，再向下平移个单位 D．先向右平移个单位，再向下平移个单位 4．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 6．已知点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是(   ) A． B． C． D． 8．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，点在该函数图象上，若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 二、填空题 9．抛物线的对称轴为直线 ． 10．若函数y＝x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ． 11．抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表．由表可知，抛物线与轴的一个交点的坐标是，则抛物线与轴的另一个交点的坐标是 ． x … 0 2 4 … y … m n m 1 0 … 12．已知二次函数，当时，随的增大而减小，写出一个符合条件的的值： ． 13．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用 14．在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为 ． 15．若二次函数有最大值为4，则的最小值是 ． 16．二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，，都在抛物线上，则有．其中正确的结论是 ． 三、解答题 17．已知关于x的二次函数的图象与x轴交于（-1，0），(3，0)两点，且图象过点(0，3)， (1)求这个二次函数的解析式； (2)写出它的开口方向、对称轴 18．在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过，与y轴交于点B，连接，． （1）求a的值及点B的坐标； （2）将抛物线L平移得到抛物线，设平移后点A，B的对应点分别为，若平移后抛物线的顶点落在x轴上，且，求平移后抛物线的表达式． 19．大鹏童装店销售某款童装每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价元每星期销售量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？ 20．【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180=820m． 如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中． 【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系? 【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题． 【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）． （1）请直接写出以下问题的答案： ①右侧悬索最高点B的坐标； ②y与x的函数解析式； ③最长的吊杆的长度； （2）某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟； （3）如图3，灯光秀中一个射灯光源C（，），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上? 21．如图1，已知二次函数的图象经过点，，， （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点是抛物线上位于第四象限内的一点，且，求点的坐标； （3）若点是抛物线上异于点的一点，且，求点的坐标； （4）如图2，在（3）的条件下，点是线段上的动点，点在第一象限，且，交抛物线于点，连接，，，四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标． 参考答案 1．【答案】C 2．【答案】C 【分析】根据抛物线的顶点式的顶点坐标为，即可得出结论． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是 故选C． 3．【答案】A 【分析】“左加右减，”，“上加下减”的方法，直接根据通过向左平移个单位，再向上平移个单位得到即可求解． 【详解】解：由题知，将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位可得抛物线， 所以只有选项符合题意． 故选． 4．【答案】B 【分析】分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，；二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 故选B． 5．【答案】D 【分析】先根据表格的数据，把代入，求出再根据二次函数的图象性质进行分析，得对称轴是直线，当时，函数取得最小值，，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：把代入， 得 解得 ∴二次函数的解析式为 函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴是直线 ∴当时，函数取得最小值， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 由以上分析知，B、C不符合题意， D符合题意； ， 故A不符合题意． 故选 D 6．【答案】D 【分析】根据点在二次函数的图象上，可得：，根据点到轴的距离小于，可得：，根据平方的非负性可得：，从而可得的取值范围． 【详解】解：点在二次函数的图象上， ， 点到轴的距离小于， ， ， ， ， ． 故选D． 7．【答案】C 【分析】根据获得的利润销售量每个利润，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元；即每个利润为元，销售量为：个，结合获得的利润为元，可得与的函数关系式，化简即可． 【详解】上涨前每件商品的利润为元，能卖出200个，上涨元后利润为元，能卖出个，根据题意得： 即： 故选C 8．【答案】A 【分析】由二次函数解析式得出对称轴为直线，结合当时，y随x的增大而增大，得抛物线开口向上，，再结合，，，即可作答． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴二次函数的开口方向向上，越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ， ∵，， ∴，， ∵， 则， ∴， 故选A． 9．【答案】 【分析】根据二次函数的顶点坐标式解析式，可知的对称轴是． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线的对称轴是． 10．【答案】2 【分析】利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】根据题意得：， 解得：． 11．【答案】 【分析】据表格找出抛物线对称轴，然后结合抛物线与x轴的一个交点的坐标是，计算出抛物线与x轴的另一个交点坐标． 【详解】解：由表格可知：抛物线过两点，纵坐标相同， 抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点的坐标是， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是. 12．【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据二次函数解析式可得顶点坐标为，对称轴直线为，结合题意，当时，随的增大而减小，可得图象开口向上，，由此即可求解． 【详解】解：二次函数， ∴顶点坐标为，对称轴直线为， ∵当时，随的增大而减小， ∴二次函数图象开口向上， ∴， ∴（答案不唯一）. 13．【答案】 【分析】令，求即可． 【详解】解：令， 解得（舍去），， 小球从飞出到落地要用． 14．【答案】5 【分析】先画出抛物线，根据图象的位置可知当点A在抛物线的顶点时，最小，最小值是5，再根据矩形的性质可得答案． 【详解】解：根据题意画出图象， 可知抛物线， 此时抛物线有最高点． 当点A在抛物线的顶点时，最小，最小值是5． ∵四边形是矩形， ∴， ∴对角线的最小值是5． 15．【答案】 【分析】根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值． 【详解】解：∵二次函数有最大值为4， ∴设二次函数的顶点坐标为， ∵向左平移1个单位得到， ∴的顶点坐标为， ∵与关于轴对称， ∴的顶点坐标为，且开口向上， 此时顶点坐标为，则最小值为. 16．【答案】①③/③① 【详解】解：∵二次函数图象与轴有两个交点， ∴对于方程有两个不相等的实数解，即有， ∴，故结论①正确； ∵二次函数图象对称轴为直线，且当时，有， ∴由抛物线的对称性质可知，当时，有， ∴，故结论②不正确； ∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴，即 又∵当时，有， ∴， ∴，故结论③正确； ∵二次函数图象的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，取最大值，此时， 令，可有， ∴， ∴，故结论④不正确； ∵二次函数图象的对称轴为直线，且开口向下， ∴数轴上的点距离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴，故结论⑤错误． 综上所述，结论正确的有①③． 17．【答案】(1) (2)开口向下，对称轴为直线 【分析】（1）设这个二次函数的解析式为，然后把点(0，3)代入，即可求解； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可求解． （1） 解：设这个二次函数的解析式为， 把点(0，3)代入得：， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为； （2） 解：∵， ∴二次函数开口向下， ∵， ∴二次函数的对称轴为直线． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质． 18．【答案】（1）， （2）或 【分析】（1）依据题意，将点代入抛物线中，则可得的值，进而可得抛物线的表达式为，然后令，则，进而可得的坐标； （2）依据题意，由（1）抛物线的表达式为，可得抛物线的顶点坐标为，又平移后抛物线的顶点落在轴上，故抛物线向下平移了4个单位，则可设平移后抛物线的表达式为，结合，可得点的纵坐标均为，故点的横坐标为，点的横坐标为，从而，又，则，求出后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，将点代入抛物线中， ， ， ∴抛物线的表达式为， ∴令，则， ∴； （2）由题意，∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵平移后抛物线的顶点落在轴上， ∴抛物线向下平移了4个单位， ∴可设平移后抛物线的表达式为， ， ∴点，的纵坐标均为， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ， 又∵， ， ∴或， ∴平移后抛物线的表达式为或． 19．【答案】（1） （2）每件售价为45元时，每星期的销售利润最大，最大利润3750元 （3）每星期至少要销售该款童装170件 【分析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论． （2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． （3）列出不等式先求出售价的范围，即可解决问题． 【详解】（1）； （2）设每星期利润为元， ， 当时，随的增大而增大， 时，最大值， 当每件售价为45元时，每星期的销售利润最大，最大利润3750元； （3）①由题意：， 解得：或47， 当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润． ②由题意：， 解得：， ． ， 每星期至少要销售该款童装170件． 20．【答案】（1）①；②；③63m （2）不超过6分钟 （3）光源应放在和之间 【分析】（1）①作轴于D点，由题意得，根据求出S的值，即可得的长，由此可得B点的坐标； ②设，将B点坐标代入，求出a的值，即可得抛物线的表达式； ③设最长的吊杆为，由题意得，代入表达式中求出y的值，即可得的长，即吊杆的长． （2）作轴，交抛物线于M、N两点，则，求出M、N两点的横坐标，进而可得的长，再求出游客在悬索上方能看到彩车的时间，即可判断结果． （3）设光源放在G点时，光线与悬索只有一个交点，先求出直线的表达式为，由可知直线与直线的k相同，设直线的表达式为，联立抛物线和直线的表达式可得，由，求出m的值为，由此可得直线的表达式为，求出G点的坐标即可得到答案． 【详解】（1）①如图，作轴于D点， 由题意得， ， ， ， ， ∴点B的坐标为； ②设， 把代入得， 解得， ∴y与x的函数解析式为：； ③如图，设最长的吊杆为EF， ∵吊杆间距10m， ∴， ， 由得，时，， ， ∴最长的吊杆的长度约为63m． （2）如图，作轴，交抛物线于M、N两点， 由题意知，代入抛物线解析式得， 解得，， ，， ， ∴游客在悬索上方能看到彩车的时间为：， ∴游客在悬索上方能看到彩车的时间不超过6分钟． （3） 设光源放在G点时，光线与悬索只有一个交点， 设直线的表达式为，则 ， 解得， ∴直线的表达式为：． ， ∴直线与直线的k相同， 设直线的表达式为， 联立， 得， 整理得， ∵直线与抛物线只有一个交点， ， 解得， ∴直线的表达式为． 当时，， 解得， ∴， ∴光源应放在和之间，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上． 21．【答案】（1） （2） （3） （4）的最大值为，此时 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，连接，，，由得到，求出所在直线表达式为，设所占直线不等式为，然后将代入求出所在直线不等式为，然后联立求解即可； （3）如图所示，在左侧作交x轴于点F，过点E作于点E，求出，证明出，得到，设，则，利用等面积法表示出，然后根据求出，得到，，，然后勾股定理逆定理得到，等量代换得到，如图所示，作点C关于x轴的对称点，延长交抛物线与点P，得到，点P即为所求，然后求出所在直线表达式为，和抛物线联立求解即可； （4）如图所示，连接，，设，然后表示出所在直线表达式为，求出所在直线表达式为，然后联立求出，得到，然后等量代换得到，然后代入根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，，， ， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为：； （2）解：如图所示，连接，， ∵ ∴点A到的距离等于点P到的距离 ∴ ∵， ∴设所在直线表达式为 ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∴设所在直线表达式为 将代入得， 解得 ∴所在直线表达式为 ∴联立得， 解得（舍去）或 ∴将代入 ∴； （3）如图所示，在左侧作交x轴于点F，过点E作于点E， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，作点C关于x轴的对称点，延长交抛物线与点P， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴点P即为所求， ∵，， ∴可得所在直线表达式为， ∴联立得，， 解得， ∴； （4）如图所示，连接，， ∵点M在抛物线上， ∴设 ∵，， ∴可得所在直线表达式为 ∵ ∴设所在直线表达式为 ∴将代入得， ∴ ∴所在直线表达式为 ∵， ∴可得所在直线表达式为 ∴联立得， 解得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴当时，有最大值 ∴将代入得，． ∴的最大值为，此时． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$