1.1菱形的性质与判定 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.1菱形的性质与判定 同步练习 学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________ 一、单选题 1．关于菱形的性质，以下说法不正确的是（    ） A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形 2．如图，是菱形的对角线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 4．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（        ） A．22 B．24 C．48 D．44 5．如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（　　） A．2 B．3.5 C．7 D．14 6．如图，菱形的边长为10，，则点到的距离等于（　　） A．5 B．6 C．8 D．1 7．如图，四边形是菱形，点在轴上，顶点A，B的坐标分别是，，则点C的坐标是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，，，，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿，方向，向点B匀速移动（到点B为止），点的速度为，点的速度为，经过t秒为等边三角形，则t的值为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是 （写出一个即可）．    10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是．以为边作菱形，若点C在x轴上，点B在第二象限，则点B的坐标为 ． 11．如图，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为 ． 12．如图，在菱形中，对角线与相交于点．若于点，，则 ． 13．如图1，在平行四边形中，，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为与的函数图象如图2所示，则的长为 ． 14．如图，四边形是边长为6的菱形，，F是的中点，点E、G分别在，上，且，连接、，则的最小值为 ．    三、解答题 15．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．证明四边形是菱形    16．如图，点是菱形对角线上任意一点，连接，，．点是延长线上一点，连接，交于点，且． （1）求的度数； （2）若，请直接写出，，的数量关系，不需要证明． 17．如图，在中，平分，过点D作于点于点F，点H是的中点，连接． （1）判断四边形的形状，并证明； （2）连接，若，求的长． 18．已知：在菱形中，，点E为直线上的一点，连接． （1）如图1，，若，求的长； （2）如图2，与对角线交于点F，，求证：； （3）如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当取最小值时，直接写出的值． 参考答案 1．【答案】B 【分析】根据菱形的性质判断即可． 【详解】解：A、菱形的四条边都相等，A选项正确，不符合题意； B、菱形的对角线不一定相等，B选项错误，符合题意； C、菱形的对角线互相垂直，C选项正确，不符合题意； D、菱形是轴对称图形，D选项正确，不符合题意； 故选B． 2．【答案】B 【分析】根据菱形的对角线平分每一组对角求解即可． 【详解】解：∵是菱形的对角线，， ∴， 故选B． 3．【答案】C 【详解】如图所示， ∵菱形的周长为8cm， ∴菱形的边长为2cm， ∵菱形的高为1cm， ∴sinB= ∴∠B=30°， ∴∠C=150°， 则该菱形两邻角度数比为5：1， 故选C． 4．【答案】B 【详解】 菱形ABCD， 在Rt△BCO中， 即可得BD=8， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC=DE=6，    BE=BC+CE=10， ∴△BDE是直角三角形，    ∴S△BDE=DE•BD=24． 故选B． 5．【答案】B 【分析】由菱形的周长可求得AB的长，再利用三角形中位线定理可求得答案0 【详解】∵四边形ABCD为菱形，∴AB28=7，且O为BD的中点． ∵E为AD的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OEAB=3.5． 故选B． 6．【答案】A 【分析】连接，根据菱形的性质可得以及的度数，再根据含角的直角三角形的性质可求解． 【详解】解：连接交于点， 四边形是菱形，， ，， ， 在中， ，， ， 点A到的距离等于5． 故选A． 7．【答案】D 【分析】连接，交于点E，先求得菱形的边长，再求得点D的坐标，根据菱形的性质，利用中点坐标公式求解即可． 【详解】解：连接，交于点E，    ∵点A，B的坐标分别是，， ∴菱形的边长， ∴， ∴点D的坐标是， 设点C的坐标为， ∵四边形是菱形， ∴，解得， ，解得， ∴点C的坐标为． 故选D． 8．【答案】D 【分析】连接BD，利用菱形性质、等边三角形的性质可证，进而得到；根据题意，，即可求出． 【详解】解：连接BD，    ∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选D． 9．【答案】AB=AD（答案不唯一）. 【详解】已知OA=OC，OB=OD，可得四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形．所以添加条件AB=AD或BC=CD或AC⊥BD，本题答案不唯一，符合条件即可. 10．【答案】 【分析】根据题意，作出图形，延长交y轴于点E，确定，结合图形即可求解． 【详解】解：∵以为边作菱形，若点C在x轴上，点B在第二象限， ∴如图所示，只有一种情况， 延长交y轴于点E， ∴轴， ∵点A的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点B在第二象限， ∴. 11．【答案】 【分析】连接，交于点，利用菱形的性质和勾股定理求出对角线的长度，利用菱形的等面积法，即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵四边形为菱形， ， 由勾股定理得，， ∴， ， ， ∴. 12．【答案】/ 【分析】根据菱形的性质得出，且，再由勾股定理即可求得菱形边长，最后利用菱形的面积建立等量关系即可求得的长． 【详解】解：在菱形中， ∴，且 在中，， 由勾股定理得： ， 根据菱形的等积法得：， 即， 解得. 13．【答案】 【分析】先证明四边形是菱形，根据图1和图2判定三角形为等边三角形，它的面积为解答即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴， ， 为等边三角形， 设，由图可知，当两点重合时，的面积为， ∴的面积， 解得：(负值已舍). 14．【答案】9 【分析】延长交于点，取中点，连接并延长与延长线交于点，连接，连接，证明，得到，同理证明：，为等边三角形，继而可得是的垂直平分线，则，由，即可确定最小值． 【详解】解：延长交于点，取中点，连接并延长与延长线交于点，连接，连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 同理证明：， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值为. 15．【答案】见详解 【分析】根据是的中点，，易证得，即可得，又由在中，，是的中点，可得，证得四边形是平行四边形，继而判定四边形是菱形。 【详解】证明：如图，    ， ， 是的中点，是边上的中线， ，， 在和中， ， （）， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ∴四边形是菱形. 16．【答案】（1） （2） 【分析】 （1）连接，证明得出，再由等边对等角得出，由平行线的性质结合三角形内角和定理得出，即可得出答案； （2）在上截取，连接，证明，得出，，再证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 如图，在上截取，连接， ， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴、为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ． 17．【答案】（1）菱形，见详解 （2） 【分析】（1）根据角平分线的性质得出，进而利用直角三角形的性质得出，进而利用菱形的判定解答即可； （2）根据菱形的性质和含角的直角三角形的性质得出，进而解答即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 平分，过点作于点，于点，， ，， 点是的中点， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ． 18．【答案】（1） （2）见详解 （3） 【分析】（1）先由得，从而得出的值，再根据勾股定理得，然后在中，可得，最后再根据勾股定理即可解答； （2）由菱形中，可得，延长，在上取点，作，可证，可证得， ，从而得出，进而证得，从而得出； （3）由旋转可得，可证，当时取最小值，作交于点，如图，再证可证，最后由三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴ ， ∵ 在中，， ∴ ，则，根据勾股定理得： ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ （2）∵菱形中， ∴ ，， ∵， ∴ ∴ 如图；延长，在上取点，作 ∵ ， ∴ ， ∵ 是菱形的对角线， ∴ 在与中 ∴ ∴， 在与 ∴ ∴ ∵ ∴ （3）如图；∵点E为直线上的一点，线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当时取最小值； ∴ ∵ ∴ ∴ ，即： ∴   ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 作交于点， ∵ ， ∴ ，即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$