03讲集合的基本运算（思维导图+知识梳理+常考题型） 2025-2026学年高一数学人教A版2019必修一

1.3集合的基本运算 模块一 并集的概念与运算 1.并集的概念级表示 定义 由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B． 符号语言 A∪B={x|x∈A,或x∈B} 图示语言 2. 概念理解： (1)两个集合的并集仍然是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． 例1.设集合，，则(    ) A. B. C. D. 【变式1-1】设集合，则满足的集合的个数是(    ) A. B. C. D. 【变式1-2】已知，则集合中的元素个数为(    ) A. B. C. D. 例2.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【变式2-1】若集合，，则(    ) A. B. C. D. 【变式2-2】已知集合则(    ) A. B. C. D. 以上都不是 模块二 交集的概念及运算 1.交集的概念及表示 定义 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B． 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 图形语言 2.概念理解 （1）A∩B实际为：x是A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． （2）当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集． （3）解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图 例3.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【变式3-1】已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 例4.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【变式4-1】已知集合，则下列结论不正确的是(    ) A. B. C. D. 模块三 全集、补集的概念与运算 1.全集概念及表示 全集定义 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U． 符号语言 U 2.补集概念及表示 补集定义 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 ∁UA U A 例5.已知全集，集合，则(    ) A. B. C. D. 【变式5-1】已知全集，，则(    ) A. B. C. 或 D. 或 例6.设全集，，则(    ) A. B. C. D. 【变式6-1】已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 模块四 交并补运算的性质 1.集合运算规律 （1）集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． （2）集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）． （3）集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． （4）德摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB． （5）集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A． （6）集合求补律 　A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅． 【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答． 2.集合运算性质： （1）①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B． （2）①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B． 例7.已知集合，，若，则实数的取值所组成的集合是(    ) A. B. C. D. 【变式7-1】设集合  ，，，，，，下列结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 【变式7-2】（多选）设集合，或，则下列结论中正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 模块五 常考题型归纳 题型一：交并补的综合运算 1.设全集，集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知集合，，，，则中元素的个数为(    ) A. B. C. D. 3.已知集合，若，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 题型二：集合运算中的参数问题 1.已知集合，． 若，求实数的取值范围 当集合变为时，求的非空真子集的个数 若，求实数的取值范围． 2.设集合，． 若且，求的取值范围； 若，求的取值范围．   3.已知集合，． 若，求实数的取值范围； 若，求实数的取值范围． 4.设集合，， 若，求，； 若是的真子集，求实数的取值范围； 若中只有一个整数，求实数的取值范围． 题型三：Venn图在集合运算中的应用 1.已知全集为，，则其图象为(    ) A. B. C. D. 2.（多选）图中阴影部分所表示的集合是(    ) A. B. C. D. 3.（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为(    ) A. B. C. D. 题型四：容斥原理的应用 1.某班参加数、理、化竞赛时，有名学生参加数学竞赛，名同学参加物理竞赛，名同学参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有人，只参加数、理两科的人，只参加物、化两科的人，只参加数、化两科的人，若该班学生共名，则没有参加任何一科竞赛的学生有          人． 2.西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有位，阅读过红楼梦的学生共有位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为          ． 3.某班名同学参加一次智力竞猜活动，对其中，，三道知识题作答情况如下：答错者人，答错者人，答错者人，答错，者人，答错，者人，答错，者人，，，都答错的有人，问，，都答对的有          人 题型五：集合运算的新定义问题 1.若，且，则称为“影子关系”集合在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.已知表示不超过的最大整数，集合，，且，则满足条件的集合共有个． A. B. C. D. 3.已知非空集合，，定义，且，，且，则下列结论一定正确的是(    ) A. B. C. 当时， D. 当时， 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3集合的基本运算 模块一 并集的概念与运算 1.并集的概念级表示 定义 由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B． 符号语言 A∪B={x|x∈A,或x∈B} 图示语言 2. 概念理解： (1)两个集合的并集仍然是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． 例1.设集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 根据集合的并集定义运算即可， 【解答】 解：已知，， 则． 故选C． 【变式1-1】设集合，则满足的集合的个数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 根据题目给出的集合，且满足，由并集的概念直接得到集合的所有可能情况． 【解答】 解：由集合，且满足， 所以或或或，共种可能． 所以满足的集合的个数是． 故选：． 【变式1-2】已知，则集合中的元素个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 化简集合，再与取并集即可集合中的元素个数． 【解答】 解：由题意， 又， 所以， 即集合中的元素个数为， 故选C． 例2.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 直接利用并集的运算法则进行求解即可． 【解答】 解：已知集合，， 则． 故选：． 【变式2-1】若集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 求出集合，，再求即可． 【解答】 由，解得， 故A，又， 所以． 故选C． 【变式2-2】已知集合则(    ) A. B. C. D. 以上都不是 【答案】C  【分析】 根据题意判断出集合和的关系，再求出它们的并集即可． 【解答】 由题意知，，即集合是整数的倍组成的集合， ，它表示奇数的倍组成的集合， 则，则． 故选C． 模块二 交集的概念及运算 1.交集的概念及表示 定义 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B． 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 图形语言 2.概念理解 （1）A∩B实际为：x是A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． （2）当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集． （3）解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图 例3.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 解一元二次不等式可得集合，再根据交集的定义计算即可． 【解答】 解：由题意得：， 因为，解得：， 则 则． 故选：． 【变式3-1】已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 分析可得，由此可得出结论． 【解答】 解：任取，则，其中， 所以，，故， 因此，． 故选：． 例4.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】 根据交集运算求解即可． 【解答】 由题意可得：． 故选：． 【变式4-1】已知集合，则下列结论不正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 根据交集和并集的定义以及集合之间的关系求解即可。 【解答】 由题意，，或， ，，，   故DB错误． 故选： 模块三 全集、补集的概念与运算 1.全集概念及表示 全集定义 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U． 符号语言 U 2.补集概念及表示 补集定义 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 ∁UA U A 例5.已知全集，集合，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 结合补集的运算性质求解． 【解答】 解：易得，． 【变式5-1】已知全集，，则(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】全集，， 则或． 故选：． 例6.设全集，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 根据补集的定义计算可得． 【解答】 全集，， 则． 故选：． 【变式6-1】已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：因为集合，，故． 故选：． 模块四 交并补运算的性质 1.集合运算规律 （1）集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． （2）集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）． （3）集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． （4）德摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB． （5）集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A． （6）集合求补律 　A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅． 【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答． 2.集合运算性质： （1）①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B． （2）①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B． 例7.已知集合，，若，则实数的取值所组成的集合是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 由，可得，利用分类讨论思想求解即可． 【解答】 ， ． 当时，，满足条件． 当时，或， 或， 解得或． 综上可得，实数的取值所组成的集合是． 故选D． 【变式7-1】设集合  ，，，，，，下列结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】 利用交集的运算得，再利用子集与真子集和集合的相等对、和进行判断，再利用并集的运算得，再利用集合的相等对进行判断，从而得结论． 【解答】 因为集合，， 所以， 因此，，， 所以不正确，B正确． 又因为，所以不正确． 故选B． 【变式7-2】（多选）设集合，或，则下列结论中正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC  【分析】 由题意利用集合子集的概念以及交集，并集的定义逐项分析即可． 【解答】 对于，若，则，则，故A正确 对于，若，显然对于任意，，则，故，故B正确 对于，若，则解得，故 C正确 对于，若，则不等式无解，故若，则，故D错误． 故选ABC． 模块五 常考题型归纳 题型一：交并补的综合运算 1.设全集，集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 进行补集、交集的运算即可． 【解答】 全集， 集合，， 则， ， 故选：． 2.已知集合，，，，则中元素的个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 本题考查集合的交集运算，属基础题． 【解答】 解：由题意，中的元素满足且，，由，得，所以满足的有，，，，所以中元素的个数为故选C． 3.已知集合，若，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 由条件可得讨论集合是否为空集，得到关于的不等式组，即可解出结果． 【解答】 由条件得，又因为， 所以，即有． 当，有，解得：； 当，有，解得：． 综上，实数的取值范围为：． 故选C． 题型二：集合运算中的参数问题 1.已知集合，． 若，求实数的取值范围 当集合变为时，求的非空真子集的个数 若，求实数的取值范围． 【分析】本题考查含有参数的集合的交集、并集的运算问题，非空真子集的个数问题，主要分类讨论思想的运用，属于中档偏难题． 【答案】解：因为，所以A. 当时，由，得，符合题意 当时，根据题意，可得 解得 综上，实数的取值范围是． 当时，，共有个元素，所以的非空真子集的个数为． 当时，由知 当时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得或解得． 综上，实数的取值范围是或．  2.设集合，． 若且，求的取值范围； 若，求的取值范围． 【分析】本题主要考查了含参数的集合间的包含关系，考查了集合的交集运算，属于中档题． 根据且，列不等式组求实数的取值范围； 分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数的取值范围． 【答案】解：由题意，集合， 因为且， 所以， 解得， 综上所述，实数的取值范围为； 由题意，需分为和两种情形进行讨论： 当时，， 解得，满足题意； 当时， 因为， 所以，解得， 或，无解， 综上所述，实数的取值范围为．    3.已知集合，． 若，求实数的取值范围； 若，求实数的取值范围． 【分析】 由补集的定义可先求出，根据，可得关于的不等式组，解之即可； 若，得，建立条件关系即可求实数的取值范围，从而时的范围为时的范围的补集，由此可得答案． 【答案】解：，或， 若， 则，解得， 实数的取值范围是； 若，则， 当时，则，解得满足， 当时，  当则 ，解得， 综上，的取值范围为 故当时的范围为的补集，即 故实数的取值范围为  4.设集合，， 若，求，； 若是的真子集，求实数的取值范围； 若中只有一个整数，求实数的取值范围． 【分析】 化简集合，再由补集和并集、交集的定义即可求解； 由，可得，即可求解； 中只有一个整数，所以，且，解不等式即可． 【答案】解：， 或， ，． ，， 实数的取值范围为； 中只有一个整数，所以，且，解得：， 实数的取值范围是．  题型三：Venn图在集合运算中的应用 1.已知全集为，，则其图象为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【分析】 根据给定条件，可得  ，结合韦恩图的意义判断作答． 【解答】 解：全集为，  ，则有  ，选项BCD不符合题意，选项A符合题意． 故选：． 2.（多选）图中阴影部分所表示的集合是(    ) A. B. C. D. 【答案】AC  【分析】． 由图结合集合运算，逐一判断求解即可． 【解答】 解：图中阴影部分的集合表示正确的是或 故答案选AC． 3.（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为(    ) A. B. C. D. 【答案】AD  【分析】 根据韦恩图和集合的关系求解． 【解答】 解：由韦恩图可知，阴影部分表示的集合中元素在集合中也可以在集合中，不在集合中的并集中， 即为集合与集合的补集的交集和集合与集合的补集的交集的并集． 故选：   题型四：容斥原理的应用 1.某班参加数、理、化竞赛时，有名学生参加数学竞赛，名同学参加物理竞赛，名同学参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有人，只参加数、理两科的人，只参加物、化两科的人，只参加数、化两科的人，若该班学生共名，则没有参加任何一科竞赛的学生有          人． 【答案】  【分析】 首先分析题目，发现题目已知条件太多，考虑到画图使条件简化，然后根据图形求出单独参加数理化的人数，然后把单独参加数理化的人数和参加门参加门竞赛的人数加在一起，即可得到参加竞赛的人数，用总人数减去它即可得到答案． 【解答】 解：画三个圆分别代表参加数学、物理、化学的人． 因为参加数、理、化三科竞赛的有名， 只参加数、物两科的有名， 只参加物、化两科的有名， 只参加数、化两科的有名． 分别填入图形中， 又因为有名学生参加数学竞赛，名学生参加物理竞赛，名学生参加化学竞赛． 故单独参加数学的有人、单独参加物理的有人，单独参加化学的有人， 故是参加竞赛的人数，所以没参加的人数为人． 故答案为：． 2.西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有位，阅读过红楼梦的学生共有位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为          ． 【答案】  【分析】 作出韦恩图，得到该学校阅读过西游记的学生人数为人，由此能求出该学校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值． 【解答】 解：某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了位学生， 其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有位， 阅读过红楼梦的学生共有位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有位， 作出韦恩图，得： 该学校阅读过西游记的学生人数为人， 则该学校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：． 故答案为． 3.某班名同学参加一次智力竞猜活动，对其中，，三道知识题作答情况如下：答错者人，答错者人，答错者人，答错，者人，答错，者人，答错，者人，，，都答错的有人，问，，都答对的有          人 【答案】  【分析】． 根据题意，作出图，借助图即可求解． 【解答】 解：由题意，设全班同学为全集，画出图， 表示答错的集合，表示答错的集合，表示答错的集合， 将其集合中元素数目填入图中， 自中心区域向四周的各区域数目分别为 ，，，，，，， 因此中元素数目为， 从而至少错一题的共人， 因此，，全对的有人． 故答案为． 题型五：集合运算的新定义问题 1.若，且，则称为“影子关系”集合在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【分析】 本题考查集合新定义问题，根据影子关系”集合定义列举满足条件的集合即可． 【解答】 解：由“影子关系”集合定义可知，集合中，为影子关系的集合有，，，，，，故选C． 2.已知表示不超过的最大整数，集合，，且，则满足条件的集合共有个． A. B. C. D. 【答案】B  【分析】 由新定义及集合的概念可化简集合，分类讨论，从而得到满足条件的集合． 【解答】 解：由题设可知， 又因为，所以， 而， 因为的解为或， 的两根满足， 所以分属方程与的根， 若是的根，是的根， 则有，解得 代入与， 解得或与或， 故； 若是的根，是的根， 则有，解得 代入与， 解得或与或， 故， 所以满足条件的集合共有个． 故选B． 3.已知非空集合，，定义，且，，且，则下列结论一定正确的是(    ) A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】BCD  【分析】 根据集合的新定义以及集合的运算对选项逐一判断，即可得到结果． 【解答】 解：由定义可知，，且， 所以，A错误 由定义可知，，且，，且， 所以，且，B正确 由得，，且，且， 所以，，则，C正确 由得，，且，且，所以， 所以，且，D正确． 故选BCD． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$