1.4 讲义-一元二次不等式讲义-2026届高三数学一轮复习

1.4 一元二次不等式 知识梳理 1． 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0， （a≠0，a，b，c均为常数） 2．二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 (以下) 判别式 二次函数的图象   一元二次方程的根 有两个不相等的实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式的解集 【注意】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是： 大于取两边，小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，应先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 3．解一元二次不等式的一般步骤 （1）解不含参数的一元二次不等式（具体的） ①变形：将不等式化为一端为零且二次项系数为正 ax2＋bx＋c > 0 （≥0）或ax2＋bx＋c < 0 （≤0） ②解对应的一元二次方程 先看能否因式分解，如果不能，再看，然后求根 ③画图判断解集：画图或直接判断，写出解集 （2）解含参数的一元二次不等式 【注意】对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并． 典例剖析 【考点一 一元二次不等式的解法】 【题型一 不含参的一元二次不等式的解法】 1．解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型二 含参的一元二次不等式的解法】 2．（多选）对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 【变式】（25江西新余高三下押题卷）已知集合，，若⫋，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3． （24云南高一上月考）解关于x的不等式 （1）； （2）. 【考点二 三个二次的关系】 【题型 根据二次不等式的解集求参数】 【归纳总结】 1.三个二次的关系：一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值 2.给出一元二次不等式的解集，求各系数关系的解题思路 ①由解集确定二次函数的开口方向及与x轴的交点（一元二次方程的两根） ②利用韦达定理，建立系数与根的对应关系，进而得到各系数的关系 4．（24山东日照高一上期末）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 【练习】（24广东汕头高一上期中）（多选）若关于的不等式 的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．函数在上单调递增 5．（25安徽亳州高一下期末）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 6．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25陕西渭南高三下月考）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识梳理 2、 二次不等式的恒成立与有解问题 （一）在实数范围内的恒成立、有解问题 1．表述方式： 不等式 方程 恒成立 1.不等式对一切实数都成立（恒成立） 2.不等式的解集为R （或） 3.不等式的图象都在x轴的上方（或下方） 4.对，为真命题 ，为假命题 ，为真命题 ，为假命题 有解 （1）不等式有解 （2）不等式的解集不为 （3）函数有x轴上方（或下方）的图象 （4），为真命题 ，为假命题 ，为真命题 ，为假命题 2. 求解思路： 一元二次不等式在R上的恒成立与有解问题，根本方法是结合二次函数的图象，从开口和判别式△两方面去判断 （二）在给定区间的恒成立、有解问题 求解思路： 一元二次不等式在给定区间上的恒成立与有解问题，根本是转化为求该区间上的最值 1. 参变分离求最值：当与参数相乘部分的符号可以确定时，可考虑参变分离 在区间D上恒成立⇔ 在区间D上恒成立⇔ 在区间D上有解⇔ 在区间D上有解⇔ 2. 整体求最值：当参变分离不行时，可以求原函数在区间上的最值 借助二次函数的图象，分类讨论求最值 【考点三 二次不等式恒成立与有解问题】典例剖析 【题型一 一元二次不等式在R上的恒成立、有解问题】 7．（25广东清远高三下开学）若关于x的不等式的解集为空集，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25云南昭通高二下期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型二 一元二次不等式在某区间上的恒成立、有解问题】 （参变分离） 9．（24云南高一上期末）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24北京高一上期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24河南许昌高三上期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【变式】（24广东湛江高一上月考）（多选）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（   ） A． B． C． D． （整体最值） 11．（25江苏高一下月考）当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 一元二次不等式 知识梳理 1． 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0， （a≠0，a，b，c均为常数） 2．二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 (以下) 判别式 二次函数的图象   一元二次方程的根 有两个不相等的实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式的解集 【注意】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是： 大于取两边，小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，应先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 3．解一元二次不等式的一般步骤 （1）解不含参数的一元二次不等式（具体的） ①变形：将不等式化为一端为零且二次项系数为正 ax2＋bx＋c > 0 （≥0）或ax2＋bx＋c < 0 （≤0） ②解对应的一元二次方程 先看能否因式分解，如果不能，再看，然后求根 ③画图判断解集：画图或直接判断，写出解集 （2）解含参数的一元二次不等式 【注意】对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并． 典例剖析 【考点一 一元二次不等式的解法】 【题型一 不含参的一元二次不等式的解法】 1．解一元二次不等式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或． (3)一切实数． (4)． 【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可得答案. 【详解】（1），方程的解是． 不等式的解为． （2）整理得，． ，方程的解为. 原不等式的解为或． （3）整理，得． 由于上式对任意实数都成立，原不等式的解为一切实数． （4）整理，得． 由于当时，成立；而对任意的实数都不成立， 原不等式的解为． 【题型二 含参的一元二次不等式的解法】 2．（多选）对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 【答案】AB 【分析】分， ， ， ， 五种情况讨论，分别结合一次或二次不等式的解法求解即可. 【详解】当时，不等式可化为，则不等式解集为， 当时，原不等式可化为， 则当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为． 综上，AB符合，CD不符合. 故选:AB． 【变式】（25江西新余高三下押题卷）已知集合，，若⫋，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式化简集合，再利用集合的包含关系求解. 【详解】依题意，，， 因为⫋，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 3． （24云南高一上月考）解关于x的不等式 （1）； 【答案】答案见解析 【分析】（1）等价变形不等式，分离参数并构造函数，求出函数最小值即可. 【详解】不等式， 当时，恒成立，则； 当时，，解得； 当时，若，则，， 若，则，且， 若，则，或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. （2）. 【答案】答案见解析； 【分析】分类讨论求解含参数的一元二次不等式. 根据给定条件，分离参数，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】不等式，， 当时，，原不等式无解； 当或时，，原不等式解为； 当或时，，由，解得， 不等式的解为， 所以当时，原不等式的解集为； 当或时，原不等式的解集为； 当或时，原不等式的解集为. 【考点二 三个二次的关系】 【题型 根据二次不等式的解集求参数】 【归纳总结】 1.三个二次的关系：一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值 2.给出一元二次不等式的解集，求各系数关系的解题思路 ①由解集确定二次函数的开口方向及与x轴的交点（一元二次方程的两根） ②利用韦达定理，建立系数与根的对应关系，进而得到各系数的关系 4．（24山东日照高一上期末）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 【答案】ACD 【分析】由已知条件知方程的两根，，结合根与系数关系可得，，依次判断各个选项. 【详解】对于A，根据题意，方程的两根，且，故A正确； 对于B，由，，，即，，则，故B错误； 对于C，因为，， 所以不等式为，又， 所以不等式变为，解得，即不等式的解集为，故C正确； 对于D，，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6，故D正确. 故选：ACD. 【练习】（24广东汕头高一上期中）（多选）若关于的不等式 的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．函数在上单调递增 【答案】ACD 【分析】利用三个二次的关系，将条件转化成方程的根的情况，判断的符号，利用韦达定理得到的数量关系，再根据选项一一判断或求解不等式即得. 【详解】对于A，由题意，方程有两根为和2，且，故A正确； 由韦达定理，即. 对于B，由， 即解得或，故B错误； 对于C，因，且， 故，故C正确； 对于D，， 因，故该函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 5．（25安徽亳州高一下期末）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意可知：，m是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知：，m是方程的两根，且， 则，可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：C. 6．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类时，分别得出解析计算求参. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以； 当时，不等式的解集为，此时不符合题意； 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以． 综上可知，实数的取值范围是． 故选：C． 【变式】（25陕西渭南高三下月考）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式可得， 所以，即， 方程的两根为， 当时，不等式可化为，， 解集为：，不满足条件； 当时，不等式可化为， 当时，则，即，不等式的解集为：， 要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件； 当时，则，即，不等式的解集为空集， 当时，则，即，不等式的解集为， 要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：， 故实数的取值范围是：. 故选：B. 知识梳理 2、 二次不等式的恒成立与有解问题 （一）在实数范围内的恒成立、有解问题 1．表述方式： 不等式 方程 恒成立 1.不等式对一切实数都成立（恒成立） 2.不等式的解集为R （或） 3.不等式的图象都在x轴的上方（或下方） 4.对，为真命题 ，为假命题 ，为真命题 ，为假命题 有解 （1）不等式有解 （2）不等式的解集不为 （3）函数有x轴上方（或下方）的图象 （4），为真命题 ，为假命题 ，为真命题 ，为假命题 2. 求解思路： 一元二次不等式在R上的恒成立与有解问题，根本方法是结合二次函数的图象，从开口和判别式△两方面去判断 （二）在给定区间的恒成立、有解问题 求解思路： 一元二次不等式在给定区间上的恒成立与有解问题，根本是转化为求该区间上的最值 1. 参变分离求最值：当与参数相乘部分的符号可以确定时，可考虑参变分离 在区间D上恒成立⇔ 在区间D上恒成立⇔ 在区间D上有解⇔ 在区间D上有解⇔ 2. 整体求最值：当参变分离不行时，可以求原函数在区间上的最值 借助二次函数的图象，分类讨论求最值 【考点三 二次不等式恒成立与有解问题】典例剖析 【题型一 一元二次不等式在R上的恒成立、有解问题】 7．（25广东清远高三下开学）若关于x的不等式的解集为空集，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论、，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当时，，显然解集为空，满足题设； 当时，在上无解， 所以，可得； 综上，. 故选：C 8．（25云南昭通高二下期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，，，据此可得答案. 【详解】由题可得，，当时，不等式显然成立. 当时，由题可得函数图象恒在x轴下方， 则.综上可得. 故选：B 【题型二 一元二次不等式在某区间上的恒成立、有解问题】 （参变分离） 9．（24云南高一上期末）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】参变分离计算可得，再利用充分不必要条件定义即可判断. 【详解】由，因为，所以， 要想该命题为真命题，只需，四个选项中只有A符合充分不必要的性质. 故选：A. 【变式】（24北京高一上期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 10．（24河南许昌高三上期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C 【变式】（24广东湛江高一上月考）（多选）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】变换得到在上有解，设，则，得到，根据对勾函数的单调性计算最值得到答案. 【详解】由，即，， 故在上有解， 设，则， 则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，， 则的最大值为，故. 故选：AB. （整体最值） 11．（25江苏高一下月考）当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质求最值可得结果. 【详解】①当时，不等式化为，显然恒成立，满足题意； ②当时，令，则在上恒成立， 函数的对称轴为， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：A. 第 2 页 共 12 页 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$