模考中的冰雹猜想训练-2026届高三数学一轮复习

( 第 1 页 共 26 页 ) ( 第 1 页 共 26 页 ) 更多模考中的冰雹猜想（角谷猜想） 一、单选题 1．（23-24高二下·四川成都·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”），参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设各项均为正整数的数列满足，若，则的取值可以为（    ） A．1 B．3 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据运算规则逆向寻找结果即可. 【详解】若，则或（舍去），则或， 若，则或，当，则或， 当，则； 若，则，所以或， 综上可得，故符合条件的只有A. 故选：A 2．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）任取一个正数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】从进行推导，得到或，继续推导，得到答案. 【详解】，若为偶数，则，解得，满足要求， 若为奇数，则，解得，不合要求， 若为偶数，则，解得，满足要求， 若为奇数，则，解得，不合要求， 若为偶数，则，解得，满足要求， 若为奇数，则，解得，满足要求， ①若，若为偶数，则，解得， 若为奇数，则，解得，不合要求，舍去； 则或， 或，同理可得，若则，或21， 若，则，或3； ②若，则，，则或8， 或16， 综上：，3，16，20，21，128. 故选：B. 3．（23-24高一下·湖南·期末）冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据题中定义，分别求出正整数6，7，8，9，10按照题中所给运算规律进行运算的次数，最后根据古典概型的概率计算公式进行求解即可. 【详解】按照题中运算规律，正整数6的运算过程为，运算次数为； 正整数7的部分运算过程为， 当运算到10时，运算次数为10，由正整数的运算过程可知， 正整数7总的运算次数为； 正整数8的运算次数为；正整数9的部分运算过程为，当运算到7时，运算次数为3， 由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为． 正整数10的运算次数为6； 故正整数6，7，8，9，10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数， 从正整数6，7，8，9，10中任取2个数的方法总数为： ，共种， 其中的运算次数均为奇数的方法总数为：，共种， 故运算次数均为奇数的概率为． 故选：A. 4．（20-21高一下·湖北武汉·期末）冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据题中定义，分别求出正整数6，7，8，9，10按照题中所给运算规律进行运算的次数，最后根据古典概型计算公式进行求解即可. 【详解】按照题中运算规律，正整数6的运算过程为，运算次数为8； 正整数7的部分运算过程为， 当运算到10时，运算次数为10，由正整数的运算过程可知， 正整数7总的运算次数为； 正整数8的运算次数为3； 正整数9的部分运算过程为，当运算到7时，运算次数为3， 由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为． 正整数10的运算次数为6； 故正整数6，7，8，9，10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数， 从正整数6，7，8，9，10中任取2个数的方法总数为： ，共种， 其中的运算次数均为偶数的方法总数为：，共种， 故运算次数均为偶数的的概率为， 故所求概率． 故选：C. 5．（21-22高二上·吉林松原·阶段练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，则当时，则使需要的雹程步数为（    ）A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】直接利用递推关系逐步计算可得使得需要多少步雹程. 【详解】解：根据题意，当，根据上述运算法则得出42→21→64→32→16→8→4→2→1， 所以共需经过8个步骤变成1，故使需要的雹程步数为8. 故选：B 二、多选题 6．（23-24高二上·福建福州·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】求出数列的前几项，可得数列中从第4项起以4，2，1循环，然后一一分析判断即可. 【详解】因为数列满足，， 所以 ， 所以， 所以AB正确，C错误， 因为数列中从第4项起以4，2，1循环，而， 所以，所以D正确， 故选：ABD 三、填空题 7．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），，当时，使得需要______步雹程；若，则m所有可能的取值集合M为______． 【答案】 12 【知识点】数列新定义、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据题中条件，由，根据数列的递推公式，逐步计算，即可得出结果；由，根据递推公式，逐步计算，即可得出集合M.【详解】当时，即，由， 可得，，，， ，，，，， ，， 因此使得需要12步雹程； 由题意，为正整数， 若，由，解得； 当时，由，解得， 当时，由，解得或， 当时，由，解得， 当时，由，解得， 当时，由，解得， 当时，由，解得或， 当时，由，解得或， 当时，由，解得， 当时，由，解得， 当时，由，解得， 当时，由，解得， 当时，由，解得或， 当时，由，解得或， 所以则m所有可能的取值集合M为 故答案为：12，. 【点睛】思路点睛：由数列递推公式求数列中的项时，一般根据题中条件，由某一项的值，结合递推公式，逐步计算，即可得出结果. 8．（23-24高一下·浙江台州·期中）冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为 . 【答案】/0.7 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据题中定义，分别求出正整数6，7，8，9，10按照题中所给运算规律进行运算的次数，最后根据古典概型计算公式进行求解即可. 【详解】按照题中运算规律，正整数6的运算过程为，运算次数为8； 正整数7的部分运算过程为， 当运算到10时，运算次数为10，由正整数的运算过程可知， 正整数7总的运算次数为； 正整数8的运算次数为3； 正整数9的部分运算过程为，当运算到7时，运算次数为3， 由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为． 正整数10的运算次数为6；故正整数6，7，8，9，10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数， 从正整数6，7，8，9，10中任取2个数的方法总数为： ，共种， 其中的运算次数均为偶数的方法总数为：，共种， 故运算次数均为偶数的的概率为， 故所求概率． 故答案为：． 四、解答题 9．（2024·湖南·三模）角谷猜想，也称为“”猜想.其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以2；如果是奇数，则将它乘以3再加上1，如此反复运算，该数最终将变为1.这就是对一个正整数运算时“万数归1”现象的猜想.假如对任意正整数，按照上述规则实施第1次运算后的结果记为，实施第2次运算后的结果记为，…，实施第次运算后的结果记为，实施第n次运算后得到数1，停止运算，便可以得到有穷数列，1，其递推关系式为：叫做数列的原始项.将此递推关系式推广为：（，且），其它规则不变，得到的数列记作数列，试解答以下问题：(1)若，则数列的项数为______； (2)求数列的原始项的所有可能取值构成的集合； (3)若对任意的数列，均有，求d的最小值. 【答案】(1)5； (2)； (3)2. 【知识点】数列新定义、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】（1），根据给定条件，逐一计算即可得数列的项数. （2）证明对于任意的正整数，当时，均存在数列为数列，时，，符合题意，利用反证再进行分类讨论可得. （3）先证符合题意，分类讨论①当，②当，最后证明和两种情况得答案.【详解】（1）， ，所以数列的项数为5. （2）， 下面证明对于任意的正整数，当时，均存在数列为数列， 时，符合题意， 反证，假设存在正整数，当时，不存在数列为数列， 设此时的最小值为，即时，存在数列，时，不存在数列， ①当为奇数时，因为存在以为原始项的数列，， 所以就是原始项为的数列，与假设矛盾； ②当为偶数时，因为存在以为原始项的数列，， 所以就是原始项为的数列，与假设矛盾， 综上可知，数列的原始项的所有可能取值为全体大于等于2的正整数， 即数列的原始项的所有可能取值构成的集合为. （3）依题意，，， 先证明符合题意，即， 当时，显然成立；当时，，即也成立； 当时，对任意，故，即， ①当时，由， 所以； ②当时，由， ，所以， 下面证明，对任意的正偶数，构造， 先验证为数列，当时，为奇数，， 当时，为偶数，， 当时，，所以为数列， 下面证明不符合题意，假设，因为， ， 所以，矛盾. 综上可得的最小值为2. 【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 10．（24-25高三上·广东·阶段练习）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. (1)求20以内的质数“理想数”； (2)已知.求m的值； (3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 【答案】(1)2和5为两个质数“理想数” (2)的值为12或18 (3)证明见解析 【知识点】数列新定义、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解； （2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解； （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）以内的质数为， ，故，所以为“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； 和5为两个质数“理想数”； （2）由题设可知必为奇数，必为偶数， 存在正整数，使得，即： ，且， ，或，或，解得，或， ，或，即的值为12或18． （3）显然偶数"理想数"必为形如的整数， 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：， 若奇数，不妨设，若为"理想数"，则，且，即，且， ①当，且时，； ②当时，； ，且， 又，即， 易知为上述不等式的唯一整数解， 区间]存在唯一的奇数"理想数"，且， 显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为， 所有的奇数"理想数"的倒数为， ，即． 【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 第 1 页 共 26 页 ) ( 第 1 页 共 26 页 ) 更多模考中的冰雹猜想（角谷猜想） 一、单选题 1．（23-24高二下·四川成都·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”），参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设各项均为正整数的数列满足，若，则的取值可以为（    ） A．1 B．3 C．6 D．7 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 2．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）任取一个正数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 3．（23-24高一下·湖南·期末）冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 4．（20-21高一下·湖北武汉·期末）冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 5．（21-22高二上·吉林松原·阶段练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，则当时，则使需要的雹程步数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、多选题 6．（23-24高二上·福建福州·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 三、填空题 7．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），，当时，使得需要______步雹程；若，则m所有可能的取值集合M为______． 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 8．（23-24高一下·浙江台州·期中）冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为 . 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 四、解答题 9．（2024·湖南·三模）角谷猜想，也称为“”猜想.其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以2；如果是奇数，则将它乘以3再加上1，如此反复运算，该数最终将变为1.这就是对一个正整数运算时“万数归1”现象的猜想.假如对任意正整数，按照上述规则实施第1次运算后的结果记为，实施第2次运算后的结果记为，…，实施第次运算后的结果记为，实施第n次运算后得到数1，停止运算，便可以得到有穷数列，1，其递推关系式为：叫做数列的原始项.将此递推关系式推广为：（，且），其它规则不变，得到的数列记作数列，试解答以下问题： (1)若，则数列的项数为______； (2)求数列的原始项的所有可能取值构成的集合； (3)若对任意的数列，均有，求d的最小值. 【答案 【知识点】 【分析】 【详解】 10．（24-25高三上·广东·阶段练习）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. (1)求20以内的质数“理想数”； (2)已知.求m的值； (3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 【答案】 【知识点】 【分析】 【详解】 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$