新教材中的角谷猜想讲义-2026届高三数学一轮复习

( 第 1 页 共 4 页 ) 一、这道简单的角谷猜想题 二、新教材课后题中的冰雹猜想（角谷猜想） 三、冰雹猜想公式 四、高考中的冰雹猜想（角谷猜想） 五、模考中的冰雹猜想（角谷猜想） 一、这道简单的角谷猜想题 【江苏徐州25届高三下2月调研T13】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 再加上 ；若是偶数，就将该数除以 . 反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 . 这就是数学史上著名的 “冰雹猜想” （又称 “角谷猜想” 等）. 如取正整数 ，根据上述运算法则得出 ，共需经过 个步骤变成 （简称为 步 “雹程”）. 现给出 冰雹猜想的递推关系如下：已知数列 满足： （ 为正整数） 若 ，记数列 的前 项和为 ，则 _. 解析： 二、新教材课后题中的冰雹猜想（角谷猜想） 在人教 版新教材选择性必修二第 页课后复习参考题4的第 题中介绍了什么是冰雹猜想（角谷猜想），如下图 【人教 版新教材选择性必修二 】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 再加上 ；若是偶数，就将该数除以 . 反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 . 这就是数学史上著名的 “冰雹猜想” （又称 “角谷猜想” 等）. 如取正整数 ，根据上述运算法则得出 ，共需经过 个步骤变成 （简称为 步 “雹程”）. 现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列 满足： （ 为正整数）， （1） 当 时，试确定使得 需要多少步雹程； （2） 若 ，求 所有可能的取值集合 . 解析： （1） （2） 注： 三、冰雹猜想公式 对于冰雹猜想的递推关系 当 为偶数 时，代入递推式， （ ），因此只需考虑 为奇数是否满足猜想即可。 角谷对于猜想的做法是构造迭代公式 其中 为奇数，取 中最大的 使 也是奇数。 如果由 式得到的奇数不是 则继续迭代，直到为 为止，即 例如， ，代入 式， ，代入 式， ； 角谷猜想，输入 ，即任何一个奇数，直至无穷，经过式 迭代，最终都等于 。 角谷的猜想，需要证明以下两个结论才有可能完成，即 1. 任何一个 进入迭代式 以后不会回到 ，即不会发生循环。如果发生循环，此即是一个反例，否定了角谷猜想。 1. 进入迭代式 以后的数值不会发散，即不会越来越大直至无穷，而是在一个有限的范围内更替。 关于角谷的猜想目前并没有得到完全证明，有关角谷猜想证明的论文，感兴趣的同学可以自行搜索。 四、高考中的冰雹猜想（角谷猜想） 人教 版新教材选择性必修二第 页课后复习参考题4的第 题的这道题可能出自2009 年湖北卷（理科）填空压轴，如下 【2009 年湖北卷（理科）T15】已知数列 满足： （ 为正整数）， 若 ，求 所有可能的取值为____ . 解析： 五、模考中的冰雹猜想（角谷猜想） 【24届深圳二模T19】 无穷数列 ，，，， 的定义如下：如果 是偶数，就对 尽可能多次地除以 ，直到得出一个奇数，这个奇数就是 ；如果 是奇数，就对 尽可能多次地除以 ，直到得出一个奇数，这个奇数就是 . （1） 写出这个数列的前 项； （2） 如果 且 ，求 的值； （3） 记 ， ，求一个正整数 ，满足 解析： （1） （2） （3） 【广东六校 25 届高三8月联考T19】对于任意的正整数 ，进行如下操作：若 为偶数，则对 不断地除以 ，直到得到一个奇数，记这个奇数为 ；若 为奇数，则对 不断地除以 ，直到得出一个奇数，记这个奇数为 . 若 ，则称正整数 为 “理想数”. （1） 求 以内的质数“理想数”； （2） 已知 ，求 的值； （3） 将所有“理想数”从小到大依次排列，逐一取倒数后得到数列 ，记 的前 项和为 ，证明： （ ） 答案： （1）（2） （3） 解析： （1） （2） （3） 【湖南 A 佳教育 24 年 5 月高三模考T19】 角谷猜想，也称为 “ ” 猜想. 其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以 ；如果是奇数，则将它乘以 再加上 ，如此反复运算，该数最终将变为 . 这就是对一个正整数运算时 “万数归一” 现象的猜想. 假如对任意正整数 （ ），按照上述规则实施第一次运算后的结果记为 ，实施第 次运算后的结果记为 ，，实施第 次运算后得到数 ，停止运算，便可以得到有穷数列 ： ，其递推关系式为： 其中 ， 叫做数列 的原始项. 将此递推关系式推广为： 其中 ，， ，且 ；其它规则不变，得到的数列记作 数列，试解答以下问题： （1） 若 ，则数列 的项数为_ ； （2） 求 数列的原始项 的所有可能取值构成的集合； （3） 若对任意的 数列，均有 ，求 的最小值. 答案： （1）（2）（3） 解析： （1） （2） （3） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、这道简单的角谷猜想题 二、新教材课后题中的冰雹猜想 (角谷猜想) 三、冰雹猜想公式 四、高考中的冰雹猜想(角谷猜想) 五、模考中的冰雹猜想(角谷猜想) 一、这道简单的角谷猜想题 【江苏徐州 25 届高三下 2 月调研 T13】任取一个正整数, 若是奇数, 就将该数乘 3 再加上 1; 若是偶数, 就将该数除以 2. 反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈 . 这就是数学史上著名的 “冰雹猜想” (又称 “角谷猜想” 等). 如取正整数 ,根据上述运算 法则得出 ,共需经过8个步骤变成 1 (简称为8步 “雹程”). 现给出 冰雹猜想的递推关系如下: 已知数列 满足: ( 为正整数) 若 ,记数列 的前 项和为 ,则 _. 解析: 因为 则 共 2020 项都是 的循环 因为 所以 二、新教材课后题中的冰雹猜想 (角谷猜想) 在人教 版新教材选择性必修二第 56 页课后复习参考题 4 的第 10 题中介绍了什么是冰雹猜想(角谷猜想),如下图 10. 任取一个正整数, 若是奇数, 就将该数乘 3 再加上 1; 若是偶数, 就将该数除以 2. 反复进行 上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈 . 这就是数学史上著名的 “冰 雹猜想” (又称 “角谷猜想” 等). 如取正整数 ,根据上述运算法则得出 ,共需经过 8 个步骤变成 1 (简称为 8 步 “雹程”). 现给出冰雹猜想的递推关系如下: 已知数列 满足: ( 为正整数), (1)当 时,试确定使得 需要多少步雹程； (2)若 ,求 所有可能的取值集合 . 【人教 A 版新教材选择性必修二 P56T10】任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘 3 再加上 1 ；若是偶数,就将该数除以 2 . 反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈 . 这就是数学史上著名的 “冰雹猜想” (又称 “角谷猜想” 等). 如取正整数 ,根据上述运 算法则得出 ,共需经过8个步骤变成 1 (简称为 8 步 “雹程”). 现给出冰雹猜想的递推关系如下: 已知数列 满足: ( 为正整数), ( 1 )当 时,试确定使得 需要多少步雹程； (2)若 ,求 所有可能的取值集合 . 解析: (1)由题意得 (2) 所以 所有可能的取值集合 注: 对于第 (2) 题如果考虑可以 循环的话, 还可以取 2,16, 即 三、冰雹猜想公式 对于冰雹猜想的递推关系 当 为偶数 时,代入递推式, ,因此只需考虑 为奇数是否满足猜想即可。 角谷对于猜想的做法是构造迭代公式 其中 为奇数,取 中最大的 使 也是奇数。 如果由 (1) 式得到的奇数不是 1 则继续迭代, 直到为 1 为止, 即 例如, ,代入 (1) 式, ,代入 (1) 式, 角谷猜想,输入 ,即任何一个奇数,直至无穷,经过式 (1) 迭代, 最终都等于 1 。 角谷的猜想, 需要证明以下两个结论才有可能完成,即 1. 任何一个 进入迭代式 (1) 以后不会回到 ,即不会发生循环。如果发生循环, 此即是一个反例, 否定了角谷猜想。 2. 进入迭代式 (1) 以后的数值不会发散,即不会越来越大直至无穷,而是在一个有限的范围内更替。 关于角谷的猜想目前并没有得到完全证明, 有关角谷猜想证明的论文, 感兴趣的同学可以自行搜索。 四、高考中的冰雹猜想(角谷猜想) 人教 版新教材选择性必修二第 56 页课后复习参考题 4 的第 10 题的这道题可能出自 2009 年湖北卷 (理科) 填空压轴, 如下 【2009 年湖北卷 (理科) T15】已知数列 满足: ( 为正整数), 若 ,求 所有可能的取值为_____. 解析:同上,倒推可得 五、模考中的冰雹猜想(角谷猜想) 【24 届深圳二模 T19】无穷数列 的定义如下: 如果 是偶数,就对 尽可能多次地除以 2,直到得出一个奇数,这个奇数就是 ; 如果 是奇数就对 3n+1 尽可能多次地除以 2 , 直到得出一个奇数,这个奇数就是 . (1)写出这个数列的前 7 项； (2)如果 且 ,求 的值； (3)记 ,求一个正整数 ,满足 解析: (1) . (2)由已知, , 均为奇数,不妨设 当 时,因为 ,所以 ,故 当 时,因为 ,而 为奇数, ,所以 又 为奇数, ,所以存在 ,使得 为奇数 所以 而 ,所以 ,即 ,无解 所以 (3)显然, 不能为偶数,否则 ,不满足 . 所以, 为正奇数 又 ,所以 设 或 当 时, 不满足 当 时, 即 . 所以,取 时, 即 【广东六校 25 届高三 8 月联考 T19】对于任意的正整数 ,进行如下操作: 若 为偶数,则对 不断地除以 2,直到得到一个奇数,记这个奇数为 ; 若 为奇数,则对 不断地除以 2,直到得出一个奇数,记这个奇数为 . 若 ,则称正整数 为 “理想数”. (1)求 20 以内的质数“理想数”； (2)已知 ,求 的值； ( 3 )将所有“理想数”从小到大依次排列,逐一取倒数后得到数列 ,记 的前 项和为 ,证明: 答案:(1) (2) (3) 解析:(1)20 以内的质数为2,3,5,7,11,13,17,19, ,故 ,所以 2 为 “理想数”; ,而 ,故 3 不是 “理想数” ; ,而 ,故 5 是 “理想数” ; ,而 ,故 7 不是 “理想数”; ,而 ,故 11 不是 “理想数”; ,而 ,故 13 不是 “理想数”; ,而 ,故 17 不是 “理想数” ; ,而 ,故 19 不是 “理想数” ; 和 5 为两个质数 “理想数” ; (2)由题设可知 必为奇数, 必为偶数, 存在正整数 ,使得 ,即 : ,且 , ,或 ,或 ,解得 ,或 , ,或 ,即 的值为 12 或 18 . (3)显然偶数”理想数”必为形如 的整数, 下面探究奇数”理想数”,不妨设置如下区间: , 若奇数 ,不妨设 , 若 为 “理想数”,则 ,即 , ①当 时, ； ② 当 时, ； , 又 ,即 , 易知 为上述不等式的唯一整数解, 区间 存在唯一的奇数”理想数” , 显然 1 为奇数”理想数”,所有的奇数”理想数”为 , 所有的奇数”理想数”的倒数为 , ,即 . 【湖南 A 佳教育 24 年 5 月高三模考 T19】角谷猜想,也称为 “ ” 猜想. 其内容是: 任取一个正整数, 如果是偶数, 将它除以 2; 如果是奇数, 则将它乘以 3 再加上 1 , 如此反复运算, 该数最终将变为 1 . 这就是对一个正整数运算时 “万数归一” 现象的猜想. 假如对任意正整数 ,按照上述规则实施第一次运算后的结果记为 ,实施第 2 次运算后的结果记为 ,实施第 次运算后得到数 1,停止运算,便可以得到有穷数列 ,其递推关系式为: 其中 叫做数列 的原始项. 将此递推关系式推广为: 其中 ,且 ; 其它规则不变,得到的数列记作 数列,试解答以下问题: ( 1 )若 ,则数列 的项数为_； (2)求 数列的原始项 的所有可能取值构成的集合； ( 3 )若对任意的 数列,均有 ,求 的最小值. 答案:(1)5；(2) ；(3)2 解析:(1) , ,所以数列 的项数为 5 . (2) , 下面证明对于任意的正整数 ,当 时,均存在数列 为 数列, 时, 符合题意, 反证,假设存在正整数 ,当 时,不存在数列 为 数列, 设此时 的最小值为 ,即 时,存在 数列, 时,不存在 数列, ①当 为奇数时,因为存在以 为原始项的 数列, , 所以 就是原始项为 的 数列,与假设矛盾; ②当 为偶数时,因为存在以 为原始项的 数列, , 所以 就是原始项为 的 数列,与假设矛盾, 综上可知, 数列的原始项 的所有可能取值为全体大于等于 2 的正整数, 即 数列的原始项 的所有可能取值构成的集合为 . (3) 依题意, , 先证明 符合题意,即 , 当 时,显然成立; 当 时, ,即 也成立; 当 时,对任意 ,故 ,即 , ①当 时,由 , 所以 ; ② 当 时,由 , ,所以 , 下面证明 ,对任意的正偶数 ,构造 先验证 为 数列, 当 时, 为奇数, , 当 时, 为偶数, , 当 时, ,所以 为 数列, 下面证明 不符合题意,假设 ,因为 , 所以 ,矛盾. 综上可得 的最小值为 2 . 学科网（北京）股份有限公司 $$