2025年中考数学分类复习题

九年级人教版数学中考分类复习题 【类型一】科学记数法 1．“一带一路”涉及沿线65个国家，总涉及人口约4500000000，将4500000000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 2．2025年1月1日，北京商报记者从北京大兴国际机场（以下简称“大兴机场”获悉，2025年元旦假期，大兴机场预计保障航班862架次，迎送旅客约120000人次．数据120000用科学记数法可以表示为　　 A． B． C． D． 3．个人养老金制度于年月日起在全国全面实施．目前个人养老金每年的缴存上限是元，可以按月分次或者按年度缴费．将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 4．据市统计局公布的数据，今年一季度全市实现国民生产总值约为7840000万元，那么7840000万元用科学记数法表示应为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 5．近年来，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道．将59000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 6．中国信通院预计未来年内将实现的个人终端应用和数字内容的创新突破，预计2025年全球移动用户数将突破57亿户．数据57亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【类型二】与平面图形有关的角度计算 1．如图，点O在直线上，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，垂足为，直线经过点．若，则为　 A． B． C． D． 3．如图，将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起，若，则一定可以表示为（  ） A． B． C． D． 4．如图，直线与直线、都相交，若，则（ ） A．125° B．115° C．55° D．35° 5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝2∠C＝90°，则∠D的度数为（  ） A．120° B．125° C．130° D．135° 6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　） A．当AC＝BD时，它是矩形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠A＝60°时，它是菱形 D．当AB＝BC，AC＝BD时，它是正方形 7．如图，是一幅中式墙体窗格设计图，该窗格的外边框为正六边形，则该正六边形的内角和为　　 A． B． C． D． 8．是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它的发现最初始于天文学领域的研究，由英国、美国科学家探明和勾画其碳分子结构，于1985年正式制得，它的发现使人类了解到一个全新的碳世界．如图是的分子结构图，它具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形，其中正六边形的每一个内角的度数是（  ） A． B． C． D． 【类型三】与圆有关的计算 1．如图，是的直径，点，在上，连接，，，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 2．如图，为的直径，已知，则为（　　） A． B． C． D． 3．如图，AB是的直径，CD是的弦，且，，则为( ) A． B． C． D． 4．如图,是的直径,点是半径的中点,过点作，交于点,过点作直径,连接,则的大小为（  ） A． B． C． D． 5．如图，内接于，是的直径．若，，则为( ) A．5 B． C． D． 6．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠BAC=42°，OD⊥BC于点E，则∠BDE为 °． 7．编织草帽是云南各族尤擅的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示）．若这种圆锥形草帽的母线长为35厘米，底面圆的半径为20厘米，圆锥形草帽的侧面积为　 A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 8．云南是全国拥有少数民族数量最多的省份，风俗文化多种多样，使得“云南十八怪”成为云南旅游文化的一张名片，图①是十八怪中的“草帽当锅盖”，图②是一个草帽的三视图，根据图中所给的数据计算出该草帽的侧面积为（　） A． B． C． D． 9．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的侧面积为__________． 【类型四】锐角三角函数 1．如图，将放在正方形网格纸上，点，，都在格点上，则的值为（  ）    A． B． C． D． 2．如图在中，直径与弦相交于点，连接，若，，则的值是（  ） A． B． C．1 D． 3．如图，从热气球处测得地面、两点的俯角分别为、，如果此时热气球处的高度为100米，点、、在同一直线上，则两点的距离是 　． 4．大理崇圣寺三塔主塔千寻塔是中国四大名塔之一．某校数学实践小组开展测量千寻塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，部分报告内容如表： 测量千寻塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角； ②沿着方向走到处，用皮尺测得米； ③在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角． 已知测角仪的高度为1.5米，点，，在同一水平直线上．根据以上信息，则千寻塔的高度约为　　（参考数据：，， A．67.5米 B．69米 C．70.5米 D．72米 【类型五】与作图有关的计算 1．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，交于点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 2．如图1，图2，点C是上一点，利用尺规过点C作，下列说法错误的是（  ） A．图1的原理是同位角相等，两直线平行 B．图2的原理是两直线平行，内错角相等 C．以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧 D．以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧 3．由尺规作图的作图痕迹，可以判断是的角平分线的是（　　） A．B．C．D． 【类型六】与幂有关的计算 1．下列运算，结果正确的是　　 A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【类型七】与数据的分析有关的计算 1．为了在2025年高中生创新能力大赛中取得优异成绩，某校准备从甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组，参加本次比赛，如表反映的是各小组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的小组去参赛，那么应选的小组是　　 甲小组 乙小组 丙小组 丁小组 92 92 95 95 1 1.3 1 1.6 A．甲小组 B．乙小组 C．丙小组 D．丁小组 2．青岛市某学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加市南区青少年科技创新大赛．表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（    ） 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 1 1.2 0.9 1.8 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．下列说法中，正确的是　　 A．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查 B．某种彩票中奖的概率是，则购买10张这种彩票一定会中奖 C．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100 D．甲．乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 4．为将中华优秀传统文化融入学校教育教学，积极引导青少年从小学习中华优秀传统文化知识，培养审美鉴赏和创造能力，筑牢中华优秀传统文化根基．某学校计划开展中小学生中华优秀传统文化知识竞赛．并对八年级（1）班的50名学生竞赛成绩进行了调查，统计结果如表所示． 分数（分 90 92 94 96 98 100 人数（人 4 10 11 13 9 3 在本次调查中，八年级（1）班这50名学生竞赛成绩的中位数是　 　分． 5．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如下： 月用水量/ 10 13 14 17 18 户数 3 1 3 2 1 则这10户家庭月用水量的中位数是__________． 6．为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图，若我校共有2000名学生，则下列说法正确的是（  ） A．本次接受调查的学生人数为400 B．扇形统计图中的 C．所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为7 D．学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，估计我校获“志愿者勋章”的学生人数为700人 7．大理古城简称榆城，位居风光亮丽的苍山脚下，是全国首批历史文化名城之一．它东临洱海，西枕苍山，城楼雄伟，风光优美，引来无数旅客前来观光．“十一”期间相关部门对到大理观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中信息，下列结论错误的是　　 A．本次抽样调查的样本容量是5000 B．扇形统计图中的为 C．样本中选择公共交通出行的约有2500人 D．若“十一”期间到大理观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有25万人 8．某工厂为这次防控新冠肺炎疫情捐款，下表为捐款额与捐款人数的汇总表，如果用扇形图来表示捐款额与相应的捐款人数，那么捐款额为50元的人数在扇形图中的圆心角为（  ） 捐款额（元） 50 80 100 150 200 捐款人数 40 50 30 45 35 A． B． C． D． 9．中共中央、国务院印发的《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》指出：“把劳动教育纳入人才培养全过程，贯通大中小学各学段”．某校现随机对七年级的50名学生进行调查，结果显示有12名学生会做饭，若该校七年级共有300人，则会做饭的学生人数约为 ． 10．9月22日是世界无车日，某校开展了以“倡导绿色出行”为主题的调查，随机抽查了部分师生的出行方式，将收集的数据绘制成下列不完整的两种统计图．已知随机抽查的教师人数为学生人数的一半，根据图中信息，可知乘私家车出行的教师人数是 ． 11．某校开学期间组织学生参加“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛，现从该校七、八年级中各选取了20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生在组的分数为91，92，93，94 八年级20名学生在组的分数为90，93，93，93，94，94，94，94，94． 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 95 % 八年级 91 93 65% (1)填空：___________，___________，___________，并把条形统计图补充完整； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校七年级有学生1200人，八年级有学生1400人，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人． 【类型八】与取值范围有关的计算 1．若在实数范围内有意义，则的取值范围是　 A． B． C． D． 2．若是二次根式，则的取值范围是 ． 4．函数中的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 4．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 5．要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【类型九】与一元二次方程有关的简单计算 1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 3．已知关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值是 ． 4．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 5．某按举行春季篮球赛，每两个班级之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，求参加比赛的班级数量．根据题意，设有个班参加比赛，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 6．运动员刘浩和季博文在2024年8月8日巴黎奥运会男子500米双人划艇项目中夺得金牌，刘浩的故乡云南玉溪成为旅游热度城市．国庆期间云南玉溪某景区第一天接待游客约7000人，第三天接待游客约8470人．设该地游客人数的日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 7．智能汽车销售火爆．某店月份销售台，月、月份共销售台．设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【类型十】规律题型 1．按一定规律排列的单项式：2x，，，，，…，第n个单项式（  ） A． B． C． D． 2．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（ ） A． B． C． D． 3．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是　 A． B． C． D． 4．按一定规律排列的单项式：，，，，，，，第n个单项式是（ ） A． B． C． D． 5．按一定规律排列的多项式：，，，，，，，则第个多项式是　　 A． B． C． D． 【类型十一】估值 1．估计的值在（  ） A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间 2．估计的值应该在　　 A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【类型十二】反比例函数 1．若点在反比例函数的图象上，则的值是　　 A． B．1 C． D．2 2 ？ 4 1 2．若是关于的反比例函数，则表格中“？”处应填 ． 3．点，在反比例函数的图象上， 若，则 ． 4．如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于3，则的值等于　　 A．-6 B．6 C．-3 D．3 【类型十三】因式分解 1．分解因式： 2．分解因式：xy3-4xy= ． 3．分解因式：__________． 4．分解因式： ． 5．分解因式： 【类型十四】与相似有关的计算 1．如图，已知l1∥l2∥l3，直线l4、l5被这组平行线所截，且直线l4、l5相交于点E，已知AE＝EF＝1，FB＝3，则＝ ． 2．如图所示，要使得，需要补充的一个条件可以是__________(只需要填写一个即可)． 3．如图在中，、分别为，的中点，则与的面积的比为　 A． B． C． D． 4．如图，在△中，点、分别是、的中点，若△的面积为2，则△的面积为　 　． 【类型十五】实数的计算 1．计算：． 2．计算：． 3．． 4．计算： 5．计算：． 【类型十六】三角形全等的证明 1．如图，点是线段的中点，，．求证：． 2．如图，在和中，，，．求证：． 3．如图，已知，，，且点，、、在同一条直线上． 求证：． 4．如图，交于点，在与中，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法，若多选的只按第一种选法评分，后面的选法不给分） （1）你选的条件为____________、____________，结论为____________； （2）证明你的结论． 【类型十七】分式方程的实际应用 1．为了体验劳动的快乐，亲历劳动的过程，某班组织学生到菜园进行蔬菜采摘活动：班主任将该班学生分成甲、乙两组，在相同的采摘时间内，甲组采摘了270千克，乙组采摘了225千克，平均每小时甲组比乙组多采摘30千克，请列方程求解甲、乙两组平均每小时各采摘蔬菜多少千克？ 2．2024年8月，以“共育新质生产力，共享智能新未来”为主题的世界机器人大会在北京召开，某公司为促进智能化发展，引进了甲，乙两种型号的机器人运送物品，已知每个甲型机器人比每个乙型机器人每小时多运送物品，每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等．求甲，乙两种机器人每小时分别运送多少物品？ 3．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用两种自主移动机器人搬运化工原料型机器人比型机器人每小时多搬运20kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运700kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 4．近期，如皋的早茶文化深受广大人民的欢迎和喜爱，通过互联网的传播，吸引了不少外地游客前来品尝．小严和小许商量一起来如皋体验，下面是两人的聊天记录．    请根据他们的对话，分别求出小严和小许的速度． 【类型十八】概率计算 1．在一个不透明的袋中装有红，黑，白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中红球有个，已知摸出一个白球的概率是． (1)求从袋中随机摸出一个球是红球的概率； (2)求袋中白球的个数； (3)取出个球(这个球中没有白球)后，求从袋中剩余的球中随机摸出一个球是白球的概率． 2．剑湖实验开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事． (1)请写出小明第一次抽到的卡片的结果为数学家祖冲之的概率是__________； (2)求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．(用树状图或列表的方式说明) A刘辉 B祖冲之 C华罗庚 D陈景润 3．为有效落实“双减”政策，引导学生将书本知识与生活经验深度融合，我县各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评．某校七年级年级组准备从嶍峨古镇、临江公园两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从嶍峨古镇、临江公园、中共滇中地委觅池冲旧址三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择嶍峨古镇为A，选择临江公园为B，选择中共滇中地委觅池冲旧址为C．记七年级年级组的选择为x，八年级年级组的选择为y． (1)请用列表法或画树状图中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率P． 4．北京时间2024年12月4日22时12分，在巴拉圭共和国首都亚松森召开的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第十九届会议上，中国政府申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”被成功列入《人类非物质文化遗产代表作名录》．春节申遗成功，与世界共享“新年”，云南省某地在除夕这天特举行“过春节迎新春”活动，活动当天安排了“猜灯谜送祝福、花车巡游、龙狮贺春、篝火打跳、迎春烟花秀”五项活动，营造出浓浓的喜庆气氛，欢迎八方来客来沉浸式体验我国春节文化．将猜灯谜送祝福、花车巡游、龙狮贺春、篝火打跳、迎春烟花秀这五项活动分别记为、、、、，来该地过春节的小明家和小强家将分别从“、”和“、、、、”中随机选一项参加活动，记小明家的选择为，小强家的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求小明家和小强家选择的活动互不相同的概率． 5．一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4． （1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）； （2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为．请用列表或画树状图法，求由，确定的点在函数的图象上的概率． 【类型十九】与平行四边形有关的证明 1．在中，，分别是边的中点，延长到点，使，连结．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 2．如图，在中点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形 (2)连接，若，求的长． 3．如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 4．如图，在四边形中，，相交于点，，平分，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)点是上的一个不与点，重合的动点，分别过点，作，，相交于点，连接，，请判断与的关系，并说明理由． 【类型二十】与圆有关的证明 1．如图，是的直径，，过点作的切线，交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．如图，四边形内接于，是的直径，于点，平分． （1）求证：是的切线； （2）如果，，求：阴影部分面积． 3．如图，为的直径，弦，连接，，为上一点，，连接，并延长交于点，交于点，连接，在的延长线上取一点，，连接． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，看一看，想一想，证一证：以下与线段，有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【类型二十一】函数图像与最值的实际应用 1．某公司安排大、小货车共20辆，分别从A、B两地运送320吨物资到某市，每辆大货车装25吨物资，每辆小货车装10吨物资；这20辆货车恰好装完这批物资． (1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？ (2)已知这两种货车的运费如表：      出发地 车型 A地（元/辆） B地（元／辆） 大货车 600 700 小货车 300 500 要安排上述装好物资的20辆货车中的12辆从A地出发，其余从B地出发．设从A地出发的大货车有n辆（大货车不少于5辆），这20辆货车的总运费为w元，求总运费w的最小值． 2．某学校要购买甲、乙两种灭火器，用于预防校园消防安全．若购买9支甲种灭火器和6支乙种灭火器，则一共需要615元；若购买8支甲种灭火器和12支乙种灭火器，则一共需要780元． （1）每支甲种灭火器、每支乙种灭火器的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购买甲、乙两种灭火器共30支，其中购买甲种灭火器支，且甲种灭火器的数量至少比乙种灭火器的数量多5支，且不超过乙种灭火器数量的2倍．哪种购买方案可使总费用最少？并求出最少总费用． 3．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件与每件的售价（元满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价（元件） 60 65 70 销售量（件 1400 1300 1200 （1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围） （2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？ （3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，设这种衬衫每月的总利润为（元，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 4．某商场以80元/件的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量(件)与销售价格(元/件)之间是一次函数关系，其部分图像如图所示． (1)求这段时间内与之间的函数表达式． (2)在这段时间内，若销售价格不低于100元/件，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售价格为多少时，商场获得的利润最大?最大利润是多少? 5．某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验，A，B植物的生长高度，与药物施用量的关系数据统计如下表： 0 4 6 8 10 15 18 21 25 21 19 16 14 10 7 4 10 18 22 27 31 40 45 52 任务1：根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数图象． 任务2：猜想A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数关系，并分别求出函数关系式． 任务3：同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请直接写出满足平衡状态时，该药物施用量的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级人教版数学中考分类复习题（答案） 【类型一】科学记数法 1．“一带一路”涉及沿线65个国家，总涉及人口约4500000000，将4500000000用科学记数法表示为　C　 A． B． C． D． 2．2025年1月1日，北京商报记者从北京大兴国际机场（以下简称“大兴机场”获悉，2025年元旦假期，大兴机场预计保障航班862架次，迎送旅客约120000人次．数据120000用科学记数法可以表示为　D　 A． B． C． D． 3．个人养老金制度于年月日起在全国全面实施．目前个人养老金每年的缴存上限是元，可以按月分次或者按年度缴费．将用科学记数法表示应为（ A ） A． B． C． D． 4．据市统计局公布的数据，今年一季度全市实现国民生产总值约为7840000万元，那么7840000万元用科学记数法表示应为（ B ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 5．近年来，，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道．将59000用科学记数法表示应为（ C ） A． B． C． D． 6．中国信通院预计未来年内将实现的个人终端应用和数字内容的创新突破，预计2025年全球移动用户数将突破57亿户．数据57亿用科学记数法表示为（ A ） A． B． C． D． 【类型二】与平面图形有关的角度计算 1．如图，点O在直线上，，，则的度数是（ A ） A． B． C． D． 2．如图，，垂足为，直线经过点．若，则为　C A． B． C． D． 3．如图，将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起，若，则一定可以表示为（ B ） A． B． C． D． 4．如图，直线与直线、都相交，若，则（ A ） A．125° B．115° C．55° D．35° 5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝2∠C＝90°，则∠D的度数为（ D ） A．120° B．125° C．130° D．135° 6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　C　） A．当AC＝BD时，它是矩形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠A＝60°时，它是菱形 D．当AB＝BC，AC＝BD时，它是正方形 7．如图，是一幅中式墙体窗格设计图，该窗格的外边框为正六边形，则该正六边形的内角和为　B　 A． B． C． D． 8．是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它的发现最初始于天文学领域的研究，由英国、美国科学家探明和勾画其碳分子结构，于1985年正式制得，它的发现使人类了解到一个全新的碳世界．如图是的分子结构图，它具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形，其中正六边形的每一个内角的度数是（ D ） A． B． C． D． 【类型三】与圆有关的计算 1．如图，是的直径，点，在上，连接，，，．若，则的度数为　B　 A． B． C． D． 2．如图，为的直径，已知，则为（　A　） A． B． C． D． 3．如图，AB是的直径，CD是的弦，且，，则为( D ) A． B． C． D． 4．如图,是的直径,点是半径的中点,过点作，交于点,过点作直径,连接,则的大小为（ B ） A． B． C． D． 5．如图，内接于，是的直径．若，，则为( B ) A．5 B． C． D． 6．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠BAC=42°，OD⊥BC于点E，则∠BDE为 69 °． 7．编织草帽是云南各族尤擅的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示）．若这种圆锥形草帽的母线长为35厘米，底面圆的半径为20厘米，圆锥形草帽的侧面积为　 A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 8．云南是全国拥有少数民族数量最多的省份，风俗文化多种多样，使得“云南十八怪”成为云南旅游文化的一张名片，图①是十八怪中的“草帽当锅盖”，图②是一个草帽的三视图，根据图中所给的数据计算出该草帽的侧面积为（ C　） A． B． C． D． 9．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的侧面积为 12π ． 【类型四】锐角三角函数 1．如图，将放在正方形网格纸上，点，，都在格点上，则的值为（ B ）    A． B． C． D． 2．如图在中，直径与弦相交于点，连接，若，，则的值是（D ） A． B． C．1 D． 3．如图，从热气球处测得地面、两点的俯角分别为、，如果此时热气球处的高度为100米，点、、在同一直线上，则两点的距离是米． 4．大理崇圣寺三塔主塔千寻塔是中国四大名塔之一．某校数学实践小组开展测量千寻塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，部分报告内容如表： 测量千寻塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角； ②沿着方向走到处，用皮尺测得米； ③在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角． 已知测角仪的高度为1.5米，点，，在同一水平直线上．根据以上信息，则千寻塔的高度约为　B　（参考数据：，， A．67.5米 B．69米 C．70.5米 D．72米 【类型五】与作图有关的计算 1．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，交于点，若，则的度数是　A　 A． B． C． D． 2．如图1，图2，点C是上一点，利用尺规过点C作，下列说法错误的是（ C ） A．图1的原理是同位角相等，两直线平行 B．图2的原理是两直线平行，内错角相等 C．以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧 D．以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧 3．由尺规作图的作图痕迹，可以判断是的角平分线的是（　D　） A．B．C．D． 【类型六】与幂有关的计算 1．下列运算，结果正确的是　B　 A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（ C ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（ D ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ C ） A． B． C． D． 【类型七】与数据的分析有关的计算 1．为了在2025年高中生创新能力大赛中取得优异成绩，某校准备从甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组，参加本次比赛，如表反映的是各小组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的小组去参赛，那么应选的小组是　C　 甲小组 乙小组 丙小组 丁小组 92 92 95 95 1 1.3 1 1.6 A．甲小组 B．乙小组 C．丙小组 D．丁小组 2．青岛市某学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加市南区青少年科技创新大赛．表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ C ） 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 1 1.2 0.9 1.8 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．下列说法中，正确的是　D　 A．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查 B．某种彩票中奖的概率是，则购买10张这种彩票一定会中奖 C．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100 D．甲．乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 4．为将中华优秀传统文化融入学校教育教学，积极引导青少年从小学习中华优秀传统文化知识，培养审美鉴赏和创造能力，筑牢中华优秀传统文化根基．某学校计划开展中小学生中华优秀传统文化知识竞赛．并对八年级（1）班的50名学生竞赛成绩进行了调查，统计结果如表所示． 分数（分 90 92 94 96 98 100 人数（人 4 10 11 13 9 3 在本次调查中，八年级（1）班这50名学生竞赛成绩的中位数是　 95 　分． 5．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如下： 月用水量/ 10 13 14 17 18 户数 3 1 3 2 1 则这10户家庭月用水量的中位数是 14 ． 6．为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图，若我校共有2000名学生，则下列说法正确的是（ C ） A．本次接受调查的学生人数为400 B．扇形统计图中的 C．所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为7 D．学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，估计我校获“志愿者勋章”的学生人数为700人 7．大理古城简称榆城，位居风光亮丽的苍山脚下，是全国首批历史文化名城之一．它东临洱海，西枕苍山，城楼雄伟，风光优美，引来无数旅客前来观光．“十一”期间相关部门对到大理观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中信息，下列结论错误的是　D　 A．本次抽样调查的样本容量是5000 B．扇形统计图中的为 C．样本中选择公共交通出行的约有2500人 D．若“十一”期间到大理观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有25万人 8．某工厂为这次防控新冠肺炎疫情捐款，下表为捐款额与捐款人数的汇总表，如果用扇形图来表示捐款额与相应的捐款人数，那么捐款额为50元的人数在扇形图中的圆心角为（ D ） 捐款额（元） 50 80 100 150 200 捐款人数 40 50 30 45 35 A． B． C． D． 9．中共中央、国务院印发的《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》指出：“把劳动教育纳入人才培养全过程，贯通大中小学各学段”．某校现随机对七年级的50名学生进行调查，结果显示有12名学生会做饭，若该校七年级共有300人，则会做饭的学生人数约为 72 ． 10．9月22日是世界无车日，某校开展了以“倡导绿色出行”为主题的调查，随机抽查了部分师生的出行方式，将收集的数据绘制成下列不完整的两种统计图．已知随机抽查的教师人数为学生人数的一半，根据图中信息，可知乘私家车出行的教师人数是 15 ． 11．某校开学期间组织学生参加“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛，现从该校七、八年级中各选取了20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生在组的分数为91，92，93，94 八年级20名学生在组的分数为90，93，93，93，94，94，94，94，94． 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 95 % 八年级 91 93 65% (1)填空： 92.5 ， 94 ， 60 ，并把条形统计图补充完整（七年级A组人数8人）； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校七年级有学生1200人，八年级有学生1400人，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人． (2）答：八年级的学生成绩更好，理由如下：因为两个年级的平均数都是91，八年级学生的中位数和优秀率都高于七年级，所以八年级的学生成绩更好； (3)解： 1200x60%+1400x65% =720+910 =1630（人）, 答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共有1630人． 【类型八】与取值范围有关的计算 1．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 C A． B． C． D． 2．若是二次根式，则的取值范围是． 4．函数中的自变量x的取值范围是（ D ） A． B． C．且 D．且 3．在函数中，自变量的取值范围是（ D ） A． B． C． D．且 4．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是。 5．要使代数式有意义，则x的取值范围是． 【类型九】与一元二次方程有关的简单计算 1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ D ） A． B． C．且 D．且 2．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ C ） A． B．且 C． D． 3．已知关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值是． 4．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 5．某按举行春季篮球赛，每两个班级之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，求参加比赛的班级数量．根据题意，设有个班参加比赛，则下列方程正确的是　C　 A． B． C． D． 6．运动员刘浩和季博文在2024年8月8日巴黎奥运会男子500米双人划艇项目中夺得金牌，刘浩的故乡云南玉溪成为旅游热度城市．国庆期间云南玉溪某景区第一天接待游客约7000人，第三天接待游客约8470人．设该地游客人数的日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是　D　 A． B． C． D． 7．智能汽车销售火爆．某店月份销售台，月、月份共销售台．设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，根据题意列出的方程是（ D ） A． B． C． D． 【类型十】规律题型 1．按一定规律排列的单项式：2x，，，，，…，第n个单项式（ C ） A． B． C． D． 2．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（ C ） A． B． C． D． 3．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是 D　 A． B． C． D． 4．按一定规律排列的单项式：，，，，，，，第n个单项式是（ D ） A． B． C． D． 5．按一定规律排列的多项式：，，，，，，，则第个多项式是　A　 A． B． C． D． 【类型十一】估值 1．估计的值在（ D ） A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间 2．估计的值应该在　B　 A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【类型十二】反比例函数 1．若点在反比例函数的图象上，则的值是　C　 A． B．1 C． D．2 2 ？ 4 1 2．若是关于的反比例函数，则表格中“？”处应填 8 ． 3．点，在反比例函数的图象上， 若，则 0 ． 4．如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于3，则的值等于　A　 A．-6 B．6 C．-3 D．3 【类型十三】因式分解 1．分解因式： 2．分解因式：xy3-4xy=． 3．分解因式：． 4．分解因式：． 5．分解因式： 【类型十四】与相似有关的计算 1．如图，已知l1∥l2∥l3，直线l4、l5被这组平行线所截，且直线l4、l5相交于点E，已知AE＝EF＝1，FB＝3，则＝． 2．如图所示，要使得，需要补充的一个条件可以是__________(只需要填写一个即可)． 答案： 3．如图在中，、分别为，的中点，则与的面积的比为　B A． B． C． D． 4．如图，在△中，点、分别是、的中点，若△的面积为2，则△的面积为　 8 　． 【类型十五】实数的计算 1．计算：． 2．计算：． 3．． 解：原式 ． 4．计算： 5．计算：． 解：原式 ． 【类型十六】三角形全等的证明 1．如图，点是线段的中点，，．求证：． 证明：点是线段的中点， ， 在△与△中， ， △△， ． 2．如图，在和中，，，．求证：． 3．如图，已知，，，且点，、、在同一条直线上． 求证：． 证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 4．如图，交于点，在△AOC与△BOD中，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法，若多选的只按第一种选法评分，后面的选法不给分） （1）你选的条件为____________、____________，结论为____________； （2）证明你的结论． 解：(1)选择的条件为,,要证明的结论为：. (2)由对顶角相等可知: 【类型十七】分式方程的实际应用 1．为了体验劳动的快乐，亲历劳动的过程，某班组织学生到菜园进行蔬菜采摘活动：班主任将该班学生分成甲、乙两组，在相同的采摘时间内，甲组采摘了270千克，乙组采摘了225千克，平均每小时甲组比乙组多采摘30千克，请列方程求解甲、乙两组平均每小时各采摘蔬菜多少千克？ 解：设平均每小时甲组采摘千克，则平均每小时乙组采摘千克， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：平均每小时甲组采摘180千克，乙组采摘150千克． 2．2024年8月，以“共育新质生产力，共享智能新未来”为主题的世界机器人大会在北京召开，某公司为促进智能化发展，引进了甲，乙两种型号的机器人运送物品，已知每个甲型机器人比每个乙型机器人每小时多运送物品，每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等．求甲，乙两种机器人每小时分别运送多少物品？ 解：设甲型机器人每小时运送物品，则乙型机器人每小时运送物品， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲型机器人每小时运送物品，乙型机器人每小时运送物品． 3．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用两种自主移动机器人搬运化工原料型机器人比型机器人每小时多搬运20kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运700kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 解：设B种机器人每小时搬运化工原料，则A种机器人每小时搬运化工原料，根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：A种机器人每小时搬运90kg化工原料，B种机器人每小时搬运70kg化工原料. 4．近期，如皋的早茶文化深受广大人民的欢迎和喜爱，通过互联网的传播，吸引了不少外地游客前来品尝．小严和小许商量一起来如皋体验，下面是两人的聊天记录．    请根据他们的对话，分别求出小严和小许的速度． 解：设小许的速度为 x公里／小时，则小严的速度为1.2x公里／小时， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：小许的速度为60公里／小时，小严的速度为72公里／小时． 【类型十八】概率计算 1．在一个不透明的袋中装有红，黑，白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中红球有个，已知摸出一个白球的概率是． (1)求从袋中随机摸出一个球是红球的概率； (2)求袋中白球的个数； (3)取出个球(这个球中没有白球)后，求从袋中剩余的球中随机摸出一个球是白球的概率． 解：（1）由题意可得，从袋中随机摸出一个球是红球的概率为： （2）解：袋中白球的个数为： 解：从袋中剩余的球中随机摸出一个球是白球的概率为： 2．剑湖实验开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事． (1)请写出小明第一次抽到的卡片的结果为数学家祖冲之的概率是__________； (2)求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．(用树状图或列表的方式说明) A刘辉 B祖冲之 C华罗庚 D陈景润 (1）解： (2）解：列表如下： A B C D A （ B,A） （ C,A） （ D,A） B （ A,B） （ C,B） （ D,B） C （ A,C） （ B,C） （ D,C） D （ A,D） （ B,D） （ C,D） 由表格可知，所有等可能的结果共有12种， 小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果共有6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为： 3．为有效落实“双减”政策，引导学生将书本知识与生活经验深度融合，我县各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评．某校七年级年级组准备从嶍峨古镇、临江公园两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从嶍峨古镇、临江公园、中共滇中地委觅池冲旧址三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择嶍峨古镇为A，选择临江公园为B，选择中共滇中地委觅池冲旧址为C．记七年级年级组的选择为x，八年级年级组的选择为y． (1)请用列表法或画树状图中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率P． （1）解：列表如下： A B C A A,A A,B A,C B B,A B,B B,C 由表格可知， x,y共有 6种等可能的结果； （2）七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的结果有： A, B， A, C， B, A， B, C共 4种， ∴该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率为： 4．北京时间2024年12月4日22时12分，在巴拉圭共和国首都亚松森召开的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第十九届会议上，中国政府申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”被成功列入《人类非物质文化遗产代表作名录》．春节申遗成功，与世界共享“新年”，云南省某地在除夕这天特举行“过春节迎新春”活动，活动当天安排了“猜灯谜送祝福、花车巡游、龙狮贺春、篝火打跳、迎春烟花秀”五项活动，营造出浓浓的喜庆气氛，欢迎八方来客来沉浸式体验我国春节文化．将猜灯谜送祝福、花车巡游、龙狮贺春、篝火打跳、迎春烟花秀这五项活动分别记为、、、、，来该地过春节的小明家和小强家将分别从“、”和“、、、、”中随机选一项参加活动，记小明家的选择为，小强家的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求小明家和小强家选择的活动互不相同的概率． 解：（1）由题意可列表如下： 由表可知，可能出现的结果为：、、、、、、、、、，它们出现的可能性相等，一共有10种． 答：所有可能出现的结果共有10种； （2）由表可以看出，所有出现的结果共有10种，这些结果出现的可能性相等．其中小明家和小强家选择的活动互不相同的结果有8种，即、、、、、、、， ． 答：小明家和小强家选择的活动互不相同的概率为． 5．一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4． （1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）； （2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为．请用列表或画树状图法，求由，确定的点在函数的图象上的概率． 解：（1）口袋中共有4个小球，且小球上数字是奇数的有2个， 摸出小球上的数字是奇数的概率为． （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中点在函数的图象上的有，，共2种， 由，确定的点在函数的图象上的概率为． 【类型十九】与平行四边形有关的证明 1．在中，，分别是边的中点，延长到点，使，连结．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． （1）证明：∵E，F分别为AB，AC的中点， （1）证明：∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴四边形是平行四边形 2．如图，在中点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形 (2)连接，若，求的长． ( F ) ( F ) 3．如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点，于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． （1）证明：点是中点，， 是的垂直平分线， ，，． 四边形是平行四边形，， ，． 在△和△中， △△． ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ，， ， ， 即． 在△中，， ，， 菱形的面积为． 4．如图，在四边形中，，相交于点，，平分，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)点是上的一个不与点，重合的动点，分别过点，作，，相交于点，连接，，请判断与的关系，并说明理由． （1）证明：∵ AB=AD， AC平分∠BAD ， ∴AC⊥BD，BO=OD， ∵AD∥BC， ∴∠OAD=∠OCB，∠AOD=∠COB， ∴△OAD≌△OCB（AAS）， ∴AO=OC， ∵BOOD， ∴四边形 ABCD是平行四边形， ∵AB=AD，∴四边形 ABCD是菱形； （2）解： AE∥ DF且 AE=DF， ∵AD∥BC ，EF∥AD， ∴EF∥BC， ∵CF∥BD， ∴CF∥BE， ∴四边形 EBCF是平行四边形， ∴EF=BC， ∵四边形 ABCD是菱形， ∴AD=BC， ∴EF=AD， ∵EF∥AD， ∴四边形 AEFD是平行四边形， ∴ AE∥ DF且 AE=DF． 【类型二十】与圆有关的证明 1．如图，是⊙O的直径，，过点作⊙O的切线，交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． (1）证明： , ∴∠CBA = ∠CAE , ∵B 是 O 的直径， ∴∠ACB =90°, ∴∠CBA + ∠BAC =90°, ∠CAE + ∠AFC =90°, ∴∠BAC =∠AFC (2) ∵BAC =∠AFC , ∠BCA =∠FCA=90O, ∴AC2= CF · BC = CF ·( CF + BF )=1x3=3 ∴∠CBA =30° ∴∠BAC=60°，∠CAF=∠CBA =30° ∴∠BAD=30° ∵过点 B 作⊙O 的切线，交 AE 的延长线于点 D ∴∠ABD=90°, 2．如图，四边形内接于⊙O，是⊙O的直径，于点，平分． （1）求证：是⊙O的切线； （2）如果，，求：阴影部分面积． （1）证明：连接， ， ． 平分， ． ． ． ， ， ． ， 即． 又点在上， 是的切线； （2）解：是的直径， ． ， ， 又， ． ， ，， ， ， ， 延长交于， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 阴影部分面积． 3．如图，为⊙O的直径，弦，连接，，为上一点，，连接，并延长交于点，交于点，连接，在的延长线上取一点，，连接． （1）求证：是⊙O的切线； （2）求证：； （3）若，看一看，想一想，证一证：以下与线段，有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． （1）证明：， ． ， ． ， ， ． ， ， ，即， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）证明：如图， 为的直径，弦， ， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：正确，理由如下： 设，则， ， ， 即， ， ， ， 即， ． 【类型二十一】函数图像与最值的实际应用 1．某公司安排大、小货车共20辆，分别从A、B两地运送320吨物资到某市，每辆大货车装25吨物资，每辆小货车装10吨物资；这20辆货车恰好装完这批物资． (1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？ (2)已知这两种货车的运费如表：      出发地 车型 A地（元/辆） B地（元／辆） 大货车 600 700 小货车 300 500 要安排上述装好物资的20辆货车中的12辆从A地出发，其余从B地出发．设从A地出发的大货车有n辆（大货车不少于5辆），这20辆货车的总运费为w元，求总运费w的最小值． （1）解：（1）设大货车有 a辆、小货车有 b辆， 由题意得： 解得： 答：大货车有 8辆，小货车有 12辆； （2）解：由从 A 地出发的大货车有 n 辆，则从 A 地出发的小货车有（12﹣n）辆，从 B地出发的大货车有（8﹣n）辆，从 B地出发的小货车有[12﹣（12﹣n）]＝n辆，由题意得：w＝600n+300（12﹣n）+700（8﹣n）+500n＝100n+9200， ∴y随 x的增大而增大， ∵从 A地出发的大货车有 n辆（大货车不少于 5辆），大货车一共 8辆， ∴5≤n≤8， ∴当 x＝5时，y有最小值，此时 y＝100×5+9200＝9700 答：总运费最小值为 9700 元． 2．某学校要购买甲、乙两种灭火器，用于预防校园消防安全．若购买9支甲种灭火器和6支乙种灭火器，则一共需要615元；若购买8支甲种灭火器和12支乙种灭火器，则一共需要780元． （1）每支甲种灭火器、每支乙种灭火器的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购买甲、乙两种灭火器共30支，其中购买甲种灭火器支，且甲种灭火器的数量至少比乙种灭火器的数量多5支，且不超过乙种灭火器数量的2倍．哪种购买方案可使总费用最少？并求出最少总费用． 解：（1）设每支甲种灭火器的价格是元，每支乙种灭火器的价格是元． 根据题意，得， 解得． 答：每支甲种灭火器的价格是45元，每支乙种灭火器的价格是35元． （2）根据题意，得， 解得， 为非负整数， ，19，20． ， ， 随的减小而减小， ，19，20． 当时，值最小，，（支． 答：购买甲种灭火器18支、乙种灭火器12支可使总费用最少，最少总费用是1230元． 3．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件与每件的售价（元满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价（元件） 60 65 70 销售量（件 1400 1300 1200 （1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围） （2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？ （3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，设这种衬衫每月的总利润为（元，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 解：（1）设与之间的函数关系式为， ， 解得，， 即与之间的函数表达式是； （2）， 解得，，， 尽量给客户优惠， 这种衬衫定价为70元； （3）由题意可得， ， 该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，每件售价不低于进货价， ，， 解得，， 当时，取得最大值，此时， 答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元． 4．某商场以80元/件的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量(件)与销售价格(元/件)之间是一次函数关系，其部分图像如图所示． (1)求这段时间内与之间的函数表达式． (2)在这段时间内，若销售价格不低于100元/件，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售价格为多少时，商场获得的利润最大?最大利润是多少? 解：（1）设y = kx + b，将((100,300)， (120,200)代入，得： 解得： ∴与之间的函数表达式是 （2）设利润为W元 W=(x−80)y=(x−80)(−5x+800)=−5x2+1200x−64000=−5(x−120)2+8000 由y≥220，即−5x+800≥220，得x≤116； 又∵x≥100， ∵a=−5，∴开口向下， ∴在100≤x≤116上，W随x增大而增大， ∴x=116时，有（元） ∴当销售价格为116元时，获得的利润最大，最大利润是7920元。 5．某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验，A，B植物的生长高度，与药物施用量的关系数据统计如下表： 0 4 6 8 10 15 18 21 25 21 19 16 14 10 7 4 10 18 22 27 31 40 45 52 任务1：根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数图象． 任务2：猜想A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数关系，并分别求出函数关系式． 任务3：同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请直接写出满足平衡状态时，该药物施用量的取值范围． 解：任务1：描点、连线、画出图像： 任务2： 设 A 植物的生长高度 yA ( cm ）与药物施用量 x ( mg ）的函数关系式为 y = kx + b , 把（0,25),(4,21）代入解析式得： 解得： ∴A 植物的生长高度 yA ( cm ）与药物施用量 x ( mg ）的函数关系式为 y =- x +25; 设 B 植物的生长高度 yB ( cm ）与药物施用量 x ( mg ）的函数关系式为 y = mx + n ,把（0,10),(4,18）代入解析式得： 解得： ∴ B 植物的生长高度 yB ( cm ）与药物施用量 x ( mg ）的函数关系式为 y =2x+10; 任务3: 根据题意得：|- x +25-(2x+10)|≤5, 解得： ∴满足平衡状态时，该药物施用量 x ( mg ）的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $$