22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十二章 二 次 函 数 22.1.2 二次函数的图象和性质 22.1二次函数的图像与性质 学 习 目 标 1 2 3 会用描点法画二次函数 的图象，理解抛物线的有关概念 掌握二次函数 的性质，能确定二次函数 的表达式。 通过画出简单的二次函数探索出二次函数 的性质及图象特征，使学生经历探索二次函数图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。 知识回顾 1、下列函数中哪些是二次函数? 为什么? (x 是自变量) ①y = (x + 3)² − x²； ② y = ； ③ y = x2 + 3x； ④ ； ⑤ y = x² + x³ + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c. 不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件. 不是，等式右边是分式. 不是，x 的最高次数是 3. y = 6x + 9， 一次函数 如何研究二次函数的图象和性质？ 2、一次函数和二次函数自变量取值范围是什么？ 一次函数和二次函数自变量取值范围都是一切实数。 3 回忆 说出 思考 方法 我们学过的函数图像 一次函数图象，形状是一条直线 描点法画函数图象的一般步骤是什么？ 1列表、2描点、3连线 知识回顾 结合图象探究函数性质是研究函数的重要方法 数形结合 我们将从最简单的二次函数开始，逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质。 二次函数的解析形式有几种？ ①y=ax2(a≠0,b=0,c=0) ②y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0) ③y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0) ④y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 导入新课 探究点1 二次函数的图象 探究 （1）用描点法画二次函数 的图象， 任务单 1、列表：怎样列表？自变量如何取值？ 2、连线：以表中的实数对为坐标，画出二次函数 的图象 3、观察：看看画出来的图形的大致形状，总结图象的特征 在y = x2 中自变量x可以是任意实数，以0为中心，均匀选取几组对应值便于计算的的值 第一步:列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 新知探究 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 1 第二步:描点 y=x2 第三步:连线 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点 (x，y). 用平滑的曲线顺次连接各点 能用直线连接吗？ 思考 新知探究 观察图象 你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 1 探究点1 二次函数的图象 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线. 抛物线 曲线开口向上 曲线开口向下 事实上，二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c. 类似于投篮 7 新知探究 探究点2 二次函数的性质 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 1 图象是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点,并与同伴交流. 这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴. 当x=-3时，y=9 当x=+3时，y=9 当x=+1时，y=1 当x=-1时，y=1 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 1 图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? 对称轴与抛物线的交点叫抛物线的顶点. 顶点坐标(0,0) 新知探究 探究点2 二次函数的性质 开口向上时顶点就是最低点 ٭抛物线 的最低点是什么？ 注意： ٭每条抛物线都有对称轴， ٭抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点， ٭顶点是抛物线的最低点或最高点。 开口向下时顶点就是最高点 新知探究 探究点2 二次函数的性质 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 1 当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ 当x<0 时,y随着x的增大而减小. 当x>0 时, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降； 在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升 1.的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． 新知探究 探究点2 二次函数的性质 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 1 典例分析 例1 在同一直角坐标系中，画出函数 ， 的图象。 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 解：列表： x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ··· x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y = 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ··· y=2x2 描点、连线 探究点3 二次函数 （ ＞0 ）的图象和性质 新知探究 开口大小不同 a值越大，抛物线的开口越小． 增减性相同： 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大. 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y=2x2 顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点； 开口都向上； 对称轴都是y轴； 函数 ，的图象与函数的图象相比，有什么共同点和不同点？ 图象都是抛物线 当＞0 时，二次函数 的图象有什么特点? 探究点3 二次函数（ ＞0 ）的图象和性质 新知探究 （0，0） 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=ax2 (a>0) y轴 在x轴的上方(除顶点外) 向上 当x=0时,最小值为0. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. a越大,开口越小. 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 图象 开口大小 典例分析 例2.指出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点坐标,顶是抛物线的最高点还是最低点?函数的增减性如何?并比较两抛物线的开口大小。 (1) (2) 解：∵4＞2＞0 ∴抛物线和 的开口向上， 对称轴是y轴， 顶点是原点，顶点是抛物线的最低点; 又∵4＞2 ∴抛物线 的开口比抛物线小。 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 探究点4 二次函数 的图象的性质 新知探究 在同一坐标系中画出函数y=-x2, , y=-2x2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点． x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 -8 -4.5 －2 －0.5 0 －8 －4.5 －2 －0.5 O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 x y y=-2x2 不同点：图象开口大小不同 当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小. 相同点：开口方向向上、对称轴y轴、顶点（0,0）、变化趋势相同 探究点4 二次函数的图象和性质 新知探究 １.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 y=ax2 (a>0) y= ax2 (a<0) （0，0） （0，0） y轴 y轴 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外) 向上 向下 当x=0时,最小值为0. 当x=0时,最大值为0. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 越小,开口越大. 越大,开口越小. 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 开口大小 y=-2x2 y=-x2 2 6 8 y 4 y=2x2 -8 -4 -2 -6 O -2 2 x 4 -4 17 典例分析 例3．已知二次函数 （ ≠0）的图象经过点 （2，-1），求该函数的解析式及对称轴，当x＜0 时, y随x 的增大而增大还是减小。 解：把 （2，-1）代入 （ ≠0） ， 得 ， 解得 ， ∴ 抛物线解析式为 ， 对称轴为y轴， 当 x＜0时, y随x 的增大而增大。 y=- -3 -6 -9 y O -3 3 x 拓展提升 1．已知是二次函数，且当x＜0 时, y随x 的增大而增大． （1）求k的值； （2）直接写出顶点坐标和对称轴． （2）由（1）得二次函数的解析式为 ， 的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴. 解：（1）由 是二次函数，且当x＜0 时, y随x 的增大而增大，得 解得 巩固练习 （3）函数的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ，抛物线的最 点; （2）函数的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点 是 顶点是抛物线的最 点; （1）函数的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ; 向上 向下 y轴 y轴 (0,0) (0,0) （4）函数的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 . 向上 y轴 (0,0) 向下 y轴 (0,0) 高 低 1、填一填 （课本p32练习改编） 2、已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． ∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4. ∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2， ∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10. 巩固练习 解：由题意得 或 解得 ∴此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)． y O x A B C 真题感知 1．（2024上·河南濮阳·九年级校考阶段练习）已知二次函数 ，解答下列问题： (1)根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）． (2)判断点（-2，-4） 是否在这个函数图象上，说明理由． (3)求当 y=4时对应的函数图象上的点的坐标． （2）当 x=-2时， ， ∴点 （-2，-4）不在这个函数图象上； （3）当 y=4时， 得： ， ∴ ， ∴当 y=4时，对应的函数图象上的点的坐标为： （ ，4）和 （ ）． 2.(2025上·江西宜春·九年级宜春联考）已知函数 是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ 真题感知 ∴ ， ， （1）解：∵函数是关于x的二次函数 解得： （2）解：∵函数图象的开口向下， ，∴ ， ∴当 时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当0 时，抛物线有最低点，函数有最小值， ∴ ， ∵ ， ∴当时，该函数有最小值． 23 课堂小结 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与性质 y＝ax2 a>0 a<0 图 象 位置 开口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 课后练习 探究性作业 1.已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）,B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ） A.y1＞0＞y2 B.y2＞0＞y1 C.y1＞y2＞0 D.y2＞y1＞0 y O x -2 1 y1 y2 C 2.当ab>0时，y＝ax²与y＝ax＋b的图象大致是(　　) D 课后练习 A:直线y＝ax＋b中 a＞0，b＜0 则ab＜0，与题设条件ab>0不符 B:直线y＝ax＋b中 a＜0，b＞0, ab＜0,与题设条件ab>0不符 D:直线y＝ax＋b中 a＜0，b＞0, ab＞0 C:直线y＝ax＋b中 a＞0，b＜0 则ab＜0，与题设条件ab>0不符 此时y＝ax²开口向下， 符合条件 解析： 探究性作业 $$