3.1勾股定理探究（1）学案2025-2026学年苏科版八年级数学上册

初中数学八年级学案 课题：3.1勾股定理探究（1） 学习目标：1.经历探索勾股定理的过程，掌握勾股定理. 2.能应用勾股定理求直角三角形中未知边的长. 学习过程: 一、情境引入 这是1955年希腊发行的一枚纪念邮票，观察这枚邮票图案小方格的个数， 你有哪些发现？ 二、新知生成 问题一：初探勾股定理 活动1：如图1，（1）正方形P中含有 个小方格，即P的面积是 个单位面积. （2）正方形Q的面积是 个单位面积. （3）怎样求正方形R的面积？ ( 图 1 ) 你发现正方形P、 Q、 R的面积有何关系？ 问题二：再探勾股定理 活动2：在下面的方格纸上，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形ABC，∠C=90°，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部做正方形.你所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？ SBC SAC SAB 数量关系 1 2 3 总结：你对直角三角形三边之间的数量关系有什么猜想？ 勾股定理：__________________________________________ 符号语言: 三、例题讲解 例1：求下列直角三角形中未知边的长： 同质训练：求下列图中未知数x、y、z的值： 例2：直角三角形两条直角边的长分别为3和4，求三角形斜边长. 同质训练：一个直角三角形的两条直角边长是6，8，求该直角三角形斜边上的中线长. 例3：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，AB=8，BC=6，CD=24，求AD的长. 同质训练： 1、求下边图形的面积 2、如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC的周长和面积. 《课题：3.1勾股定理探究（1）》作业纸纸 班级 姓名 A.基础巩固：（每空2分） 1．在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°: (1)若a=6，ｂ=8，则c= 　； (3)若a=40，c=41，则b= ； (2)若c=13，b=5，则a= ； (4)若a:b=3:4,c=15,则a= ，b= . (5)若b=8,c=17，则；(6)BC＝12cm，S△ABC＝30cm2，则AB＝________. 2．下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少：(下列各图中的三角形均为直角三角形) A=________，y=________，B=________. 3．已知甲往东走了5km，乙往南走了12km，这时甲、乙俩人相距 . 4．若直角三角形中，一斜边比一直角边大2，且另一直角边长为6，则斜边为_______． 5．如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，AD＝12，AC＝13，BC＝14．则AB＝______． 6．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_______步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 7．如图是新华超市一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，小马虎从点A到点C共走了12 m，电梯上升的高度h为6m，经小马虎测量AB＝2 m，则BE＝_______． 8．如图阴影部分正方形的面积是_______． 第6题 第7题 第8题 9．直角三角形的两条直角边分别为20cm、15cm，其斜边上的高为 （ ） A.10cm B.6cm C.12 cm D.18 cm 10．已知一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三条边长的平方是 （ ） A.25 B.14 C.7 D.7或25 11.若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( ) A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D.6 cm 12．将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形 （ ） A.可能是锐角三角形 B.可能是钝角三角形 C.不可能是直角三角形 D.一定仍是直角三角形 13．（6分）一直角三角形的斜边比直角边大4，另一边为8，求斜边的长． 14．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DBC=90°，AD=3, AB=4, BC=12，求CD. 15．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，求以AB为直径的半圆的面积．（结果保留） 16．（6分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7，BC＝24，CD⊥AB于D． (1)求AB的长； (2)求CD的长． 17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D为AC边上的一个动点，点D从点A出发，沿边AC向C运动，当运动到点C时停止，设点D运动时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度的． （1）当t＝2时，求CD的长； （2）求当t为何值时，线段BD最短？ B.强化提高 18．（10分）（1）若图中的△DEF为直角三角形，∠DEF＝90°，正方形P的面积为9，正方形Q 的面积为15，则正方形M的面积为　 　； （2）图形变化：如图②，分别以直角三角形ABC（∠ACB＝90°）的三边为直径向三角形外作三个半圆，你能找出这三个半圆的面积S1、S2、S3之间有什么关系吗？请说明理由． 19．（10分）如图，有两只猴子在一棵树的B处玩耍，B距离地面5米，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？ C.能力提升 20. （10分）．课本再现： （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：a2+b2＝c2． 类比迁移 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若a＝3，b＝4，则空白部分的面积为 　 　． 方法运用 （3）小贤将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子”形状，若AH＝3，BH＝4，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长． （4）如图4，分别以Rt△ABC的三条边向外作三个正方形，连接EC，BG，若设S△EBC＝S1，S△BCG＝S2，S正方形BCIH＝S3，则S1，S2，S3之间的关系为 　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $$