2025年九年级中考数学三轮热点实际问题与反比例函数

2025年九年级中考数学三轮热点实际问题与反比例函数 1．某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标，因此立即整改，并开始实时监测．据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度是监测时间（小时）的反比例函数．其图象如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为多少？ 2．小丽家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题： (1)当时，求水温与开机时间（分）的函数关系式； (2)求图中的值； (3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？ 3．室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升7，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温y（）与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温y（）和时间x的关系如图． (1)直线的函数关系式为_____； (2)①如图，t的值为______； ②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______． (3)为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由． 4．某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/根 20 15 12 10 (1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系． (2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式． (3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？ 5．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 6．饮水机中原有水的温度是，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图）．根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测他散步87分钟回到家时，饮水机内水的温度约为多少？ 7．如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小明发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v（）与t（）之间的函数关系式； (2)若小明的爸爸驾驶汽车通过该测速区间的行驶时间为20分钟，求它的平均速度； (3)已知在该限速区间上行驶的小型汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小明的爸爸按照此规定通过该限速区间的时间范围． 8．小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求I关于R的函数解析式； (2)当时，求I的值； 9．钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目的是软化钢丝材料，以便切削加工．如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度 与退火时间 之间的函数关系，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分． (1)已知加热过程中与成一次函数关系，求这个函数关系式； (2)当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，已知钢丝温度在及以上时，加工效果最好．若工人师傅要想效果最好，应该在冷却开始后几分钟内完成操作？ 10．一辆客车从地出发前往地，平均速度（千米小时）与所用时间（小时）的函数关系如图所示，其中． (1)求与的函数关系式； (2)客车上午点从地出发，客车需在当天点至点分（含点与点分）间到达地，求客车行驶速度的取值范围． 11．如图是“水上滑梯”的侧面图，矩形为向上攀爬的梯子，以水面为x轴，所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，滑梯平台距水面的高度为6米，宽度为1米，滑梯出口C点到水面的距离为1.2米.求： (1)直接写出段所在的反比例函数表达式______（不写自变量取值范围）； (2)求C点到的距离是多少? (3)若滑梯上有一个小球Q，Q距的距离不少于2米，请直接写出点Q到水面的距离至多是_____米. 12．新冠肺炎疫情期间，某大学校区为开学时刻做着积极准备，每周定期用药熏消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物释放过程中，与成反比例．如图所示，当空气中每立方的含药量低到毫克以下时，人员方可入室． (1)何时空气中每立方的含量达到8毫克？ (2)那么从消毒开始，至少需要经过几分钟，才能进入室内？ 13．已知某可变电阻两端的电压为定值，使用该可变电阻时，电流与电阻是反比例函数关系，函数图像如图所示． (1)求关于的函数表达式； (2)若要求电流不超过，则该可变电阻应控制在什么范围？ 14．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． (1)分别求出当（即段）和（即段）时，y与x的函数表达式； (2)大棚里栽培的这种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长．则这种蔬菜在这一天内最适合生长的时间有多长？ 15．实验数据显示，一般成人喝100毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．    (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20点在家喝完100毫升该品牌白酒，第二天早上6点能否驾车去上班？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入，得：， ∴； （2）当时，； 答：整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为． 2．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求出一次函数和反比例函数解析式． （1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出反比例函数解析，然后求出时t的值，然后求出结果即可； （3）根据每50分钟循环一次，然后把代入反比例函数解析式，求出y的值即可． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 此函数解析式为：； （2）解：当，设水温与开机时间（分）的函数关系式为：， 依据题意，得：， 即， 故， 当时，， 解得：； （3）解：， 当时，， 答：小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 3．(1) (2)① ② (3)接通电源的时间可以是当天上午的，理由见解析 【分析】（1）先求出温度升到用时间，再利用待定系数法求出直线的函数关系式； （2）①先根据反比例函数经过点，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出当时自变量的值也就是的值； ②分别求出当时，的自变量的值，从而可得温度为摄氏度以上时的时间范围； （3）分别求出当时，的自变量的值，从而可得温度为摄氏度以上时的时间范围，再求出温度为摄氏度以上时的时间总长，再计算接通电源的时间是当天上午的，到的时长，计算经过可循环次数，再计算剩余时长是否在上述范围中即可． 【详解】（1）解：根据题意，得温度升到用时间为， 设直线的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 所以． （2）①根据题意，得反比例函数经过点， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故， 当时， 故， 故答案为：； ②根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为摄氏度以上时的时间范围是， 故答案为：． （3）根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为摄氏度以上时的时间范围是， 即有， 根据题意，得饮水机循环开机时间为，且每个循环周期中，和时段中温度低于， 若接通电源的时间是当天上午的，到一共为， 经过5次循环，剩余时长为， 恰好在的时段中，此时温度不高于， 故可以在接通电源． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，解题关键是利用待定系数法求出两函数的解析式． 4．(1)描点画图见解析，猜想：反比例函数 (2) (3)销售单价x定为8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元． 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，待定系数法以及利用反比例关系式求最大值的问题，解题的关键是知道两个变量的乘法是定值时是反比例关系． （1）建立坐标系直接描点画图，再猜想即可； （2）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现y与x的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解后再验证即可； （3）先确定与的函数关系式，然后根据售价最高不超过8元/根，利用函数的增减性即可得出答案． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系描点，如图所示： 猜想：y与x之间具有反比例函数关系． （2）解：由题意设y与x之间的函数关系式为（且k为常数）， 把代入，得， 将，，分别代入，均成立， 所以y与x之间的函数关系式为. （3）解：， 当时，w随x的增大而增大， 又因为， 所以当时，， 所以，销售单价x定为每根8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元． 5．(1)正比例函数的表达式为  反比例函数的表达式为， (2)至少需要经过分钟后，学生才能回到教室 (3)此次消毒有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入，即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入，求出的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 将代入，得， 解得：， 反比例函数的表达式为， 把代入，得， 解得：， ， 将点代入，得， 解得：， 正比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， 解得：， 由图可知，当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而增加， 当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而减少， 至少需要经过分钟后，学生才能回到教室； （3）解：此次消毒有效，理由如下： 将代入，得， 解得：， 将代入，得， 解得：， ， 此次消毒有效． 6．(1)40 (2) 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）求出反比例函数解析式进而得出t的值 （2）利用待定系数法求出当时，函数解析式求出即可． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，水温与开机时间（分）的函数关系为， 当时，， ∴； （2）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 所以当时，函数解析式为：， ∵， 当时， ， 即小明散步87分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 7．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用——区间测速．熟练掌握路程与速度和时间的关系，反比例函数的图象和性质，是解题的关键． （1）设，运用待定系数法将代入求解即可； （2）将代入，即可求出v； （3）分别将，代入函数解析式，求出对应的t值，即可确定段的时间范围． 【详解】（1）解：由题意可设， 将代入， 得， ∴； 答：v与t的函数表达式为； （2）解：20分钟小时， 当时， ． 答：它的平均速度是． （3）解：当时， ， 当时， ． ∴小明的爸爸按照此规定通过该限速区间的时间范围为． 8．(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设I关于R的函数解析式为，再把，代入进行计算，即可作答． （2）把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设I关于R的函数解析式为， 当时，， ， ； （2）解：，依题意，当时，； 9．(1) (2)3分钟 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，正确地求出一次函数和反比例函数的解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先用待定系数法求出冷却过程中y与x的函数关系式，再把代入解析式求出x即可． 【详解】（1）解：设加热过程中y与x的函数解析式为， 把，代入解析式得， 解得：， ∴加热过程中y与x的函数解析式为； （2）设在冷却过程中y与x的函数关系式为， 将点代入解析式， 解得． ∴在冷却过程中y与x函数关系式， 将代入， 解得， ， 答：工人师傅要想效果最好，应该在3分钟的时间内完成操作． 10．(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由题意得到，根据的取值范围和反比例函数的增减性即可得到答案； 此题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知与的函数关系是反比例函数， 设与的函数关系式为， 把点代入得，， 解得， ∴与的函数关系式是； （2）解：由题意得，， 当时，， 当时，， ∵随着的增大而减小， ∴， 即客车行驶速度的取值范围为． 11．(1) (2)4米 (3)2 【分析】本题考查了反比例函数的应用，矩形的性质，掌握的识别图形是解题的关键． （1）可得，设双曲线的解析式为，得到，于是得到结论； （2）由题意得，将代入求得，即可求解C点到的距离； （3）先确定Q距轴的距离不少于3米，那么当时，，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴轴， ∴， 设双曲线的解析式为， ， 段所在的反比例函数关系式是， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴将代入得：， 解得：， ∴C点到的距离是（米）； （3）解：∵Q距的距离不少于2米， ∴Q距轴的距离不少于3米， ∴当时，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴Q距轴的距离不少于3米时，点Q到水面的距离至多2米， 故答案为：2． 12．(1)分钟或分钟 (2)从消毒开始，至少需要经过360分钟，才能进入室内 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式． （1）根据题意，用待定系数法求出药物燃烧时和药物释放时y关于x的函数解析式，即可解答． （2）把代入药物释放时的函数解析式，即可解答． 【详解】（1）解：设药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间的关系式为， 将代入得：， 解得：， ∴药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间的关系式为， 当时，， 解得：， 设药物释放时，室内每立方米空气中的含药量与时间的关系式为， 将代入得：， 解得：， ∴药物释放时，室内每立方米空气中的含药量与时间的关系式为， 当时，， 解得：， 综上：分钟或分钟时，空气中每立方的含量达到8毫克． （2）解：把代入得：， 解得：， ∴从消毒开始，至少需要经过360分钟，才能进入室内． 13．(1) (2) 【分析】此题考查了反比例函数的应用． （1）利用待定系数法即可求出答案； （2）求出当时的值，根据反比例函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵与是反比例函数关系， 设， ∵该函数图象经过点， ， ， ． （2）当时，， ， 由图象可知，当时，， 可变电阻． 14．(1)（1）当时，y与x的函数表达式为；当时，y与x的函数表达式为； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用． （1）利用待定系数法分别求出一次函数和反比例函数解析式即可． （2）观察图象可知：三段函数都有的点，而且段是恒温阶段，，所以计算和两段当时对应的x值，相减就是结论． 【详解】（1）解：当时，设线段所在的直线解析式为， ，在线段上， ， 解得， 当时，y与x的函数表达式为； 当时，设所在的双曲线解析式为， 在双曲线段上， ，解得， 当时，y与x的函数表达式为． （2）解：蔬菜在温度为到的条件下最适合生长， 当时，，解得， 当时，，解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 即这种蔬菜在这一天内最适合生长的时间有． 15．(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键．本题难度不大，较易得分． （1）首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； （2）把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】（1）解：依题意， 直线过，则设直线的解析式 把代入 解得 ∴， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； （2）解：由得当时，， 从时到第二天早上点时间间距为10小时， ， 第二天早上能驾车去上班． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$