7.1.3 贝叶斯公式 教案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.1.3 贝叶斯公式 授课学校：成都市锦江区嘉祥外国语高级中学 授课教师：辛旭东 授课时间：2025年4月14日 教材版本：人教A版高中数学选择性必修第三册 一． 教材分析 本节内容选自普通高中教科书人教A版《数学》选择性必修第三册第七章第一节《条件概率与全概率公式》，既衔接必修课程中的古典概型与相互独立事件的概率，又为后续学习离散型随机变量及其分布列奠定基础，因此本节课在整体数学教学中处于承上启下的作用。 本节课研究内容为贝叶斯公式，是本节内容的第三课时，是在前两节的教学内容“条件概率”和“全概率公式”的基础上对复杂事件概率的进一步研究。在知识内容上，全概率公式是“由因得果”，贝叶斯公式是“由果索因”，对两者的比较可深化对两个公式的理解；对该内容的学习能让学生进一步提升数学抽象、数学建模的核心素养；在思想方法上，以贝叶斯公式为基础发展出了的贝叶斯理论与方法，成为概率统计领域对概率分布主观判断进行修正的标准方法，教材第53页的“阅读与思考——贝叶斯公式与人工智能”就是有关的介绍；在基本活动经验上，贝叶斯公式与实际生活联系紧密，能让学生感受数学的应用价值，加强学生运用数学知识分析、解决问题的意识。 2． 学情分析 从学生整体的学情方面来讲，学生具有一定的学习基础和思维水平，具有一定探索与研究问题兴趣与能力。 从学生知识掌握程度的方面来讲，在本节课之前，学生已完成条件概率、概率乘法公式和全概率公式的学习，具备推导贝叶斯公式的理论基础.学生也多次体验过从具体问题中抽象出概率模型的过程，具备在教师的引导下，探究学习贝叶斯公式的条件。 3． 教学目标 《数学课程标准》对关于本节课内容《贝叶斯公式》的掌握程度要求是了解。根据以上学习内容和学情分析，结合学生思维水平和认知特点，可确定本节课的教学目标如下： 1.借助问题情境，抽象出贝叶斯公式的推导过程，掌握公式结构特征； 2.在将现实问题抽象成贝叶斯概率模型的过程中，培养数学抽象和数学建模的核心素养；通过全概率公式与贝叶斯公式对比学习，感受“由因得果”和“因果索因”的逻辑推理过程； 3.通过对比直观感受与严谨计算的概率结果，体现逻辑推理的数学价值，激发学生学习兴趣；通过计算后验概率做出合理决策，在过程中体会贝叶斯公式在实际生活中的作用，感受数学的应用价值。 4． 教学重难点 教学重点：了解贝叶斯公式的结构，能够利用贝叶斯公式解决简单的概率问题，体会贝叶斯思想。 教学难点：对比分析全概率公式与贝叶斯公式的公式结构以及使用场景。 重难点突破技巧：①借助树状图与韦恩图等几何图形，巧妙地实现概率计算的“可视化”，帮助学生完成文字语言、符号语言与图形语言的转化；②将全概率公式与贝叶斯公式对比教学，感受两者的区别与联系，帮助学生深刻理解因果事件与相应概率计算方法。 5． 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 环节一： 情境创设 “三门问题”引入 用教师叙述与视频演示相结合的方式，自然地描述问题情景，不妨假设参赛者选择1号门，主持人打开3号门；请学生表达想法. 观点1：既然3号是空门，那么奖品在1号与2号的概率相等，都是，因此不必换门. 观点2：1号中奖的概率是，当知道3号是空门之后，2号有奖品的概率就变为应该换门. 联系数学史上的著名“三门问题”，激发兴趣. 环节二： 复习回顾 教材P50例5 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； 通过问题串的形式，引导学生思考并梳理解题逻辑与过程： · 事件发生的先后顺序？原因和结果各为什么？如何设事件？ · 如何用树状图或韦恩图表示？ · 使用什么公式？如何计算？ 学生独立思考，经历设事件，写概率，带公式计算的过程，复习全概率公式的内容与使用方法，并且在过程中体会文字语言，符号语言与图形语言的转化，清晰准确地表达自己的想法。 1.复习回顾全概率公式的公式结构以及使用方法； 2.经历从实际情境抽象出数学模型并进行计算的过程，发展与“数学建模”与“数学计算”的核心素养. 环节三： 新知探索 在（1）的条件下，追问： （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1, 2, 3)台车床加工的概率. 为了加深学生理解，并推广到更一般的情境，引导学生思考： · 例题中P(Ai), P(Ai|B)的实际意义是什么？ P(Ai)是是第 i 台车床加工的零件所占的比例，是试验之前就已知的概率，称为“先验概率”； 当已知抽到的零件是次品(B发生)， P(Ai|B)是这件次品来自第 i 台车床加工的可能性大小.通常称之为“后验概率”. 用好教材，一题多问，层层递进，使学生初步感受贝叶斯公式的思想. 环节四： 知识提炼 贝叶斯公式： 从结构与内涵两个层面来辨析公式，两者相辅相成；掌握结构特征是理解其内涵的基础；反过来，深刻体会其内涵也有助于学生掌握公式的结构特征. 在教师引导之下，学生能够从例题中的特殊问题情境推广到一般，理解并记忆贝叶斯公式。 利用树状图与韦恩图，进一步梳理事件逻辑关系与相关概率的计算方法。 在抽象出概率模型的过程中,发展“数学抽象”的核心素养. 环节五： 新知巩固 练习：若某地区一种疾病的患病率是0.1% ，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为99.9%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99.9%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为1%，即在被检验者未患病的情况下有1%的可能会误报阳性.现有该地区的一个被检验者的检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为 . · 教师引导学生对计算结果9.09%进行数据分析，利用信息技术手段让抽象的数据可视化，帮助学生理解. 感受多次检验复查的生活实际背后所蕴含的数学思想，即贝叶斯公式所反映的对先验概率的不断修正. 本题由学生来主导分析并由学生讲解. 分析过程不仅要让学生建立条件与新知间的联系，更应该突破思路中的难点，即在本题中事件与事件的确定. 例题的结果反映出试剂阳性的误诊率非常高，进而可以引导学生继续分析造成这一现象的原因，并尝试给出解决方案. 在此过程中让学生切身感受到数学的应用价值，体现了数学的课程培养目标. 通过分析和解决实际问题，体会贝叶斯公式及思想在生活中的应用，加深对课堂内容的理解，发展应用意识与创新意识. 环节六： 课堂小结 带领学生回顾问题的分析与解决过程；归纳贝叶斯公式应用的具体步骤；加深学生对公式的理解，最后教师提醒学生解题中的注意事项，有利于学生构建完备的知识体系. 学生总结反思专题课之后的收获，教师仅为学生提供总结的方向而不做局限. 培养学生思维的条理性，提升学生分析问题与解决问题的能力. 环节七：感悟提升 回归到课堂开头的“三门问题”，在学生有不同看法且无法判断正误时，教师引导学生用贝叶斯公式来分析问题. 学科微德育： 再次指出贝叶斯公式思想在此问题中的应用，并让学生了解贝叶斯公式背后所蕴含的贝叶斯思想，即了解新的信息之后对先验概率的修正，并适当展开学科德育。 最后联系当下热门的人工智能话题，感受数学学科重要的基础性以及深远的科学价值. 学生通过本节课所学，利用贝叶斯公式科学地解释换门的决定会增加获奖概率的原因. 学生透过三门问题情境，再次感悟当我们了解新的信息以后可以对原本的事物重新认知，思考这和我们人脑的学习模式很像，再联系最近热门话题AI，了解AI在模拟人类思考时蕴含的贝叶斯理论与方法，从而由数学问题延伸到人生哲理的感悟，升华本节课的学习. 学生在本节课学习之后可以完成解答，体验到运用新知解决实际问题的获得感. 6． 作业设计 教材P52-53页本节课课后习题 7． 教学理解与反思 本节课虽然是教材中的选学内容，依然建议老师们完成本节课的教学，本节课所研究的“贝叶斯公式”也被称作“逆全概率公式”，它与全概率公式结合紧密，事件模型分别是“由因得果”与“由果索因”，因此适当对比教学可以加深学生的理解，形成更完备的知识体系。 在本节课的课程设计中，充分挖掘了教材内容，课程引入与结尾首尾呼应，利用的是数学史上的“三门问题”，选自教材的“阅读与思考”，因为三门问题科学的计算结果与学生直观感受的结论相违背，所以可以有效吸引学生兴趣，并体现数学的学科价值。本节课例题的选取摘自教材P50例5，是非常典型的全概率公式与贝叶斯公式的应用，练习题的选择一方面是为了巩固贝叶斯公式，更是贝叶斯在生活实际中的应用，其亮点应该在于在多次检验的手段背后所蕴含的利用贝叶斯公式中利用新的信息修正先验概率的重要数学思想。 在本节课的最后，联系热门话题AI，设计了数学学科微德育环节，原因在于我们大脑不断学习完善认知的过程其实就是贝叶斯的思想，因此鼓励学生从多个角度了解信息不断学习才能对事物进行更准确的判断，不要因为初始信息有限而停止探索，真正的学习者不会因为暂时的无知而放弃精进，只有通过不断地学习才能拼出更完整的人生图景。 4 学科网（北京）股份有限公司 $$