20 人教A版（2019）必修第二册综合测试卷-2024-2025学年高一数学暑假作业（巩固篇）

2024—2025学年高一年级暑假作业——巩固篇 20 人教A版必修二综合测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2025下·天津宝坻·高一校考阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【分析】根据向量的概念即可判断. 【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 2．（2025下·山东淄博·高一统考期末）若复数 (i是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为（    ） A．且 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据纯虚数的概念列式求解即可. 【详解】若复数 (i是虚数单位)是纯虚数，则，解得. 故选：B. 3．（24-25高一下·重庆北碚·期末）设m、n是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间中点线面的位置关系逐项验证即可求解. 【详解】对于A：若，则或与相交，故A错误； 对于B：若，则或，故B错误； 对于C：若，则或或与相交，故C错误； 对于D：若，则，故D正确. 故选：D. 4．（2025·河北衡水·高一阶段练习）已知点M为中边上的中点，点N满足，过点N的直线与分别交于P，Q两点，且设，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理可把用表示出来，再由平面向量共线定理的推论即可得出答案. 【详解】根据题意，得 ， 三点共线，，即. 故选：D. 5．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三棱锥中的对棱相等模型将三棱锥补成长方体，求出半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球等价于长方体的外接球， 设长方体的长宽高分别为，则，可得， 所以长方体的外接球半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为.    故选：. 6．（24-25高一下·陕西西安·期末）四名同学各投掷骰子次，记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定出现点数的是（   ） A．众数为，极差为 B．中位数为，极差为 C．平均数为，极差为 D．平均数为，众数为 【答案】C 【分析】利用特例法可判断ABD选项；对于C选项，设个数据由小到大排序为、、、，利用平均数公式和极差的定义分析可得出结果. 【详解】对于A选项，数据、、、的众数为，极差为，但没有出现，A不满足要求； 对于B选项，数据、、、的中位数为，极差为，但没有出现，B不满足要求； 对于C选项，设个数据由小到大排序为、、、，则， 则，若，则，由，可得，不合乎题意，舍去；所以，故，由，可得，所以数据、、、或、、、合乎题意.C满足要求；对于D选项，数据、、、的平均数为，众数为，但没有出现，D不满足要求. 故选：C. 7．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，则DB的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】在中，，可得，在中，， 由余弦定理可得，即， 即，解得（负值已舍）．即BD的长度为1．故选：A． 8．（2025下·江苏南京·高一期末）直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱，分别是的中点，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线分别交的延长线于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积即可. 【详解】设设直线分别交的延长线于点，连接，交于点， 连接，交于点，连接，所以过点的平面截直四棱柱的截面为五边形.由平行线分线段比例可知：，故，故为等腰直角三角形，所以， 故，则，.连接，易知， 所以五边形可以分成等边三角形和等腰梯形两部分， 等腰梯形的高，则等腰梯形的面积为.又，所以五边形的面积为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025下·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校联考期末）关于复数，下列说法正确的是（    ） A．是实数 B．z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C．若复数z满足，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】先算z与其共轭复数的乘积，再从几何的角度考虑与关于实轴对称，最后分析表示圆. 【详解】对于A，复数的共轭复数为，,正确. 对于B，复数对应点，其共轭复数对应点，两点关于实轴（轴）对称，正确. 对于C，假设，则，但复数平方根有双解，另一个解为，题目中仅给出，未包含全部解，C错误. 对于D，表示以z为圆心、半径为1的圆.圆心z到原点的距离为，因此圆上的点到原点的距离范围为：，，即，D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图，平行四边形中，为的中点，与交于F，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据分析平行四边形的性质和向量的几何意义，结合平面向量的基本概念，向量的线性运算，向量的数量积运算以及向量的模长运算逐项判断即可. 【详解】对于A，，则，，则为直角三角形，且，则，所以在方向上的投影向量为，A正确；对于B，平行四边形中，为的中点，所以，则， ，B正确；对于C，，C错误；对于D，，，则，D错误.故选：AB. 11．（2025·河南郑州·高一阶段练习）如图所示，在长方体中，为线段上的动点（不与点重合），若，，则（    ）    A． B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．二面角的正切值为2 【答案】BCD 【分析】对于A，假设，得到矛盾，从而可判断；对于B，由题意可得为定值，点到平面的距离也为定值，结合即可判断；对于C，连接，得到,从而得到异面直线与所成角即为直线与所成角，结合余弦定理即可判断；对于D，由平面，可得二面角的平面角为，求解即可判断. 【详解】对于A，假设，因为平面，又平面，，从而平面，又平面，所以， 则四边形是正方形，与已知矛盾，故A错误； 对于，由A可知四边形为矩形，为定值， 又点到平面的距离也为定值，于是为定值，故B正确； 对于C，连接，因为，所以四边形是平行四边形， 所以,则异面直线与所成角即为直线与所成角，在中，，则，故C正确； 对于D，二面角即为二面角，因为平面， 所以二面角的平面角为，在中, ，故D正确. 故选：BCD.   . 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）心理健康指数是通过科学方法量化评估个体或群体心理状态的指标.某机构研究人员为了解某社区居民的心理健康情况，随机从该社区抽取20名居民进行调查，得到他们的心理健康指数分别为7.2，7.3，7.5，7.8，7.9，8.0，8.5，8.5，8.6，8.6，8.7，8.7，9.1，9.1，9.3，9.4，9.5，9.7，10.0，10.0，则这组数据的第60百分位数是 . 【答案】8.9 【分析】根据百分位数定义计算求解. 【详解】因为，所以这组数据的第60百分位数为. 13．（2025下·河南信阳·高一统考期末）如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为 。 【答案】 【分析】结合图形，取正三棱台的上下底面中心为，连接并延长交于点，连接并延长交于点，分别计算的长，利用直角梯形即可求得答案. 【详解】 如图，取正三棱台的上下底面中心为，则即为棱台的高. 连接并延长交于点，连接并延长交于点. 依题意，，， 在直角梯形中，，即棱台的高为. 14．（2025·山东枣庄·高一阶段练习）17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点P满足时，点P到的三个顶点的距离之和最小，点被人们称为“费马点”．根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的单位向量，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】通过将向量的模转化为平面上点到点的距离，利用费马点的性质来求解最小值. 【详解】设，，，则，即为点到，和三个点的距离之和.因为,所以，.所以为等腰直角三角形．由费马点的性质可知点满足时，则点到的三个顶点的距离之和最小．如下图： 可知，所以点的坐标为， 所以距离之和最小为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（2025下·江苏苏州·高一校联考阶段练习）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【详解】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，，， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. 16．（2025下·浙江宁波·高一统考期末）乒乓球被称为中国的“国球”，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜（比如：比分为，得12分者胜），该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球. (1)若两人又打了2个球比赛结束且甲获胜的概率为，求的值； (2)若满足（1）中条件取值，记事件“两人又打了4个球该局比赛结束”，事件“两人又打了个球该局比赛结束”. （i）求； （ii）直接写出. 【答案】(1) (2)（i）；（ii），. 【分析】（1）记表示打第个球是甲胜，由题意可得，求解即可. （2）（i），为奇数；，为偶数，根据，，，互斥，各球的结果相互独立，计算可得结论；（ii）与（i）类似可得结论. 【详解】（1）记表示打第个球是甲胜， 两人又打了2个球比赛结束且甲获胜即，各球的结果相互独立， ，，，. （2）（i），为奇数；，为偶数. . ，，，互斥，各球的结果相互独立. . . . . . （ii），. 17．（24-25高一下·河南郑州·期末）某市组织了一场面向全市大学生、中学生、小学生的科技节活动，为了解对活动的满意度，特随机向参与活动的同学做问卷调查，共收集了1000份问卷，并统计每个问卷的满意度得分（满分100分），绘制了如下频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计该满意度得分的第80百分位数（精确到）和总体平均数； (3)已知填写问卷的同学中，大学生、中学生、小学生的人数比例为，其中大学生满意度得分的平均数为86，方差为；小学生满意度得分的平均数为96，方差为．请结合频率分布直方图，估计中学生对该活动满意度得分的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记总体样本平均数为，样本方差为，则． 【答案】(1) (2)第80百分位数为，总体平均数为 (3)平均数为91，方差为 【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，可得结果； （2）根据百分位数定义和平均数公式求解即可； （3）由频率分布直方图，先求出1000份问卷的方差，用样本估计总体可得所有学生满意度得分的平均数为，方差为，进而结合题设公式求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得： ，解得． （2）由，∴第80百分位数在区间内， 设第80百分位数为，由，得， 可以估计该满意度得分的第80百分位数为．1000份问卷的平均分可估计为： ， 用样本估计总体，可以估计学生对该活动满意度的总体平均数为． （3）由频率分布直方图，1000份问卷的方差可估计为： ，用样本估计总体，则所有学生满意度得分的平均数为，方差为．记大学生满意度得分的平均数为，方差为，小学生满意度得分的平均数为，方差为，估计中学生满意度得分的平均分为，方差为，则，所以， ， 解得．所以估计中学生对该活动满意度得分的平均数为91，方差为． 18．（24-25高一下·河南南阳·期末）在锐角中，设角的对边依次为，满足. (1)求的大小； (2)若，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）利用正弦定理、和角公式与辅助角公式化简计算即得； （2）利用线段中点的向量表达式化简得到，由正弦定理化简得到，结合锐角得到角的范围，利用正弦函数的图象即可求得答案. 【详解】（1）由题设知.由正弦定理,可得.①，又，则.将上式代入①式得， 即.又，，故， 则，即.又，则，则，解得. （2）因为为的中点，所以， 两边平方得. 在中，由余弦定理得，因，即， 所以.在中，由正弦定理得，即得，，所以 .因为锐角三角形，则且，解得，则，故，故，则，故中线的取值范围是. 19．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，在中，，点满足，沿将折起形成三棱锥． (1)若，求证：平面平面； (2)若在平面上的射影恰好在上，求二面角的余弦值； (3)若，且二面角为直二面角，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3) 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明平面，再结合面面垂直判定定理证明即可； （2）过点作的垂线交于点，交于点，先根据二面角定义得出为二面角所成的平面角，再结合边长计算余弦值； （3）过点作的垂线交于点，先应用面面垂直性质定理得出平面，应用等体积方法计算点到平面距离即可. 【详解】（1），所以在三棱锥中有：， 又平面平面，，平面， 平面，平面平面是正方形； （2）过点作的垂线交于点，交于点， 翻折后仍有，，又因为， 且平面，平面，所以平面， 所以为二面角所成的平面角， 由题意得平面，所以， 因为直角三角形中，角为直角，时为斜边中点， 所以,所以, ，所以， 又因为，所以， ，所以，所以， 即二面角平面角的余弦值为； （3）当时，, 由三角形内角平分线逆定理可知平分,又∵,∴. 过点作的垂线交于点，连接,则为等腰直角三角形， 斜边,∴， 所以， 由题意平面平面，平面平面，， 平面，所以平面，又∵平面，所以， ∴，∴, ∴,∴， ∵，点满足，∴, 又∵, ∴, 综上，三棱锥的高,底面积, 三棱锥的底面积， 设点到平面的距离为,即为三棱锥的的高，∵， ∴,即,解得. ∴点到平面的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年高一年级暑假作业——巩固篇 20 人教A版必修二综合测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2025下·天津宝坻·高一校考阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 2．（2025下·山东淄博·高一统考期末）若复数 (i是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为（    ） A．且 B． C． D．或 3．（24-25高一下·重庆北碚·期末）设m、n是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2025·河北衡水·高一阶段练习）已知点M为中边上的中点，点N满足，过点N的直线与分别交于P，Q两点，且设，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．10 5．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·陕西西安·期末）四名同学各投掷骰子次，记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定出现点数的是（   ） A．众数为，极差为 B．中位数为，极差为 C．平均数为，极差为 D．平均数为，众数为 7．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，则DB的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 8．（2025下·江苏南京·高一期末）直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱，分别是的中点，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025下·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校联考期末）关于复数，下列说法正确的是（    ） A．是实数 B．z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C．若复数z满足，则 D．若，则 10．（24-25高一下·重庆·阶段练习）如图，平行四边形中，为的中点，与交于F，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B． C． D． 11．（2025·河南郑州·高一阶段练习）如图所示，在长方体中，为线段上的动点（不与点重合），若，，则（    ）    A． B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．二面角的正切值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）心理健康指数是通过科学方法量化评估个体或群体心理状态的指标.某机构研究人员为了解某社区居民的心理健康情况，随机从该社区抽取20名居民进行调查，得到他们的心理健康指数分别为7.2，7.3，7.5，7.8，7.9，8.0，8.5，8.5，8.6，8.6，8.7，8.7，9.1，9.1，9.3，9.4，9.5，9.7，10.0，10.0，则这组数据的第60百分位数是 . 13．（2025下·河南信阳·高一统考期末）如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为 。 14．（2025·山东枣庄·高一阶段练习）17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点P满足时，点P到的三个顶点的距离之和最小，点被人们称为“费马点”．根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的单位向量，则的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（2025下·江苏苏州·高一校联考阶段练习）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 16．（2025下·浙江宁波·高一统考期末）乒乓球被称为中国的“国球”，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜（比如：比分为，得12分者胜），该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球. (1)若两人又打了2个球比赛结束且甲获胜的概率为，求的值； (2)若满足（1）中条件取值，记事件“两人又打了4个球该局比赛结束”，事件“两人又打了个球该局比赛结束”. （i）求； （ii）直接写出. 17．（24-25高一下·河南郑州·期末）某市组织了一场面向全市大学生、中学生、小学生的科技节活动，为了解对活动的满意度，特随机向参与活动的同学做问卷调查，共收集了1000份问卷，并统计每个问卷的满意度得分（满分100分），绘制了如下频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计该满意度得分的第80百分位数（精确到）和总体平均数； (3)已知填写问卷的同学中，大学生、中学生、小学生的人数比例为，其中大学生满意度得分的平均数为86，方差为；小学生满意度得分的平均数为96，方差为．请结合频率分布直方图，估计中学生对该活动满意度得分的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记总体样本平均数为，样本方差为，则． 18．（24-25高一下·河南南阳·期末）在锐角中，设角的对边依次为，满足. (1)求的大小； (2)若，求边上的中线的取值范围. 19．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，在中，，点满足，沿将折起形成三棱锥． (1)若，求证：平面平面； (2)若在平面上的射影恰好在上，求二面角的余弦值； (3)若，且二面角为直二面角，求点到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$