2025年中考数学专题复习特殊四边形综合部分重难点专项练习

2025年中考数学专题复习特殊四边形综合部分重难点专项练习 1．综合与实践： 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，连接翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线． 观察发现： （1）如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则______， ； 问题探究： （2）如图2，若，，则点G_____边上（填“在或不在”），并求出的长； 拓展延伸： （3），若F为靠近A的三等分点，请求出的长． 2．如图，为坐标原点，四边形为矩形，顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，动点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． (1)当________时，四边形是平行四边形？ (2)在直线上是否存在一点，使得四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标，若不存在，请说明理由： (3)在点运动的过程中，线段上有一点，且，求四边形的周长最小值． 3．如图，在菱形中，，菱形的面积为60，点从点出发沿折线向终点运动．过点作点所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点，在的右侧作矩形． (1)求菱形的高． (2)如图1，点在上.求证：． (3)若，当过中点时，求的长． 4．如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、． （1）若，则四边形的周长为 ． （2）图③，若，且，则四边形的面积为 ． 5．如图1，在矩形中，，，的垂直平分线分别交，于点，，垂足为，连接，．    (1)求证：四边形为菱形； (2)求的长； (3)如图2，动点P，Q分别从A、C两点同时出发，即点P自停止，点Q自停止，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 6．如图，菱形的边长为，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)求的长． (2)已知动点运动的速度为，动点运动的速度为，经过12秒后，分别到达两点，试判断的形状，并说明理由． (3)设问题（2）中的动点分别从同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过2秒后，分别到达两点，若为直角三角形，试求值． 7． 【问题提出】 （1） 如图①， 在中， 点为的中点， 则： （填“， ， ”） 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中， ， 点E为的中点，点F、G分别为、边上的动点，，求 面积的最小值； 【问题解决】 （3） 如图③，矩形是某农业观光园的部分平面示意图，千米， 千米， 边上的点E为休息区， 且千米， 三条观光小路、、（小路宽度不计， F在边上， G在边上）拟将这个园区分成四个区域，用来种植不同的蔬菜，根据实际需要， 并且要求△EFG的面积尽可能小，那么是否存在满足条件的？若存在，请求出的面积的最小值；若不存在，请说明理由． 8．（1）认识研究对象：如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．我们已经学习了①平行四边形②菱形③矩形④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 ． （2）探索研究方法：如图1．已知四边形是垂美四边形，求证：． （3）尝试问题解决：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰； ①如图2，当，连接，求的长； ②如图3．当，点G、H分别是中点，连接．若，求的面积． 9．已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若的面积为S．    (1)当四边形是正方形时，求x的值； (2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当_____________时，的面积S最大；当_____________时，的面积S最小； (4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_____________． 10．综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最小值”为主题的探究活动． 【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1，在矩形中，，，P为边上的一动点，以为边向右作等边，连接，如何求的最小值？ 【探究发现】小亮发现：如图4所示，以为边向下构造一个等边，便可得到，进而将的最小值转化为的最小值的问题． （1）按照小明的想法，求证：；并求出的最小值． 【拓展应用】 （2）小刚受此启发，举一反三，提出新问题：如图2，若将图1当中构造的等边三角形，改为以为边向右构造正方形，在运动过程中，求出的最小值． （3）小红同学深入研究了小刚的问题，并又提出了新的问题：如图3，若将图2当中构造的正方形改为以为边向右构造菱形，使，也可求得的最小值．请你直接写出最小值为______． 11．平行四边形中，点在边上，连接，点在线段上，连接，． (1)如图1，已知，点为中点，．若，，求的长度． (2)如图2，已知，，将射线沿翻折交于，过点作交延长线于点．若，请写出线段，，的数量关系并说明理由． (3)如图3，已知，若，，请直接写出的最小值． 12．问题提出 （1）如图①，在矩形中，，，是矩形内部一点，连接、、，若，求的最小值； 问题解决 （2）如图②是海边沙滩排球赛的比赛场地一角，是临海沙滩边缘，已知，，．工作人员计划在沙滩上用隔离带、、 圈出比赛场地，在右侧，是的中点，长为，，为节省材料，隔离带需尽可能短，举办方赛前准备了长的隔离带，请你判断隔离带是否够用？并说明理由．（，） 13．综合与实践 将正方形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，， (1)如图1，当时，的形状为_______，连接，可求出的值为______； (2)当且时． ①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值，若，请直接写出此时点到的距离． 14．某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上一点，点G、H分别是边上一点，连接，若，则_______； 【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．观察发现：（1）45；；问题探究：（2）在；；拓展延伸：（3）的长为15 【分析】（1）四边形是正方形，由正方形的性质得出，，由勾股定理及折叠的性质可得出答案； （2）延长交于点M，证明和均为等腰直角三角形，得出，，即可求解； （3）当时，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，设，，根据，即可求解． 【详解】（1）∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵F为边的中点， ∴， 将和沿翻折，D，B的对应点分别为G，H， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将和沿翻折，D，B的对应点分别为G，H， ∴， ∵， ∴； 故答案为：45；； （2）延长交于点M，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴； ∵， ∴， 由折叠性质得：， ∴点G在边上； 故答案为：在； （3）当时， 过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形， ∴， 由折叠性质可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设, ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为15． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 2．(1)6 (2)存在，点的坐标为或 (3)四边形的周长最小为 【分析】（1）若四边形是平行四边形，则，即，即可求解； （2）若四边形是菱形，则，即，解得或2，进而求解； （3）作点关于直线的对称点，将点向左平移5个单位得到点，连接，交于点，点向右5个单位得到点，此时，四边形的周长最小，进而求解． 【详解】（1）由题意得：，则， 四边形是平行四边形， ，即，解得， 故答案为6； （2）如图1，连接，过点作于点， 则，， ， 四边形是菱形， ， 即，解得或2， 故点的坐标为或， 当点的坐标为时，点在点的左侧5个单位的位置， 即点； 当点的坐标为时，点在点的左侧5个单位的位置， 即点， 故点的坐标为或； （3）作点关于直线的对称点，将点向左平移5个单位得到点， 连接，交于点，点向右5个单位得到点，此时，四边形的周长最小， 理由：四边形的周长 为最小， 由点的坐标得，， 则四边形的周长最小为． 【点睛】本题为四边形综合题，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、平行四边形的性质、点的对称性等，其中（3），用点的对称性确定四边形周长最小值的方法，是本题的难点． 3．(1) (2)见解析 (3)长为或 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，分类讨论方法是解题的关键． （1）根据菱形的面积公式计算，即可； （2）由菱形性质可证，进而证明，即可得出结论； （3）记中点为点O．分点E在上和点E在上两种情况，求出，进而解题． 【详解】（1）解：∵，面积为60， ∴菱形的高为； 故答案为：6； （2）证明：如图1， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：记中点为点O， ①如图中，当点在上时，作．则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图中，当点在上时，作． 同理，，，， ∴， 综上所述，长为或． 4．见解析；（1）①四边形的周长为；（2） 【分析】运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论； （1）运用三角形中位线定理可得，，再由，可得，即可得出答案； （2）由（1）得，得出四边形是菱形，再证得，得出四边形是正方形，即可求得答案． 【详解】证明：如图①， 、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线，   ，， ， ， ． （1）如图②， 、、、分别是、、、的中点， ，，   ， ， 四边形的周长为16； （2）：如图③， 、、、分别是、、、的中点， ，，，， ，，   ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 菱形是正方形， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，菱形和正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 5．(1)见解析； (2)； (3)秒． 【分析】（1）结合矩形性质及垂直平分线定义证明后，根据全等三角形性质即可证明四边形为菱形； （2）根据矩形性质、菱形性质推得、，设，利用勾股定理即可求得； （3）分情况讨论可知，P点在上，Q点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是矩形，，， ，， 四边形是菱形， ， 设，则， 中，， ， 解得：， 即． （3）解：显然当点在上时，点在上，此时、、、四点不可能构成平行四边形； 同理点在上时，点在或上或者在，在时不构成平行四边形， 只有当点在上，点在上时，以、、、四点为顶点的四边形才是平行四边形，此时，    ，即， 由（2）得， ，， ， 解得：， 故当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，． 【点睛】本题考查的知识点是矩形性质、垂直平分线定义、全等三角形的判定与性质、菱形的判定及性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、一元一次方程，解题关键是熟练掌握菱形的判定、勾股定理的应用及分类讨论． 6．(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)的值为或或． 【分析】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据菱形的性质，证明是等边三角形，即可求出的长． （2）由题意可知，动点运动的路程为，动点运动的路程为，从而得出点与点重合，点是中点，再结合等边三角形三线合一的性质，即可求解； （3）由题意可知，动点的速度为，动点的速度为，秒后，动点运动的路程为，动点运动的路程为，则，，分两种情况讨论：①当点运动到点，且点在上时；②当点运动到点，且点在上时，利用含30度角的直角三角形的特征分别求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由题意可知，动点运动的速度为，动点运动的速度为，运动时间为12秒， 动点运动的路程为，动点运动的路程为， 动点从点出发，沿着线路做匀速运动，且， 动点到达点，即点与点重合， 动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动，且， 动点到点的距离为，动点到达中点，即点是中点， 是等边三角形，点是中点， ， 是直角三角形； （3）解：是等边三角形， ， 由题意可知，动点的速度为，动点的速度为， 秒后，动点运动的路程为，动点运动的路程为， 从沿原路返回， ， ， ①如图，当点运动到点，且点在上时，则， ， 为直角三角形，，不能为， ，， ，即， 解得：； ②当点运动到点，且点在上时，则， 为直角三角形， 若，如图， ， ， ，即， 解得：； 若，如图，此时， ， ， ， ， ， 综上可知，若为直角三角形，的值为或或． 7．（1）；（2）；（3）存在，的面积的最小值为 【分析】（1）和是等底同高，从而得出结果． （2）延长， 交的延长线于点，作的外接圆，连接，作于，设，可证得，从而， 从而得出和的面积相等，可求得，从而， ，进而表示出的长，根据得出，从而得出的最小值，从而得出的最小值，进一步得出结果． （3）延长， 交的延长线于点，作的外接圆，作于，作，交的延长线于， 设的半径为，可证得，进而可得，从而得，根据得出，求出的最小值即可求解． 【详解】解：（1）如图1，作于， 点是的中点， ， ，， ， 故答案为：． （2）如图2，延长， 交的延长线于点，作的外接圆，连接，，，作于， 设， 四边形是正方形， ， 是的中点，且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 当点共线时，，， ， 面积的最小值为． （3）如图3， 存在的面积的最小值，理由如下： 延长， 交的延长线于点，作的外接圆，作于，作，交的延长线于， 设的半径为， 四边形是矩形， ， ， 千米，千米， （千米）， ， ， ， ， 由（2）得：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， （千米）， （平方千米）， （平方千米）． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的外接圆等知识，解决问题的关键是作辅助圆． 8．（1）②④；（2）见解析；（3）①；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据平行四边形，菱形，正方形和矩形的性质，结合垂美四边形的定义，进行判断即可； （2）运用勾股定理可得：，，，，即可证得结论； （3）①如图，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理可得，再证得，得出，，运用勾股定理即可求得答案．②分别过点A、D作于点M，于点N，连接，证明，得到，设，勾股定理求出的值，利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵菱形、正方形的对角线垂直， ∴菱形、正方形都是垂美四边形， 故答案为：②④； （2）证明：∵四边形ABCD是垂美四边形， ，垂足为，如图， ，，，， ，， ． （3）解：①解：如图，过点作，交的延长线于点，则， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，． ②如图3，，分别过点A、D作于点M，于点N，连接， 又∵等腰和等腰，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵点G、H分别是中点，连接， ∴， 在和中，由勾股定理得： ， ∴，即， 解得：，即， ∴． 9．(1) (2) (3)①，② (4) 【分析】本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识； （1）只要证明即可解决问题； （2）如图，连接，作于，想办法证明，可得，由此即可解决问题； （3）①如图3中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，在中，．②如图4中，当点在上时，的值最大，的面积最小； （4）如图3中，在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，点运动的路线长的长． 【详解】（1）四边形是正方形， ，， ，， ， ∴， ， ．， ， ． 故答案为：． （2）如图，连接，作于，则，，   四边形是菱形， ，， ， 矩形中，， ， ，即， ， ， ，， ． 与的函数关系式； （3）①如图3中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，    在中，， 的最大值． ②如图4中，当点在上时，的值最大，的面积最小， 此时易证， ， ， ； 故答案为：①，②． （4）如图3中，在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段， 即点运动的路线长的长， 故答案为：． 10．（1）见解析，；（2）；（3） 【分析】（1）过点作于，交于，可证得，得出，由为定点，可得当时，即点与点重合时，最小，再利用解直角三角形求得即可； （2）以为边向下作正方形，连接、交于点，连接，，过点作于，交于，可推出，，证得，得出，即，故当取得最小值时，最小，利用解直角三角形求得，进而可求得的最小值； （3）连接、交于，在下方作射线、射线，使，射线、射线交于点，过点作于，交于，连接，可证得，得出，即，故当取得最小值时，最小，由点为定点，可得当，即点与点重合时，最小，运用解直角三角形即可求得答案． 【详解】解：（1）如图，过点M作于K，交于L， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中，， ∴ ∴当最小时，最小， ∵M为定点， ∴当时，即点P与点K重合时，最小， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为； （2）如图，以为边向下作正方形，连接交于点O，连接，过点O作于，交于T， ∵四边形是正方形， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 当BG取得最小值时，最小， ∵点O为定点， ∴当时，即点P与点重合时，最小， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值为12， ∴的最小值为， （3）如图，连接交于O，在下方作射线、射线，使，射线、射线交于点Q，过点Q作于，交于K，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，最小， ∵点Q为定点， ∴当，即点P与点重合时，最小， 由（2）知：， ∴， ∴的最小值． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，构造全等三角形和相似三角形，此题难度较大，属于中考压轴题． 11．(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据“直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，则，即可求解； （2）由题意可得，是的角平分线，且，故延长交于点M，可证，要证，而，即证明即可，延长交于N，过E作于P，先证明，可以得到，再证明四边形是正方形，得到，接着证明即可解决； （3）如图3，分别以和为边构造等边三角形，构造“手拉手”模型，即可得到，所以，则，当B，F，M，N四点共线时，所求线段和的值最小，利用，解即可解决． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵E为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； （2）证明：，理由如下： 如图2，设射线与射线交于点M， 由题可设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于N， ∴， 过E作于P， 则， 在与中，   ， ∴， ∴， 过E作于Q， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， 在与中， ，   ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 当B，F，M，N四点共线时，最小， 即为线段的长度，如图4， 过N作交其延长线于T， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题是一道四边形综合题，考查了线段的“截长补短”在证明三角形全等中的应用，同时要注意基本辅助线构造方法，比如第（2）问中的线段既是角平分线，又是垂线段，延长相交构等腰就是本题的突破口，再结合线段的截长补短来构造全等，还考查了多条线段和的最值问题，利用旋转变换来转化线段是解决此问的关键． 12．（1）；（2）够用，理由见解析 【分析】（1）以为直径作圆，圆心为，连接交于点，则，根据得点在矩形内部的半圆上运动，据此得当点与点重合时，为最小，最小值为的长，最后根据勾股定理求出的即可； （2）连接，作交于，先证明和，作出所在的，任取优弧上任取一点，连接，，将点水平向左平移得到点，作点关于的对称点，连接交于点，连接交于点，交于点，连接，将点往右平移得到点，连接，作交于点，作交的延长线于点，根据圆的内接四边形对角互补，可以知道，从而推出，结合勾股定理，算得的长度，分别证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在利用勾股定理求得和的长度，结合和关于对称，，当与重合，、、三点共线，取最小值，此时，，最后在中利用勾股定理求得，从而求得的长度，得到的最小值，最后与350米进行比较即可． 【详解】（1）以为直径作圆，圆心为，连接交于点，如图所示： ，即 点在矩形内部的半圆上运动 那么当点与点重合时，为最小，最小值为的长 在中，， 的最小值为． （2）连接，作交于，如图 ， ， 又 又 ， 作出所在的，任取优弧上任取一点，连接，，将点水平向左平移得到点，作点关于的对称点，连接、，连接交于点，连接交于点，交于点，连接，将点往右平移得到点，连接，作交于点，作交的延长线于点，如图所示： ， 四边形是平行四边形 和关于对称 ，， 当与重合，、、三点共线，取最小值，此时， 当最小时，最小值为 是的中点， ， ， 四边形圆的内接四边形， ， 又， 四边形是矩形 ， ，， ， 四边形是平行四边形 ， ， 最小值为 ， 隔离带够用． 【点睛】本题考查了圆周角定理及推论，圆的内接四边形，勾股定理，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，解直角三角形，点的平移，熟练掌握以上知识点，画出合理的辅助线是解题的关键． 13．(1)等腰直角三角形； (2)①（1）中的两个结论仍然成立，证明见解析；②的值为或，此时点到的距离为或 【分析】（1）由正方形的性质得，，，，由旋转的性质得，，推出为等边三角形，，，，，证明为等腰直角三角形，得出，，证明，即可得解； （2）①由旋转的性质得，，得到，，，证明是等腰直角三角形，得出，由正方形的性质得，，证明，即可得出结论； ②若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论：第一种以为边时，则，此时点在线段的延长线上，此时点与点重合，，即可得解；第二种以为对角线时，由平行四边形的性质得，点为中点，证明，得出，则，，，即可得解． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵绕点逆时针旋转至，旋转角为， ∴，， ∴，为等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：等腰直角三角形；； （2）①两个结论仍然成立， 证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵绕点逆时针旋转至，旋转角为， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴（1）中的两个结论不变，依然成立； ②若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论： 第一种：以CD为边时，则， 此时点在线段的延长线上，如图所示， 此时点与点重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， 此时点到的距离为； 第二种：当以为对角线时，如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，，点为中点，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的值为或，此时点到的距离为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数，平行四边形的性质、分类讨论等知识，证明、进行分类讨论是解题的关键． 14．（1），理由见解析；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）可证得，再由全等三角形的性质可得； （2）作，交于，做，交于，可证得，从而，进而得出结果； （3）作，交的延长线于点，作直线于点，由（2）知：，进一步得出结果； （4）以、为邻边作平行四边形，连接，过点作于点，先根据勾股定理求出的长，再证和全等，得出，求的最小值转化为求的最小值，当、、在一条直线上时最小，即为的长，在等腰直角中求出的长即可． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1， ，理由如下： 设，交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图2， 作，交于，做，交于， 四边形是矩形， ，，， 四边形和四边形是平行四边形， ，， ， ， 同理（1）可得：， ， ， ， 故答案为：； （3）如图3， 作，交的延长线于点，作直线于点， ， ， 四边形是矩形， 又， 由（2）知：， 是等边三角形， ，， ， ， ； （4）以、为邻边作平行四边形，连接，过点作于点， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， 在中，，， 由勾股定理得， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当、、在一条直线上时最小，即最小，此时最小值是的长，为． 【点睛】本题考查了矩形和正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作根据轴对称的性质转化线段． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$