第10章 空间直线与平面（知识清单）数学沪教版2020必修第三册

第10章 空间直线与平面 一、平面基本性质 1.平面的画法及表示 画法 平面水平放置 平面竖直放置 表示 ①平行四边形的四个顶点：平面 ； ②对角顶点：平面 或平面 ； ③希腊字母：平面 ，平面 ，平面 2. 点、直线、平面之间位置关系 3.公:理1：如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 4.公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面 符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示： 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面．: 二、空间直线位置关系 1.空间两条直线的三种位置关系 2.异面直线所成的角 已知两条异面直线a，b，经过空间 O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线 所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 空间两条直线所成角α的取值范围是 。 3.直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线 。直线a与直线b垂直，记作 . 三、直线与平面位置 1.直线与平面的位置关系 位置 关系 直线a在 平面α内 直线a在平面α外 直线a与平 面α相交 直线a与平 面α平行 公共点 有 公共点 公共点 公共点 符号 表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形 表示 2.直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与 ，那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 3.直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面 ，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 。 符号语言 a∥α， ⇒a∥b 图形语言 4．直线与平面垂直的定义及画法 定义 一般地，如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 ，它们唯一的公共点P叫做 。 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 5.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言 6.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线 。 符号语言 a⊥α，b⊥α⇒a∥b 图形语言 7.直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面 但不与这个平面 ，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中 斜足 斜线和平面的 ，如图中 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 ，过 和 的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中 ； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则 四、平面与平面位置关系 1.平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 公共点 有 个公共点(在一条直线上) 符号表示 图形表示 2.平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α 图形语言 3.两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒ 图形语言 4.平面与平面垂直的定义和判定 平面与平面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作 . 画法： 面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 符号语言：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. 5.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面 符号语言 α⊥β，α∩β＝l， ⇒a⊥β 图形语言 6.二面角的概念 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 画法： 记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q. 二面角的平面角： (1)在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图． (2)二面角的平面角α的取值范围是 .平面角是直角的二面角叫做直二面角． 五、异面直线的距离 1.异面直线的距离：两条异面直线的 的长度（公垂线是指与两条异面直线都垂直且相交的直线，公垂线段即公垂线夹在两直线间的部分）。 2.异面直线距离的核心特征 唯一性：任意两条异面直线有且仅有一条 ，因此它们的距离是唯一确定的。 最短性： 是两条异面直线上各点之间距离的最小值（即 “最短距离”）。 3.异面直线距离的计算方法 方法 1：定义法（直接找公垂线段） 原理：若能直接找到两条异面直线的 ，测量其夹在两直线间的线段长度即可。 适用场景：几何结构简单（如正方体、长方体），公垂线易观察时。 方法 2：线面距离转化法 原理：若直线a与直线b是异面直线，且a∥平面α（b⊂α），则直线a到平面α的距离等于异面直线a与b的距离。 一、平面基本性质理解易错点： 公理条件忽视：公理 2 强调 “不在同一直线上的三点确定一个平面”，若忽略 “不在同一直线上” 这个条件，就可能错误地认为任意三点都能确定一个平面。例如，当三点共线时，可确定无数个平面，而非一个。 公理推论误用：公理 2 的推论是确定平面的重要依据，但在使用时容易混淆。如推论 1 是经过一条直线和直线外一点确定一个平面，若把点放在直线上，就不能用此推论确定唯一平面。 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25高二上·上海金山·期末）若点A与直线能够确定一个平面，则点A与直线的位置关系是（    ）. A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、空间直线位置关系易错点： 异面直线判断失误：判断两条直线是否为异面直线时，容易仅凭直观感觉。有些直线看似相交或平行，但实际上可能不在同一平面内，应根据异面直线的定义，从是否 “不同在任何一个平面内” 来判断。 异面直线所成角计算错误：求异面直线所成角时，平移直线是关键步骤。若平移不当，会导致所成角错误。同时，要注意异面直线所成角的范围是(0,90°]，在计算出角的三角函数值后，要根据范围确定角的大小，避免出现把钝角当作异面直线所成角的情况。 4．（24-25高二上·上海宝山·期末）空间两直线没有公共点，则这两条直线的位置关系为 ． 5．（24-25高二上·上海·期中）是空间四边形，且和成角，、分别是和的中点，则和所成的角是（    ） A． B． C．或 D． 三、直线与平面位置关系易错点： 线面平行判定与性质混淆：线面平行的判定定理是通过平面外一条直线与平面内一条直线平行来判定线面平行；而性质定理是已知线面平行，得到直线与交线平行。易出现的错误是已知线面平行，就直接认为直线与平面内任意直线平行，实际上平面内的直线与该直线是异面或平行关系。 线面垂直判定条件不满足：直线与平面垂直的判定定理要求直线垂直于平面内的 “两条相交直线”，若只垂直于平面内的两条直线，而这两条直线不相交，则不能得出直线与平面垂直。 6．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）如图，已知点是平行四边形所在平面外的一点，，分别是，的中点，求证：平面. 7．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，已知矩形，平面，，点E是PB的中点．求证：平面． 四、平面与平面位置关系易错点： 面面垂直性质应用不当：面面垂直的性质定理是若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。易错点在于没有找到或证明出交线，就直接认为平面内一条直线垂直于另一个平面。 面面平行判定条件遗漏：判定面面平行时，需要一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，容易遗漏 “相交” 这个条件，只证明两条直线平行就得出面面平行的结论。 8．（22-23高二上·上海长宁·阶段练习）如图，为不共线的三点，，且；求证：平面平面； 9．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）（1）请用文字语言叙述两个平面垂直的判定定理； （2）请证明两个平面垂直的判定定理； （3）如图，为平面外一点，平面，为的中点，，，求证：平面平面. 五、距离计算易错点： 点到平面距离计算错误：计算点到平面距离时，可能会找错垂线，或在使用向量法时，向量运算错误。另外，对于一些复杂的图形，可能不能准确找出点在平面上的投影位置。 混淆不同距离概念：容易混淆点到平面、点到直线、两平行平面间等距离概念，导致使用错误的公式进行计算。例如，把点到直线的距离公式用于计算点到平面的距离，或者在计算两平面距离时，没有考虑到两平面平行这一前提条件。 10．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知长方体的棱、AB和AD的长分别为3cm、4cm和5cm． (1)求点A和点的距离； (2)求点A到棱的距离； (3)求棱AB和平面的距离． 11．如图，P是△ABC外一点，PA⊥平面ABC，． (1)求P到直线BC的距离； (2)求异面直线PA与BC的距离； (3)当时，求C到平面PAB的距离（结果用表示）． 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期末）已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面， a⊂α，则“b∥α”是“a，b无公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·上海闵行·期末）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为45°的点有（   ） A．6个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 3．（24-25高二上·上海·期末）已知，是两个不同平面，给出下列四个条件： ①存在一条直线，，； ②存在一个平面，，； ③存在两条异面直线，，，，，； ④存在两条平行直线，，，，，. 其中可以推出的是 . 4．（24-25高二上·上海·期中）下列四个命题： ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行； ③若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线； ④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. 其中，真命题的序号是 . 三、解答题 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，E，F分别为的中点.    (1)证明：平面ABCD. (2)求直线BD与平面所成角的正切值. 6．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知平面，，为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点． (1)求直线与平面所成的角； (2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离． 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是BC上异于B、C的点.    (1)求证：平面平面； (2)当二面角的大小为时，求直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 8．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，平面α内有，，α外有一点P，，且，O为垂足，.    (1)求证：“”是“点O为的垂心”的充要条件； (2)若，求与平面α所成的角. 9．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在长方体中，，点为棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)求直线与平面所成角的正切值. 10．（24-25高二上·上海松江·期中）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 11．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知面积为的菱形如图①所示，其中，是线段的中点．现将沿折起，使得点到达点的位置. (1)证明： ； (2)若二面角的平面角大小为，求点到平面的距离； (3)若二面角的平面角，点在四面体的表面运动，且始终保持，求点的轨迹长度的取值范围 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图所示，点是平面外一点，平面，点是线段的中点. (1)求证:平面 (2)问：是否存在线段上的一点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)若，二面角为，求的余弦值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 空间直线与平面 一、平面基本性质 1.平面的画法及表示 画法 平面水平放置 平面竖直放置 表示 ①平行四边形的四个顶点：平面ABCD； ②对角顶点：平面AC或平面BD； ③希腊字母：平面α，平面β，平面γ 2. 点、直线、平面之间位置关系 3.公:理1：如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 4.公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面 符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示： 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面．: 二、空间直线位置关系 1.空间两条直线的三种位置关系 2.异面直线所成的角 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°. 3.直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 三、直线与平面位置 1.直线与平面的位置关系 位置 关系 直线a在 平面α内 直线a在平面α外 直线a与平 面α相交 直线a与平 面α平行 公共点 有无数个 公共点 有且只有一个 公共点 没有公共点 符号 表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形 表示 2.直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 3.直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 图形语言 4．直线与平面垂直的定义及画法 定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 5.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言 6.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 a⊥α，b⊥α⇒a∥b 图形语言 7.直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° 四、平面与平面位置关系 1.平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 2.平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α 图形语言 3.两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 4.平面与平面垂直的定义和判定 平面与平面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作α⊥β. 画法： 面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 符号语言：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. 5.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 6.二面角的概念 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 画法： 记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q. 二面角的平面角： (1)在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图． (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角． 五、异面直线的距离 1.异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度（公垂线是指与两条异面直线都垂直且相交的直线，公垂线段即公垂线夹在两直线间的部分）。 2.异面直线距离的核心特征 唯一性：任意两条异面直线有且仅有一条公垂线，因此它们的距离是唯一确定的。 最短性：公垂线段的长度是两条异面直线上各点之间距离的最小值（即 “最短距离”）。 3.异面直线距离的计算方法 方法 1：定义法（直接找公垂线段） 原理：若能直接找到两条异面直线的公垂线，测量其夹在两直线间的线段长度即可。 适用场景：几何结构简单（如正方体、长方体），公垂线易观察时。 方法 2：线面距离转化法 原理：若直线a与直线b是异面直线，且a∥平面α（b⊂α），则直线a到平面α的距离等于异面直线a与b的距离。 一、平面基本性质理解易错点： 公理条件忽视：公理 2 强调 “不在同一直线上的三点确定一个平面”，若忽略 “不在同一直线上” 这个条件，就可能错误地认为任意三点都能确定一个平面。例如，当三点共线时，可确定无数个平面，而非一个。 公理推论误用：公理 2 的推论是确定平面的重要依据，但在使用时容易混淆。如推论 1 是经过一条直线和直线外一点确定一个平面，若把点放在直线上，就不能用此推论确定唯一平面。 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】平面的基本性质及辨析、点（线）确定的平面数量问题 【分析】利用平面公理及推论即可判断. 【详解】由三个不在同一直线不同的点确定一个平面，故①错误； 一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误； 空间两两相交的三条不能交于同一点的直线确定一个平面，故③错误； 两条平行直线确定一个平面，故④正确. 故选：C 2．（24-25高二上·上海金山·期末）若点A与直线能够确定一个平面，则点A与直线的位置关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】由平面的基本定理判断即可. 【详解】由直线和直线外的一点确定一个平面，可得D正确， 故选：D. 3．（24-25高二上·上海·期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题 【分析】根据空间中点和线的位置关系，即可求解. 【详解】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误， 对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确， 对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误， 对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外 ，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确 故选：B 二、空间直线位置关系易错点： 异面直线判断失误：判断两条直线是否为异面直线时，容易仅凭直观感觉。有些直线看似相交或平行，但实际上可能不在同一平面内，应根据异面直线的定义，从是否 “不同在任何一个平面内” 来判断。 异面直线所成角计算错误：求异面直线所成角时，平移直线是关键步骤。若平移不当，会导致所成角错误。同时，要注意异面直线所成角的范围是(0,90°]，在计算出角的三角函数值后，要根据范围确定角的大小，避免出现把钝角当作异面直线所成角的情况。 4．（24-25高二上·上海宝山·期末）空间两直线没有公共点，则这两条直线的位置关系为 ． 【答案】平行或异面 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】根据空间中两直线的位置关系即可判断. 【详解】空间中的直线没有公共点，则两直线要么平行，要么是异面直线. 故答案为：平行或异面. 5．（24-25高二上·上海·期中）是空间四边形，且和成角，、分别是和的中点，则和所成的角是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取中点，连结，推导出是异面直线与所成的角（或所成角的补角），或，由，得是异面直线和所成的角，由此能求出异面直线和所成的角． 【详解】 取中点，连结， ∵在空间四边形中，，且异面直线与所成的角为， 分别为边和的中点， 且 且， 是异面直线AB与CD所成的角（或所成角的补角）， ∵异面直线与所成的角为， ∴或， ∵，得是异面直线和所成的角， 当时， ， 当时，， ∴异面直线和所成的角为或. 故选：C. 三、直线与平面位置关系易错点： 线面平行判定与性质混淆：线面平行的判定定理是通过平面外一条直线与平面内一条直线平行来判定线面平行；而性质定理是已知线面平行，得到直线与交线平行。易出现的错误是已知线面平行，就直接认为直线与平面内任意直线平行，实际上平面内的直线与该直线是异面或平行关系。 线面垂直判定条件不满足：直线与平面垂直的判定定理要求直线垂直于平面内的 “两条相交直线”，若只垂直于平面内的两条直线，而这两条直线不相交，则不能得出直线与平面垂直。 6．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）如图，已知点是平行四边形所在平面外的一点，，分别是，的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行 【分析】根据线面平行的判定定理，即可证得平面. 【详解】在中，因为，分别是、的中点，可得， 又因为平面，且平面， 所以平面. 7．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，已知矩形，平面，，点E是PB的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直 【分析】利用底面ABCD，由，又点E是棱PB的中点得．再证平面得，利用线面垂直判断定理得证. 【详解】由底面ABCD，得， 由，知为等腰直角三角形， 又点E是棱PB的中点，故． 由题意知，又AB是PB在平面ABCD内的射影，故， 是平面内两条相交直线，从而平面，故． 因为，，是平面内两条相交直线, 所以平面． 四、平面与平面位置关系易错点： 面面垂直性质应用不当：面面垂直的性质定理是若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。易错点在于没有找到或证明出交线，就直接认为平面内一条直线垂直于另一个平面。 面面平行判定条件遗漏：判定面面平行时，需要一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，容易遗漏 “相交” 这个条件，只证明两条直线平行就得出面面平行的结论。 8．（22-23高二上·上海长宁·阶段练习）如图，为不共线的三点，，且；求证：平面平面； 【答案】见解析； 【知识点】证明面面平行 【分析】由题意，可得四边形和四边形是平行四边形，从而可得，即证平面；，即证平面，再由面面平行的判定定理可证平面平面. 【详解】证明：，且， 四边形和四边形是平行四边形， ，平面，平面， 平面；，平面， 平面，平面. 又，平面. 平面平面 9．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）（1）请用文字语言叙述两个平面垂直的判定定理； （2）请证明两个平面垂直的判定定理； （3）如图，为平面外一点，平面，为的中点，，，求证：平面平面. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【知识点】证明面面垂直、证明线面垂直 【分析】（1）直接用文字语言叙述两个平面垂直的判定定理即可； （2）作出图，通过作辅助线，利用定义法证明二面角的平面角为直二面角即可； （3）由面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直； （2）证明： 设，，， 则由知共面， ，，所以，垂足为点， 在平面内过点作直线， 则是二面角的平面角， 又，即二面角是直二面角， 所以. （3）因为平面，平面，所以， 因为，所以， 又，所以，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 五、距离计算易错点： 点到平面距离计算错误：计算点到平面距离时，可能会找错垂线，或在使用向量法时，向量运算错误。另外，对于一些复杂的图形，可能不能准确找出点在平面上的投影位置。 混淆不同距离概念：容易混淆点到平面、点到直线、两平行平面间等距离概念，导致使用错误的公式进行计算。例如，把点到直线的距离公式用于计算点到平面的距离，或者在计算两平面距离时，没有考虑到两平面平行这一前提条件。 10．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知长方体的棱、AB和AD的长分别为3cm、4cm和5cm． (1)求点A和点的距离； (2)求点A到棱的距离； (3)求棱AB和平面的距离． 【答案】(1)； (2)5cm； (3)3cm． 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求直线与平面的距离 【分析】（1）（2）利用线面垂直的性质，结合勾股定理计算即得. （3）利用直线与其平行平面距离的定义求解即得. 【详解】（1）在长方体中，连接， 由平面，平面，得，则， 而，因此， 所以． （2）在长方体中，连接，由平面，平面， 则，而， 所以点A到棱的距离为5cm． （3）在长方形中，平面，平面， 所以AB到平面的距离为，为3cm. 11．如图，P是△ABC外一点，PA⊥平面ABC，． (1)求P到直线BC的距离； (2)求异面直线PA与BC的距离； (3)当时，求C到平面PAB的距离（结果用表示）． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求点面距离、证明线面垂直、求异面直线的距离 【分析】（1）过作，可得即为所求，即得； （2）由异面直线的距离概念可得即为所求，即求； （3）过 C 作，可得为C到平面的距离，结合条件即得. 【详解】（1）在平面内，过作交延长线于，连接， ∵PA⊥平面ABC，平面， ∴，又，， ∴平面，平面， ∴，故为 P 到直线 BC 的距离， ∵， ∴在，， ∴在中，， 即P到直线BC的距离为； （2）由上可知，，， 所以为异面直线PA与BC的距离， 即异面直线PA与BC的距离为； （3）在平面内，过 C 作于 E ， 由平面ABC，平面， 可得，又， 所以平面， ∴为C到平面的距离， 在中，， ∴， 即C到平面的距离为. 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期末）已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面， a⊂α，则“b∥α”是“a，b无公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的概念可确定选项. 【详解】由b∥α得直线b与平面α无公共点，由a⊂α得a，b无公共点，充分性成立. 由a，b无公共点得a∥b或a，b为异面直线，b∥α不一定成立，必要性不成立. 故“b∥α”是“a，b无公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高二上·上海闵行·期末）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为45°的点有（   ） A．6个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】将各个顶点分别与的连线与直线所成的角大于等于和小于两类；从而可知当点在上运动时都经历了从小于到大于的变化，从而得到结果. 【详解】如图，将正方体的各个顶点（除点外）分类，规定当顶点与的连线与直线所成的角大于等于时为一类，小于时为一类 显然与所成角的正切值为，故大于， 与所成角的为，大于， 与所成角的余弦值为，角大于， 与所成角的正切值为，小于， 当点从运动到时，角度从大于变化到小于，一定经过一个点满足； 依此类推，当点在上运动时， 都经历过角度从小于到大于的变化，故满足条件的点共有个. 故选： 二、填空题 3．（24-25高二上·上海·期末）已知，是两个不同平面，给出下列四个条件： ①存在一条直线，，； ②存在一个平面，，； ③存在两条异面直线，，，，，； ④存在两条平行直线，，，，，. 其中可以推出的是 . 【答案】①③ 【分析】利用线面垂直的性质可知①符合题意；举反例知②不符合题意；利用异面直线以及线面平行的性质可知③符合题意.由线面平行的性质即可得，可能相交，可知④不符合题意； 【详解】对于①，当，不平行时，不存在直线与，都垂直， ，，故①正确； 对于②,存在一个平面，使得，；则，相交或平行（比如墙角处的三个互相垂直的平面），所以②不正确； 对于③,由，，，，所以存在过直线的平面，使得，且，即有，因为，是两条异面直线，所以相交，同时，所以可以推出，故③正确， 如图所示： 对于④，存在两条平行直线，，，，，，则，相交或平行，比如：若直线，同时平行于与的交线，此时，是相交的（如下图所示），不能推出；所以④不正确； 故答案为 ：①③ 4．（24-25高二上·上海·期中）下列四个命题： ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行； ③若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线； ④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. 其中，真命题的序号是 . 【答案】③④ 【分析】对①，举例子即可说明①错误；对②，根据直线与平面平行的性质即可判断②错误；对③，利用反证法结合线面平行的判定定理可判断③正确；对④，根据直线与平面平行的性质即可判断④正确. 【详解】对于①，如图所示： 满足直线上有无数个点不在平面内，此时直线与平面相交，故①错误； 对②，若直线与平面平行，则直线与平面内的直线无公共点， 即直线与平面内的直线平行或异面，故②错误； 对③，若直线不平行于平面且，则直线与平面相交， 若在平面内存在直线，使得， 又因为，，由线面平行的判定定理可得，与已知条件矛盾，故③正确； 对④，若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点，故④正确. 故答案为：③④. 三、解答题 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，E，F分别为的中点.    (1)证明：平面ABCD. (2)求直线BD与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析. (2) 【分析】（1）利用正方体的性质，结合线面垂直的判定定理求证即可； （2）利用正方体的性质结合线面角的定义得到求解为所求角，从而求解正切值. 【详解】（1）连结，    因为在正方体中，E，F分别为的中点， 所以又因为平面，平面， 所以平面ABCD. （2）连结设连结设连结 因为平面与平面为同一个平面， 则直线BD与平面所成角即为直线BD与平面所成角， 又因为在正方体中，所以面 又因为所以 又因为面，所以面， 又因为面，所以同理可证 又因为面，所以面， 则（即）为直线BD与平面所成角（或补角）， 因为正方体的棱长为1，所以， 所以，即直线BD与平面所成角的正切值为. 6．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知平面，，为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点． (1)求直线与平面所成的角； (2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)证明见解析，直线到平面的距离为 【分析】（1）根据线面角的知识求得直线与平面所成的角. （2）根据面面平行的判定定理证得平面平面，根据点到面的距离的定义求得直线到平面的距离. 【详解】（1）连接， 由于平面，所以是直线与平面所成的角， 由于平面，所以， 因为，所以， 又为的中点，所以， 所以，所以. （2）依题意可知，平面，平面， 由于，平面，所以平面平面. 因为平面，平面，所以， 由于平面， 所以平面，而是的中点，所以平面， 直线到平面的距离，等于到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是BC上异于B、C的点.    (1)求证：平面平面； (2)当二面角的大小为时，求直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知可推得，又，根据线面垂直的判定定理得平面，然后根据面面垂直的判定定理，即可可证； （2）由已知可推得即为二面角的平面角，即，进而求出，在中得出，即可得答案. 【详解】（1）由题设，平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，故， 由圆的性质有，都在平面内，故平面， 由平面，所以平面平面. （2）由平面，所以在平面上的投影为， 所以直线CA与平面ABM所成角， 由二面角的大小为，，故， 由，则，，， 由平面，则，故. 所以直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 8．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，平面α内有，，α外有一点P，，且，O为垂足，.    (1)求证：“”是“点O为的垂心”的充要条件； (2)若，求与平面α所成的角. 【答案】(1)证明见解析； (2)与平面α所成的角为 【分析】（1）证明充要条件，需要证两步，第一需要证点O为的垂心，第二步需要证点O为的垂心即可； （2）先找到与平面α所成的角，最后在三角形中求出即可. 【详解】（1）由，，所以，又，，平面，平面， 所以平面，平面，所以，又， 即与重合，即为的垂心； 若O为的垂心，，又，，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，即， 所以“”是“点O为的垂心”的充要条件； （2）由，，所以，又，所以为的中点， 所以为与平面α所成的角，又， 在中，所以， 又因为，所以， 所以与平面α所成的角为.    9．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在长方体中，，点为棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，即可证明线面平行； （2）利用平行线转化异面直线所成角，结合等边三角形的性质可求角的大小； （3）利用长方体的性质可得到线面所成的角，在直角三角形中求正切值即可. 【详解】（1）    设，连接， 因为点为棱的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）由（1）得，，所以为异面直线与所成的角或其补角， 由题意得，， 所以，故三角形是等边三角形， 因为，所以， 所以异面直线与所成的角为. （3）连接， 因为平面，平面， 所以，为直线与平面所成的角. 由题意得，， 所以，即直线与平面所成的角的正切值为. 10．（24-25高二上·上海松江·期中）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得证． （2）通过证明，，从而得到，，即可证明平面，进而证明平面平面． （3）在平面内，过作于，由平面平面，得平面，故为和平面所成的角，解求出的正弦值． 【详解】（1）取的中点，连接、，又为的中点，则且， 而平面，平面，则，，又，则， 因此四边形为平行四边形，则，而平面，平面， 所以平面. （2）在等边中，为的中点，则， 由平面，平面，得， 而，于是，，又，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面. （3）在平面内，过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，则为和平面所成的角， 由，，得，，， 在中，， 所以直线和平面所成角的正弦值为. 11．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知面积为的菱形如图①所示，其中，是线段的中点．现将沿折起，使得点到达点的位置. (1)证明： ； (2)若二面角的平面角大小为，求点到平面的距离； (3)若二面角的平面角，点在四面体的表面运动，且始终保持，求点的轨迹长度的取值范围 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据二面角的定义，结合正弦函数的定义进行求解即可； （3）根据二面角的定义，结合线面垂直的判定定理和余弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）取中点，连结、， 由四边形为菱形可知，，， 又平面， 平面，又因为平面，； （2）因为菱形的面积为， 得，，， 又因为二面角的平面角为，且大小为， 所以， 故点到平面的距离为； （3）取边上靠近点的四等分点，取的中点为，连接， ，，同理， ∵，平面，所以平面， 故点的轨迹长度即为的周长. 由于，，， 且二面角的大小平面角， ∵，∴，， 则，，所以点的轨迹长度的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用线面垂直的判定定理和二面角的定义. 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图所示，点是平面外一点，平面，点是线段的中点. (1)求证:平面 (2)问：是否存在线段上的一点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)若，二面角为，求的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，点为的中点，证明见解析； (3). 【分析】（1）构造辅助线，通过线线平行证明线面平行. （2）由线面平行得到线线平行，通过构造辅助线得到面面平行，从而证明线面平行. （3）通过构造辅助线找到二面角的平面角，利用角度得到各边之间的关系，结合二倍角公式即可得到结果. 【详解】（1） 如图，取中点，连接， ∵分别是的中点，∴. ∵平面，平面，平面平面， ∴. ∵，∴, ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. （2）存在，点为的中点.证明如下： 如图，取的中点，连接. ∵分别是的中点，∴. ∵平面，平面，∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面，∴平面平面， ∵平面，∴平面. （3） 如图，过点作平面，垂足为，过点作，垂足分别为，连接. ∵平面，平面，平面，∴，. ∵，，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴，故为二面角的平面角，即. 设， 在中，由得，，∴. 在中，由得，， 在中，， ∴，同理得，即 ∴，即的余弦值为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$