2025年九年级数学中考三轮冲刺训练-方程（组）与不等式的实际应用

2025年九年级数学中考三轮冲刺训练- 方程（组）与不等式的实际应用 1．小强计划在2025年春节来临前，给街道2024年退伍军人及6位劳动模范每人送一张贺卡，网上购买贺卡的优惠条件是：购买25或25张以上享受团购价．小强发现：零售价与团购价的比是，经过分析，按计划购买贺卡张数只能享受零售价，如果比原计划多购买5张贺卡就能享受团购价，这样正好花100元，而且比原计划还节约20元． (1)贺卡的零售价是多少？ (2)街道2024年退伍军人有多少人？ 2．某学校为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每株种菜苗的价格比每株种菜苗的价格便宜2元，用元购买种菜苗和用元购买种菜苗的株数相同． (1)求市场上每株种菜苗和每株种菜苗的价格各是多少？ (2)经过协商，学校决定购买，两种菜苗共株，且购买种菜苗的总费用不超过购买种菜苗总费用的，求本次学校最多购买多少株种菜苗？ 3．某公司为了提高工作效率购买了A，B两种型号的机器人，A型机器人单价比B型机器人单价多2000元．用700000元购买A型机器人和用600000元购买B型机器人的数量相同． (1)求A型、B型机器人的单价分别是多少元？ (2)公司准备购买A型和B型机器人共40台．购买B型机器人的数量不超过A型机器人的数量3倍，且商家给出了两种型号机器人均打八折的优惠，问购买A型和B型机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 4．随着科技事业的不断发展，无人机广泛应用于多种领域，在农业方面，无人机可以帮助精准施肥和喷洒农药，从而提高生产效率．某农业公司计划购进，两种型号的无人机共10架用来喷洒农药，其中型无人机4万元/架，型无人机3万元/架．已知型机比型机平均每小时多喷洒2公顷农田，且型机喷洒24公顷农田所用时间与型机喷洒16公顷农田所用时间相等． (1)求，两种型号的无人机平均每小时分别喷洒农田多少公顷？ (2)若公司要求这批无人机每小时至少喷洒55公顷农田，那么该公司如何购买型和型无人机，才能使购买总成本最低？并求出最低成本． 5．智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． (1)求的值； (2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个? 6．随着科技的发展，智能芯片技术也达到了新的高度．某科技公司研发了甲 乙两型智能芯片． (1)已知一枚甲型芯片用时2秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片3秒进行的整数运算次数之和为 46 万亿次，一枚甲型芯片用时 4 秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片 5秒进行的整数运算次数之和为 84万亿次，求一枚甲芯片与一枚乙芯片每秒平均运算次数各为多少万亿次? (2)该科技公司对芯片进行算法优化，成功将甲型芯片每秒的整数运算次数提升到原来的，进行121万亿次整数运算，一枚优化算法后的甲型芯片用时比一枚原甲型芯片用时少1秒，求算法优化前、后一枚申型芯片每秒运算次数各为多少万亿次? 7．为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台.已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元财买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理河水量如下表所示： 污水处理设备 A型 B型 价格（万元／台） m 月处理污水量（吨／台） 200 180 (1)求的值； (2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问每月最多处理污水量的吨数是多少． 8．臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ 9．在甲、乙两公司全体员工捐款活动中，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： 甲公司员工：我们公司的人数比你们公司少人 乙公司员工：我们公司的人均捐款数是你们公司的倍 (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买两种物资，种物资每箱元，种物资每箱元．若购买种物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注： 两种物资均需购买，并按整箱配送．） 10．超市准备购进甲、乙两种商品，甲商品的进货单价比乙商品多20元/件，用6000元购进甲商品的数量与用4800元购进乙商品的数量相同． (1)求甲商品的进货单价； (2)甲、乙两种商品的售价分别为160元/件、120元/件，要求：购进这两种商品共200件，且全部销售的总利润不少于10800元． ①超市购进甲商品最少为多少件？ ②若购进甲商品不超过155件，且销售甲商品时优惠元/件．超市要获得最大利润应如何进货？ 11．鲜桃刚上市，某水果店率先用1000元购进了一批鲜桃，前两天以高于进价的价格卖出；第三天水果店又用1000元购进了一批鲜桃，由于进价降低了，这一批鲜桃多购进． (1)求水果店购进第一批鲜桃的数量； (2)注意到市场上鲜桃数量逐渐增多，水果店主决定将剩余和新进鲜桃在原销售价的基础上，全部降价元（为整数）销售．实际销售过程中，平均每天销售量相对于前两天平均每天增加了，仅仅销售两天，剩下量不超过． ①求的值； ②若店主将剩余鲜桃以20元的价格全部卖完，求前后一共获利多少元． 12．某市区通过绘制城市主题“文化墙”来弘扬中华优秀传统文化．为确保任务按时完成，现安排甲、乙两支队伍进行城市主题墙绘制作业．已知甲队比乙队平均每人每天多绘制平方米，且甲队每人绘制平方米所用时间与乙队每人绘制平方米所用时间相同． (1)甲队和乙队平均每人每天各绘制多少平方米？ (2)该市安排甲、乙两队共人同时进行主题墙绘制作业，为确保每天完成超过平方米的绘制任务，至少要安排甲队人员多少人？ 13．甲、乙两个筑路队，甲队每天比乙队每天多筑路米，甲队筑路米所用时间与乙队筑路米所用时间相等． (1)求甲、乙两个筑路队每天各筑路多少米？ (2)甲、乙两个筑路队合作筑路米，若要求乙队筑路不超过天，甲队至少筑路多少天？ 14．宇树公司设计的人形机器人亮相年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用两种型号的数控机器人分拣快递．已知型数控机器人每小时分拣快递件数是型数控机器人每小时分拣快递件数的倍．一项分拣件快递的任务中，一台型数控机器人分拣了件后，由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．问这两种型号的数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 15．小明打算团购一批哪吒和敖丙的手办收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的1.3倍，经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多14个，购买哪吒手办共需2210元，敖丙手办共需1000元． (1)求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多少元？ (2)计划购买敖丙手办_____个，哪吒手办_____个； (3)经由小明的争取，商家同意哪吒手办的单价降低元，敖丙手办的单价降低元，结果购买哪吒手办的数量比原计划增加了个，则买敖丙手办的数量比原计划增加了2个，最终总费用比原计划多了100元，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)零售价为6元； (2)街道2024年退伍军人有14名 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解决本题的关键是找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程，注意分式方程必须检验． （1）根据题意设零售价为元，团购价为元，根据等量关系零售价用120元所购买的数量团购价用100元所购买的数量，列出方程，解方程求得x的值即可； （2）根据（1）中的零售价求出原计划购买贺卡数量，即为退伍军人和劳动模范的总人数，再减去劳动模范的人数即可解答． 【详解】（1）解：根据题意设零售价为元，团购价为元，则 ， 解得，， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：贺卡的零售价为6元； （2）解：街道2024年退伍军人为（人） 答：街道2024年退伍军人有14名． 2．(1)市场上每株种菜苗的价格是4元，每株种菜苗的价格是6元 (2)本次学校最多购买33株种菜苗 【分析】本题考查不等式的最值问题和分式方程的实际运用，熟练掌握不等式的最值问题和利用题意列出分式方程和是解题的关键， （1）根据题意列出分式方程，即可得到答案，但分式方程一定要检验根是否符合题意； （2）由题意列出不等式，根据实际情况确定的值最大即可得到答案． 【详解】（1）解：设市场上每株种菜苗的价格是元，则每株种菜苗的价格是元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ， 答：市场上每株种菜苗的价格是4元，每株种菜苗的价格是6元． （2）解：设购买种菜苗株，则购买种菜苗株， 根据题意可知，， 解得， 为正整数， 的值最大可以取到33， 答：本次学校最多购买33株种菜苗． 3．(1)14000；12000 (2)10；30；400000 【分析】（1）设A型机器人模型单价是元，B型机器人模型单价是元，根据：用700000元购买A型机器人模型和用600000元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解； （2）设购买A型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和w关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值 【详解】（1）解：设A型机器人模型单价是元，B型机器人模型单价是 元． 根据题意， ，解这个方程， 解得， 经检验是原方程的根． （元） 答：A型机器人模型单价是14000元，B型机器人模型单价是12000元． （2）设购买A型机器人模型 台，购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费 元， 由题意得： ，解得 ． ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ 随 的增大而增大． ∴当 时，取得最小值，此时 （台）； 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是400000元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键． 4．(1)种型号的无人机平均每小时喷洒农田公顷，则种型号的无人机平均每小时喷洒农田公顷 (2)该公司购买型无人机架，型无人机架，才能使购买总成本最低，最低成本为万元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用及一次函数的实际应用． （1）设种型号的无人机平均每小时喷洒农田公顷，则种型号的无人机平均每小时喷洒农田公顷，根据型机喷洒24公顷农田所用时间与型机喷洒16公顷农田所用时间相等．列出分式方程求解即可； （2）设购买种型号的无人机架，则购买种型号的无人机架，根据这批无人机每小时至少喷洒55公顷农田列出一元一次不等式组，求出的取值，设购买总成本为，得到，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设种型号的无人机平均每小时喷洒农田公顷，则种型号的无人机平均每小时喷洒农田公顷， 根据题意：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 则（公顷/小时） 答：种型号的无人机平均每小时喷洒农田公顷，则种型号的无人机平均每小时喷洒农田公顷； （2）解：设购买种型号的无人机架，则购买种型号的无人机架， 根据题意：， 解得：， ∵为非负整数， ∴或或， 设购买总成本为， 则， ∵， ∴当取最小值时，有最小值，最小值为（万元）， 则（架） 答：该公司购买型无人机架，型无人机架，才能使购买总成本最低，最低成本为万元． 5．(1)8 (2)至少需要6个这样的机器人 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个”建立分式方程求解即可； （2）设需要个这样的机器人同时工作1小时，由总采摘量不少于10000个建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴的值为8； （2）解：1小时， 设需要个这样的机器人， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴最小值为6， 答：至少需要6个这样的机器人． 6．(1)甲型芯片每秒运算11万亿次，乙型芯片每秒运算8万亿次 (2)优化前每秒运算11万亿次，优化后每秒运算12.1万亿次 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用和分式方程的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． （1）设甲型芯片每秒运算x万亿次，乙型芯片每秒运算y万亿次，根据“一枚甲型芯片用时2秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片3秒进行的整数运算次数之和为 46 万亿次，一枚甲型芯片用时 4 秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片 5秒进行的整数运算次数之和为 84万亿次”列二元一次方程组，求解即可； （2）设优化前甲型芯片每秒运算a万亿次，则优化后为万亿次，根据“进行121万亿次整数运算，一枚优化算法后的甲型芯片用时比一枚原甲型芯片用时少1秒”列争式方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲型芯片每秒运算x万亿次，乙型芯片每秒运算y万亿次， 根据题意得，， 解得 答：甲型芯片每秒运算11万亿次，乙型芯片每秒运算8万亿次； （2）解：设优化前甲型芯片每秒运算a万亿次，则优化后为万亿次， 根据题意得，， 解得， 优化后为， 答：优化前每秒运算11万亿次，优化后每秒运算12.1万亿次． 7．(1) (2)每月最多处理污水量的吨数为吨 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程或不等式是解题的关键． （1）由万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，列出分式方程即可求解． （2）设买型污水处理设备台，则B型台，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解；然后根据题意求得整数解，再分别求得各方案的处理污水量的吨数，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 即； （2）解：∵型污水处理设备的单价为18万元，型污水处理设备的单价为15万元， 设买型污水处理设备台，则B型台， 根据题意得：， 解得， 由于是整数，则有种方案， 当时，，月处理污水量为吨， 当时，，月处理污水量为吨， 当时，，月处理污水量为吨， 当时，，月处理污水量为吨， 当时，，月处理污水量为吨， 当时，，月处理污水量为吨， 答：每月最多处理污水量的吨数为吨． 8．(1)大蒜元每市斤 (2)安排名工人加工汤料包 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设大蒜元每市斤，列方程求解即可； （2）设安排名工人加工汤料包，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设大蒜元每市斤， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：大蒜元每市斤； （2）解：设安排名工人加工汤料包， 根据题意得：， 解得：， 答：安排名工人加工汤料包． 9．(1)甲公司有人，乙公司有人； (2)购买方案有种：一种物资买箱，物资买箱；另一种是物资买箱，物资买箱． 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解问题的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解题的关键． （）设甲公司有人，则乙公司有人，根据“乙公司的人均捐款数是甲公司的倍”，再建立分式方程求解即可； （）设购买种物资箱，购买种物资箱，且，，都是正整数，根据“恰好将捐款用完”再建立方程，利用方程的正整数解即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲公司有人，则乙公司有人，根据题意得 解得： 检验：把代入 故是所列方程的解． 则（人） 答：甲公司有人，乙公司有人； （2）解：设购买种物资箱，购买种物资箱，且，，都是正整数， 根据题意得 ∴， ∴， 当时， 符合题意； 当时， 符合题意； 当时， 不符合题意； 综上所述，购买方案有种：一种物资买箱，物资买箱；另一种是物资买箱，物资买箱． 10．(1)甲商品的进货单价是100元/件． (2)①超市购进甲商品最少为140件；②超市应购进甲商品155件，乙商品45件． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的图形与性质，读懂题意，得出分式方程，一元一次不等式，求出一次函数的解析式，是解答本题的关键． （1）设甲商品的进货单价是元/件，则乙商品的进货单价是元/件，根据用6000元购进甲商品的数量与用4800元购进乙商品的数量相同．列出分式方程求解即可； （2）①设超市购进甲商品件，则购进乙商品件，根据全部销售的总利润不少于10800元，建立一元一次不等式，求解即可； ②设超市购进甲商品件，则购进乙商品件，销售总利润为元，则，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设甲商品的进货单价是元/件，则乙商品的进货单价是元/件， 得， 解得；经检验，是原分式方程的解； 即甲商品的进货单价是100元/件． （2）解：①甲商品的利润为：（元）； 乙商品的利润为：（元）； 设超市购进甲商品件，则购进乙商品件； 得， 解得，即超市购进甲商品最少为140件． ②设超市购进甲商品件，则购进乙商品件，销售总利润为元， 则， 其中； ， ， 当时，值最大， 即超市应购进甲商品155件，乙商品45件． 11．(1)第一批鲜桃的数量为； (2)①；②前后一共获利元． 【分析】本题考查了分式方程和不等式的应用． （1）设第一批鲜桃的进价为元，由第二批鲜桃的进价为元，根据“第二批批鲜桃多购进”列分式方程，求解即可； （2）①求得总剩余数量为，降价后，每天销售，根据“剩下量不超过”列不等式，求解即可； ②利用总收入减去总支出求解即可． 【详解】（1）解：设第一批鲜桃的进价为元，由第二批鲜桃的进价为元， ∴第一批鲜桃的数量为，第二批鲜桃的数量为， 根据题意得，解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴第一批鲜桃的数量为； （2）解：①前两天每天销售，剩余， ∵第二批鲜桃的数量为， ∴总剩余数量为， 降价后，每天销售，两天共销售， 根据题意得，解得； ∵为整数，且保证销售量不超过总剩余量， ∴取； ②总成本为元， 总收入为 ， ∴前后一共获利：元． 12．(1)甲队平均每人每天绘制平方米，乙队平均每人每天绘制平方米 (2)至少要安排甲队人员人 【分析】本题考查分式方程及一元一次不等式的应用， （1）设乙队平均每人每天绘制平方米，则甲队平均每人每天绘制平方米，根据“甲队每人绘制平方米所用时间与乙队每人绘制平方米所用时间相同”建立分式方程，求解并检验即可； （2）设安排甲队人员（为正整数，）人，则安排乙队人员人，根据“确保每天完成超过平方米的绘制任务”建立一元一次不等式，求解即可； 正确理解题意并列出分式方程和一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设乙队平均每人每天绘制平方米，则甲队平均每人每天绘制平方米， 由题意，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ∴， 答：甲队平均每人每天绘制平方米，乙队平均每人每天绘制平方米； （2）设安排甲队人员（为正整数，）人，则安排乙队人员人， 由题意，得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， 答：至少要安排甲队人员人． 13．(1)甲筑路队每天筑路米，则乙筑路队每天筑路米 (2)甲队至少筑路天 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系列方程解题即可． （1）设甲筑路队每天筑路x米，则乙筑路队每天筑路米，根据“甲筑路队筑路1800米所用时间与乙筑路队筑路1500米所用时间相等”列分式方程求解； （2）设甲甲筑路a天，由乙队筑路不超过天，列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设甲筑路队每天筑路x米，则乙筑路队每天筑路米，由题意可得： 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴（米）， 答：甲筑路队每天筑路米，则乙筑路队每天筑路米； （2）解：设甲筑路a天， 由题意可得：， 解得：， 答：甲队至少筑路天． 14．件，件 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是正确列出方程． 设B型数控机器人每小时分拣x件快递，先用x表示出A型数控机器人每小时分拣快递的数量，再根据“一项分拣件快递的任务中，一台型数控机器人分拣了件后，由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成”列出分式方程求解，并检验根． 【详解】解：设B型数控机器人每小时分拣x件快递，则A型数控机器人每小时分拣件快递，根据题意得：，解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型数控机器人每小时分拣件快递，B型数控机器人每小时分拣件快递． 15．(1)哪吒手办的单价为65元，敖丙手办的单价为50元 (2)20，34 (3)的值为1 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）根据题意可得计划购买敖丙手办个，哪吒手办个； （3）由（1）得出计划购买敖丙手办20个，哪吒手办34个，根据题意列出关于m的一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元， 根据题意得， 解得： 经检验是原方程的解，且符合题意， （元） 答：哪吒手办的单价为65元，敖丙手办的单价为50元； （2）解：由（1）可得计划购买敖丙手办个，哪吒手办个 （3）据题意得， 解得：（舍去） 答：的值为1 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$