2025年陕西省普通高中学业水平合格性考试数学试卷

机密★启用前 2025年陕西省普通高中学业水平合格性考试 数学试题答案及评分参考 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C B D D A C 二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 题号 9 10 11 12 答案 AB ACD BCD ABD 三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.） 13．（或填） 14． 15． 16． 四、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.解：（I）将已知数据由小到大排序，可得，，，，，． 由，得数据，，，，，的第75百分位数为， 所以，这六种不同类型电影票价的第75百分位数为元．…………………………5分 （II）设事件“甲观看科幻类电影”，事件“乙观看科幻类电影”， 事件“丙观看科幻类电影”，则事件，，相互独立， 且，．………………………………………………………7分 设事件“恰有两人观看科幻类电影”，则， 且事件，，两两互斥．………………………………………………9分 所以， ． 所以，恰有两人观看科幻类电影的概率为．………………………………………12分 ( （第 18 题 答案 图） )18.解:（I）证明: ，， ，是直角三角形，………………2分 又为的外心，为的中点. 连接，又为的中点，所以中， 又平面，平面， 平面.……………………………………5分 （II）由(I)知，又由已知平面，所以， 因为，平面，平面， 平面，.………………………………………………………6分 不妨设，，，，，. 又，为的中点， ， 是边长为的等边三角形，.…………………………………8分 设点到平面的距离为， ，，即， ，.………………………………………11分 设直线与平面所成的角为，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为．………………………………12分 19.解：（I）当时，，由， 得，所以，…………………………………………………1分 解得，……………………………………………………………………………2分 所以不等式的解集为．……………………………………………3分 （II）（1）的图象过点，，解得，………………4分 所以． 又函数的图象与直线没有公共点，所以方程无实数解，即方程无实数解．…………………………………………………5分 令，，则， ，，则，， 即函数的值域为，所以实数的取值范围为．…………………7分 （2）若恒成立，则恒成立， 又， 由，得，当且仅当时取等号， 所以，则，故实数的最大值为．………………9分 由已知，得，所以，即． 所以．…………………………………………11分 又在上单调递增，，所以， 故．……………………………………………………………………12分 数学试题答案 第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 姓名 考籍号 座位号 机密★启用前 2025年陕西省普通高中学业水平合格性考试 数 学 注意事项： 1．本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。 2．考生领到试卷后，必须按规定在试卷上填写姓名、考籍号、座位号。 3． 所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 （选择题 共48分） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.） 1．设集合，，则 A． B． C． D． 2．已知数据的平均数为，数据的平均数为，则数据 的平均数为 A． B． C． D． 3．已知平面向量，，若，则＝ A． B． C． D． 4．已知角的终边过点，则的值为 A． B． C． D． 5．在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则 A． B． C． D． 6．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面. 则下列选项正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 7．命题“，”是假命题，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 8．高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一. 以其名命名的函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，如，. 则 A．是奇函数且为递增函数 B．的值域为且为周期函数 C．若，则的最小值为 D．，满足的实数的取值范围是 二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．是虚数单位，是复数的共轭复数，若，，则 A． B． C． D． 10．在平行四边形中，对角线，相交于点，则 A． B．与共线的单位向量为 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形 11．下列命题为真命题的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．如图，已知圆锥，，为圆的直径，，分别为线段， ( （第 12 题图） )的中点. 过作平行于底面的平面交圆锥的侧面于圆. A．圆锥的轴截面面积为 B．沿着该圆锥表面从到的最短距离为 C．圆台的体积为 D．圆台的外接球表面积为 第二部分 （非选择题 共52分） 三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.） 13．函数的零点是_________(写出满足条件的一个零点即可). 14．已知锐角满足，则_________. ( （ 第 16 题图） )15．一个袋中装有大小和质地相同的个小球，标号分别为，从袋中不放回的依次摸出两个小球的标号分别记为. 设事件“为偶数”，事件“”，则_________. 16．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈， 筒车的轴心距离水面的高度为. 设筒车上的某个盛水 筒到水面的距离为（单位：）. 若以盛水筒刚出水 面开始计时，则与时间（单位：）之间的关系为（，，）．则盛水筒出水后至少经过_________可以达到最高点（精确到）. 四、解答题（本题共3小题，每小题12分，共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．今年“五一”假期，《水饺皇后》《苍茫的天涯是我的爱》等多部影片投放全国电影院线，题材涵盖历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑等多种类型，持续为中国电影市场释放消费活力．甲、乙、丙三人在5月1日各自独立地观看了一场电影，已知甲观看科幻类电影的概率为，乙、丙观看科幻类电影的概率均为． （I）若历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑六种不同类型电影的参考票价分别为，，，，，（单位：元），求这六种不同类型电影票价的第75百分位数； （II）求甲、乙、丙三人恰有两人观看科幻类电影的概率． 18．如图，在三棱锥中，平面，， ( （第 18 题图） )是的中点，是的外心. （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值. 19．已知函数，． （I）若，解不等式； （II）函数的图象过点． （1）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （2）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小． 数学试题 第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$