2025年九年级中考数学三轮重难点-二次函数与角度问题

2025年九年级中考数学三轮重难点-二次函数与角度问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，二次函数的图像经过点、点，且与轴交于点． (1)求一次函数和二次函数的表达式； (2)如图，点为直线上一点（不与点、重合），若，求点的横坐标； (3)如图3，点在位于第二象限的抛物线上，过点分别作，是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 2．二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点E是第三象限内的抛物线上的动点，过点E作轴，交x轴于点D，四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出E点坐标； (3)如图2，点P是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点Q，在x轴上有一点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得，若存在，请求出点H的坐标． 3．如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点为直线下方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线 （）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴于点，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 5．如图1，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点． (1)直接写出点，两点的坐标； (2)若点是对称轴上一点，当为锐角时，设点的纵坐标为，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，点为线段上一动点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，，当为定值时，判断点是否为定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C．      (1)求抛物线的解析式． (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接交于点M，当的值为最大值时，求出此时点P的坐标和最大值． (3)抛物线上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 7．在平面直角坐标系中中，二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，其顶点的横坐标是． (1) ________， ________； (2)已知一次函数（k为常数）的图象为直线，直线与x轴交于点． ①连接，若，求的取值范围； ②当直线与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点，使得直线与所夹的锐角是的2倍？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴的交点分别为，，过点、的抛物线与轴的另一个交点为，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)是抛物线上的任意一点（不与点重合），且点的横坐标为，过点作轴于点，作轴于点，当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 9．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，作过、两点所在的直线，点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点．点是过点的直线上的一个动点，点是轴上一个动点，连接，当线段取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)如图2，作过、两点所在的直线，将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，过点作交轴于点，点为平移后抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，M是抛物线对称轴上一动点，过点P作轴交抛物线对称轴于点E，作于点G，求当取最大值时的最大值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接，在平移后的抛物线上是否存在一点N，使，若存在，请求出点N的横坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴的交点为． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点．点、点是直线上的动点，满足点在点的左侧且．当线段最大时，求的周长的最小值． (3)点为抛物线上的一个动点，点、点为第（2）问周长取得最小值时的点，当时，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的过程． 12．如图，抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，顶点为．其中，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图（1），在第三象限内抛物线上是否存在点，使，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图（2），过抛物线对称轴上点的直线交抛物线于，两点，线段的中点是，过点作轴的平行线交抛物线于点．若是一个定值，求点的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一动点，过P作交AC于点D，过P作轴交x轴于点G、交于点E，点M为直线上一动点，当周长最大时，求的最小值及此时点M的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，点F是新抛物线上一点，点Q为点B关于y轴的对称点，当时，请直接写出所有符合条件的F点的坐标． 14．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，与轴交于点，直线的解析式为，． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为第二象限抛物线上一点，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点为线段上一点，连接，过作于点，，，求直线的解析式． 15． 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）一次函数用待定系数法，代入、坐标求、；二次函数设交点式，代入点求． （2）先算、度数，得，分在第四、第二象限，用三角函数或中心对称列方程求横坐标． （3）延长交于，设横坐标为，用含式子表示、，合并后用二次函数性质求最值． 【详解】（1）解：把、代入，得 ， 解得， ∴． 设， 把代入，得，即， ∴． ∴． （2）解：由题意得： 在中，， ∴； 在中，， ∴． ∵， ， 当点在第四象限时， ， 设， ∴，即：， ∴， 当点在第二象限时， ∵，， ∴， ∴轴， ∴，即：， ∴， 综上，点的横坐标为或； （3）解：延长交直线于点，设点的横坐标为， 中，， ， ， ， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数表达式求解，三角形角度与坐标关系，以及二次函数最值应用．熟练掌握待定系数法求函数表达式、利用角度关系列方程、用二次函数性质求最值是解题关键． 2．(1) (2)存在，E点坐标为； (3)点H的坐标为或． 【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式； （2）设，则，根据列出关于的二次函数，进而根据二次函数的性质求得即可； （3）分情况讨论，①当H在P点上方时，推出，利用正切函数的定义列式计算求解；②当H在P点下方时，过点N作l垂直于x轴，过点H作，交l于点M，同样正切函数的定义列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， 将，代入表达式， 得， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为； 此时E点坐标为； （3）解：∵， ∴其顶点P为， ∴， ∴， ∴， ①当H在P点上方时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当H在P点下方时，过点N作l垂直于x轴，过点H作，交l于点M， 由题意得四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上，点H的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数最值，二次函数的图象与性质，正切函数的定义，综合运用以上知识是解题的关键． 3．(1) (2)，最小值为 (3)存在，． 【分析】（1）根据对称轴得出，将将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出带你P的坐标， 将点向右平移个单位长度至点，连接，则，做点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答； （3）根据题意得出平移后的解析式为，，①当点Q在x轴下方时：过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E，则，设，则，求出m即可； ②当点Q在x轴上方时：同理可得：，即可解答． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大， ∴， ∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 做点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上：，最小值为． （3）解：∵将抛物线沿射线方向平移后过点， ∴原抛物线向下平移2个单位长度，向左平移4个单位长度， ∴平移后的解析式为， ∵， ∴， ∴， ①当点Q在x轴下方时： 过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E， ∵， ∴， ∴，则， ∴，则点Q即为所求， 设， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴， ②当点Q在x轴上方时： 同理可得： 设， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴（舍去）， 综上：存在，． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，铅锤法求面积，将军遛马最值模型，以及一线三等角证明相似． 4．(1) (2)，的最小值为 (3)或 【分析】（1）先求出，再利用，，求出，，得，，再利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点，先求出直线的解析式为，通过，得出，得出，设，则，得出，利用二次函数的性质得出当时，最大，此时，证明，由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点，利用含角的直角三角形的性质进行求解即可； （3）先求得新抛物线的解析式为，求出直线解析式为，联立抛物线求出，在直线上取一点，使得， 则，则，则直线与抛物线的另一交点即为点，设，则利用列式求出，求出直线解析式为，联立抛物线即可求解；利用对称性，在直线上取另一点，使得， 再进行列式求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 上述两点坐标分别代入抛物线， 得：， 解得：， ∴； （2）解：如图，过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∵轴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， 则，， 则， ∵， ∴当时，最大， 此时， 则此时， ∵， ， ∴， ∴， 由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点， 由，得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即最小值为； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，的顶点为， ∴新抛物线的解析式为， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 如图，在直线上取一点，使得， 则， ∴， 则直线与抛物线的另一交点即为点， 设， 则，， ∴， 解得：， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立抛物线，得， 解得：（舍），， 故点的横坐标为； 如图，利用对称性在直线上取另一点，使得， 则， 则直线与抛物线的另一交点即为点， 设， 则，， ∴， 解得：（舍），， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立抛物线，得， 解得：（舍），， 故点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合，涉及待定系数法，二次函数的图象与性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 5．(1)， (2)或 (3)为定点 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、勾股定理、根和系数的关系等，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键； （1）令，解方程，即可求解； （2）先求得点的坐标，进而求得当为直角时，点的坐标，结合图形，即可求解； （3）设点的坐标分别为：，求出直线的解析式，和直线的解析式，直线的解析式，从而表示出，，根据即可得出，即可求解． 【详解】（1）解：当时， 解得： ∵在的左侧， ∴，， （2）解：∵ ∴抛物线对称轴为直线， ∴， 抛物线，与轴交于点． 当时，， ∴， 又， ∴，， 当时， ∴ 解得：或 ∴当为锐角时，或； （3）是定点，理由如下： 由题意，的坐标为， 设点的坐标分别为： (点在点左侧)， ∴把的坐标代入中得， 解得： 直线的解析式为：， 同理：直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ∴， 则， 同理可得，， ∴， ∴， 即， ∴直线的解析式为：与无关， ∴， 即为定点． 6．(1) (2)的最大值为：；； (3) 【分析】（1）把，两点代入，再建立方程组求解即可； （2）如图，连接交于点M，过作交于，可得，可得，求解直线为，设，可得，，再进一步利用二次函数的性质求解即可； （3）如图，连接，过作交轴于，作的角平分线交轴于，过作于，可得，设，则，证明，可得：，阿九，利用，可得，，再进一步利用勾股定理求解的值，可得直线为，再求解函数的交点坐标即可. 【详解】（1）解：把，两点代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接交于点M，过作交于， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴， ∴， 当时，的最大值为：； 此时； （3）解：如图，连接，过作交轴于，作的角平分线交轴于，过作于， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∵，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键. 7．(1)2； (2)①或且；②或 【分析】（1）根据顶点横坐标可得对称轴为直线，再由对称轴计算公式可得b的值，把点C坐标代入解析式即可求出c的值； （2）①先求出，再求出，根据，可得；则可求出且，求出直线恰好经过点，点，点时，k的值即可得到答案； ②联立得，根据直线与该抛物线有且只有一个公共点，可得关于x的方程有两个相等的实数根，则可求出，据此可得到，取，作直线，可证明，得到，则，即可得到直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；过点D作，过点D作交直线于I，则，，可推出直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，得到设，由，得到，则，同理可得此时点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点的横坐标是， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于点， ∴； （2）解：①∵， ∴， 由（1）可得抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴且， 当直线恰好经过点时，则，解得， 当直线恰好经过点时，则，解得， 当直线恰好经过点时，则，解得， ∴当时，或且； ②联立得， ∵直线与该抛物线有且只有一个公共点， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴直线l解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； 如图所示，取，作直线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线与直线所夹的锐角是的2倍， ∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 如图所示，过点D作，过点D作交直线于I， ∴， ∴， ∵ ∴直线与直线所夹的锐角是的2倍， ∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置； ∵， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于利用分类讨论的思想求解即可． 8．(1) (2)存在，点的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）将，，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）分两种情况讨论，①在上截取，证明，得出直线与抛物线的交点即为所求点，求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求解；②过作轴，过作轴，交于点，则四边形为正方形，作关于的对称点，点在上，连接，则直线与抛物线的交点即为所求点，进而得出点和点重合，即可求解； （3）根据题意画出图形，根据图象点在轴之间，即或点在点的左侧，即可求解． 【详解】（1）解：将，，代入 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：存在， 当时， 解得； ∴，即， ①如图所示，在上截取， ，， ， ， ， ， 即 所以直线与抛物线的交点即为所求点 设直线 的解析式为 将，，代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：（舍去）或 ∴点的坐标为 ②如图所示，过作轴，过作轴，交于点，则四边形为正方形，作关于的对称点，点在上，连接，则直线与抛物线的交点即为所求点 ，， 把 代入得 点 即为所求点 综上所述，点的坐标为或 （3）解：如图，     ∵点的横坐标为，过点作轴于点，作轴于点， ∴的横坐标为， 又，， 当，解得：或 ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时， ∴点在轴之间，即或点在点的左侧 ∴或 9．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用的待定系数法求解即可； （2）过点P作轴交于点Q，先求出点C的坐标，再求出直线的解析式，设，则，求出，根据平行线的性质可得，利用正弦的定义可得，利用勾股定理求出，从而得到的代数式，利用二次函数的性质即可求出的最大值，进而确定点P的坐标；作点P关于y轴的对称点，作点P关于直线的对称点，连接，由对称的性质得到，即可得到的周长为，当点四点共线时，有最小值，最小值为的长，再由对称的性质求出两点的坐标，即可求解； （3）先求出平移后的抛物线解析式为：，过点K作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点G，如图，分当点N在右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：过点P作轴交于点Q， 将代入：，则， ∴， 设直线的解析式为， ∵，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最小值， 此时，， ∴； 作点P关于y轴的对称点，作点P关于直线的对称点，连接， 则， ∴由对称的性质得， ∴的周长为， 当点四点共线时，有最小值，最小值为的长， 设， ∴的中点坐标为， 由对称的性质可得的中点坐标在直线直线上， 则，即， ∴， ∴， 由对称的性质得，即， ∴，整理得：， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴周长的最小值为； （3）解：∵，且， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位， ∵， 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位后的解析式为：， 过点K作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点G， 如图，当点N在右侧时， ∵，轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， 由平移的方式得， 设， ∴， ∴，， ∴， 即，整理得：， 解得：或（点重合，舍去）， ∴， ∴； 如图，当点N在左侧时，作点A关于y轴的对称点D，过点D作于点H，连接， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴（三线合一）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 整理得：， 解得：或（点重合，舍去）， ∴， ∴； 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键． 10．(1) (2) (3)点N的横坐标为 【分析】(1)根据抛物线，经过点，结合抛物线的对称轴是直线．后利用待定系数法确定解析式即可． （2）先确定直线的解析式为．过点P作轴于点K，交于点Q，则，确定,设，则，则；结合轴交抛物线对称轴于点E， 得到，于是，确定有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为，根据点M在抛物线的对称轴上，且点A与点B是对称点，得到，于是，根据，确定当B，P，M三点共线时，取得最大值，最大值为，解得即可． (3)先确定平移方式，确定平移后的抛物线解析式，利用旋转的性质，平行线的性质，交点坐标的计算解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，经过点， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线． ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴当时，， 故点， 又当时，， 解得， 故， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点P作轴于点K，交于点Q 则， ∵， ∴, ∴, ∴, ∴， 设，则， 则； ∵轴交抛物线对称轴于点E， ∴， ∴ ， ∵， ∴有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为， ∵点P在直线下方的抛物线上， ∴， ∴时，； 故． ∵点M在抛物线的对称轴上，且点A与点B是对称点， ∴， ∴， ∵， ∴当B，P，M三点共线时，取得最大值，最大值为， ∴． （3）解：由原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线， ∴，， 设向左平移m个单位，向下平移n个单位， 根据题意，得，， ∴先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线， ∵， ∴平移后抛物线的表达式为， ∴， ∵点F为点P平移后的对应点，连接， ∴， 以点P为中心将顺时针旋转，交抛物线于点N，M，交于点S，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴轴， ∴点P、N、M的纵坐标都为， ∴， 解得：， ∴在平移后的抛物线上存在一点N，使得，此时点N的横坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数解析式确定，解方程组，抛物线的平移，旋转的应用，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 11．(1) (2)的周长的最小值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，从而可求直线的解析式为，设，则，表示出，结合二次函数的性质可得当时，取得最大值为，求出，过点作交轴于点，求出直线的解析式为，从而可得，证明四边形为平行四边形，得出，连接并延长，使得，连接，证明为等腰直角三角形，得出，求出点、关于直线对称，得到，即的周长，连接交于，当、、在同一直线上时（即、重合时），最小，为，求出，最后由勾股定理计算即可得解； （3）求出，，过点轴，作轴交轴于，作交于，则，求出，证明，得出，设，则，求出，解得，此时 ；作点关于的对称点，作直线，由轴对称的性质可得，从而得出，即点为直线与抛物线的交点，，求出直线的解析式为，联立求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，为，此时， ∴， 如图，过点作交轴于点， ， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 连接并延长，使得，连接， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形，即， ∵， ∴， ∵， ∴点、关于直线对称， ∴， ∴的周长， 连接交于，当、、在同一直线上时（即、重合时），最小，为， 设，则， 解得：，即， ∴， ∴的周长的最小值为； （3）解：如图， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得，即， 设，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 如图，过点轴，作轴交轴于，作交于， ， 则， ∴，， ∴， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴，此时， ∴； 作点关于的对称点，作直线， 由轴对称的性质可得：， ∴， ∴点为直线与抛物线的交点，， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴，此时， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—线段周长问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形、求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 12．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、求函数解析式、正切函数、二次函数与几何的综合等知识点，用参数表示一次函数的解析式和线段长是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：过点E作轴于F，过点D作轴于G，设点，由得，然后得到关于m的方程求解即可； （3）设，直线的解析式为：，表示出，，结合是一个定值，求出t的值即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，顶点为．其中，， 将A，D两点坐标代入可得： ∴，解得． ∴该抛物线的解析式为； （2）解：如图（1），过点E作轴于F，过点D作轴于G，则， ∵，， ∴，， 把代入得， ∴， ∴， 设点，则，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得或（不合，舍去）， ∴． （3）解：如图2：过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点D．    设，设直线的解析式为：， ∴，即， ∴直线的解析式为：， 设，， 由，得：， ∴， ∴，， ∴ ， ， ∵线段的中点是M， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即时，是定值， ∴． 13．(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据，，得，代入，解方程组得即得； （2）证明是等腰直角三角形，设，求出直线表达式，得，当时，最大时，周长最大，此时, ，得，，过点作的平行线，连接，并延长，交于点H，过点作于点，证明出为等腰直角三角形，则，那么，当点共线，且点与点重合，点与点重合时，取得最小值为，此时，； （3）由轴对称知，，结合得， 由平移，得，过点C作，交直线于点P,过P作轴于点N，则，证明， ， ，得，可得，求出直线解析式，联立得 解得：，得；当F在右下侧时同理得，直线解析式为，联立得，解得，得． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于A，两点，，， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）可知，，， ∴， ∴， ∵，轴， ∴轴, ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，直线表达式为， 则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大时，周长最大， 此时, ， ∴， ∴， 过点作的平行线，连接，并延长，交于点H，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当点共线，且点与点重合，点与点重合时，取得最小值为， 此时 ∴； （3）解：由轴对称知，， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位， ∴抛物线是向右平移2个单位，再向下平移4个单位， ∵， ∴， 过点C作，交直线于点P，过P作轴于点N， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当F在直线左上侧时， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立得 解得：或（舍去）， ∴； 当F在直线右下侧时， 同理得，直线解析式为， 联立得。 解得或（舍去）， ∴； ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数与一次函数图象和性质，三角形周长产生的二次函数的最值问题，轴对称性质，二次函数的平移性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键． 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出，得到，进而得到，根据得到，把，代入可得抛物线的解析式为； （2）过作于点，于点，则四边形是矩形，设与交点为，证明，得到，计算得到，根据即可求出与之间的函数解析式； （3）过作于点，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，连接．设，则，证明，进而得到，即，证明，过作于点，由等面积法可得，计算得到，由勾股定理可得，根据角的和差可得，即，根据三角函数即可得到，设直线的解析式为，把，代入即可得到答案. 【详解】（1）解：．当时，． ． ． 把代入，得． ． 当时，． ． ． 在中，， ． ∴． 把，代入，得 ，解得， 抛物线的解析式为． （2）解：点横坐标为，点在抛物线上， ． 过作于点，于点． 则四边形是矩形， 即，，． 设与交点为． ， ． ， ， ． ． 即． （3）解：过作于点，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，连接． 则． 设，则． ． ， ． ． ． ，， ． ，． ， ． 即． ． ． ，． 过作于点，则． ，． ． ． ． ． ， ． ． ． 即． ． ． ， ． ． 由题可得，，． 在中，，在中，， ， ． ． ． 设直线的解析式为． 把，代入得， ，解得， ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，二次函数的图像和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键. 15．(1) (2)或 (3)存在，的坐标或或或 【分析】（1）由及图像可得B、C两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求解即可； （2）由题意得出，进而得到点D、F横坐标之间的关系为，设点横坐标为，则点横坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，设，待定系数法求出直线所在的直线表达式为：，推得点，将点坐标代入抛物线，即可求出点的坐标； （3）当时，分为点在轴上方和点在轴下方，两种情况进行讨论，结合全等三角形的判定和性质得出点的坐标为，根据待定系数法求求出直线的解析式；联立方程组，求出的坐标，结合平行线的性质与等角对等边的性质得出，结合一次函数的平移得出直线解析式，结合勾股定理即可求出点的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，求出的坐标；当时，分为点在轴上方和点在轴下方，两种情况进行讨论，根据等角对等边得出，结合勾股定理即可求出点的坐标，待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，即可求出点的坐标，结合一次函数的平移得出直线的解析式，联立方程组，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 把、坐标代入得， 解得：， ∴抛物线解析式：； （2）解：∵， ∴，即：， 设点横坐标为，则点横坐标为， 设直线的解析式为：，把代入得，， 解得：， ∴所在的直线表达式为：， ∵点在直线上， ∴， 设直线的函数表达式为：，把代入得：， 解得：， ∴直线所在的直线表达式为：， 则点， 把点坐标代入抛物线解析式得：， 解得：或， 则点的坐标为或； （3）解：①当， 若点在轴上方，此时点，直线交轴于点， 若点在轴下方，此时点，过点作交于点，过点作轴交于点，作于点，如图： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵直线过点、，则直线的解析式为：， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∵，， 故直线可以看成直线向下平移个单位得到的， 即直线的解析式为： ， 故设， ∵，， ∴，， ∴，，，， 在与中，， 即， ∴， 解得：， 则点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵直线过点、，则直线的解析式为， 联立， 解得：， (舍去)， 则点； ②当时， 若点在轴上方，此时点，直线与交于点，过点作轴交于点，过点作作轴交于点， 若点在轴下方，此时点，如图： ∵，， ∴ ， ∴ ， 由①知，直线的解析式为， 故设， ∵，， ∴，， ∴，，，， 在与中，， ∴， 解得：， 则点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵直线过点、，则直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； ∵，， ∴， ∴， 故直线可以看成直线向下平移个单位得到的， 即直线的解析式为： ， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，三角形的面积，求一次函数与二次函数的交点坐标，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数的平移，等角对等边等，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质与一次函数的性质，利用数形结合及分类讨论思想进行求解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$