第一章三角形小结与思考（2）学案2025-2026学年苏科版数学八年级上册

本文围绕全等三角形的判定与性质展开，通过小题唤醒、例题精选等环节，承接全等三角形知识基础，为后续复杂几何问题解决奠基，培养学生数学抽象、逻辑推理等核心素养，如在例题证明中引导学生逻辑推导。 该设计创新点在于以题组形式强化知识运用，采用讲练结合教法。从学生层面看，提升逻辑思维与解题能力；从教师层面看，提供清晰授课流程，助力高效备课；从课堂效果看，有效突破教学难点。

初中数学八年级学案 课题：第一章小结与思考(2) 学习目标：灵活运用全等的判定、性质解决相关问题 学习过程: 一、小题唤醒: 1.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　） A.AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD 2.如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB交EF于点D．AB＝AE，∠B＝∠E＝30°,∠EAB＝∠CAF,∠EAF＝80°,则∠FAC＝（　　） A．40° B．60° C．50° D．70° 3.在△ABC中,AC＝5,中线AD＝7，则AB边的取值范围是 　 　． 4.如图，△CAE≌△EBD,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B，点E在线段AB上，若AC＝BE＝6，BD＝8，则∠CED的度数为 　 　，AB的长度为 　 　． 第1题 第2题 第4题 第5题 5.如图，△ABC≌△A1B1C，若∠A＝50°，∠A1B1C＝45°，∠ACB1＝65°，则∠α的度数是（　　） A．15° B．25° C．20° D．10° 二、例题精选 例1.如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． 同质训练1：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD和BE分别是BC，AC上的高，它们相交于点H，HE＝CE．（1）求证：△AHE≌△BCE；（2）若CD＝3，求AH的长． 例2.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC． (1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； (2)证明：DC⊥BE． 图1 图2 D C E A B 同质训练2：如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC， (1)求证：△AEC≌△ABF (2)证明：EC⊥BF． 例3.如图,在四边形ABCD中,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,AD=AB+CD,若∠DEC=30°,求∠AEB的度数. 解法一： 解法一： 同质训练3：如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC＝AE+CD． 三、自主小结 《第一章小结与思考(2)》作业纸 班级： 姓名： A. 基础巩固: 1.（3'）有以下条件：①一锐角与一边对应相等；②两边对应相等；③两锐角对应相等。其中能判断两直角三角形全等的是（ ） A．① B． ② C． ③ D． ①② 2.（3'）小熊不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），他只带了第2块去玻璃店，就配到一块与原来一样大小的三角形玻璃．他利用了全等三角形判定中的（　　） A．ASA B．SAS C．SSS D．HL 3.（3'）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，由△ABC和△DEC全等得到DE＝AB．那么判定其全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 4.（3'）一天老师带小明测操场上一棵树AB的高度，如图1所示，他告诉小明，我在距树底端B点a米的C处，测得∠BCA＝α°，你能测出旗杆AB的高度吗？小明经过一番思考：“我若将△ABC，放倒在操场上不就可以测量了吗！”于是他在操场上选取了一个合适的地方，画出一个直角三角形DEF，如图2，使∠E＝90°，DE＝a米，∠D＝α°． 小明说，只要量出EF的长度就知道旗杆AB的高度了． 同学甲：小明的做法正确，是根据“SAS”得△ABC≌△FED得到的； 同学乙：小明的做法正确，是根据“ASA”得△ABC≌△FED得到的； 同学丙：小明的做法正确，是根据“SSS”得△ABC≌△FED得到的； 同学丁：小明的做法不正确，由他的做法不能判断△ABC≌△FED．你认为（　　） A．甲、乙、丙的判断都正确 B．甲、乙的判断都正确 C．只有乙的判断正确 D．只有丁的判断正确 5.（3'）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SSS D．HL 第5题 第6题 第7题 6.（3'）如图，在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠ABC＝30°,若△ABC≌△A'B'C,且点A'恰好落在AB上，则∠ACA'的度数为（　　） A．30°​ B．45°​ C．50°​ D．60°​ 7.（3'）如图，在3×3的方格图中，每个小方格的边长都为1，则∠1与∠2的关系是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1 C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝180° 8.（3'）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧， 分别交AB，AC于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于EF 的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于 点M，若∠ACD＝110°，则∠CMA的度数为（　　） A．30° B．35° C．70° D．45° 9.（3'）如图，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N， ∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：其中 正确的结论有 ①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM； ④CD＝DN；⑤△AFN≌△AEM． 10.（10'）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF． （1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数． 11.（5'）如图，∠C＝∠D＝90°，AD交BC于点E，且AD＝BC．求证：EA＝EB． 12.（5'）如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，且AD＝A'D'．求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'． B. 强化提高： 13.（10'）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D为斜边BC上一点，且BD＝BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上． 14.（10'）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B+∠D＝180°，若BE＝3，CE＝4，S△ACE＝14，则S△ACD＝　 　． 15.（10'）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP，交CD于点M． （1）若∠ACD＝124°，求∠MAB的度数； （2）若CN⊥AM，垂足为N，延长CN交AB于点O，连接OM，求证：OA＝OM． 16.（10'）如图所示,在五边形ABCDE中,AB＝AE,BC+DE＝CD,∠ABC+∠AED＝180°,求证：DA平分∠CDE． C. 能力提升： 17.（13'）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD． 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长AD至E，使DE＝AD， ∵AD是BC边上的中线 ∴BD＝CD 在△BDE和△CDA中 ∴△BDE≌△CDA（依据一） ∴BE＝CA 在△ABE中，AB+BE＞AE（依据二） ∴AB+AC＞2AD． 任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：　 　； 依据2：　 　． 归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE＝AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务二：如图3，AD是BC边上的中线，AB＝3，AC＝4，则AD的取值范围是　 　； 任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝AE；Rt△ACF中，∠CAF＝90°，AC＝AF．连接EF．试探究EF与AD的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$