专题28 圆锥曲线的方程综合检测巩固卷-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

圆锥曲线的方程综合检测巩固卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形得即可判断焦点坐标. 【详解】，即，则，则其焦点坐标为. 故选：A. 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上任意一点．若，则椭圆C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程及其定义和焦点位置得，，进而求离心率. 【详解】由椭圆的定义及题意，得，所以． 因为，所以，所以， 所以离心率． 故选：B． 3．已知双曲线C以椭圆方程E：的焦点为顶点，以E的顶点为焦点，则双曲线C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出椭圆的顶点和焦点，即可得出双曲线方程. 【详解】∵椭圆方程E：的焦点坐标为，，上、下顶点为，. ∴设双曲线方程C：，则， ，∴设双曲线方程C：. 故选：C. 4．已知是抛物线：的焦点，是上一点，，则到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用抛物线的定义，得到，再利用点在抛物线，即可求解. 【详解】设，，解得， 所以，得到，故到轴的距离为. 故答案为：C. 5．已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点P使得，求的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先根据双曲线方程得到，，，设，，可得，. 由，在根据余弦定理可得:，即可求得答案. 【详解】，所以，，， 在双曲线上，设，， ① 由，在根据余弦定理可得: 故② 由①②可得， 直角的面积 故选：C. 【点睛】思路点睛： 在解决椭圆或双曲线上的点与两焦点组成的三角形问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行处理，结合双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式进行求解，要注意整体思想的应用. 6．已知面积为的正方形的顶点、分别在轴和轴上滑动，为坐标原点，，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点、、，由平面向量的坐标运算可得出，由正方形的面积公式可得出，将代入等式整理可得出点的轨迹方程. 【详解】设点、、， 由， 所以，，可得， 因为正方形的面积为，即，即， 整理可得，因此，动点的轨迹方程为. 故选：C. 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据面积公式结合定义计算求解得出或，再联立方程结合判别式计算求解. 【详解】设直线与x轴的交点为M，则． 所以，． 因为，所以． 由得，即，，． 所以，解得或． 因为与C有两个交点，联立消y得， 则，解得．所以 故选：C. 8．已知，是双曲线的左、右焦点，点A，B在双曲线上，且满足，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用双曲线的对称性及双曲线定义，结合勾股定理建立方程求出离心率. 【详解】令点关于原点的对称点为，连接，则四边形为平行四边形， ，由，得，则点共线， 令，则，，， ，由，得为矩形，则， 即，解得，，令， 由，得，解得， 所以双曲线C的离心率为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．直线与双曲线的左支和右支各有一个交点 D．过点可以作四条直线与双曲线只有一个公共点 【答案】ABD 【分析】设满足题意的双曲线的标准方程为，代入点的坐标，计算可得双曲线方程，进而逐项判断每个选项的正误即可. 【详解】不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 双曲线经过两点，则由题意有，解得， 显然有满足题意的双曲线的标准方程为. 在双曲线中，，则，故A正确. 双曲线的渐近线方程为，故B正确.， 因为直线与轴交点在双曲线右顶点右侧，且其斜率1大于渐近线斜率， 所以直线与双曲线的右支有两个交点，故C错误. 画图可得，过点可以作四条直线与双曲线只有一个公共点，    其中两条与双曲线相切，另两条与渐近线平行，故D正确. 故选：ABD. 10．P在椭圆C上，C的左右焦点在x轴上，和分别交C于点A，B，周长为20，左顶点和上顶点距离为，设离心率为e，那么（    ） A．椭圆焦距为3 B． C．面积最大值为12 D．和斜率乘积为定值 【答案】BC 【分析】由焦点弦三角形的周长为得，由左顶点和上顶点距离为得，从而，判断AB选项，由焦点弦三角形的面积判断C选项，由直线斜率公式和椭圆上的点满足椭圆的方程计算判断D选项. 【详解】 因为点在椭圆上，所以， 故的周长为，解得， 因为左顶点和上顶点的距离为，解得， 则，焦距为，故A错误；，故B正确； ， 当点位于轴上时，面积取得最大值，故C正确； 设，则，即， 因为所以， 故不是定值，故D错误； 故选：BC. 11．已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．面积的最小值为2. C． D．可能为直角. 【答案】BC 【分析】对于A，根据抛物线的焦半径公式即可判断；对于B，设直线方程与抛物线联立，求得弦长，表示出三角形面积，利用二次函数的性质计算即可判断；对于C，利用抛物线焦半径公式代入计算易得；对于D，通过计算即可判断. 【详解】    对于A，由题意，，所以无最小值，故A错误； 对于B，因直线的斜率不可能为0，故可设， 与联立消元得：， 显然，设，则， 则， 点到直线的距离为， 则的面积为， 则当时，即时，取得最小值2，故B正确； 对于C，设直线的倾斜角为，则， 则，故C正确； 对于D，由B选项可得， 则， 故与所夹的角为钝角，故D错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为 ． 【答案】8 【分析】先求得双曲线的右焦点，结合抛物线的知识求得的值. 【详解】双曲线，，右焦点， 抛物线的焦点为，所以. 故答案为： 13．若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是 【答案】 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆建立不等式，并解出不等式即可 【详解】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆 则有： 解得： 故答案为：. 14．双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】利用双曲线的定义将进行转化，再结合三角形三边关系求的最小值； 【详解】设双曲线的右焦点为. 对于双曲线，可得，则. 因为点在双曲线的右支上，所以，即. 则. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得，当且仅当，，三点共线时取等号. 已知，，根据两点间距离公式，可得. 所以，即的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 求适合下列条件的曲线的标准方程. (1)已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点，求双曲线的标准方程； (2)已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为，求椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法1：根据焦点的位置分类讨论，设出双曲线的标准方程，根据条件列出的方程组，求解即可；解法2：因为，所以可设双曲线方程为，由双曲线过点可求得. （2）设椭圆的标准方程为，令，代入椭圆方程得，依题意列出的方程组，求解即可. 【详解】（1）解法1：当焦点在轴上时，设双曲线的标准方程为 依题意得，解得，此时双曲线的标准方程为； 当焦点在轴上时，设双曲线的标准方程为 依题意得，无解， 综上所述，双曲线的标准方程为. 解法2：因为，所以可设双曲线方程为. 因为过点，所以，即. 所以双曲线方程为，即. （2）椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 令，代入椭圆方程得， 依题意得解得. 椭圆的标准方程为. 16．（15分） 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线所过的点列方程求参数，即可得方程； （2）设，应用点差法得，结合中点坐标及点斜式写出所求直线方程. 【详解】（1）由题意，知，解得，故双曲线的方程为． （2）设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 17．（15分） 已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为． (1)求椭圆的离心率和的面积； (2)已知直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，判断直线是否与轴交于定点？若是，求出该定点：若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)直线经过定点. 【分析】（1）将代入椭圆方程求出，进而求出，结合离心率的概念即可求解；求出点，结合三角形的面积公式计算即可求解； （2）直线方程联立椭圆方程，消去，结合韦达定理表示出，设，表示出的方程，令得，化简计算即可求解. 【详解】（1）由题意，椭圆经过点， 可得，解得，即椭圆， 因为，即，所以椭圆的离心率为， 又由左顶点为，右焦点为，所以， 所以的面积为. （2）联立方程组，整理得， 设，则，得， 设点，所以的方程为， 令，可得， 因为，所以， 所以直线经过定点. 18．（17分） 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)设直线与交于两点. ①当时，求的面积； ②过点分别作抛物线的切线交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）设抛物线的标准方程为，根据点在抛物线上，求得，即可求得抛物线的标准方程； （2）①由，联立方程组得到和，利用弦长公式和点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，即可求解； ②联立方程组，得到，，设在第一象限，利用导数的几何意义，分别求得在和处的切线方程，联立方程组，求得，即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意，可设抛物线的标准方程为.， 因为点在抛物线上，可得，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）解：①当时，直线， 联立方程组，整理得， 方程的判别式， 设，，则，， 所以， 又由到直线的距离， 所以的面积； ②联立方程组，整理得， 设，，则且，， 不妨设在第一象限，则在曲线上，则有， 则在处的切线方程为， 又由，可得在处的切线方程为， 同理可得，点在曲线上，则有， 则在处的切线方程为，且； 所以在处的切线方程为， 联立方程组，解得，所以点在定直线上. 19．（17分） 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，过点的直线与椭圆C交于，两点（其中，），点B关于x轴的对称点为D点，直线AD与x轴交于点E，直线BD与x轴交于点F． (1)求椭圆C的方程； (2)求点E的坐标； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）依据题意直接计算即可； （2）假设直线AB的方程为，点E的坐标为，联立椭圆方程，使用韦达定理可得，，结合A，D，E三点共线得到点D ，然后计算即可； （3）由（2）得到，表示，计算可得. 【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c，由，有，． 可得椭圆C的方程为，代入点的坐标，有，可得， 故椭圆C的方程为． （2）解：设直线AB的方程为，点E的坐标为， 联立方程消去x后整理为， 有，， 由A，D，E三点共线，点D的坐标为，有， 有，整理为， 有，又由m的任意性，有，可得， 故点E的坐标为． （3）证明：由（2）有：，可得，又． 所以， 有，得证．    11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线的方程综合检测巩固卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上任意一点．若，则椭圆C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 3．已知双曲线C以椭圆方程E：的焦点为顶点，以E的顶点为焦点，则双曲线C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知是抛物线：的焦点，是上一点，，则到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点P使得，求的面积（    ） A． B． C． D． 6．已知面积为的正方形的顶点、分别在轴和轴上滑动，为坐标原点，，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 8．已知，是双曲线的左、右焦点，点A，B在双曲线上，且满足，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．直线与双曲线的左支和右支各有一个交点 D．过点可以作四条直线与双曲线只有一个公共点 10．P在椭圆C上，C的左右焦点在x轴上，和分别交C于点A，B，周长为20，左顶点和上顶点距离为，设离心率为e，那么（    ） A．椭圆焦距为3 B． C．面积最大值为12 D．和斜率乘积为定值 11．已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．面积的最小值为2. C． D．可能为直角. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为 ． 13．若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是 14．双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 求适合下列条件的曲线的标准方程. (1)已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点，求双曲线的标准方程； (2)已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为，求椭圆的标准方程. 16．（15分） 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 17．（15分） 已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为． (1)求椭圆的离心率和的面积； (2)已知直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，判断直线是否与轴交于定点？若是，求出该定点：若不是，请说明理由． 18．（17分） 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)设直线与交于两点. ①当时，求的面积； ②过点分别作抛物线的切线交于点，证明：点在定直线上. 19．（17分） 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，过点的直线与椭圆C交于，两点（其中，），点B关于x轴的对称点为D点，直线AD与x轴交于点E，直线BD与x轴交于点F． (1)求椭圆C的方程； (2)求点E的坐标； (3)证明：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$