专题30 立体几何必刷31道大题（最新好题速递）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题30 立体几何必刷31道大题 【题型01：空间中的距离问题】 1．（24-25高二上·吉林白山·月考）如图，已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点.    (1)求点E到直线BF的距离 (2)求与平面所成角的正弦值； 2．（24-25高二下·江苏南京·月考）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中点.    (1)求异面直线AE和PD所成角的余弦值； (2)求点B到平面CDE的距离； 3．（24-25高二上·云南楚雄·月考）如图，在长方体中，，，，求：    (1)点到直线的距离； (2)平面与平面间的距离. 4．（24-25高二下·安徽淮南·期中）如图，在四棱锥中．底面为矩形，侧棱底面，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若，且点到平面的距离为，求的值． 【题型02：求线面角】 5．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图，正三棱柱的所有棱长都为，点为线段上靠近点的三等分点，点、、分别为、、的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，点在棱上，． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值． 7．（24-25高二下·江苏连云港·月考）如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【题型03：已知线面角求其他量】 8．（24-25高二下·江苏南京·月考）如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为棱所在直线上一点，且（）. (1)若，求直线与所成角的余弦值； (2)若直线与平面所成角为45°，求实数的值. 9．（24-25高二下·河南洛阳·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，，，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上.    (1)求证：； (2)是否存在点Q，使DC与平面DEQ所成角的正弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 10．（24-25高二下·天津河东·期末）如图，在多面体ABCDPE中，已知平面PDCE⊥平面ABCD，其中四边形PDCE为矩形， 底面四边形ABCD满足， AB ⊥AD，∥ (1)求证：平面 (2)求三棱锥 外接球的体积： (3)F为PA的中点，点Q在线段EF上，若直线BQ与平面PBC 所成角的大小为 求FQ的长． 【题型04：求二面角或平面与平面所成角】 11．（24-25高二下·河南南阳·期末）如图（1），在平面四边形中，，，形如这样的四边形称为“筝形”，将沿着翻折得到三棱锥，如图（2），设的中点为. (1)证明：平面平面； (2)在图（2）中，若，，，求平面与平面夹角的余弦值. 12．（24-25高二下·广西崇左·期末）如图，在四棱锥中，为正三角形，，，，，． (1)证明：底面． (2)过点作平面的垂线，指出垂足的位置，并求四面体的体积． (3)求二面角的正弦值． 13．（24-25高二下·云南丽江·期末）如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点．      (1)求证：平面； (2)若且，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围． 【题型05：已知二面角求其他量】 14．（24-25高二下·四川泸州·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，点Q为棱PC上一点． (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求． 15．（24-25高二下·湖南·月考）如图，是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面． (1)求证：； (2)当三棱锥的体积取得最大值时，在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 16．（24-25高二下·江苏泰州·期中）如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设，若二面角的正弦值为，求实数的值. 【题型06：平行中的探索性问题】 17．（24-25高二上·广东广州·月考）在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 18．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【题型07：垂直中的探索性问题】 19．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 20．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 21．（24-25高二上·重庆·期中）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由. 【题型08：距离中的探索性问题】 22．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 23．（24-25高二下·湖北·月考）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面所成的角为， （I）求三棱锥的体积； （II）试问在侧面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出点到直线的距离；若不存在，请说明理由. 【题型09：线面角、二面角中的探索性问题】 24．（24-25高二上·广东·期中）如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥． (1)证明：在翻折过程中总有平面平面； (2)若平面平面，线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 25．（24-25高二下·四川南充·月考）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，平面，，点为的中点． (1)求证：平面平面； (2)二面角的大小； (3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角为．若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 26．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 27．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且. (1)证明：无论取何值，总有； (2)当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值； (3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【题型10：折叠问题】 28．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图1，菱形的边长为2，，将沿折起至（如图2），且点为的中点. (1)证明：平面平面： (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 29．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 30．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知菱形如图①所示，其中且，现沿进行翻折，使得平面平面，再过点B作平面，且，所得图形如图②所示．     (1)求平面与平面夹角的余弦值． (2)若点P满足． （ⅰ）若平面，求λ的值； （ⅱ）若与平面所成角为θ，求的最大值． 31．（24-25高二下·浙江衢州·期中）如图，矩形ABCD中，．现以EF为折痕把四边形ABFE折起得到平面，并连接．    (1)若，证明：平面BEF； (2)若为的中点，，直线GE与平面所成角正弦值为． （i）试讨论在线段AD上是否存在点，使得平面GMN．若存在，请求出DN的长度；若不存在，请说明理由； （ii）求平面与平面所成锐二面角的取值范围． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题30 立体几何必刷31道大题 【题型01：空间中的距离问题】 1．（24-25高二上·吉林白山·月考）如图，已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点.    (1)求点E到直线BF的距离 (2)求与平面所成角的正弦值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到直线的距离，从而得解； （2）利用（1）中结论，求得向量与平面的法向量，利用向量法求得线面角的正弦值，从而得解. 【详解】（1）因为正方体的棱长为， 以为原点，分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，， 则在的投影长度为，且， 所以点E到直线BF的距离为. （2）由（1）得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，故， 设与平面所成角为，， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 2．（24-25高二下·江苏南京·月考）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中点.    (1)求异面直线AE和PD所成角的余弦值； (2)求点B到平面CDE的距离； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标，利用异面直线所成角的空间向量计算方法即可解答. （2）先求出平面CDE的法向量和；再根据点到直线距离的空间向量计算方法即可求解. 【详解】（1）因为底面，， 所以以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    因为，，是棱的中点， ， 则，，，，，. 则，. 所以，，. 设异面直线AE和PD所成角为， 则. （2）因为，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则，取，可得，，则. 又因为， 所以点B到平面CDE的距离为. 3．（24-25高二上·云南楚雄·月考）如图，在长方体中，，，，求：    (1)点到直线的距离； (2)平面与平面间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据条件求得，，再利用点线距的向量法，即可求解； （2）根据条件得到平面平面，从而将面面距转化成点面距，求出平面的一个法向量及，再利用点面距的向量法，即可求解. 【详解】（1）以点为坐标原点，，，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为，，，则，，， 所以，， 所以点到直线的距离为.    （2）由（1）知，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，得到， 取，得到，所以， 易知，面，面，所以面， 又，面，面，所以面， 又，面，所以平面平面， 所以平面与平面间的距离即为点到平面的距离， 又点到平面的距离为， 所以平面与平面间的距离为. 4．（24-25高二下·安徽淮南·期中）如图，在四棱锥中．底面为矩形，侧棱底面，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若，且点到平面的距离为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)． 【分析】（1）连结，交于点，连结，证明，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）以向量为轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量即可求解面面角的余弦值； （3）由（2）可得，再由求解即可. 【详解】（1）如图，连结，交于点，连结， 因为点是的中点，底面为矩形， 所以点是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）如图，以向量为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，， 则，， 设平面的法向量， 则，令，，， 所以平面的法向量， 且平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. （3）由（2）可得，，，， ，，平面的法向量， 故， 设点与平面的距离为， 则，解得． 【题型02：求线面角】 5．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图，正三棱柱的所有棱长都为，点为线段上靠近点的三等分点，点、、分别为、、的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点在平面内作于，连接，推导出四边形为平行四边形，可得出，由中位线的性质得出，则，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）过点在平面内作于，连接， 在直三棱柱中，平面，平面，故， 在平面内，因为，，故， 因为为的中点，故为的中点，所以， 因为，，为的中点，所以，， 所以，，故四边形为平行四边形，所以， 由题意可知，为的中点，所以， 故为的中点，又因为为的中点，所以，故， 因为平面，平面，所以平面. （2）由已知得，如图，以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，. 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，点在棱上，． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质和线面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，即可利用空间向量法证明线面平行； （2）由（1），利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连接，则，且， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 建立如图空间直角坐标系， 由，得， 则， 由，得，即， 得，解得，即. 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以，有，则， 又平面，所以平面. （2）由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以，设与平面所成角为（为锐角）， 则， 所以， 即与平面所成角的余弦值为. 7．（24-25高二下·江苏连云港·月考）如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，可得答案； （2）由（1）的空间直角坐标系，求得平面的法向量与直线的方向向量，可得答案. 【详解】（1），，所以， 又，， 又，，，. 在直四棱柱中，平面，又平面，所以，， ，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，. ，，， 设为平面的一个法向量， 令，得，. 设平面的一个法向量，则，取 ，又平面与平面不重合， 平面平面. （2）当时，为平面的一个法向量，， 则， 设， ，， 设直线与平面所成角为， ， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 【题型03：已知线面角求其他量】 8．（24-25高二下·江苏南京·月考）如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为棱所在直线上一点，且（）. (1)若，求直线与所成角的余弦值； (2)若直线与平面所成角为45°，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，再根据向量的夹角公式求出两向量夹角的余弦值，进而得到异面直线与所成角的余弦值； （2）同样先建立空间直角坐标系，求出相关向量坐标，再求出平面的法向量，最后根据直线与平面所成角的向量公式列出方程，求解得到的值. 【详解】（1）建立空间直角坐标系并求点的坐标：以为正交基底，建立空间直角坐标系. 已知正方体棱长为，则，，.因为为棱的中点，，，所以点坐标为； 又因为，，所以点坐标为. 所以，. 根据向量的夹角公式，， ，所以. 因为异面直线所成角的范围是，所以与所成角的余弦值为. （2）因为，，所以点坐标为. 那么，，.   设平面的法向量为，有，即. 令，得，解得； 把，代入得，解得. 所以.   已知直线与平面所成角为，根据线面角向量关系（为线面角）， 则. 等式两边同时平方得. 化简：，即. 展开得. 移项整理得， 又因为，所以，解得.   9．（24-25高二下·河南洛阳·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，，，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上.    (1)求证：； (2)是否存在点Q，使DC与平面DEQ所成角的正弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或. 【分析】（1）取AD中点O，连接OP，OB，结合等边三角形的性质利用线面垂直的判定定理得平面PBO，进而利用线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，，则，求出平面DEQ的法向量，利用线面角的向量公式列方程求出，即可得解. 【详解】（1）证明：取AD中点O，连接OP，OB. ∵，∴， 在菱形ABCD中，，可得为等边三角形， ∴，又∵PO，平面PBO，且， ∴平面PBO，∵平面PBO，∴.    （2）解：∵，平面平面ABCD，平面平面， 且平面PAD，∴平面ABCD， 以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 假设存在点Q满足题意，设，， 则， ∴，，，， 设平面DEQ的法向量为， 则 令，则，，∴. 设DC与平面DEQ所成角为，则，解得或. ∴存在点Q，使得DC与平面DEQ所成角的正弦值为，此时或. 10．（24-25高二下·天津河东·期末）如图，在多面体ABCDPE中，已知平面PDCE⊥平面ABCD，其中四边形PDCE为矩形， 底面四边形ABCD满足， AB ⊥AD，∥ (1)求证：平面 (2)求三棱锥 外接球的体积： (3)F为PA的中点，点Q在线段EF上，若直线BQ与平面PBC 所成角的大小为 求FQ的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理及判定定理即可证明； （2）根据几何体外接球半径的求法，结合球的体积公式即可求解； （3）建立空间直角坐标系，设，根据向量的线性运算可得，再利用线面角的向量法求出，再根据空间向量的模长公式即可求解. 【详解】（1）因为四边形为矩形， 所以，因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）由（1）知平面， 平面，所以， 所以Rt的外心为的中点， 所以，所以平面， 因为，所以Rt的外心为的中点， 所以点为三棱锥外接球的球心， ， 所以外接球的半径， 则三棱锥外接球的体积为； （3）因为平面， 所以以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 所以 设线段上存在一点，使得与平面所成角的大小为， 设， 则， 所以， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则， 则，因为与平面所成角的大小为， 所以， 即，整理得， 所以，此时点与点重合， 所以，则． 【题型04：求二面角或平面与平面所成角】 11．（24-25高二下·河南南阳·期末）如图（1），在平面四边形中，，，形如这样的四边形称为“筝形”，将沿着翻折得到三棱锥，如图（2），设的中点为. (1)证明：平面平面； (2)在图（2）中，若，，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过线面垂直可证明面面垂直； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可计算两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）由题意得，，，为的中点， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）过点作于点，由得为中点. 因为，，所以,,, 所以. 由（1）得，平面平面，又平面平面，平面， 所以平面. 如图，以为原点，所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则，取,则. 设平面的法向量为， 则，取,则. 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 12．（24-25高二下·广西崇左·期末）如图，在四棱锥中，为正三角形，，，，，． (1)证明：底面． (2)过点作平面的垂线，指出垂足的位置，并求四面体的体积． (3)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2)点在中点，理由见详解； (3) 【分析】（1）根据勾股定理可得和，再利用线面垂直的判定即可证明； （2）由题知点在中点，先证平面，得到，又，即可证平面，即点在中点；由底面，点为中点，得到即可求得四面体的体积； （3）以为原点建立空间直接坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用二面角与平面法向量的关系即可求解. 【详解】（1）证明：，， ，即， 又，，为正三角形，所以， ，即， 又平面， 所以底面 （2）点在中点，理由如下， 底面，底面，， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又为中点，，所以， 又平面，所以平面， 故点在中点， ，，， 底面，， 所以四面体的体积为. （3）设中点为，连接，， ，即，， 底面，所以以为原点建立空间直接坐标系， ， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，则， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，则， ，， 所以二面角的正弦值为. 13．（24-25高二下·云南丽江·期末）如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点．      (1)求证：平面； (2)若且，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）连接，，即证，利用线面平行的判断定理即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）如图，连接，，由已知得四边形是矩形， 故与交于点，且点为中点， 又是的中点，所以． 又平面内，平面， 所以平面； （2）由于在直三棱柱中， 平面底面，且平面平面 故过在平面内作直线， 所以直线平面， 又，平面， 所以，， 由于直线，，两两垂直， 故分别以直线，，为轴、轴、轴，建立如图所示坐标系．    由于，设，则， 故，，，，设点， 由于，，， 所以，即，故， 设平面的法向量为，，， 由于，所以 令，则，即， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为，则， 由于，所以， 所以平面与平面所成角的余弦值的取值范围是． 【题型05：已知二面角求其他量】 14．（24-25高二下·四川泸州·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，点Q为棱PC上一点． (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在四棱锥中由勾股定理计算可证明，，结合线面垂直判定定理可得出结论； （2）建立空间直角坐标系分别求出平面和平面的法向量，设，再利用二面角的余弦值解方程可得. 【详解】（1）在四棱锥中， 由，，，， 得，， 则，， 又，且，平面， 所以平面． （2）由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 则， 可得，，， 设（），则， 设平面的法向量， 则，令，得， 设平面的法向量为， 由，解得，令，，得， 由二面角的余弦值为，得， 即，整理得，解得， 所以． 15．（24-25高二下·湖南·月考）如图，是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面． (1)求证：； (2)当三棱锥的体积取得最大值时，在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）过点作于，应用面面、线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定证明面，最后应用线面垂直的判定和性质证明结论； （2）根据已知确定三棱锥的体积取得最大有，过点作于，建立合适的空间直角坐标系，应用向量法，结合面面角的余弦值，求解即可. 【详解】（1）过点作于， 由平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，故，又为直径，易知， 且由于，，则不可能重合，重合的话，与三角形内角和矛盾. 则平面，所以平面，平面， ，且，平面，， 平面，平面，故. （2）由（1）知， 当时，取到最大值，过点作于， 建立以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的方向为轴的空间直角坐标系，如下图所示： 设平面与平面的法向量分别为，易知平面的法向量可取， 则， 设，则，则， 所以，则， 令，可得， 由于平面与平面夹角的余弦值. 则，因此， 即，即，即，解得或(舍去). 此时，，则. 故线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，且. 16．（24-25高二下·江苏泰州·期中）如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设，若二面角的正弦值为，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）在平面图形中，先证，则折叠后，，，利用线面垂直的判定定理判定线面垂直. （2）根据两两垂直，故可以以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的三角函数值. （3）先求平面的法向量，再求平面的法向量（用表示），根据二面角的正弦值求的值. 【详解】（1）在图1中，连接，交于点，，. 因为，，，，且， 所以，，. 因为，所以.    所以图2中，，，平面，所以平面. 平面.所以. （2）又因为，由，即，所以. 所以两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 因为为中点，所以. 所以，，. 设平面的法向量为， 则， 取. 设直线与平面所成的角为， 则. （3）因为，所以 所以，即. 则，，，. 设平面的法向量为， 则， 取. 设平面的法向量为， 则, 取. 设二面角为，由得：. 即， 整理得：， 解得：或. 【题型06：平行中的探索性问题】 17．（24-25高二上·广东广州·月考）在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，的值为 【分析】（1）首先利用面面垂直的性质证明，然后结合已知条件利用线面垂直的判定定理即可证明平面.进而得到面面垂直. （2）首先假设存在点，根据已知条件和（1）中结论，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量与垂直求解即可. 【详解】（1）平面平面 且平面平面， 平面 平面 平面 又， 平面. 平面平面平面. （2）假设在棱上是否存在点，使得平面 取中点，连接，，如下图 ，， ，， 从而，故平面， 又平面平面 且平面平面， 平面， 以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图： 由题意可知，，，，， 设 点在棱上，故， ，故 设平面的法向量为 故，令，则， 从而平面的法向量可以取 平面 ，解得， 故假设成立，存在这样的点，使得平面，此时 即，从而 18．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【分析】（1）利用线线平行证明线面平行即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究面面垂直计算即可. 【详解】（1）因为在梯形中，，，为的中点， 所以，所以四边形为平行四边形， 因为线段点，所以为线段的中点， 所以中，， 因为平面，平面， 所以平面； （2） 因为平行四边形中，， 所以四边形是菱形，则，垂足为， 所以，， 因为平面，平面，所以是二面角的平面角， 因为二面角为直二面角，所以，即， 如图所示，分别以所在直线为建立空间直角坐标系， 线段上存在点，使得平面平面， 设，， 因为，所以， 由设平面的法向量为， 则， 令，则， 由，设平面的法向量为， 则，令，则可得， 则， 解得，即 为线段的中点，此时. 【题型07：垂直中的探索性问题】 19．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由条件证明，，结合线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，求向量，的坐标，由条件列方程求即可. 【详解】（1）在三棱柱中，底面，平面， ， ，为的中点， ， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，， 设，则，，， 若，则，解得， 所以存在，使得直线，此时. 20．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可. 【详解】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 21．（24-25高二上·重庆·期中）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，答案见解析 【分析】（1）利用线面垂直的判定可得平面，然后利用线面垂直性质定理结合平行即可得证. （2）根据给定条件，结合余弦定理，利用等体积法求出点到平面的距离. （3）以为原点，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，平面的法向量为，平面的法向量为，求出两个平面的法向量，由即可求解. 【详解】（1）连接，由四边形为菱形，得，由，得， 又平面平面，平面平面，面ABC， 则平面，又平面，于是，而，则， 又，平面，因此平面，又平面， 所以    （2）点到平面的距离，即三棱锥的底面上的高， 由（1）知平面，则三棱锥的底面上的高为， 设点到平面的距离为d，由，得， 而，，则的面积， 由，，得，又，，则， 又，，由余弦定理得， 则，的面积， 则，即 ，所以点到平面的距离为. （3）    取的中点为，连接， 因为四边形是菱形，且， 所以，， 又因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， ，即， 如图，以为原点， 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 设，， 所以，可得， ， 设平面的法向量为， 则， 可得， ， 设平面的法向量为， 则， 可得， 使得平面平面， 则，解得， 故上存在一点，当时，平面平面. 【题型08：距离中的探索性问题】 22．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为平面平面，又平面平面，又面， 所以平面；取边的中点记为，则； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，所以； （2）由（1），，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面的所成角的正弦值为； （3）设，其中， ，， ，， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即； 则点到平面的距离， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 23．（24-25高二下·湖北·月考）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面所成的角为， （I）求三棱锥的体积； （II）试问在侧面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出点到直线的距离；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（I）8；（II）存在， 【分析】（1）通过证明平面可完成证明； （2）（I）在平面内作于，连接，由面面垂性质可得平面， 据此可得，，即可得体积； （II）方法1，以OB，OC，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 假设在侧面内存在点，设，由平面，可得点N坐标，然后由向量知识可得答案； 方法2，由题可得点B在三角形内的射影N为等腰锐角三角形的外心，由（I） 可得，然后由图及勾股定理可得答案. 【详解】（1）由四边形是直角梯形，，， 可得，，从而是等边三角形， ，BD平分.∵E为的中点，，， 又，，平面，平面 平面，平面，所以平面平面. （2）（I）在平面内作于，连接，由（1）有平面， 又平面，∴平面平面. 因为平面平面，平面，平面 为与平面所成的角，则， 由题意得，，，为的中点， .又， 所以三棱锥P-BDC的体积为； （II）方法一：（向量法）以OB，OC，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标 系， 则，，，， 假设在侧面内存在点，使得平面成立， 设， 由题意得， ，， ，由，得， 解得，， 满足题意，，点N存在. ，，， 所以，，， 所以点到直线PC的距离 方法二：（传统方法）由条件可知，， 且三角形为，的等腰锐角三角形， 所以点B在三角形内的射影N为等腰锐角三角形的外心， 所以点N必在侧面PCD的内部. 由（I）知三棱锥的体积为，， 由体积转化可得，， 在直角中，由勾股定理可得， E为PC的中点， 所以点到直线PC的距离 【题型09：线面角、二面角中的探索性问题】 24．（24-25高二上·广东·期中）如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥． (1)证明：在翻折过程中总有平面平面； (2)若平面平面，线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，为上靠近的三等分点. 【分析】（1）先证平面，结合面面垂直的判定定理证得平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面所成角的余弦值来列方程，从而求得点的位置. 【详解】（1）折叠前，四边形是菱形，所以， 由分别是边的中点，所以，故， 折叠过程中且都在面， 所以面，故面，面， 所以面面. （2）当面面时，由面面，面，， 所以面，又面，故， 综上，可建立如下空间直角坐标系，则， 所以，设， 则， 所以，则，， 设面的法向量为，则， 取，则，而面的一个法向量为， 若面与面的夹角为，则，解得， 所以为上靠近的三等分点，满足题设要求. 25．（24-25高二下·四川南充·月考）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，平面，，点为的中点． (1)求证：平面平面； (2)二面角的大小； (3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角为．若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）利用中位线的性质证得，再利用线面垂直证得面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角； （3）利用向量法结合空间向量的线性运算表示出线面角，求出的系数不符合题意，即可得到结论. 【详解】（1）连接与交于点，连接， 底面为菱形，点为的中点， 点为的中点， 又平面，平面， 又平面，平面平面. （2）平面，且底面为菱形，两两垂直. 以为原点，以向量方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 底面为菱形，且，则为等边三角形， ，， 分别为的中点，， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，即， 令，则， 底面为菱形，， 平面平面，且平面平面平面， 平面， 为平面的一个法向量， 设二面角大小为， 则． 所以二面角的大小为； （3）不存在，理由如下： 因为点在线段上，设， 由可得， 则，则，则， 由题意，若直线与平面所成夹角为， 则， 整理得，解出 又因为，所以不符合题意，故线段上不存在这样的点． 26．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由线面垂直得到，进而得到线面垂直，最后得到平面平面.（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和法向量，结合点面距离公式计算即可； （3）结合（2），设，得到平面的一个法向量，结合题意，构造方程计算即可. 【详解】（1）由平面平面，则， 又，由，且平面， 所以面， 又面，所以平面平面. （2）由（1）易知，又，过作于， 由面面，面面面， 所以面， 过作，易知， 故可构建如图示空间直角坐标系. 又， 则， 所以， 若是面的一个法向量， 则解得， 所以点到平面的距离. （3）同（2）构建空间直角坐标系，易知平面的法向量 设， 于是 ， ， 设是平面的一个法向量， 则，令， 因为平面与平面所成角的余弦值为， 所以， 整理得，即或（舍） 故，所以 27．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且. (1)证明：无论取何值，总有； (2)当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值； (3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)存在；点的位置在 【分析】（1）以，，别为轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即； （2）设出平面的一个法向量，表达出，利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的值，进而求出此时的正切值； （3）假设存在，利用平面与平面所成的二面角的余弦值为，则平面与平面法向量的夹角的余弦值为，代入向量夹角公式，可以构造一个关于的方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，即， ， ∵，∴， 所以无论取何值，. （2）∵是平面ABC的一个法向量. ∴ ∴当时，取得最大值，此时，，. （3）假设存在，则，因为， 设是平面的一个法向量. 则，解得，令，得，， ∴， ∴， 化简得，解得， ∴存在点使得平面与平面所成的二面角正弦值为，此时点的位置在. 【点睛】方法点睛：在求二面角时可用分别求出两个面的法向量，在代入二面角的余弦公式求出余弦值，进而求出角度. 【题型10：折叠问题】 28．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图1，菱形的边长为2，，将沿折起至（如图2），且点为的中点. (1)证明：平面平面： (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知条件及面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，进而可求解. 【详解】（1）连接，交于点，连接，， 在菱形中，，，且既是的中点，也是的中点， 又，是等边三角形， ，， 又，，平面，平面， 平面，， ，又是的中点，， 又，、平面，平面， 平面，平面平面； （2）在边长为2的菱形中，，， 以为原点，，所在直线分别为，轴，作平而，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，， 设，， ，解得， 又折叠过程中，，，解得， ， ，， 由（1）知平而， 平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，则，，， 设平面与平面夹角为，则， 平面与平面夹角的余弦值为. 29．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析； 【分析】（1）根据全等三角形性质，利用线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质可得； （2）利用空间向量，求出平面法向量以及直线的方向向量，根据线面角与空间向量之间的关系即可求得结果； （2）设， 利用向量法能求出点的坐标，从而求出的长度． 【详解】（1）在图1连接交于点， 在图2中，知、都是等边三角形， 得，，又，平面， 可得平面； 又直线平面， 所以. （2）因为，，则在中，由， 由余弦定理得，作，垂足为，连接，得，， 如图，以的中点为原点，，，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 因此， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则； 即向量， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为， （3）假设在内存在点，使得平面成立，， 设，，， ， 由，得， 解得，不满足题意，所以不存在使得平面成立； 30．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知菱形如图①所示，其中且，现沿进行翻折，使得平面平面，再过点B作平面，且，所得图形如图②所示．     (1)求平面与平面夹角的余弦值． (2)若点P满足． （ⅰ）若平面，求λ的值； （ⅱ）若与平面所成角为θ，求的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）首先证明，，，然后以为正交基底建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，结合法向量的夹角公式即得； （2）（ⅰ）求出平面的一个法向量，利用平面，由即可求参；（ⅱ）先设，再求线面角的正弦结合函数值域计算求解. 【详解】（1）如图，取中点O，连接，； 由图①可知，、是正三角形， 所以，． 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又平面，所以． 以为正交基底建立空间直角坐标系． 可得 因为，， 设平面的一个法向量， 所以即 令，则，，所以． 平面的一个法向量， 所以平面与平面夹角的余弦值． （2）（ⅰ）设平面的一个法向量． 因为平面等价于． 因为，，，，， 因为，，，， 故，． 因为平面的一个法向量， 所以，则， 令，则，， 所以． 由， 解得； （ⅱ）因为，设，若与平面所成角为θ， ，平面的一个法向量， ， 设， ， 当时，取最小值，的最大值 【点睛】关键点点睛：解题最大值的关键是换元结合二次函数的最值得出正弦值的最大值. 31．（24-25高二下·浙江衢州·期中）如图，矩形ABCD中，．现以EF为折痕把四边形ABFE折起得到平面，并连接．    (1)若，证明：平面BEF； (2)若为的中点，，直线GE与平面所成角正弦值为． （i）试讨论在线段AD上是否存在点，使得平面GMN．若存在，请求出DN的长度；若不存在，请说明理由； （ii）求平面与平面所成锐二面角的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）存在，；（ii） 【分析】（1）由勾股定理可证得，在由，根据线面垂直判定定理证得结论； （2）（i）利用线面垂直证明面面垂直得平面平面，从而得直线GE在平面GEF射影为直线BE，由直线GE与平面所成角为，得易知为BF中点，再由面面平行得线面平行，即可得得结论；（ii）法一：建立空间直角坐标系求解平面与平面的法向量，利用空间向量坐标运算得平面与平面夹角余弦值，结合正弦函数的性质即可得结论；法二：根据平面与平面夹角的定义确定面面夹角，从而可得取最值的情况. 【详解】（1）因为， 所以，则，. 所以， 又，所以平面BEF. （2）（i）因为， 所以平面， 又平面GEF，所以平面平面， 故直线GE在平面GEF射影为直线BE， 所以直线GE与平面所成角为，易知为BF中点，. 取ED中点，连接， 则且则平面平面GMN， 所以平面GMN，故点存在， 故； （ii）因为， 所以，则，且， 所以平面． 法一：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，    则， ， 设平面一个法向量为， 则，令， 故平面一个法向量为． 又平面一个法向量， 则， 所以平面与平面所成锐二面角的平面角的取值范围为 法二：由（1）可知，平面平面GMN，要求平面与平面所成的平面角，即求平面GMN与平面所成的平面角， 记直线GN与EF交点为，取中点为T，则，故，则平面平面，    因为平面，所以平面GMN， 过点作，垂足为，连接QF，则即所求二面角 其中， 当平面ABCD时，QO取最大值， 所以平面与平面所成锐二面角的平面角的取值范围为 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$