第七章随机变量及其分布讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

选择性必修3学习材料---随机变量及分布 条件概率和全概率公式及应用 考点一：条件概率 ①条件概率 一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(A|B), 而且P(A|B). ②概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则. 我们称上式为概率的乘法公式. ③条件概率的性质 设，则 （1）如果和是两个互斥事件，则； （2）设和互为对立事件，则. 考点二：全概率公式 ①全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有，i＝1,2，…，n ②贝叶斯公式： 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，，有，i＝1,2，…，n 题型一：条件概率的计算 【例1】小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件概率公式求解即可 【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件， “小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件， 则由题意可得， 则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为 . 故选：. 【例2】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率的计算公式求解即可 【详解】记“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”， 则， 所以. 故选：C 【例3】已知，，则________. 【答案】## 【分析】由条件概率公式求解， 【详解】由题意得，而，得， 而，解得， 故答案为： 【例4】今年春季新型冠状病毒肺炎疫情又有爆发趋势，上海医疗资源和患者需求之间也存在矛盾，海安决定支持上海市.在接到上级通知后，某医院部门马上召开动员会，迅速组织队伍，在报名请战的6名医生（其中男医生4人、女医生2人）中，任选3人奔赴上海新冠肺炎防治一线． (1)求所选3人中恰有1名女医生的概率； (2)设“男医生甲被选中”为事件A，“女医生乙被选中”为事件B，求和． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式即可求出． 【详解】（1）设所选3人中恰有1名女医生为事件M，， 故所选3人中恰有1名女医生的概率为. （2），，． 【题型专练】 1．已知抽奖盒中装有大小形状完全相同的奖票12张，其中一等奖2张、二等奖4张、三等奖6张.甲每次从中随机抽取一张奖票且不放回，则在他第一次抽到的是一等奖的前提下，第二次抽到三等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】记事件为第一次抽到的是一等奖，则； 事件为第二次抽到的是三等奖，则， 所以. 故选：C 2．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山四个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，记事件为“甲和乙至少一人选择庐山”，事件为“甲和乙选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别计算出和，再利用条件概率公式计算即可. 【详解】由题意知事件： “甲和乙至少一人选择庐山”包含种情况， 事件： “甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山”包含种情况，所以. 故选：D. 3．某中学开展“党史学习”闯关活动，各选手在第一轮要进行党史知识抢答的比拼，第二轮进行党史知识背诵的比拼．已知某同学通过第一轮的概率为0.8，在已经通过第一轮的前提下通过第二轮的概率为0.5，则该同学两轮均通过的概率为______． 【答案】## 【分析】利用条件概率公式，计算可得答案. 【详解】设该同学通过第一轮为事件，通过第二轮为事件， 故，，则两轮都通过的概率为： 根据题意，利用条件概率公式， 该同学在已经通过第一轮的前提下通过第二轮的概率为： ， 故该同学两轮都通过的概率为： 故答案为： 4．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为______． 【答案】 【分析】设乙命中目标的事件为，目标至少被命中1次的事件为，根据条件概率公式计算得到答案. 【详解】设乙命中目标的事件为，目标至少被命中1次的事件为， 则，. . 故答案为： 5．从，，，，中，甲、乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的数是的倍数，则甲取到的数大于乙取到的数的概率为______． 【答案】 【分析】利用条件概率公式计算即可. 【详解】解：设事件表示“甲取到的数比乙大”，事件表示“甲取到的数是5的倍数”， 则甲取到的数是5的倍数，甲取到的数大于乙取到的数的概率为， ， ， 所以， 即甲取到的数大于乙取到的数的概率为. 故答案为：. 题型二：全概率公式及应用 【例1】已知，，，则（　　） A． B． C．0.33 D．0.1 【答案】A 【分析】根据已知利用全概率公式得，即可求解. 【详解】解：由全概率公式可得： 可得，解得：. 故选：A. 【例2】盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设事件“第一次抽出的红球”为A，事件“第二次抽出的是红球”为B，则，再利用全概率公式求解. 【详解】解：设事件“第一次抽出的红球”为A，事件“第二次抽出的是红球”为B， 则， 由全概率公式得， 由题意得， ， 所以， 故选：B 【例3】一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是___________. 【答案】## 【分析】由全概率公式求出考生答对的概率，再由条件概率公式求他答对条件下，他确实知道正确答案的概率. 【详解】设表示“考生答对”，表示“考生知道正确答案”，由全概率公式得 故 故答案为： 【例4】某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中. (1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率； (2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，分别求出概率，根据全概率公式即可 （2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，则､､彼此互斥，求出相关的概率， 再根据条件概率求解即可. 【详解】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，，2， ，， 由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为： ； （2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”， 则､､彼此互斥，且， ， ， ， ， ， ， 所求概率即是发生的条件下发生的概率：. 【题型专练】 1．盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球.则第二次取出的球是白色的概率为______. 【答案】 【分析】根据全概率公式求解可得. 【详解】设事件为“第一次抽到白球”，事件为“第二次抽到白球”， 则，所以， 由题可得，，，， 所以. 故答案为：. 2．（多选题）甲盒子中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙盒子中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，分别以，和表示由甲盒子取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙盒子中随机取出一球，以表示由乙盒子取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ） A．，，是两两互斥的事件 B． C．事件与事件相互独立 D． 【答案】AD 【分析】根据的意义可求其概率，从而可判断D的正误，根据全概率公式可计算，故可判断B的正误，根据独立事件的乘法公式和互斥事件的定义可判断AC的正误. 【详解】， 又，故D正确. 故 ，故B错误. ，故， 所以事件与事件不相互独立，故C错误， 根据互斥事件的定义可得两两互斥，故A正确. 故选：AD 3．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍． (1)求任意取出1个零件是合格品的概率； (2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 【答案】(1)；(2)0.25 【分析】（1）设表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”，再根据概率的公式求解即可； （2）同（1），结合条件概率的公式求解即可. （1） 设表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”． ． （2） ． 4．两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取一件． (1)求这件产品是次品的概率； (2)已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设事件为“取到的产品是次品”，为“取到的产品来自第批”，利用条件概率公式可得的值； （2）利用条件概率的性质和公式可求得所求事件的概率. (1) 解：设事件为“取到的产品是次品”，为“取到的产品来自第批”． 则，，，， 由全概率公式，所求概率为 ． (2) 解：所求概率为. 5．“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000多年的历史．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有4个蛋黄馅的“青团”和3个肉松馅的“青团”，乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”和2个肉松馅的“青团”． (1)若从甲箱中任取2个“青团”，求这2个“青团”馅不同的概率； (2)若先从甲箱中任取2个“青团”放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个“青团”，求取出的这个“青团”是肉松馅的概率． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）应用古典概率的求法求2个“青团”馅不同的概率即可. （2）利用全概率公式求乙箱中任取1个‘青团’，取出的这个‘青团’是肉松馅的概率. (1) 从甲箱中任取2个“青团”的事件数为， 这2个“青团”馅不同的事件数为， 所以这2个“青团”馅不同的概率为． (2) 设事件A为“从乙箱中任取1个‘青团’，取出的这个‘青团’是肉松馅”， 事件为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是蛋黄馅”， 事件为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是肉松馅”， 事件为“从甲箱中取出的2个‘青团’为1个蛋黄馅1个肉松馅”， 则彼此互斥． ，，， ， 所以， 所以取出的这个“青团”是蛋黄馅的概率为． 离散型随机变量的分布列及其性质 考点一： 随机变量的基本概念 ①随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.常用希腊字母、等表示． ②离散型随机变量的概念：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． ③连续型随机变量的概念：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量． 考点二： 离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为 x1，x2，…，x3，…， ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表 ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列． 注：分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足：，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ①，； ②，． 题型一：随机变量概念 【例1】袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（    ）． A．至少取到1个白球 B．取到白球的个数 C．至多取到1个白球 D．取到的球的个数 【答案】B 【分析】根据随机变量的定义进行求解. 【详解】根据随机变量的定义，选项B是随机变量，其可能取值为0,1,2, 其他三个选项均不能作为随机变量. 故选：B 【例2】甲、乙两班进行足球对抗赛，每场比赛赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，共进行三场．用表示甲的得分，则表示（    ）． A．甲赢三场 B．甲赢一场、输两场 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次 【答案】D 【分析】表示甲队得分为3分这个事件，可以直接列举情况即可. 【详解】由于赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分， 所以可以分成两种情况，即或， 即甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次． 故选：D． 【例3】袋中装有除颜色外，质地大小完全相同的4个小球，其中有1个红球、3个白球，从中任意取出1个观察颜色，取后不放回，如果取出的球的颜色是红色，则停止取球，如果是白色，则继续取球，直到取到红球时停止，记停止时的取球次数为，则所有可能取值的集合为______，的意义为______． 【答案】          第一次取到白球，第二次取到红球, 并且停止取球. 【分析】根据取球的过程和随机变量的意义可得答案. 【详解】若第一次取到红球，则停止取球，此时， 若第一次取到白球，第二次取到红球，则停止取球，此时； 若第一次和第二次都取到白球，第三次取到红球，则停止取球，此时； 若前次都取到白球，则第四次必取到红球，则停止取球，此时； 综上所述：所有可能取值的集合为. 的意义为第一次取到白球，第二次取到红球，并且停止取球. 故答案为：；第一次取到白球，第二次取到红球，并且停止取球. 【题型专练】 1．先后抛掷一个骰子两次，记随机变量ξ为两次掷出的点数之和，则ξ的取值集合是（    ） A．｛1，2，3，4，5，6｝ B．{2，3，4，5，6，7} C．{2，4，6，8，10，12} D．{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} 【答案】D 【分析】根据随机变量ξ的确定其可能取值即可. 【详解】因为随机变量ξ表示两次掷出的点数之和， 所以ξ的取值可能为：2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12， 故ξ的取值集合是{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}， 故选：D. 2．袋中装有5个红球、10个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球后则另外换1个红球放回袋中，直到取得红球为止.若抽取的次数为，则表示事件“放回3个红球”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到“放回3个红球”表示的含义，由此即可得到答案. 【详解】因为“放回3个红球”表示前3次摸到的都是黑球，第4次摸到红球， 所以X=4. 故选：C 3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比賽，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则表示______. 【答案】所选3人中至多有1名女生 【分析】根据包含或，结合题意分析即可. 【详解】包含两种情况：或. 故表示所选3人中至多有1名女生. 故答案为：所选3人中至多有1名女生. 题型二：离散型随机变量与连续型随机变量 【例1】下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（    ） ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数； ②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离； ③某同学射击3次，命中的次数； ④某电子元件的寿命； A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答. 【详解】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量； 对于②，沿直线进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量； 对于③，某同学射击3次，命中的次数可以一一列举出来，故③是离散型随机变量； 对于④，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量； 故选：C. 【例2】下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ； ②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η； ③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X； ④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y； 其中是离散型随机变量的为（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答. 【详解】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量； 对于②，沿直线y＝2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量； 对于③，5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量； 对于④，某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量， 所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③. 故选：C 【题型专练】 1．下面是离散型随机变量的是（    ） A．电灯炮的使用寿命 B．小明射击1次，击中目标的环数 C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值 D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置 【答案】B 【分析】变量的取值是随机出现且可一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量，据此逐项判断即可. 【详解】对于A，电灯炮的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意； 对于B，小明射击1次，击中目标的环数是变量，且其取值为，故X为离散型随机变量，故B符合题意； 对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值是变量，但无法一一列举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意； 对于D，一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置是变量，但无法一一列举出其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意. 故选：B. 2．（多选题）下列随机变量中属于离散型随机变量的是（    ） A．某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X B．测量一个年级所有学生的体重，在60kg~70kg之间的体重记为X C．测量全校所有同学的身高，在170cm~175cm之间的人数记为X D．一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X 【答案】AC 【分析】根据离散型随机变量的定义知，离散型随机变量是可以列举的；连续型随机变量 不能一一列举。 【详解】电话1小时内使用的次数是可以列举的，是离散型随机变量，选项A正确； 体重无法一一列举，选项B不正确； 人数可以列举，选项C正确； 数轴上的点有无数个，点的位置是连续型随机变量；选项D不正确； 故选AC. 题型三：离散型随机变量分布列 【例1】从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为：___________． 0 1 2 【答案】见解析 【分析】离散型随机变量的分布列根据等可能事件的概率计算即可. 【详解】根据题意由等可能事件的概率计算公式可知： ， 故答案为： 0 1 2 【例2】袋中装有一些大小相同的球，其中标号为1号的球1个，标号为2号的球2个，标号为3号的球3个，，标号为号的球个.现从袋中任取一球，所得号数为随机变量，若，则______. 【答案】9 【分析】本题为古典概型，求出袋中求的总数量，即可表示出，根据即可计算出n的值﹒ 【详解】由题意可知，所有球的个数为， 由古典概型的概率公式可得，解得n＝9． 故答案为：9． 【题型专练】 1．某城市为了加快“两型社会”（资源节约型，环境友好型）的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式求解. （2）利用相互独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式计算概率，再按步骤写出离散型随机变量的分布列. （1） 由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，， 租车费相同，即两人都在同一时间段还车， 标记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A， 则， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为． （2） 由题可知，X可能取的值有0，2，4，6，8，且 ； ； ； ； ． 所以甲、乙两人所付的租车费用之和X的分布列为 X 0 2 4 6 8 P 题型四：离散型随机变量分布列的性质 【例1】设随机变量的分布为，则______． 【答案】 【分析】利用题意得到的分布，然后利用概率之和为1得到，即可求出答案 【详解】解：由题意知，的分布为， 所以，解得， 所以， 故答案为：． 【例2】已知随机变量X的概率分布为：，其中是常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质概率和为可求出，再根据即可解出． 【详解】因为，即，解得：，所以，． 故选：A． 【题型专练】 1．已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）： X 0 1 2 3 4 5 P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1 则等于（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】C 【分析】先由各个概率和为1可求出，再由可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 2．若离散型随机变量X的分布列为，，则a的值为（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】由概率和为1直接求解即可. 【详解】由解得. 故选：B. 3．设随机变量的概率分布为，为常数，，，，，则 ______ ． 【答案】 【分析】由概率之和为1以及数列求和公式即可求解. 【详解】由题意知：随机变量的所有可能取值的概率和为1， 即， 则， 由等比数列的求和公式，得， 所以，得. 故答案为： 离散型随机变量的期望方差及其性质 考点一：离散型随机变量的期望 ①期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 … … P … … 则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望. 数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. ②随机变量的数学期望： ξ 0 1 P q p ③单点分布：其分布列为：. ④两点分布：，其分布列为：（p + q = 1） ⑤二项分布： 其分布列为～.（P为发生的概率） ⑥几何分布： 其分布列为～.（P为发生的概率） 考点二：离散型随机变量的方差、标准差 ①当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差. 显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小. ②方差的性质. ⑴随机变量的方差.（a、b均为常数） ③期望与方差的关系. ⑴如果和都存在，则 ⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则 ⑶期望与方差的转化： ⑷（因为为一常数）. 题型一：离散型随机变量的期望 【例1】在采用五局三胜制（先取得三局胜利的一方，获得最终胜利）的篮球总决赛中，当甲队先胜2场时，因疫情暴发不得不中止比赛.已知甲､乙两队水平相当，每场甲､乙胜的概率都为，总决赛的奖金为80万元，总决赛的胜者获得全部奖金.根据我们所学的概率知识，甲队应分得的奖金为（    ）万元. A．80 B．70 C．50 D．40 【答案】B 【分析】奖金额的值为0和80，计算出概率后由期望公式计算出期望即得． 【详解】设甲队应分得的奖金为万元，则，80，. 故选：B． 【例2】一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个红球，小明从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记1分，摸到一个红球记2分，则小明总得分的数学期望等于（    ） A．3.8分 B．4分 C．4.2分 D．4.4分 【答案】C 【分析】确定的取值，求出概率，由期望公式计算期望． 【详解】由题意的取值是3，4，5， ，，， ， 故选：C． 【例3】从一批含有6件正品和4件次品的10件产品中随机抽取2件产品进行检测，记随机变量X为抽检结果中含有的次品件数，则随机变量X的期望________． 【答案】## 【分析】根据题意，确定随机变量X的可能取值，再求出每个变量对应的概率即可求解. 【详解】由题意可知：X的可能取值为， ，， ， 所以， 故答案为：. 【例4】现有甲、乙、丙、丁等6人去参加新冠疫苗的接种排队，有A、B、C、D 4个不同的窗口供排队等候接种，每个窗口至少有一位同学等候． (1)求甲、乙两人在不同窗口等候的概率； (2)设随机变量X表示在窗口A排队等候的人数，求随机变量X的期望． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先利用排列组合求出事件得总数及甲乙排在一起的情况得数量，再根据古典概型及对立事件得概率公式即可得解； （2）先写出随机变量的取值，再求出对应随机变量的概率，再根据期望公式进行求解． 【详解】（1）解：总数为， 其中甲乙排在一起的情况为：， 故甲、乙两人在不同窗口等候的概率为； （2）解：可取， ， ， ， 所以. 【题型专练】 1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，根据题意设出事件，求出对应的概率，然后直接求解期望即可. 【详解】由题意，随机变量X的可能取值是2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为， 若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响， 所以， , ， 所以期望为． 故选：B． 2．袋中装有大小与质地相同的5个红球、m个白球，现从中任取2个球．若取出的两球都是红球的概率为，记取出的红球个数为X，则______． 【答案】## 【分析】由题意可知即可求m，由，利用古典概型的概率求法求、、，即可求. 【详解】由题意知：，整理得， ∴， 由，则，，， ∴. 故答案为：. 3．农历五月初五是我国的传统节日——端午节，为纪念伟大的爱国诗人屈原，民间有吃粽子的习惯，粽子也就成为了我们生活中的一种美食.设一盘中装有6个粽子，其中豆粽、肉粽、白粽各2个，这三种粽子的外观完全相同．小明从中任取2个吃，吃完这2个，若是吃到了肉粽就不再吃了；若是还没吃到肉粽，就再从剩下的4个中任取1个吃，吃完这个不管是否吃到肉粽都不再吃了. (1)求小明吃到肉粽的概率； (2)设X表示取到的肉粽个数，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1)；(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据先吃的两个有无肉粽计算出迟到肉粽的概率. （2）根据吃到肉粽的个数以及古典概型概率计算公式计算出分布列并求得数学期望. 【详解】（1）小明吃到肉粽的概率为. （2）∵　X的所有可能取值为0，1，2， 且，，． ∴X的分布列为 Ｘ 0 1 2 ． 4．某人花了元预定2023年杭州亚运会开幕式门票一张，另外还预定了两张其他门票，根据亚奥理事会的相关规定，从所有预定者中随机抽取相应数量的人，这些人称为预定成功者，他们可以直接购买门票，另外，对于开幕式门票，有自动降级规定，即当这个人预定的元门票未成功时，系统自动使他进入b元开幕式门票的预定.假设获得a元开幕式门票的概率是0.1，若未成功，仍有0.2的概率获得b元开幕式门票的机会，获得其他两张门票中的每一张的概率均是0.5，且获得每张门票之间互不影响. (1)求这个人可以获得亚运会开幕式门票的概率； (2)假设这个人获得门票总张数是，求的分布列及数学期. 【答案】(1)；(2)分布列见解析； 【分析】（1）由独立事件概率乘法公式即可求得获得开幕式门票的概率； （2）由题意确定的可能取值，再利用独立事件概率乘法公式求得每个取值对应的概率，从而求得的分布列，进而求得数学期. 【详解】（1）依题意得，获得元开幕式门票的概率为0.1，则未获得元开幕式门票的概率为0.9， 获得b元开幕式门票概率为0.2， 则获得开幕式门票的概率为. （2）依题意得，的可能取值为， 则，，，， 故的分布列为： 则. 题型二：离散型随机变量的方差 【例1】若随机变量X的概率分布表如下： X 0 1 P 0.4 则（    ） A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16 【答案】C 【分析】根据分布列的数学期望和方差公式直接求解. 【详解】根据概率的性质可得， 所以， 所以， 故选:C. 【例2】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.求： (1)的分布； (2)的期望与方差. 【答案】(1)答案见解析；(2)， 【分析】（1）由题，根据超几何分布求解即可； （2）根据期望与方差公式求解即可. 【详解】（1）解：所选女生人数的所有可能取值为， ； ； . 所以，选3个人中女生人数的概率分布为： 0 1 2 （2）解：由（1）知， 【题型专练】 1.（多选题）已知下表为离散型随机变量X的分布列，其中，下列说法正确的是（    ） X 0 1 2 P A． B． C．有最大值 D．有最小值 【答案】AC 【分析】利用分布列的性质以及期望与方差公式，列出表达式，结合函数的性质判断选项的正误即可. 【详解】由题意可知 ，即 ，所以A正确. ，所以B不正确. ， 是开口向下的二次函数. 所以 在 上单调递增，在上单调递减， 所以有最大值，无最小值. 所以C正确，D不正确. 故选：AC. 2．冬奥会志愿者有名男同学，名女同学.在这名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的所大学.现从这名志愿者中随机选取名同学，到机场参加活动.每位同学被选中的可能性相等. (1)求选出的名同学是来自互不相同的大学的概率； (2)设为选出的名同学中女同学的人数，求随机变量的期望和方差． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）求出选出的名同学是来自互不相同大学的情况种类，除以从10名学生选出4名的情况种类即为答案；（2）求出X的可能取值，利用超几何分布求概率公式求出对应的概率，写出分布列，求出期望和方差 (1) 设“选出的名同学是来自互不相同大学”为事件，  则， 所以选出的名同学是来自互不相同大学的概率为； (2) 随机变量的所有可能值为，，，，4. ， ∴，， ，，. 所以随机变量的分布列是：  4 = ． 题型三：离散型随机变量的期望方差的性质 【例1】已知随机变量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数学期望与方差的性质求解 【详解】，得， ，得， 故选：B 【例2】（多选题）设离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据分布列的性质求得参数，结合分布列求得，再结合期望和方差的性质，即可判断和选择. 【详解】对A：由，解得，故A正确； 对B：， ，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：ABC. 【例3】已知离散型随机变量X的取值为有限个，，，则______． 【答案】## 【分析】根据题意和方差公式，以及方差的线性公式即可求解. 【详解】因为， 由， 得. 故答案为：. 【题型专练】 1．已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方差和期望的性质即可求解. 【详解】根据方差和期望的性质可得：,, 故选：D 2．已知随机变量满足，则（    ） A．或4 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据均值的性质可得，则即为，解方程求得答案. 【详解】因为，所以， 解得或（舍去）, 故选：D 3．离散型随机变量X的分布为： 0 1 2 4 5 若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为______． ①；②；③；④． 【答案】①③ 【分析】根据分布列的性质，求得，利用期望和方差的公式，求得的值，进而根据，进而求得的值，即可求解. 【详解】由离散型随机变量X的分布列的性质，可得， 则， ， 所以①③正确； 又由离散型随机变量Y满足，所以， ，所以②④错误， 故答案为：①③． 两点分布、二项分布及超几何分布 考点一：两点分布： X 0 1 P 1-P P 考点二：独立重复实验 ①独立重复实验的定义 一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． ②独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 一般地，如果在1次实验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率，k＝0,1,2，…，n. 考点三：二项分布 ①二项式分布 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，则事件恰好发生次的概率为，k＝0,1,2，…，n.则称随机变量服从二项分布,记作,并称为成功概率. ②判断一个随机变置是否服从二项分布，看两点 1.是否为n次独立重复试验， 2.随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数． 考点四：超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则,其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，则称分布列 X 0 1 … m P … 为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布. 考点五：二项式分布与超几何分布的区别和联系 超几何分布和二项分布的相同点为：随机变量均是取连续非负整数值的离散型分布列． 超几何分布和二项分布最明显的区别有两点： ①超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取，也就是说二项分布中每个事件之间是相互独立的，而超几何分布不是； ②超几何分布需要知道总体的容量，也就是总体个数有限；而二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”． 超几何分布和二项分布二者之间也有联系：当总体很大时，超几何分布近似于二项分布，或者说超几何分布的极限就是二项分布． 题型一：两点分布的概念及分布列 【例1】（多选题）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（    ） A．抛掷一枚骰子，所得点数 B．某射击手射击一次，击中目标的次数 C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球､3个白球的袋中任取1个球，设 D．某医生做一次手术，手术成功的次数 【答案】BCD 【分析】由两点分布的定义依次判断，即得解 【详解】由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布， 而抛掷一枚骰子，所得点数的取值为1，2，3，4，5，6，所以A中的随机变量不服从两点分布. 故选:BCD 【例2】设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（    ） A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.7 【答案】C 【分析】根据两点分布概率性质可得解. 【详解】随机变量服从两点分布，， 根据两点分布概率性质可知：， 解得. 故选：C. 【题型专练】 1．（多选题）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（    ）． A．抛掷一枚骰子，所得点数X B．某射手射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分，射手的得分X C．从装有5个红球，3个白球的袋子中取1个球，定义：“取出白球”，“取出红球” D．某医生做一次手术，手术成功的次数X 【答案】CD 【分析】利用两点分布的定义，逐项分析判断即可作答. 【详解】两点分布又叫0-1分布，试验结果只有两个，并且随机变量的取值只有0，1两个，C，D满足题意； 抛掷一枚骰子，所得点数X可能的结果为1，2，3，4，5，6，共6个，不是两点分布，A不满足题意； 某射手射击一次的试验结果有两个，但随机变量X的取值是0，2，B不满足题意． 故选：CD 2．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么_________． 【答案】 【分析】根据两点分布得基本性质即可求解 【详解】由题意得，当时，即， 所以 故答案为： 3．已知X服从参数为0.3的两点分布，则________；若，则________. 【答案】     0.7##     0.3## 【分析】根据两点分布的基本性质即可求解. 【详解】因为服从参数为0.3的两点分布， 所以， . 当时，，所以. 故答案为：0.7，0.3 题型二：两点分布的期望方差 【例1】已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ） A．0 B．1 C．0.3 D． 【答案】D 【分析】直接利用两点分布的性质，即可得出结论, 【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为， . 故选：D. 【例2】若随机变量服从两点分布，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定，求出期望，继而根据方差的公式求得答案。 【详解】由题意可知，， 则， 故， 故选：A 【例3】（多选题）若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据随机分布的定义和随机分布的期望方差计算进行求解即可. 【详解】对于选项A：随机变量X服从两点分布，因为 故，故选项A正确； 对于选项B：，故选项B错误； 对于选项C：，故选项C正确； 对于选项D：，故D正确. 故选：ACD 【题型专练】 1．若随机变量服从两点分布，其中，则和的值分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据两点分布求出，再应用期望、方差公式求、，最后根据期望、方差的性质求结果. 【详解】由于服从两点分布，，， 因此，， 所以，． 故选：B． 2．设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】D 【分析】由题意可得，再结合，可求出，从而可求出 【详解】由题意得， 因为， 所以解得， 所以， 故选：D 3．随机变量的概率分布为，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的性质及期望公式得到方程组，求出，，再根据两点分布的方差公式计算可得； 【详解】解：由题意，得，∴，． 由题意知随机变量服从参数为的两点分布，故． 故选：D 题型三：独立重复实验发生k次的概率 【例1】若某射手每次射击击中目标的概率均为，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用独立重复实验的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】他连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为. 故选：B. 【例2】设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为、、． (1)三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率； (2)若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率． 【答案】(1)至少有一人命中目标的概率为，恰有两人命中目标的概率为；(2) 【分析】（1）利用对立事件、互斥事件、独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）解：三人各向目标射击一次，至少有一人命中目标的概率为, 恰有两人命中目标的概率为. （2）解：若甲单独向目标射击三次，则他恰好命中两次的概率为. 【题型专练】 1．（多选题）某同学投篮1次，投中的概率是0.8，他连续投篮4次，且他每次投篮互不影响，则下列四个选项中，正确的（    ） A．他第3次投中的概率是0.8 B．他恰投中3次的概率是 C．他至少投中1次的概率是 D．他恰好有连续2次投中的概率为 【答案】AC 【分析】利用相互独立事件的概率和独立重复试验的概率公式判断即可. 【详解】A选项：投篮1次，投中的概率为0.8，所以第3次投中的概率为0.8，故A正确； B选项：恰投中3次的概率为，故B错； C选项：至少投中1次对立事件为都没有投中，所以至少投中1次的概率为，故C正确； D选项：恰好有连续2次投中的概率为，故D错. 故选：AC. 2．一枚均匀的硬币连续抛掷三次，至少出现一次正面朝上的概率为___________． 【答案】##0.875 【分析】“至少出现一次正面朝上”的对立事件为“全部为反面”，求出其概率，从而得到答案． 【详解】“至少出现一次正面朝上”的对立事件为“全部为反面”， 事件“全部为反面”的概率为， 故至少出现一次正面朝上的概率为， 故答案为：． 3．现对一批设备的性能进行抽检，第一次检测每台设备合格的概率是0.5，不合格的设备重新调试后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.6，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理. 设每台设备是否合格相互独立，则每台设备报废的概率为___________.检测3台设备，则恰有2台合格的概率为___________. 【答案】     0.2；     0.384 【分析】①设备报废即连续两次检测都不合格，则可得每台设备报废概率； ②由①得出每台设备合格的概率P， 即可由独立重复试验概率公式求得概率 【详解】①设备报废即连续两次检测都不合格，则每台设备报废概率为：； ②每台设备合格的概率，每台设备是否合格相互独立， 则检测3台设备，则恰有2台合格的概率为. 故答案为：0.2；0.384. 题型四：二项分布的概念 【例1】已知随机变量服从二项分布，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二项分布的概率公式计算． 【详解】． 故选：D． 【例2】下列说法正确的个数是（    ）． ①某同学投篮的命中率为，他次投篮中命中的次数是一个随机变量，且服从二项分布； ②某福彩中奖概率为，某人一次买了张彩票，中奖张数是一个随机变量，且服从二项分布； ③从装有大小与质地相同的个红球、个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且服从二项分布． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】利用独立重复实验的概率模型，判断3个命题的真假，推出结果即可． 【详解】解：①某同学投篮投中的概率，该运动员重复次投篮， 则命中次数服从二项分布，正确； ②福彩中奖概率为，某人一次买了张，中奖张数是一个随机变量， 满足二项分布；所以②正确； ③从装有个红球、个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止， 则摸球次数是随机变量，则的可能取值为、、、、、， 且，，，，，， 不是二项分布，所以③不正确； 故选：C． 【例3】已知随机变量，Y服从两点分布，若，，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【分析】利用二项分布的概率公式可求p,然后利用两点分布概率公式计算可得结果. 【详解】随机变量,， 解得（舍去，注意：），． 故选:C． 【例4】某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】次独立重复实验，故概率为. 【题型专练】 1．设，其中，且，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布概率公式求得，再根据二项分布概率公式求解即可. 【详解】解：根据题意得，即， 解得或（舍去）， 故. 故选：D 2．若随机变量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用二项分布的概率公式求解. 【详解】由二项分布的概率公式得. 故选：A 【点睛】本题主要考查二项分布的概率公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出． 【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，为取得次品的次数，则, ,选择D答案． 【点睛】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题． 4．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)求甲正确完成两个面试题的概率； (2)求乙正确完成面试题数的分布列． 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【分析】设考生甲正确完成题数为，则取值分别为，，，；乙正确完成题数，取值分别为，，，求出取每个值时的概率，即得分布列． 【详解】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是． . （2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是． ，，，． 应聘者乙正确完成题数的分布列为 题型五：二项分布的期望方差 【例1】若离散型随机变量，，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的期望公式及二项分布的概率公式即得. 【详解】因为， 所以，得， 所以 . 故选：C. 【例2】某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题道，已知该同学每道题答对的概率为，则该同学答对题目数量的数学期望和方差分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件确定该同学答对题目数量的分布列，再由二项分布的期望和方差公式求随机变量的期望及方差. 【详解】设该同学答对题目数量为，因为该同学每道题答对的概率为，共答道题， 所以， 所以，， 故选：C. 【例3】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (2)任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 【答案】(1)0.9；(2)分布列见详解， 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式结合对立事件运算求解；（2）根据题意结合二项分布的概率和期望运算求解. 【详解】（1）任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B， 由题意可知：事件A与B事件独立，，则， 任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率， 故任选1名下岗人员，该人参加过培训的概率 （2）由题意结合（1）可知：3人中参加过培训的人数服从二项分布，则， ，， ，， 的分布列： 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 的期望. 【题型专练】 1．已知随机变量X服从二项分布，若，则等于（    ） A． B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】根据二项分布的数学期望和方差公式，再结合数学期望和方差性质求解即可. 【详解】随机变量X服从二项分布，， 因为，所以. 因为， 所以. 故选：D 2．（多选题）已知随机变量，则（    ） A． B． C．从装有3个红球、9个黑球的袋中一次性摸出3个球，则可表示摸出的红球个数 D．桐人和茅场晶彦进行3场决斗，且桐人每场决斗的胜率均为（不存在平手），则可表示桐人的胜场数 【答案】AD 【分析】根据二项分布求期望和方差的公式求出期望和方差； 根据超几何分布和二项分布特征得到C为超几何分布，D为二项分布. 【详解】，A正确； ，B错误； 超几何分布：描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）； 二项分布：n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p； 故C选项中的X符合超几何分布，C错误；D正确． 故选：AD． 3．已知随机变量，若X服从二项分布，则、分别为______． 【答案】；## 【分析】由X服从二项分布，可求出，再根据，结合期望与方差的性质求解即可． 【详解】服从二项分布， 又，则， 故答案为：， 4．为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，几对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据． 时间 人数 6 30 35 19 6 4 (1)从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率； (2)估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数； (3)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)；(2)；(3)分布列见解析，. 【分析】（1）由频率估计概率即得； （2）设中位数为，由中位数定义知，即得； （3）由题可得，然后利用二项分布的概率公式可得概率，进而可得分布列及期望. 【详解】（1）由表格数据可知：学生每日使用手机的时间小于36min共有人， 所求概率； （2）设中位数为， 由表格数据知：使用手机的时间小于分钟的频率为，使用手机的时间小于分钟的频率为， 故， ， 解得：， 即估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数为； （3）由题可得学生每日使用手机的时间在内的概率为， 则， 所以, , , , 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 题型六：超几何分布的概率 【例1】设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据超几何分布的概率公式即可求解. 【详解】从袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球共有种取法， 恰好有6个红球，则有4个白球，故取法有中， 由古典概型的概率公式得概率为. 故选：D 【例2】袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（    ） ①取出的最大号码服从超几何分布； ②取出的黑球个数服从超几何分布； ③取出2个白球的概率为； ④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 A．①② B．②④ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取可判断①②；利用超几何分布求概率的方式即可判断③④ 【详解】对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误； 对于②，取出的黑球个数符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确； 对于③，取出2个白球的概率为，故③错误； 对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大， 总得分最大的概率为，故④正确． 故选：B 【例3】厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家对一批产品发给商家时，商家按规定拾取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这批产品： (1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.3，从中任意取出4种进行检验，求至少有1件是合格产品的概率； (2)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家检验出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率． 【答案】(1)0.7599；(2)答案见详解. 【分析】（1）由对立事件概率公式及产品合格的概率为0.3，即可求出从产品中任意取出件进行检验至少有件是合格的概率； （2）根据超几何分布求出对应的概率，结合对立事件概率公式，即可求得结果. 【详解】（1）记“厂家任取件产品检验，其中至少有件事合格品”为事件A 用A的对立事件来算，有； （2）设商家检验出不合格产品的件数为，则的可能取值为0,1,2， ， ， ， 所以商家检验出不合格产品为1件、2件的概率分别为、； 记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件， 则商家拒收这批产品的概率 所以商家拒收这批产品的概率为. 【题型专练】 1．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用超几何分布概率求解. 【详解】在含有3件次品的50件产品中，任取2件， 则至少取到1件次品的概率为， 故选：D 【点睛】本题主要考查超几何分布概率的求法，属于基础题. 2．（多选题）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B．随机变量X服从二项分布 C．随机变量X服从超几何分布 D． 【答案】ACD 【分析】由题意知随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可． 【详解】解：由题意知随机变量服从超几何分布，故错误，正确； 的取值分别为0，1，2，3，4，则，， ，，， ， 故，正确． 故选：． 题型八：超几何分布的期望方差 【例1】某冷饮店的冰淇淋在一天中销量为200个，三种口味各自销量如表所示：把频率视作概率，从卖出的冰淇淋中随机抽取10个，记其中草莓味的个数为X，则（       ） 冰淇淋口味 草莓味 巧克力味 原味 销量（个） 40 60 100 A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】按照所给的数据，卖出草莓味冰淇淋的频率为 ，抽取的草莓味的冰淇淋个数分布列服从超几何分布，按照超几何分布的公式计算即可. 【分析】由题意可得卖出草莓味冰淇淋的频率为， 由于把频率视作概率，故卖出草莓味冰淇淋的概率为， 已知Ⅹ表示抽取卖出的冰淇淋中草莓味的个数， 则X服从超几何分布，且，， ，由超几何分布的定义知，，． 所以； 故选：C． 【例2】在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B．随机变量服从二项分布 C．随机变量服从几何分布 D． 【答案】C 【分析】由题意知随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可． 【详解】解：由题意知随机变量服从超几何分布，故B错误，C正确； 的取值分别为0，1，2，3，4，则，， ，，， ， 故A，D错误． 故选：C． 【例4】（多选题）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（    ） A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布 C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知“有放回”是二项分布，“无放回”是超几何分布，故两个选项均正确；C，D选项，可进行计算判断. 【详解】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确； 对于D选项，该批产品有M件，则，，因此D正确； 对于C选项，假若C正确可得，则D错误，矛盾！故C错误． 故选：ABD. 【题型专练】 1．设个产品中有个次品，任取产品个，取到的次品可能有个，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据超几何分步的数学期望公式求解即可 【详解】由题意，个 故选：A 2．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】X服从超几何分布，求出X的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可． 【详解】X可能取1，2，3，其对应的概率为 ， ， ， ∴． 故选：A 3．一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（    ） A．二项分布，且 B．两点分布，且 C．超几何分布，且 D．超几何分布，且 【答案】C 【分析】利用超几何分布的定义判断，再利用超几何分布的期望公式求解. 【详解】解：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布得定义得服从超几何分布，所以. 故选：C 4．（多选题）在一个袋中装有大小一样的6个豆沙粽，4个咸肉粽，现从中任取4个粽子，设取出的4个粽子中成肉粽的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A．         B． C．随机变量X服从超几何分布     D． 【答案】ACD 【分析】根据题意得到随机变量的超几何分布，求得期望可判定B错误，C正确，再求得和，可判定A，D正确. 【详解】由题意，随机变量服从参数为的超几何分布，则，所以 故B错误，C正确； 又由，， 所以，所以A，D正确. 故选：ACD. 期望方差的实际应用 【例1】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. （1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率； （2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系: 年入流量 发电量最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 【答案】（1）0.9477；（2）8620, 2. 【详解】试题分析：（1）先求，，，再利用二项分布求解；（2）记水电站年总利润为（单位：万元）①安装1台发电机的情形.②安装2台发电机.③安装3台发电机，分别求出，比较大小，再确定应安装发电机台数. （1）依题意，， ，， 由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量找过120的概率为： . （2）记水电站年总利润为（单位：万元） ①安装1台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润，. ②安装2台发电机. 当时，一台发电机运行，此时， 因此， 当时，两台发电机运行，此时， 因此.由此得的分布列如下： 4200 10000 0.2 0.8 所以. ③安装3台发电机. 依题意，当时，一台发电机运行，此时， 因此； 当时，两台发电机运行，此时， 此时， 当时，三台发电机运行，此时， 因此， 由此得的分布列如下： 3400 9200 15000 0.2 0.7 0.1 所以. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台. 考点：二项分布，随机变量的均值. 【例2】2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心．为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“定点投篮”活动，方案如下： 方案一：共投9次，每次投中得1分，否则得0分，累计所得分数记为； 方案二：共进行三轮投篮，每轮最多投三次，直到投中两球为止得3分，否则得0分，三轮累计所得分数记为． 累计所得分数越多，所获得奖品越多．现在甲准备参加这个“定点投篮”活动，已知甲每次投篮的命中率为，每次投篮互不影响． (1)若，甲选择方案二，求第一轮投篮结束时，甲得3分的概率； (2)以最终累计得分的期望值为决策依据，甲在方案一，方案二之中选其一，应选择哪个方案？ 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，将甲得3分的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用互斥事件的概率公式计算即可. （2）求出甲选方案一，方案二得分的期望，再比较大小作答. （1），甲选择方案二，甲得3分的事件是3次投篮，前两球投进与最后一次才投进第2球的事件和，所以，所以第一轮投篮结束时，甲得3分的概率为. （2）选方案一，则，选方案一得分的数学期望为，选方案二，每一轮得分只有0和3，能得3分的概率为，进行三轮投篮，得3分的次数为随机变量，则，，进行三轮总得分，则选择方案二得分的期望为，显然，当，，两种方案期望相同，所以选方案一，二都可以；    当，，方案二期望大，所以甲应该选方案二；    当，，方案一期望大，所以甲应该选方案一． 【例3】某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答1道相关问题，根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级有5名选手，现从每个班级的5名选手中随机抽取3人回答这道问题．已知甲班的5人中只有3人可以正确回答这道题目，乙班的5人能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每个人对问题的回答都是相互独立的． (1)求甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道题目的概率； (2)设甲班被抽取的选手中能正确回答题目的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好． 【答案】(1)；(2)分布列见解析，，选择甲班代表学校参加比赛更好 【分析】（1）利用对立事件：甲、乙两个班抽取的6人中有1人或2人能正确回答，利用超几何分布和二项分布运算求解；（2）利用超几何分布和二项分布求分别求期望和方差，分析理解判断． (1) 设甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道问题为事件A 由于甲班5人中有3人可以正确回答这道题目，故从甲班中抽取的3人中至少有1人能正确回答这道题目 故事件为甲、乙两个班抽取的6人中有1人或2人能正确回答，具体情况为甲班1人回答正确，其他5人回答错误或甲班2人回答正确，其他4人回答错误或甲、乙两班各1人回答正确，其他4人回答错误 因为 所以 (2) X的所有可能取值为1，2，3 ，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以 因为乙班能正确回答题目的人数， 所以，即． 因为， ，， 所以甲、乙两个班级能正确回答题目的人数的期望相等，但甲班的方差小于乙班， 所以选择甲班代表学校参加比赛更好． 【例4】在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束. 现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确. （I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测. (i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数; (ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的 分布列与数学期望E(X). (II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明) 【答案】（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）． 【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解； ②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解； （2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解. 【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次； 所以总检测次数为20次； ②由题意，可以取20，30， ，， 则的分布列: 所以； （2）由题意，可以取25，30， 两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为， 则. 【题型专练】 1．现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资十万元，根据对市场120份样本数据的统计，甲项目年利润分布如下表： 年利润 1.2万元 1.0万元 0.9万元 频数 20 60 40 对乙项目投资十万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关，在每次抽查中，产品合格的概率均为，在一年之内要进行2次独立的抽查，在这2次抽查中产品合格的次数与对应的利润如下表： 合格次数 2 1 0 年利润 1.3万元 1.1万元 0.6万元 记随机变量，分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利润．将甲项目年利润的频率作为对应事件的概率． (1)求的概率； (2)某商人打算对甲或乙项目投资十万元，判断哪个项目更具有投资价值，并说明理由． 【答案】(1)；(2)甲项目更具有投资价值，理由见解析 【分析】（1）根据题意分析可知，的所有情况有：、且，再根据已知条件分别求出概率再相加即可得解； （2）求出两个随机变量的分布列和数学期望，比较数学期望可得答案, (1) 的所有情况有：、且， 因为，， 所以． (2) 因为随机变量的所有可能取值为：， ，，， 所以随机变量的分布列为： 1.2 1.0 0.9 所以． 随机变量的所有可能取值为：， ，，， 所以随机变量的分布列为： 1.3 1.1 0.6 所以． 因为，且的概率比的概率大，所以从长期投资来看，甲项目更具有投资价值． 2．某牛奶店每天以每盒元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理． （1）若牛奶店一天购进盒鲜牛奶，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：盒，）的函数解析式； （2）牛奶店老板记录了某天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表： 日需求量 频数 以这天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． ①若牛奶店一天购进盒鲜牛奶，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及均值； ②若牛奶店计划一天购进盒或盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进盒还是盒？请说明理由． 【答案】（1）；（2）①分布列见解析，均值为；②每天购进盒比较合理，理由见解析． 【分析】（1）分、两种情况分析，结合题意可得出关于的函数关系式； （2）①分析可知随机变量的可能取值有、、，结合表格计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值； ②设每天购进盒时，该牛奶店所获利润的数学期望值，与的值比较大小，即可得出结论. 【详解】（1）当时，， 当时，. 所以，函数解析式为； （2）①由（1）可知，当时，，当时，，当时，． 所以，随机变量的可能取值为、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： ； ②由①知当购进盒时，， 当购进盒时，， 设表示当天的利润，当时，，当时，，当时，，当时，， ，，，， 所以，， 因为，因此，每天购进盒比较合理. 3．某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的． (1)求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率． (2)设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为，，求随机变量，的期望，和方差，，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好． 【答案】(1) (2)，，，甲班级代表学校参加大赛更好. 【分析】（1）根据相互独立事件的概率计算公式即可求出答案； （2）结合超几何分布和二项分布，根据数学期望和方差的定义依次求出，，，，由此可求出答案． （1） 解：甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率； （2） 解：甲班级能正确回答题目人数为，则的可能取值为1，2，，， 则，． 乙班级能正确回答题目人数为，则的可能取值为0，1，2．所以， ∴，． 由，可知，由甲班级代表学校参加大赛更好． 正态分布 考点一：正态曲线 ①正态曲线：函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． ②正态曲线φμ，σ(x)＝，x∈R有以下性质： 1.曲线位于x轴上方，与x轴不相交； 2.曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； 3.曲线在x＝μ处达到最大值； 4.曲线与x轴之间的面积为1； 5.当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①； 6.当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，如图②. 考点二：正态分布的性质 ①正态分布：一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)等于正态分布曲线与轴所围成的区域面积，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为。（此时，X不是离散型随机变量，是连续型随机变量。） ② X～N(μ，σ2)中μ，σ的统计意义 1. μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝； 2. σ>0表示标准差，D(X)＝σ2 当μ一定时，σ越小，正态曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散 考点三：正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ① P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826； P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544； P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974. ②由P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974，知正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内.而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生. ③在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则. 题型一：正态曲线 【例1】甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】A 【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 【例2】已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小. 【详解】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以. 故选：C 【题型专练】 1．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，随机变量服从正态分布，且， 可得随机变量的方差为，即，所以A错误； 对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量， 所以，所以B错误； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以，所以C正确； 对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，， 即，所以D错误. 故选：C. 2．（多选题）关于正态密度曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的峰值为 C．越大，曲线越“矮胖” D．对任意，曲线与轴围成的面积总为1 【答案】ACD 【分析】根据密度曲线的解析式判断ABC，由密度曲线的特点判断D即可得解. 【详解】对于A，根据正态密度曲线可知，， ，故，所以曲线关于直线对称正确； 对于B，当时，的峰值为，故不正确； 对于C，当越大时，的峰值越小，所以曲线形状“矮胖”，故正确； 对于D，由正态曲线的特点知，曲线与轴围成的面积总为1，故正确. 故选：ACD 题型二　利用正态分布求概率 【例1】随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X＜μ＋σ)＝（    ） 附： 概率 P(μ－σ≤X＜μ＋σ) P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ) P(μ－3σ≤X＜μ＋3σ) 近似值 0.6827 0.9545 0.9973 A．0.8186 B．0.4772 C．0.84 D．0.9759 【答案】A 【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】由题意可得： ∴ 故选：A. 【例2】已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A．0.3 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】D 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】解：因为且， 所以. 故选：D 【例3】已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布的性质可得，即可得到、关于对称，从而得到方程，解得即可. 【详解】解：因为， ， 所以， 所以，解得. 故选：D 【题型专练】 1．已知随机变量X服从正态分布 ，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】D 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】随机变量X服从正态分布，所以正态分布的对称轴为 ，根据对称性可知： 故选：D 2．已知随机变量X服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性可得：，，结合题意可求，进而可求． 【详解】，则， ∴，则， ∴， 故选：C． 3．（多选题）下列说法正确的有（    ）． A．从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 B．若随机变量，则方差 C．若随机变量，，则 D．已如随机变量X的分布列为，则 【答案】BCD 【分析】根据对立事件的概率可求A,根据二项分布的方差以及方差的性质即可求解B，根据正态分布的对称性可求解C，根据随机变量的分步列即可求解D. 【详解】对于A，设至少有一名女生为事件 ，则，则，故A错误； 对于B，因为随机变量，所以， ，故B正确； 对于C，根据正态分布的性质，，所以，，故C正确； 对于D，，得， 可得，解得，所以，故D正确； 故选：BCD． 题型三：正态分布的实际应用 【例1】某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20000名学生参赛，统计得考试成绩（满分150分）服从正态分布.考试成绩140分及以上者可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为（    ）附：. A．26 B．52 C．456 D．13 【答案】A 【分析】由题意可得正态分布中的，根据正态分布的对称性结合题中数据求，即可求出答案． 【详解】考试成绩（满分150分）服从正态分布，所以，则， ， 所以可进入决赛的人数大约为人. 故选：A． 【例2】已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则下列结论中正确的是（    ） 附：随机变量服从正态分布，则 A．该校学生成绩的均值为25 B．该校学生成绩的标准差为 C．该校学生成绩的标准差为70 D．该校学生成绩及格率超过95% 【答案】D 【分析】求得该校学生成绩的均值判断选项A；求得该校学生成绩的标准差判断选项BC；求得该校学生成绩及格率的范围判断选项D. 【详解】由正态分布的定义，为期望值，为方差， 选项A：该校学生成绩的均值为70.判断错误； 选项B：该校学生成绩的标准差为.判断错误； 选项C：该校学生成绩的标准差为.判断错误； 选项D：该校学生成绩及格率，判断正确. 故选：D. 【例3】（多选题）某校对高一学生进行了一次物理测试，得到学生的物理成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀．则下列说法正确的是（    ） 参考数据：随机变量，则，，． A．该校高一学生物理成绩的方差为10 B．该校高一学生物理成绩的期望为70 C．该校高一学生物理成绩的及格率不到85% D．该校高一学生物理成绩的优秀率超过5% 【答案】BC 【分析】根据，求出高一学生物理成绩的期望为，方差为，从而A错误，B正确；利用正态分布的原则及正态分布的对称性得到成绩的及格率和优秀率，判断CD选项. 【详解】因为，所以该校高一学生物理成绩的期望为，方差为，故A错误，B正确； 因为，，而， 所以，， 所以， 故该校高一学生物理成绩的及格率不到85%，C正确； ，而， 所以，所以 该校高一学生物理成绩的优秀率不足5%，D错误； 故选：BC 【例4】已知某种袋装食品每袋质量，则随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间的约___________袋（质量单位：）.（附：，则，，）. 【答案】8186 【分析】根据正态分布的对称性及原则求出，从而求出袋装质量在区间的约有袋. 【详解】由题意得：， ， 则， 故， 则袋装质量在区间的约有袋. 故答案为：8186 【例5】为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次：每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：）根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布. (1)假设生产状态正常，记表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在之外的药品件数，求的数学期望； (2)在一天的四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果有两次或两次以上出现了主要药理成分含量在之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测. ①下面是检验员在某次抽取的20件药品的主要药理成分含量： 10.02 9.78 10.04 9.92 10.14 10.04 9.22 10.13 9.91 9.95 10.09 9.96 9.88 10.01 9.98 9.95 10.05 10.05 9.96 10.12 经计算得，，， 其中为抽取的第件药品的主要药理成分含量，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？ ②试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率（精确到0.001）. 附：若随机变量服从正态分布，则，，，，，. 【答案】(1)0.052；(2)①需对本次的生产过程进行检查； ②0.014. 【分析】（1）根据题意结合分布的对称性可得药理成分含量在之外的概率，再利用二项分布的数学期望公式计算数学期望即可； （2）①由估计得，验证表中数据即可； ②先利用二项分布的概率公式计算在一次检测中，发现需要对本次生产过程进行检查的概率，然后利用古典概型的概率计算公式确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率即可. 【详解】（1）抽取的一件药品的主要成分含量在之内的概率为0.9974， 从而主要成分在该区间之外的概率为0.0026，故， X的数学期望为. （2）①由，得估计值为， 结合样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分（9.22）含量在之外， 因此需对本次的生产过程进行检查. ②设“在一次检测中，发现需要对本次生产过程进行检查”为事件， 则， 如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，两次或两次以上出现了主要药理成分含量在区间外的药品，故概率为： ， 故确定一天中需要对原材料进行检测的概率为0.014. 【题型专练】 1．正态分布概念是由德国数学家和天文学家Moivre在1733年首先提出的，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布．早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据，对这些数据进行分析，发现这些数据变量X近似服从．若，则______． 【答案】0.09 【分析】利用正态分布图像的对称性，即可求得结果. 【详解】因为X近似服从，所以X的正态分布曲线关于对称，故. 故答案为：0.09. 2．某地有6000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为___________. 【答案】300 【分析】根据正态分布的对称性即可成绩在130分以上的概率，进而可求人数. 【详解】由正态分布曲线的对称轴为，以及可得，因此, 故130分以上的人数为. 故答案为：300 3．我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为（单位：nm）. (1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个.现从这7个零件中随机抽取3个.记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望； (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及的方差； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4nm的概率. 参考数据：若，则，，，，. 【答案】(1)分布列见解析，；(2)，；(3) 【分析】(1)结合已知条件，利用超几何分布即可求解；(2)结合已知条件，利用二项分布即可求解；(3)利用正态分布的对称性和对立事件的性质即可求解. 【详解】（1）由题意，可知可取0,，1，2，3，.则有 ，， ，. 故的分布列为： 0 1 2 3 从而的数学期望. （2）可取的值为0，1，2，3，4，5，6，则有 ； ； . 所以技术攻坚成功的概率， 因于，所以的方差. （3）由，则可知， 由于，则， 所以， 所以， 则， 记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4nm”为事件， 则. 故至少有一个零件直径大于9.4nm的概率为. 4．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）： 87  87  88  92  95  97  98  99  103  104 设这10个数据的平均值为，标准差为． (1)求与． (2)假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布． ①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零件中内径大于107cm的个数为X，求；（结果保留5位有效数字） ②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：cm），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由． 参考数据：若，则，，取． 【答案】(1)，；(2)①0.89121；②需要进一步调试，理由见解析 【分析】（1）结合已知数据，利用平均数公式和标准差公式求解即可， （2）①由Z服从正态分布，可得，然后利用二项分布的性质可求得的值，②由Z服从正态分布，可求出5个零件的内径中恰有一个不在内的概率，然后比较判断即可 （1） ， ， 则． （2） ①∵Z服从正态分布， ∴，则， ∴， ∴． ②∵Z服从正态分布， ∴， ∴5个零件的内径中恰有一个不在内的概率为． ∵， ∴试生产的5个零件的内径就出现了1个不在内，出现的频率是0.01287的15倍多， ∴根据原则，需要进一步调试． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选择性必修3学习材料---随机变量及分布 条件概率和全概率公式及应用 考点一：条件概率 ①条件概率 一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(A|B), 而且P(A|B). ②概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则. 我们称上式为概率的乘法公式. ③条件概率的性质 设，则 （1）如果和是两个互斥事件，则； （2）设和互为对立事件，则. 考点二：全概率公式 ①全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有，i＝1,2，…，n ②贝叶斯公式： 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，，有，i＝1,2，…，n 题型一：条件概率的计算 【例1】小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【例2】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【例3】已知，，则________. 【例4】今年春季新型冠状病毒肺炎疫情又有爆发趋势，上海医疗资源和患者需求之间也存在矛盾，海安决定支持上海市.在接到上级通知后，某医院部门马上召开动员会，迅速组织队伍，在报名请战的6名医生（其中男医生4人、女医生2人）中，任选3人奔赴上海新冠肺炎防治一线． (1)求所选3人中恰有1名女医生的概率； (2)设“男医生甲被选中”为事件A，“女医生乙被选中”为事件B，求和． 【题型专练】 1．已知抽奖盒中装有大小形状完全相同的奖票12张，其中一等奖2张、二等奖4张、三等奖6张.甲每次从中随机抽取一张奖票且不放回，则在他第一次抽到的是一等奖的前提下，第二次抽到三等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 2．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山四个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，记事件为“甲和乙至少一人选择庐山”，事件为“甲和乙选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 3．某中学开展“党史学习”闯关活动，各选手在第一轮要进行党史知识抢答的比拼，第二轮进行党史知识背诵的比拼．已知某同学通过第一轮的概率为0.8，在已经通过第一轮的前提下通过第二轮的概率为0.5，则该同学两轮均通过的概率为______． 4．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为______． 5．从，，，... ...，中，甲、乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的数是的倍数，则甲取到的数大于乙取到的数的概率为______． 题型二：全概率公式及应用 【例1】已知，，，则（　　） A． B． C．0.33 D．0.1 【例2】盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【例3】一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是___________. 【例4】某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中. (1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率； (2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率. 【题型专练】 1．盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球.则第二次取出的球是白色的概率为______. 2．（多选题）甲盒子中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙盒子中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，分别以，和表示由甲盒子取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙盒子中随机取出一球，以表示由乙盒子取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ） A．，，是两两互斥的事件 B． C．事件与事件相互独立 D． 3．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍． (1)求任意取出1个零件是合格品的概率； (2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 4．两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取一件． (1)求这件产品是次品的概率； (2)已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率． 5．“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000多年的历史．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有4个蛋黄馅的“青团”和3个肉松馅的“青团”，乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”和2个肉松馅的“青团”． (1)若从甲箱中任取2个“青团”，求这2个“青团”馅不同的概率； (2)若先从甲箱中任取2个“青团”放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个“青团”，求取出的这个“青团”是肉松馅的概率． 离散型随机变量的分布列及其性质 考点一： 随机变量的基本概念 ①随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.常用希腊字母、等表示． ②离散型随机变量的概念：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． ③连续型随机变量的概念：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量． 考点二： 离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为 x1，x2，…，x3，…， ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表 ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列． 注：分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足：，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ①，； ②，． 题型一：随机变量概念 【例1】袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（    ）． A．至少取到1个白球 B．取到白球的个数 C．至多取到1个白球 D．取到的球的个数 【例2】甲、乙两班进行足球对抗赛，每场比赛赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，共进行三场．用表示甲的得分，则表示（    ）． A．甲赢三场 B．甲赢一场、输两场 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次 【例3】袋中装有除颜色外，质地大小完全相同的4个小球，其中有1个红球、3个白球，从中任意取出1个观察颜色，取后不放回，如果取出的球的颜色是红色，则停止取球，如果是白色，则继续取球，直到取到红球时停止，记停止时的取球次数为，则所有可能取值的集合为______，的意义为______． 【题型专练】 1．先后抛掷一个骰子两次，记随机变量ξ为两次掷出的点数之和，则ξ的取值集合是（    ） A．｛1，2，3，4，5，6｝ B．{2，3，4，5，6，7} C．{2，4，6，8，10，12} D．{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} 2．袋中装有5个红球、10个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球后则另外换1个红球放回袋中，直到取得红球为止.若抽取的次数为，则表示事件“放回3个红球”的是（    ） A． B． C． D． 3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比賽，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则表示______. 题型二：离散型随机变量与连续型随机变量 【例1】下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（    ） ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数； ②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离； ③某同学射击3次，命中的次数； ④某电子元件的寿命； A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【例2】下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ； ②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η； ③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X； ④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y； 其中是离散型随机变量的为（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【题型专练】 1．下面是离散型随机变量的是（    ） A．电灯炮的使用寿命 B．小明射击1次，击中目标的环数 C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值 D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置 2．（多选题）下列随机变量中属于离散型随机变量的是（    ） A．某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X B．测量一个年级所有学生的体重，在60kg~70kg之间的体重记为X C．测量全校所有同学的身高，在170cm~175cm之间的人数记为X D．一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X 题型三：离散型随机变量分布列 【例1】从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为：___________． 0 1 2 【例2】袋中装有一些大小相同的球，其中标号为1号的球1个，标号为2号的球2个，标号为3号的球3个，，标号为号的球个.现从袋中任取一球，所得号数为随机变量，若，则______. 【题型专练】 1．某城市为了加快“两型社会”（资源节约型，环境友好型）的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列． 题型四：离散型随机变量分布列的性质 【例1】设随机变量的分布为，则______． 【例2】已知随机变量X的概率分布为：，其中是常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）： X 0 1 2 3 4 5 P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1 则等于（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 2．若离散型随机变量X的分布列为，，则a的值为（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 3．设随机变量的概率分布为，为常数，，，，，则 ______ ． 离散型随机变量的期望方差及其性质 考点一：离散型随机变量的期望 ①期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 … … P … … 则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望. 数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. ②随机变量的数学期望： ξ 0 1 P q p ③单点分布：其分布列为：. ④两点分布：，其分布列为：（p + q = 1） ⑤二项分布： 其分布列为～.（P为发生的概率） ⑥几何分布： 其分布列为～.（P为发生的概率） 考点二：离散型随机变量的方差、标准差 ①当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差. 显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小. ②方差的性质. ⑴随机变量的方差.（a、b均为常数） ③期望与方差的关系. ⑴如果和都存在，则 ⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则 ⑶期望与方差的转化： ⑷（因为为一常数）. 题型一：离散型随机变量的期望 【例1】在采用五局三胜制（先取得三局胜利的一方，获得最终胜利）的篮球总决赛中，当甲队先胜2场时，因疫情暴发不得不中止比赛.已知甲､乙两队水平相当，每场甲､乙胜的概率都为，总决赛的奖金为80万元，总决赛的胜者获得全部奖金.根据我们所学的概率知识，甲队应分得的奖金为（    ）万元. A．80 B．70 C．50 D．40 【例2】一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个红球，小明从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记1分，摸到一个红球记2分，则小明总得分的数学期望等于（    ） A．3.8分 B．4分 C．4.2分 D．4.4分 【例3】从一批含有6件正品和4件次品的10件产品中随机抽取2件产品进行检测，记随机变量X为抽检结果中含有的次品件数，则随机变量X的期望________． 【例4】现有甲、乙、丙、丁等6人去参加新冠疫苗的接种排队，有A、B、C、D 4个不同的窗口供排队等候接种，每个窗口至少有一位同学等候． (1)求甲、乙两人在不同窗口等候的概率； (2)设随机变量X表示在窗口A排队等候的人数，求随机变量X的期望． 【题型专练】 1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望为（    ） A． B． C． D． 2．袋中装有大小与质地相同的5个红球、m个白球，现从中任取2个球．若取出的两球都是红球的概率为，记取出的红球个数为X，则______． 3．农历五月初五是我国的传统节日——端午节，为纪念伟大的爱国诗人屈原，民间有吃粽子的习惯，粽子也就成为了我们生活中的一种美食.设一盘中装有6个粽子，其中豆粽、肉粽、白粽各2个，这三种粽子的外观完全相同．小明从中任取2个吃，吃完这2个，若是吃到了肉粽就不再吃了；若是还没吃到肉粽，就再从剩下的4个中任取1个吃，吃完这个不管是否吃到肉粽都不再吃了. (1)求小明吃到肉粽的概率； (2)设X表示取到的肉粽个数，求X的分布列与数学期望． 4．某人花了元预定2023年杭州亚运会开幕式门票一张，另外还预定了两张其他门票，根据亚奥理事会的相关规定，从所有预定者中随机抽取相应数量的人，这些人称为预定成功者，他们可以直接购买门票，另外，对于开幕式门票，有自动降级规定，即当这个人预定的元门票未成功时，系统自动使他进入b元开幕式门票的预定.假设获得a元开幕式门票的概率是0.1，若未成功，仍有0.2的概率获得b元开幕式门票的机会，获得其他两张门票中的每一张的概率均是0.5，且获得每张门票之间互不影响. (1)求这个人可以获得亚运会开幕式门票的概率； (2)假设这个人获得门票总张数是，求的分布列及数学期. 题型二：离散型随机变量的方差 【例1】若随机变量X的概率分布表如下： X 0 1 P 0.4 则（    ） A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16 【例2】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.求： (1)的分布； (2)的期望与方差. 【题型专练】 1.（多选题）已知下表为离散型随机变量X的分布列，其中，下列说法正确的是（    ） X 0 1 2 P A． B． C．有最大值 D．有最小值 2．冬奥会志愿者有名男同学，名女同学.在这名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的所大学.现从这名志愿者中随机选取名同学，到机场参加活动.每位同学被选中的可能性相等. (1)求选出的名同学是来自互不相同的大学的概率； (2)设为选出的名同学中女同学的人数，求随机变量的期望和方差． 题型三：离散型随机变量的期望方差的性质 【例1】已知随机变量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（多选题）设离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【例3】已知离散型随机变量X的取值为有限个，，，则______． 【题型专练】 1．已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量满足，则（    ） A．或4 B．2 C．3 D．4 3．离散型随机变量X的分布为： 0 1 2 4 5 若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为______． ①；②；③；④． 两点分布、二项分布及超几何分布 考点一：两点分布： X 0 1 P 1-P P 考点二：独立重复实验 ①独立重复实验的定义 一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． ②独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 一般地，如果在1次实验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率，k＝0,1,2，…，n. 考点三：二项分布 ①二项式分布 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，则事件恰好发生次的概率为，k＝0,1,2，…，n.则称随机变量服从二项分布,记作,并称为成功概率. ②判断一个随机变置是否服从二项分布，看两点 1.是否为n次独立重复试验， 2.随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数． 考点四：超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则,其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，则称分布列 X 0 1 … m P … 为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布. 考点五：二项式分布与超几何分布的区别和联系 超几何分布和二项分布的相同点为：随机变量均是取连续非负整数值的离散型分布列． 超几何分布和二项分布最明显的区别有两点： ①超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取，也就是说二项分布中每个事件之间是相互独立的，而超几何分布不是； ②超几何分布需要知道总体的容量，也就是总体个数有限；而二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”． 超几何分布和二项分布二者之间也有联系：当总体很大时，超几何分布近似于二项分布，或者说超几何分布的极限就是二项分布． 题型一：两点分布的概念及分布列 【例1】（多选题）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（    ） A．抛掷一枚骰子，所得点数 B．某射击手射击一次，击中目标的次数 C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球､3个白球的袋中任取1个球，设 D．某医生做一次手术，手术成功的次数 【例2】设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（    ） A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.7 【题型专练】 1．（多选题）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（    ）． A．抛掷一枚骰子，所得点数X B．某射手射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分，射手的得分X C．从装有5个红球，3个白球的袋子中取1个球，定义：“取出白球”，“取出红球” D．某医生做一次手术，手术成功的次数X 2．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么_________． 3．已知X服从参数为0.3的两点分布，则________；若，则________. 题型二：两点分布的期望方差 【例1】已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ） A．0 B．1 C．0.3 D． 【例2】若随机变量服从两点分布，其中，则（    ） A． B． C． D． 【例3】（多选题）若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则（    ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．若随机变量服从两点分布，其中，则和的值分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 3．随机变量的概率分布为，．若，则（    ） A． B． C． D． 题型三：独立重复实验发生k次的概率 【例1】若某射手每次射击击中目标的概率均为，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【例2】设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为、、． (1)三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率； (2)若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率． 【题型专练】 1．（多选题）某同学投篮1次，投中的概率是0.8，他连续投篮4次，且他每次投篮互不影响，则下列四个选项中，正确的（    ） A．他第3次投中的概率是0.8 B．他恰投中3次的概率是 C．他至少投中1次的概率是 D．他恰好有连续2次投中的概率为 2．一枚均匀的硬币连续抛掷三次，至少出现一次正面朝上的概率为___________． 3．现对一批设备的性能进行抽检，第一次检测每台设备合格的概率是0.5，不合格的设备重新调试后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.6，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理. 设每台设备是否合格相互独立，则每台设备报废的概率为___________.检测3台设备，则恰有2台合格的概率为___________. 题型四：二项分布的概念 【例1】已知随机变量服从二项分布，则等于（    ） A． B． C． D． 【例2】下列说法正确的个数是（    ）． ①某同学投篮的命中率为，他次投篮中命中的次数是一个随机变量，且服从二项分布； ②某福彩中奖概率为，某人一次买了张彩票，中奖张数是一个随机变量，且服从二项分布； ③从装有大小与质地相同的个红球、个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且服从二项分布． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例3】已知随机变量，Y服从两点分布，若，，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【例4】某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（  ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．设，其中，且，那么（    ） A． B． C． D． 2．若随机变量，则等于（    ） A． B． C． D． 3．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则 A． B． C． D． 4．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)求甲正确完成两个面试题的概率； (2)求乙正确完成面试题数的分布列． 题型五：二项分布的期望方差 【例1】若离散型随机变量，，且，则为（    ） A． B． C． D． 【例2】某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题道，已知该同学每道题答对的概率为，则该同学答对题目数量的数学期望和方差分别为（    ） A． B． C． D． 【例3】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (2)任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 【题型专练】 1．已知随机变量X服从二项分布，若，则等于（    ） A． B．8 C．12 D．24 2．（多选题）已知随机变量，则（    ） A． B． C．从装有3个红球、9个黑球的袋中一次性摸出3个球，则可表示摸出的红球个数 D．桐人和茅场晶彦进行3场决斗，且桐人每场决斗的胜率均为（不存在平手），则可表示桐人的胜场数 3．已知随机变量，若X服从二项分布，则、分别为______． 4．为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，几对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据． 时间 人数 6 30 35 19 6 4 (1)从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率； (2)估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数； (3)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 题型六：超几何分布的概率 【例1】设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【例2】袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（    ） ①取出的最大号码服从超几何分布； ②取出的黑球个数服从超几何分布； ③取出2个白球的概率为； ④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 A．①② B．②④ C．③④ D．①③④ 【例3】厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家对一批产品发给商家时，商家按规定拾取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这批产品： (1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.3，从中任意取出4种进行检验，求至少有1件是合格产品的概率； (2)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家检验出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率． 【题型专练】 1．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B．随机变量X服从二项分布 C．随机变量X服从超几何分布 D． 题型八：超几何分布的期望方差 【例1】某冷饮店的冰淇淋在一天中销量为200个，三种口味各自销量如表所示：把频率视作概率，从卖出的冰淇淋中随机抽取10个，记其中草莓味的个数为X，则（       ） 冰淇淋口味 草莓味 巧克力味 原味 销量（个） 40 60 100 A．5 B．3 C．2 D．1 【例2】在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B．随机变量服从二项分布 C．随机变量服从几何分布 D． 【例4】（多选题）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（    ） A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布 C． D． 【题型专练】 1．设个产品中有个次品，任取产品个，取到的次品可能有个，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（    ） A．2 B．1 C． D． 3．一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（    ） A．二项分布，且 B．两点分布，且 C．超几何分布，且 D．超几何分布，且 4．（多选题）在一个袋中装有大小一样的6个豆沙粽，4个咸肉粽，现从中任取4个粽子，设取出的4个粽子中成肉粽的个数为X，则下列结论正确的是（    ） A．         B． C．随机变量X服从超几何分布     D． 期望方差的实际应用 【例1】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. （1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率； （2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系: 年入流量 发电量最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 【例2】2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心．为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“定点投篮”活动，方案如下： 方案一：共投9次，每次投中得1分，否则得0分，累计所得分数记为； 方案二：共进行三轮投篮，每轮最多投三次，直到投中两球为止得3分，否则得0分，三轮累计所得分数记为． 累计所得分数越多，所获得奖品越多．现在甲准备参加这个“定点投篮”活动，已知甲每次投篮的命中率为，每次投篮互不影响． (1)若，甲选择方案二，求第一轮投篮结束时，甲得3分的概率； (2)以最终累计得分的期望值为决策依据，甲在方案一，方案二之中选其一，应选择哪个方案？ 【例3】某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答1道相关问题，根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级有5名选手，现从每个班级的5名选手中随机抽取3人回答这道问题．已知甲班的5人中只有3人可以正确回答这道题目，乙班的5人能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每个人对问题的回答都是相互独立的． (1)求甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道题目的概率； (2)设甲班被抽取的选手中能正确回答题目的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好． 【例4】在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束. 现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确. （I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测. (i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数; (ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的 分布列与数学期望E(X). (II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明) 【题型专练】 1．现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资十万元，根据对市场120份样本数据的统计，甲项目年利润分布如下表： 年利润 1.2万元 1.0万元 0.9万元 频数 20 60 40 对乙项目投资十万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关，在每次抽查中，产品合格的概率均为，在一年之内要进行2次独立的抽查，在这2次抽查中产品合格的次数与对应的利润如下表： 合格次数 2 1 0 年利润 1.3万元 1.1万元 0.6万元 记随机变量，分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利润．将甲项目年利润的频率作为对应事件的概率． (1)求的概率； (2)某商人打算对甲或乙项目投资十万元，判断哪个项目更具有投资价值，并说明理由． 2．某牛奶店每天以每盒元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理． （1）若牛奶店一天购进盒鲜牛奶，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：盒，）的函数解析式； （2）牛奶店老板记录了某天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表： 日需求量 频数 以这天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． ①若牛奶店一天购进盒鲜牛奶，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及均值； ②若牛奶店计划一天购进盒或盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进盒还是盒？请说明理由． 3．某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的． (1)求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率． (2)设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为，，求随机变量，的期望，和方差，，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好． 正态分布 考点一：正态曲线 ①正态曲线：函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． ②正态曲线φμ，σ(x)＝，x∈R有以下性质： 1.曲线位于x轴上方，与x轴不相交； 2.曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； 3.曲线在x＝μ处达到最大值； 4.曲线与x轴之间的面积为1； 5.当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①； 6.当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，如图②. 考点二：正态分布的性质 ①正态分布：一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)等于正态分布曲线与轴所围成的区域面积，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为。（此时，X不是离散型随机变量，是连续型随机变量。） ② X～N(μ，σ2)中μ，σ的统计意义 1. μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝； 2. σ>0表示标准差，D(X)＝σ2 当μ一定时，σ越小，正态曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散 考点三：正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ① P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826； P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544； P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974. ②由P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974，知正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内.而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生. ③在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则. 题型一：正态曲线 【例1】甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【例2】已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型专练】 1．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）关于正态密度曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的峰值为 C．越大，曲线越“矮胖” D．对任意，曲线与轴围成的面积总为1 题型二　利用正态分布求概率 【例1】随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X＜μ＋σ)＝（    ） 附： 概率 P(μ－σ≤X＜μ＋σ) P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ) P(μ－3σ≤X＜μ＋3σ) 近似值 0.6827 0.9545 0.9973 A．0.8186 B．0.4772 C．0.84 D．0.9759 【例2】已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A．0.3 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【例3】已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．已知随机变量X服从正态分布 ，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 2．已知随机变量X服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）下列说法正确的有（    ）． A．从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 B．若随机变量，则方差 C．若随机变量，，则 D．已如随机变量X的分布列为，则 题型三：正态分布的实际应用 【例1】某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20000名学生参赛，统计得考试成绩（满分150分）服从正态分布.考试成绩140分及以上者可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为（    ）附：. A．26 B．52 C．456 D．13 【例2】已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则下列结论中正确的是（    ） 附：随机变量服从正态分布，则 A．该校学生成绩的均值为25 B．该校学生成绩的标准差为 C．该校学生成绩的标准差为70 D．该校学生成绩及格率超过95% 【例3】（多选题）某校对高一学生进行了一次物理测试，得到学生的物理成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀．则下列说法正确的是（    ） 参考数据：随机变量，则，，． A．该校高一学生物理成绩的方差为10 B．该校高一学生物理成绩的期望为70 C．该校高一学生物理成绩的及格率不到85% D．该校高一学生物理成绩的优秀率超过5% 【例4】已知某种袋装食品每袋质量，则随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间的约___________袋（质量单位：）.（附：，则，，）. 【例5】为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次：每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：）根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布. (1)假设生产状态正常，记表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在之外的药品件数，求的数学期望； (2)在一天的四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果有两次或两次以上出现了主要药理成分含量在之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测. ①下面是检验员在某次抽取的20件药品的主要药理成分含量： 10.02 9.78 10.04 9.92 10.14 10.04 9.22 10.13 9.91 9.95 10.09 9.96 9.88 10.01 9.98 9.95 10.05 10.05 9.96 10.12 经计算得，，， 其中为抽取的第件药品的主要药理成分含量，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？ ②试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率（精确到0.001）. 附：若随机变量服从正态分布，则，，，，，. 【题型专练】 1．正态分布概念是由德国数学家和天文学家Moivre在1733年首先提出的，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布．早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据，对这些数据进行分析，发现这些数据变量X近似服从．若，则______． 2．某地有6000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为___________. 3．我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为（单位：nm）. (1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个.现从这7个零件中随机抽取3个.记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望； (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及的方差； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4nm的概率. 参考数据：若，则，，，，. 4．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）： 87  87  88  92  95  97  98  99  103  104 设这10个数据的平均值为，标准差为． (1)求与． (2)假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布． ①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零件中内径大于107cm的个数为X，求；（结果保留5位有效数字） ②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：cm），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由． 参考数据：若，则，，取． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$