第五章 图形的轴对称 综合练习2024-2025学年北师大版七年级数学下册暑假巩固复习

北师大版数学七年级下册暑假巩固复习 第五章《图形的轴对称》 综合练习 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．中国汉字形美如画以感目，意美如诗以感心．下列四个汉字中，用数学眼光来看，可近似看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据轴对称图形的定义逐项分析判断如下： A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 2．等腰三角形的周长是13cm，其中一边长是3cm，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．3cm B．7cm C．5cm D．3cm或5cm 【解答】解：依题意，分两种情况讨论如下： ①当该等腰三角形的腰长为3cm时，则另一腰也为3cm， ∴底边长为：13﹣2×3＝7cm， 此时该等腰三角形的三边为：3cm，3cm，7cm， ∵3+3＜7，不符合构成三角形的条件，不合题意，舍去； ②当底边长为3cm时，则腰的长为：（13﹣3）÷2＝5cm， 此时该等腰三角形的三边为：3cm，5cm，5cm， ∵3+5＞5，符合构成三角形的条件， ∴该等腰三角形的腰长是5cm． 故选：C． 3．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【解答】解：过P点作PE⊥OB于E点，如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC＝3， ∴S△POD6×3＝9． 故选：C． 4．如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【解答】解：∵水厂到两个村庄P，Q的距离相等， ∴水厂应在线段PQ的垂直平分线上， 故选：B． 5．如图，点A、B在直线m上，点P、H在直线n上，m⊥n于点O，连接AP、BP、AH、BH，AP＝BP，若AH＝11，则BH的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【解答】解：∵点A、B在直线m上，点P、H在直线n上，AP＝BP， ∴点P在线段AB的垂直平分线上， 又∵m⊥n，AH＝11， ∴PH垂直平分AB， ∴BH＝AH＝11， 故选：A． 6．如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，l交CC′于点D，若AB＝4，B′C′＝2，CD＝0.5，则五边形ABCC′B′的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【解答】解：由条件可知AB＝AB′，BC＝B′C′，DC＝DC′， ∵AB＝4，B′C′＝2，CD＝0.5， ∴AB′＝4，BC＝2，DC′＝0.5， ∴五边形ABCC′B′的周长为：4+2+0.5+0.5+2+4＝13． 故选：C． 7．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（　　） A．70° B．120° C．125° D．130° 【解答】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE， ∴点O是三角形三条角平分线的交点， ∵∠BAC＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）110°＝55°， 在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°． 故选：C． 8．如图，在△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为18，则AC的长为（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵△BCE的周长等于18， ∴BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝18． ∵△ABC中，BC＝9， ∴AC＝18﹣9＝9． 故选：B． 9．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝74°，则∠NAE的度数为（　　） A．30° B．32° C．36° D．37° 【解答】解：∵∠BAC＝74°， ∴∠B+∠C＝180°﹣74°＝106°， ∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N， ∴EA＝EB，NA＝NC， ∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C， ∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠NAE＝∠B+∠C﹣∠NAE， ∴∠NAE＝∠B+∠C﹣∠BAC＝106°﹣74°＝32°． 故选：B． 10．如图①，已知四边形纸片ABCD．按图②、图③的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图④第二条折痕与边CD交于点E，连结AE、BE．若∠ABC＝80°，BE平分∠ABC，则∠AEB的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 网版权所有【解答】解：如图④， 根据折叠的性质可得，DF⊥BC，DF⊥AE， ∴AE∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵∠ABC＝80°，BE平分∠ABC， ∴∠BCE∠ABC＝40°， ∴∠AEB＝40°． 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．下列几何图形：①等腰三角形；②直角三角形；③角；④线段；⑤任意三角形．其中，一定是轴对称图形的有 　①③④　 ．（填序号） 【解答】解：根据轴对称图形的性质得出：5个图形中：①等腰三角形，③角，④线段都是轴对称图形， 故答案为：①③④． 12．已知等腰三角形的一个内角等于40°，则它的顶角是 　40°或100°　 °． 【解答】解：此题要分情况考虑： ①40°是它的顶角； ②40°是它的底角，则顶角是180°﹣40°×2＝100°． 所以这个等腰三角形的顶角为40°或100°． 故答案为：40°或100°． 13．如图，△ABD与△ADC关于直线AD对称，E，F是线段AD上的任意两点，若BC＝6cm，AD＝5cm，则图中阴影部分的面积是　7.5　 cm2． 【解答】解：∵△ABD与△ADC关于直线AD对称， ∴BD＝DCBC， ∵BC＝6cm， ∴BD＝DC＝3cm． 点E，F是线段AD上任意两点， ∴BE＝CE，BF＝CF， ∵EF＝EF， ∴△BEF≌△CEF， ∴S△BEF＝S△CEF． ， ∴阴影部分面积7.5cm2． 故答案为：7.5． 14．如图，直线l1，l2交于点O，点P关于l1，l2的对称点分别为点P1，P2，若OP＝8，P1P2＝14，则△P1OP2的周长是　30　 ． 【解答】解：由题知， ∵点P关于l1的对称点为点P1， ∴OP1＝OP＝8． 同理可得，OP2＝OP＝8． 又∵OP＝8， ∴△P1OP2的周长是：8+8+14＝30． 故答案为：30． 15．如图，直线a∥b，a与b之间的距离为8，△ABC与△A1B1C1关于直线a成轴对称，△A1B1C1与△A2B2C2关于直线b成轴对称，则CC2的长为 　16　 ． 【解答】解：如图，连接CC1，标注交点， ∵直线a∥b，a与b之间的距离为8，△ABC与△A1B1C1关于直线a成轴对称，△A1B1C1与△A2B2C2关于直线b成轴对称， ∴C1，C，C2共线，CE＝C1E，GH＝FH，C1H＝C2H，EH＝CE+CH＝8， ∴CC2＝C2H+CH＝C1H+CH＝C1E+EH+EH﹣CE＝2EH＝16， 故答案为：16． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．在△ABC中，AB＝5，AC＝2，若是△ABC是等腰三角形，求BC的长． 【解答】解：∵△ABC是等腰三角形， ∴BC＝AB＝5或BC＝AC＝2， ∵2+2＜5，不能构成三角形， ∴BC的长为5． 17．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，△ABC的三个顶点都在其格点上，按要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图中，请以直线l为对称轴，画出与△ABC成轴对称的图形△A1B1C1（提示：作图时，先用2B铅笔作图，确定不再修改后用签字笔描黑）； （2）求△ABC的面积． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）△ABC的面积为3． 18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求． （2）∵DF垂直平分线段AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE∠DAC＝40°． 19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E． （1）若AC＝12，BC＝10，求△EBC的周长； （2）若∠A＝40°，求∠EBC的度数． 【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E， ∴AE＝BE， ∴△EBC的周长＝BC+BE+CE ＝BC+AE+CE ＝BC+AC ＝10+12 ＝22； （2）∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ABC＝70°， 又∵AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝40°， ∴∠EBC＝70°﹣40°＝30°． 20．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN． 【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中，， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 21．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，BE⊥AB，点D为BC上一点，且CD＝BE，AD，CE交于点P． （1）试说明△ACD≌△CBE； （2）猜想∠APC的度数，并证明． 【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝120°， ∴∠CAB＝∠CBA＝30°， ∵BE⊥AB， ∴∠CBE＝30°+90°＝120°， ∴∠ACB＝∠CBE， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（SAS）； （2）解：∠APC＝60°， 理由如下： ∵△ACD≌△CBE， ∴∠CAP＝∠PCD， ∵∠ACP+∠PCD＝120°， ∴∠CAP+∠ACP＝120°， ∴∠APC＝180°﹣120°＝60°． 22．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF垂直平分BC，交BC于点E，交AB于点F，且AD＝DF． （1）若∠B＝38°，求∠ACD的度数； （2）若△ABC的周长为30cm，BC＝12cm，求BD的长． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB，AD＝DF， ∴CD垂直平分AF， ∴AC＝FC， ∴∠ACD＝∠FCD， ∵EF垂直平分BC， ∴FC＝FB， ∴∠FCB＝∠B＝38°， ∴∠AFC＝∠FCB+∠B＝76°， ∴∠FCD＝90°﹣∠AFC＝14°， ∴∠ACD＝14°； （2）由（1）知 CA＝CF，FC＝FB， ∴AC＝FB， ∴AC+AD＝FB+DF， ∴AC+AD＝DB， ∵△ABC 的周长为30cm，BC＝12cm， ∴AC+AB＝30﹣12＝18（cm）， ∴AC+AD+DB＝18cm， ∴2DB＝18cm， ∴DB＝9 cm． 23．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝20，AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为点F，AC的垂直平分交BC于点E，垂足为点G．求： （1）△ADE的周长， （2）∠DAE的度数． 【解答】解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， 同理，EA＝EC， ∴△ADE的周长＝AD+DE+EA＝BD+DE+EC＝BC＝20； （2）∵∠BAC＝120°， ∴∠B+∠C＝60°， ∵DA＝DB，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠DAB+∠EAC＝60°， ∴∠DAE＝120°﹣60°＝60°． 24．已知：∠AOB＝80°，∠COD＝60°，OM，ON分别平分∠AOC，∠BOD． （1）如图1，当OB与OC重合时，∠MON的度数是 　70　 °； （2）若图1中∠AOB不动，将∠COD从图1的位置开始绕点O顺时针旋转． ①如图2，当∠BOC＝10°时，求∠MON的度数； ②当∠BOC＝α（60°＜α＜80°）时，直接用等式表示∠AOM与∠DON的数量关系． 【解答】解：（1）如图1中，∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOD． ∴∠AOB＝40°，∠BON∠COD＝30°， ∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝70°． 故答案为：70； （2）①如图2中，∵∠AOB＝80°，∠COD＝60°，∠BOC＝10°， ∴∠DOB＝∠COD﹣∠BOC＝50°，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝70°， ∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOD． ∴∠COM∠AOC＝35°，∠BON∠BOD＝25°， ∴∠MON＝∠BON+∠BOC+∠MOC＝25°+10°+35°＝70°； ②如图③中，∵∠AOB＝80°，∠COD＝60°，∠BOC＝α， ∴∠DOB＝∠COD+∠BOC＝60°+α，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝80°﹣α， ∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOD． ∴∠COM∠AOC＝40°α，∠BON∠BOD＝30°α， ∴∠MON＝∠COM﹣（∠BON﹣∠BOC）＝40°α﹣（30°α﹣α）＝10°． 25．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠PAB＝15°，点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH （1）求∠BPD的大小； （2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由； （3）证明：∠BAP＝∠CAH． 【解答】解：（1）∵∠PAB＝15°，∠ABC＝45°， ∴∠APC＝15°+45°＝60°， ∵点C关于直线PA的对称点为D， ∴PD＝PC，AD＝AC， ∴△ADP≌△ACP， ∴∠APC＝∠APD＝60°， ∴∠BPD＝180°﹣120°＝60°； （2）直线BD，AH平行．理由： ∵BC＝3BP， ∴BPPCPD， 如图，取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BDE为等腰三角形， ∴∠BEP＝60°， ∴∠BDE∠BEP＝30°， ∴∠DBP＝90°，即BD⊥BC． 又∵△APC的PC边上的高为AH， ∴AH⊥BC， ∴BD∥AH； （3）如图，过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F． ∵∠APC＝∠APD，即点A在∠DPC的平分线上， ∴AH＝AF． ∵∠CBD＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠GBA＝∠CBA＝45°， 即点A在∠GBC的平分线上， ∴AG＝AH， ∴AG＝AF， ∴点A在∠GDP的平分线上． 又∵∠BDP＝30°， ∴∠GDP＝150°， ∴∠ADP150°＝75°， ∴∠C＝∠ADP＝75°， ∴Rt△ACH中，∠CAH＝15°， ∴∠BAP＝∠CAH． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版数学七年级下册暑假巩固复习 第五章《图形的轴对称》 综合练习 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．中国汉字形美如画以感目，意美如诗以感心．下列四个汉字中，用数学眼光来看，可近似看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．等腰三角形的周长是13cm，其中一边长是3cm，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．3cm B．7cm C．5cm D．3cm或5cm 3．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 4．如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 5．如图，点A、B在直线m上，点P、H在直线n上，m⊥n于点O，连接AP、BP、AH、BH，AP＝BP，若AH＝11，则BH的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 6．如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，l交CC′于点D，若AB＝4，B′C′＝2，CD＝0.5，则五边形ABCC′B′的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 7．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（　　） A．70° B．120° C．125° D．130° 8．如图，在△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长为18，则AC的长为（　　） A．6 B．9 C．10 D．12 9．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝74°，则∠NAE的度数为（　　） A．30° B．32° C．36° D．37° 10．如图①，已知四边形纸片ABCD．按图②、图③的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图④第二条折痕与边CD交于点E，连结AE、BE．若∠ABC＝80°，BE平分∠ABC，则∠AEB的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．下列几何图形：①等腰三角形；②直角三角形；③角；④线段；⑤任意三角形．其中，一定是轴对称图形的有 　 　 ．（填序号） 12．已知等腰三角形的一个内角等于40°，则它的顶角是 　 　 °． 13．如图，△ABD与△ADC关于直线AD对称，E，F是线段AD上的任意两点，若BC＝6cm，AD＝5cm，则图中阴影部分的面积是　 　 cm2． 14．如图，直线l1，l2交于点O，点P关于l1，l2的对称点分别为点P1，P2，若OP＝8，P1P2＝14，则△P1OP2的周长是　 　 ． 15．如图，直线a∥b，a与b之间的距离为8，△ABC与△A1B1C1关于直线a成轴对称，△A1B1C1与△A2B2C2关于直线b成轴对称，则CC2的长为 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．在△ABC中，AB＝5，AC＝2，若是△ABC是等腰三角形，求BC的长． 17．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，△ABC的三个顶点都在其格点上，按要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图中，请以直线l为对称轴，画出与△ABC成轴对称的图形△A1B1C1（提示：作图时，先用2B铅笔作图，确定不再修改后用签字笔描黑）； （2）求△ABC的面积． 18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E． （1）若AC＝12，BC＝10，求△EBC的周长； （2）若∠A＝40°，求∠EBC的度数． 20．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN． 21．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，BE⊥AB，点D为BC上一点，且CD＝BE，AD，CE交于点P． （1）试说明△ACD≌△CBE； （2）猜想∠APC的度数，并证明． 22．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF垂直平分BC，交BC于点E，交AB于点F，且AD＝DF． （1）若∠B＝38°，求∠ACD的度数； （2）若△ABC的周长为30cm，BC＝12cm，求BD的长． 23．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝20，AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为点F，AC的垂直平分交BC于点E，垂足为点G．求： （1）△ADE的周长， （2）∠DAE的度数． 24．已知：∠AOB＝80°，∠COD＝60°，OM，ON分别平分∠AOC，∠BOD． （1）如图1，当OB与OC重合时，∠MON的度数是 　 　 °； （2）若图1中∠AOB不动，将∠COD从图1的位置开始绕点O顺时针旋转． ①如图2，当∠BOC＝10°时，求∠MON的度数； ②当∠BOC＝α（60°＜α＜80°）时，直接用等式表示∠AOM与∠DON的数量关系． 25．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠PAB＝15°，点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH （1）求∠BPD的大小； （2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由； （3）证明：∠BAP＝∠CAH． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$