第五章 一元函数的导数及其应用 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

选择性必修2学习材料---导数 导数的概念及运算题型总结 考点一：导数的概念 ①平均变化率：一般地函数在区间上的平均变化率为 ②导数的概念：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或． 考点二：导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率，即 考点三：导数的物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 考点四：导数的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 考点五：导数的四则运算法则 ①函数和差求导法则：； ②函数积的求导法则：； ③函数商的求导法则：，则． ④常数乘以函数的导数： 考点六：复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为 注： 题型一：平均变化率与瞬时变化率问题 【例1】吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为，为的导函数．已知在上的图像如图所示，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．存在，使得 【答案】D 【分析】A：设，由图得，所以该选项错误； B:根据图像和导数的几何意义得，所以该选项错误； C:设 ，所以该选项错误； D:结合图像和导数的几何意义可以判断该选项正确. 【详解】解：A：设，由图得， 所以所以，所以该选项错误； B:由图得图像上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得，所以该选项错误； C:设，因为 所以，所以该选项错误； D:表示两点之间的斜率，表示处切线的斜率，由于， 所以可以平移直线使之和曲线相切，切点就是点,所以该选项正确. 故选：D 【例2】为了评估某种药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示，则下列四个结论中正确的是（    ） A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同. B．在内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率不相同. C．若，则在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率一定不同 D．若，则在时刻，甲血管中药物浓度不高于乙血管中药物浓度 【答案】D 【分析】由关系图提供的数据结合平均变化率的定义进行判断． 【详解】对于A选项，在时刻，两曲线交于同一点，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，瞬时变化率为切线的斜率，故不相同，故A错误； 对于B选项，在两个时刻，甲、乙两人血管中药物浓度相同，因此在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，故B错误； 对于C选项， 这个时间段内，在时刻时，甲血管中药物浓度的瞬时变化率大于乙血管中药物浓度的瞬时变化率，在时刻时，甲血管中药物浓度的瞬时变化率小于乙血管中药物浓度的瞬时变化率，故存在使得甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同，故C错误； 对于D选项，在内，乙血管中药物浓度始终大于甲血管中药物浓度，在时刻，甲乙血管中药物浓度相同，故若，则在时刻，甲血管中药物浓度不高于乙血管中药物浓度，D正确. 故选：D． 【例3】已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图象以及导数的知识求得正确答案. 【详解】由图象可知， 即. 故选：D 【题型专练】 1.已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合导数的几何意义和平均变化率的定义，利用直线斜率的关系，即可求解. 【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率，表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 又由平均变化率的定义，可得表示过两点的割线的斜率， 结合图象，可得，所以. 故选：A. 2.函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象的变化趋势，结合导函数的定义有，即可得答案. 【详解】由图知：，即. 故选：A 题型二：导数的概念 【例1】已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的定义式直接求解. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 【例2】函数在处的导数可表示为，即（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合导数定义直接选择即可. 【详解】是的另一种记法，根据导数的定义可知C正确． 故选：C 【例3】设在可导，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的定义，可直接计算出结果. 【详解】因为在处可导， 由导数的定义可得：. 故选：D. 【题型专练】 1.已知函数在处的导数为2，则（    ） A．－2 B．2 C．－1 D．1 【答案】B 【分析】利用导数的定义即得. 【详解】∵函数在处的导数为2， ∴. 故选：B. 2.设函数在处可导，且，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】由导数的定义可得， 因为， 所以， 故选：A. 3.若函数在处的导数为1，则（    ） A．2 B．3 C．－2 D．－3 【答案】B 【分析】利用导数的定义和几何意义即可得出． 【详解】解：若函数在处的导数为1，． 则． 故选：B． 题型三：导数的基本运算 【例1】下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数运算性质判断各选项即可. 【详解】因为 , 所以A错误； 因为 , 所以B错误； 因为, 所以C错误； 因为 , 所以D正确. 故选: D. 【例2】求下列函数的导数： (1)； (2)；(3) 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】 利用导数四则运算法则和复合函数求导法则计算即可得到结果. (1) (2) (3) 【例3】已知函数（是的导函数），则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 对函数进行求导，求出，再令代入解析式，即可得到答案； 【详解】 ，， ，， 故选：D. 【例4】下列求导运算错误的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数公式和运算法则判断 【详解】解：A选项中，，故正确； B选项中，，故正确； C选项中，，故正确 D选项中，，故错误， 故选：D. 【例5】（多选题）下列结论正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】 利用导数的运算公式和法则逐个分析判断即可 【详解】 若，则正确. 若，则不正确. 若，则正确. 若，则正确. 故选：ACD 【题型专练】 1.下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本初等函数的求导公式、导数运算法则逐项分析计算即可判断作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D不正确. 故选：D 2.已知函数的导数是，且满足，则 __________． 【答案】2 【分析】由求得，再令建立等式即可求出，即可求得解析式求出 【详解】由得，，则，可得，则，. 故答案为：2 3.已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用基本初等函数的导数和导数的运算规则求导后可得正确的选项. 【详解】 ， 故选：C. 4.下列导数运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则进行计算. 【详解】 ，A错误； ，B错误； ，C错误， ，D正确. 故选：D 5.下列求导不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由导数的运算法则、复合函数的求导法则计算后可判断． 【详解】 A：； B：； C：； D：． 故选：C． 导数的几何意义切线方程 考点一：曲线在点处的切线方程 ①把切点的横坐标带入导函数，得 ②又因切点为，利用点斜式直接写出切线为 考点二：过一点的切线方程 ①设切点为，则斜率 ②利用切点和斜率写出切线方程为：， ③又因为切线方程过点，点入切线得然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目是在点处（为切点），还是过点的切线（不一定为切点） 题型一：曲线在点处的切线方程 【例1】曲线在点处的切线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用导数的几何意义得到切线的斜率，利用点斜式求出切线方程. 【详解】 ∵ ∴，所以， 又当时，， 所以在点处的切线方程为：，即. 故选：A. 【例2】函数的图象在点处的切线方程为___________. 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求解即可 【详解】由题意，，故，故函数的图象在点处的切线方程为，即 故答案为： 【例3】若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义有，且，即可求出参数a. 【详解】由题设，则，又， 所以，故. 故选：B 【例4】曲线在点处的切线方程为___________. 【答案】. 【分析】根据导数的几何意义进行求解即可. 【详解】因为， 所以，而，， 因此曲线在点处的切线方程为： ， 故答案为：. 【题型专练】 1.函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义求切线斜率，并确定切点坐标，点斜式写出切线方程. 【详解】由题设，，则， 而，故在处的切线方程为，则. 故选：A 2.曲线在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义去求曲线在处的切线方程 【详解】，则， 当时，，， 所以切线方程为，即． 故选：D． 3.已知函数则曲线在点处的切线方程为_______. 【答案】 【分析】利用导数的几何意义可求切线的斜率，将代入函数可求切点坐标，利用直线方程点斜式求解即可. 【详解】解：因为，又， 切线方程为：，即； 故答案为：. 4.已知曲线在点处的切线方程为，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得． 【详解】 详解： ， 将代入得，故选D． 【点睛】 本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 题型二：过一点的切线方程 【例1】函数过点的切线方程为（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】 【分析】 设切点，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过代入求参数m，即可得切线方程. 【详解】 由题设，若切点为，则， 所以切线方程为，又切线过， 则，可得或， 当时，切线为；当时，切线为，整理得. 故选：C 【例2】过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为（       ） A．e B．1 C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设出切点，利用导数得到切线的斜率，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，解出即可. 【详解】 解：设切点， 由，得，所以， ∴曲线在点处的切线方程为， 又过（0，0），∴，解得， ∴切点，纵坐标为1． 故选：B． 【例3】若直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点，根据已知求解切点坐标，代入切线方程求出的值即可. 【详解】解：设直线与曲线的切点， 由于直线斜率为，则， 又， 所以，得，所以 则切点为，切线方程为，所以. 故选：C. 【题型专练】 1.曲线过点的切线方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设出切点，结合导数列方程，由此求出切点坐标并求出切线的斜率，进而可得切线方程. 【详解】 由题意可得点不在曲线上， 设切点为，因为， 所以所求切线的斜率， 所以. 因为点是切点，所以， 所以，即. 设，明显在上单调递增，且， 所以有唯一解，则所求切线的斜率， 故所求切线方程为. 故选：B. 2.已知函数，过原点作曲线的切线，则直线的方程为____________ 【答案】 【解析】由可得，设切点为， 则切线方程为， 把代入可得，故，可得切线方程为， 3.已知曲线的一条切线是，则实数________． 【答案】1 【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，对比列方程求解即可. 【详解】设切点为，又，所以，所以切线方程为，即，所以， 解得，． 故答案为：1. 利用导数研究函数单调性 考点一：利用导数判断函数单调性的方法 ①求函数的定义域（常见的）； ②求函数的导数，如果是分式尽量通分，能分解因式要分解因式； ③令，求出根，数轴标根，穿针引线，注意系数的正负； ④判断的符号，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 考点二：已知函数的单调性求参数问题 ①若在上单调递增，则在恒成立（但不恒等于0）； ②若在上单调递减，则在恒成立（但不恒等于0）． 【方法技巧与总结】 求函数的单调区间的步骤如下： （1）求的定义域 （2）求出，通分，分解因式 （3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线. （4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开. 题型一：利用导数求函数的单调区间 【例1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出导函数，然后令，解出不等式即可得答案. 【详解】解：， 令，得，所以函数的单调递减区间是， 故选：A. 【例2】函数的单调递增区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 求导后，根据导函数的正负即可得到结果. 【详解】 由题意得：函数的定义域为，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为. 故选：D. 【例3】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，解不等式可得. 【详解】的定义域为 解不等式，可得， 故函数的递减区间为. 故选：B． 【例4】函数的单调增区间为_________. 【答案】， 【分析】根据导数与单调性的关系，由即可求出单调增区间． 【详解】因为函数的定义域为，而，所以函数的单调增区间为，． 故答案为：，． 【例5】已知函数.求的单调区间. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再导数的正负求出函数的单调区间， (1) 函数的定义域为， 由，得， 由，得，解得， 由，得，解得 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 【例6】函数，若曲线在点处的切线方程为：. (1)求的值； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)； (2)单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可得到方程组，解得即可； （2）由（1）可得的解析式，即可得到导函数，再解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间. （1） 解：因为， 所以 ， 由题意可知，解得； （2） 解：由（1）可得， ， 令，解得或， 令，解得， 故的单调递增区间为，，的单调递减区间为. 【题型专练】 1.函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合定义域即可解出． 【详解】因为，所以，由解得：，所以函数的单调递减区间为． 故选：B． 2.函数，则的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出给定函数的导数，解导数大于0的不等式作答. 【详解】函数的定义域为，求导得：，由，解得， 所以的单调增区间是. 故选：B 3.函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，利用导数的正负可得答案. 【详解】， 当，或时，，所以为增函数， 当时，，为增函数， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 4.函数的单调递减区间为（      ） A．（0，2） B．（2，3） C．（1，3） D．（3，+∞） 【答案】B 【分析】对求导，令求出的范围，即可得出答案. 【详解】的定义域为, , 令，解得：. 所以函数的单调递减区间为（2，3）. 故选：B. 5.函数的单调增区间为_________. 【答案】 【分析】求导根据三角函数的值域，从而确定导函数的正负求解即可 【详解】由题意，则恒成立，故函数的单调增区间为 故答案为： 题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 【例1】（2022·河南·高三阶段练习（文））如图为函数（其定义域为）的图象，若的导函数为，则的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据的图象，分析的函数值的正、负情况，即可判断. 【详解】解：由图象知在上先减后增，故在上函数值先负后正， 同理在上的符号是先负后正，四个选项中仅有选项A符合. 故选：A. 【例2】（2022·四川·遂宁中学外国语实验学校高三开学考试（理））设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】当时，，当时，，当时，，根据函数的单调性即可判断. 【详解】由导函数的图象可得当时，,函数单调递增； 当时，,函数单调递减； 当时，,函数单调递增. 只有C选项的图象符合. 故选:C. 【题型专练】 1.如图是的图像，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数与单调性的关系判断． 【详解】由图象知或时，，因此减区间是，． 故选：B． 2.已知函数的图象是下列四个图象之一，函数的图象如图所示，则函数图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据导函数的正负性与原函数单调性的关系进行判断即可. 【详解】设导函数与横轴的交点为，设， 由导函数的图象可知：当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减，由此可以确定选项C符合， 故选：A 【方法技巧与总结】 原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）. 题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围 【例1】已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得在上恒成立，结合判别式的符号可求实数的取值范围. 【详解】， 因为在上为单调递增函数，故在上恒成立， 所以即， 故选：A. 【例2】若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性与导函数之间的关系，将单调性转化为导函数恒大于或等于0，即可求解. 【详解】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立. 令，则，所以在上单调递增，则，所以. 故选:B. 【例3】已知函数的单调递减区间为，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，再根据的单调递减区间是，得到和1是方程的两个根，代入解方程即可. 【详解】由得，又的单调递减区间是，所以和1是方程的两个根，代入得.经检验满足题意 故选：B. 【题型专练】 1.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，导函数在上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决. 【详解】，又在上单调递增，故在上恒成立，而时，易见，只需要即可，故. 故选：B. 2.若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】 依据题意列出关于m的不等式，即可求得实数的取值范围. 【详解】 ， 根据题意可知在上恒成立，即在上恒成立， 也就是在恒成立， 而函数在上单调递增，则，故 故答案为： 【方法技巧与总结】 （1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等. （2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围. （3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解. 导数研究函数含参数单调性 考点一：含参数单调性讨论 ①先求函数定义域； ②求导，化简，通分，分解因式； ③系数有未知数，先考虑系数的情况；再考虑情况，求出的根，判断根与定义域，及根的大小关系，穿针引线，判断导函数正负，进而判断单调性； ④若不能分解因式，若分子为二次函数则考虑讨论判别式，若不是二次函数可以考虑二次求导 题型一：导函数为一次函数型 【例1】已知函数.讨论函数的单调性. 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）对函数求导，分及两种情况，讨论导函数与的关系，即可得出单调性的情况； （1） 因为， 当时，对任意的恒成立， 当时，令，得令得 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减. 【例2】已知函数.讨论函数的单调性. 【答案】(1)答案见解析 【分析】 （1）求出函数的导函数，分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； 【解析】 （1）解：由知定义域为，且①时，在上，故在上单调递增；②时，当时，时，故在上单调递增，在上单调递减. 【题型专练】 1.已知函数，．求的单调区间. 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）利用导数的正负与函数单调性的关系及对参数进行讨论即可求解； （1） 因为，所以， 若，则当时，，函数单调递增； 若，则当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 2.已知函数，讨论函数的单调性。 【解析】 ∵， （Ⅰ）当时，在上单调递增， （Ⅱ）当时，令，则， 令，则， ∴在上单调递增， 上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减 题型二：导函数为二次可分解因式型 【例1】已知函数．试讨论的单调区间。 【答案】(1)见解析； 【分析】（1）求出函数的导数，就、分类讨论后可得函数的单调性； （1） ， ， 当时，，故在上为增函数， 当时，若，则，若，则， 故在上为减函数，在上为增函数. 【例2】已知函数 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递增区间. 【解析】 (1)解：当时，， 所以， 所以，， 故在点处的切线方程是，即； (2)解：因为定义域为， 所以， 因为， 当，即当时，由，解得或， 当时，恒成立， 当，即当时，由，解得或， 综上，当时，的递增区间是，， 当时，的递增区间是， 当时，的递增区间是，； 【题型专练】 1.已知函数．讨论的单调性. 【答案】(1)答案见解析； 【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论a的取值，确定函数的单调性； （1） 由可得， 当时，即，，单调递增； 当时，即，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 当时，即，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 2.设函数. (1)讨论的单调性； (2)若直线是曲线的切线，求a的值. 【答案】(1)见解析，(2) 【分析】（1）先求函数的定义域与导数，在分与讨论即可求解； （2）设直线是曲线的切点为，由导数的几何意义求解即可 （1） 因为的定义域为， ， 当时， 恒成立， 所以在上单调递增； 当，由得， 由得， 所以在上单调递增，在单调递减； 综上可知：时函数的递增区间为 ； 时函数的递增区间为，递减区间为； （2） 设直线是曲线的切点为， 则，即， 又因为， 所以， 令， 则在上恒成立， 当在递增，故在只有一个零点， 又， 所以 ，所以，即 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： （1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； （2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； （3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.已知函数，.讨论函数的单调性. 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）对求导，然后分和两种情况讨论即可； （1） 函数的定义域为， 所以. 当时，，所以在上单调递增； 当时，令得，令得， 所以在上单调递减：在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 导数与极值 考点一：函数的驻点 若，我们把叫做函数的驻点． 考点二：函数的极值点与极值 ①极大值点与极大值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作，其中叫做函数的极大值点 ②极小值点与极小值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作，其中叫做函数的极小值点 考点三：求可导函数极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注意：可导函数在满足是在取得极值的必要不充分条件，如，，但不是极值点. 题型一：求函数的极值与极值点 （1）求函数的定义域； （2）求导； （3）解方程，当； （4）列表，分析函数的单调性，求极值： ①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值； ②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值 【例1】函数的极小值为( ) A．0 B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 当时，，单调递增； 当或时，，单调递减； 所以当时，函数取得极小值， 极小值为. 故选：A. 【例2】函数在处（    ） A．有极大值 B．无极值 C．有极小值 D．无法确定极值情况 【答案】B 【分析】求出导函数，利用导数与极值的关系即可求解. 【详解】， 则， 令，解得， 令，解得， 令，或， 所以函数在单调递增；在单调递减， 所以在处无极值. 故选：B 【例3】下列关于极值点的说法正确的是（    ） A．若函数既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值 B．在任意给定区间上必存在最小值 C．的最大值就是该函数的极大值 D．定义在上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点 【答案】BCD 【分析】A选项可以举出反例，C选项，可以结合函数的单调性，判断出正确；D选项可以举出例子，B选项，从函数的连续性上来进行解决. 【详解】A选项，例如，在处取得极小值，在处取得极大值，而，故极大值不一定大于极小值，A错误， C选项，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 根据极值的定义可知：在处取得极大值，也是最大值，C正确； 对于D，无极值点，有无数个极值点，D正确； 在R上为连续函数，因为连续函数在闭区间上必定存在最值，所以B正确； 故选：BCD． 【题型专练】 1．已知函数，则（    ） A．在上为增函数 B．在上为减函数 C．在上有极大值 D．在上有极小值 【答案】A 【分析】求导后，令，需要再次求导，从而求得的正负，来判断原函数的单调性及极值情况. 【详解】，，令，则， 因此在上，，单减；在上，，单增； 又，因此，即， 故在及上，单增，无极值， 故选：A 【点睛】关键点点睛：求导后，需要对导数再次求导，从而求得原函数的单调性及极值情况. 2．若函数，则（    ） A．既有极大值，也有极小值 B．有极小值，无极大值 C．有极大值，无极小值 D．既无极大值，也无极小值 【答案】B 【解析】利用导数判断单调性，再判定极值即可. 【详解】依题意，；令，解得，故当时，，当时，，故当时，函数有极小值，且函数无极大值， 故选：B． 3.设，则函数（    ） A．有且仅有一个极小值 B．有且仅有一个极大值 C．有无数个极值 D．没有极值 【答案】A 【分析】求出，二次求导可得单调递增且，从而判断出函数的单调性，进而得到极值点. 【详解】，， ∴单调递增且， ∴当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 故有唯一的极小值点. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值，考查了基本运算能力，属于基础题. 4.已知函数，那么（    ） A．有极小值，也有大极值 B．有极小值，没有极大值 C．有极大值，没有极小值 D．没有极值 【答案】C 【分析】求导得到，故函数在上单调递增，在上单调递减，得到答案. 【详解】，则，故函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数有极大值，没有极小值. 故选：. 【点睛】本题考查了函数的极值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 题型二：利用导函数图像判断极值 【例1】已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 【答案】C 【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断. 【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增， 又a<b<c，所以，故A不正确． 因为，，且当时，；当c<x<e时，； 当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确． 由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确． 故选：C． 【例2】设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数有极大值和 B．函数有极小值和 C．函数有极小值和极大值 D．函数有极小值和极大值 【答案】D 【分析】根据函数的图象判断导数在各个区间上的符号，再根据极值的定义即可得解. 【详解】解：由图可知，当时，，当， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以函数有极小值和极大值. 故选：D. 【例3】已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（    ） A．是函数的极值点 B．在区间上单调递减 C．函数在处取得极小值 D．的图象在处的切线斜率小于零 【答案】BD 【分析】对于选项ABC：首先利用导函数的图像判断的单调区间，然后根据极值和极值点的定义即可求解；对于选项D：通过图像并结合导函数的几何意义即可求解. 【详解】由图像可知，当时，；当时，， 从而在上单调递增，在上单调递减， 故有极大值点，故AC错误，B正确； 又由图像可知，，从而的图像在处的切线斜率小于零，故D正确. 故选BD. 【题型专练】 1．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．函数在区间单调递增 B．函数在区间单调递减 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极小值 【答案】D 【分析】根据导函数图象可知，的单调性，进而可得的极值，即可得出答案． 【详解】解：根据导函数图象可知， 在区间，上，，单调递减， 在上，，单调递增， 所以在处取得极小值，没有极大值， 故正确，错误， 故选：． 2．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．函数有极大值和极小值 B．函数有极大值和极小值 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 【答案】B 【分析】由函数图象，确定的零点并判断的区间符号，进而可得的单调性，即可知极值情况. 【详解】由图知：当时，有、， ∴，， 又时，而则，即递增； 时，而则，即递减； 时，而则，即递增； 时，而则，即递增； 综上，、上递增；上递减. ∴函数有极大值和极小值. 故选：B 3.如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 【答案】AD 【分析】A.利用导数的正负与函数的增减的关系判断； B. 利用导数的正负与函数的增减的关系判断； C.利用极值点的定义判断； D. 利用极值点的定义判断. 【详解】A. 因为在上成立，所以是的单调递增区间，故正确； B.因为 时，，时，，所以在上不单调，故错误； C.因为时，，时，，函数在处无极值，故错误； D.因为 时，，时，，所以函数在处取得极小值，故正确； 故选：AD 题型三：根据极值、极值点求参数的值 解含参数的极值问题要注意： ①是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验； ②若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值． 【例1】函数在处取极小值，则（    ） A．6或2 B．或 C．6 D． 【答案】D 【分析】先求导数，根据求得，再代入验证是否满足题意. 【详解】或 当时，， 当时，当时，函数在处取极大值，不符题意，舍去； 当时，， 当时，当时，函数在处取极小值， 故选：D 【点睛】本题考查函数极值，考查基本分析求解能力，属基础题. 【例2】若函数的极小值点是，则的极大值为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，函数，可得， 所以，解得，故， 可得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为．故选：C. 【例3】函数在处有极大值，则a的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．无答案 【答案】B 【分析】由函数在处有极大值，求得或，再分类讨论，结函数极值的概念进行判定，即可求解. 【详解】由题意，函数，则， 因为函数在处有极大值， 则，即，解得或， （1）当时，可得，令，解得或， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得极小值，不符合题意（舍去）； （2）当时，可得，令，解得或， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得极大值，符合题意， 综上可得，当时，函数在处有极大值. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了函数的极值的判定及参数求解，其中解答中熟记函数的导数与极值的关系，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 【题型专练】 1.设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为________ 【答案】 【解析】函数 是函数是极大值点则 或 当时的极小值为故答案为： 2.函数在处有极值，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，选D. 点睛：函数在点处由极值，则必有但要注意不一定是的极值点. 导数与最值 考点一：函数的最值 一个连续函数在闭区间上一定有最值，最值要么在极值点处取得，要么在断点处取得。 求函数最值的步骤为： ①求在内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 题型一：利用导数求函数的最值（不含参） 【例1】函数在上的最大值、最小值分别是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得导函数，令即可求得极值点．再代入端点值即可求得最大值与最小值． 【详解】函数 所以，令解方程可得 极大值 由表格可知，函数在上的最大值为，最小值为 所以选D 【点睛】本题考查利用导数求函数在某区间内的最大值与最小值，注意函数端点处对函数最值的影响，属于基础题． 【例2】函数在[0，2]上的最大值是( ) A． B． C．0 D． 【答案】A 【解析】由，得， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以，故选：A 【例3】设，在上，以下结论正确的是 （    ） A．的极值点一定是最值点 B．的最值点一定是极值点 C．在上可能没有极值点 D．在上可能没有最值点 【答案】C 【分析】结合极值点、最值点的概念对所给选项进行分析即可. 【详解】由已知，，由，得或时；由， 得时，所以在上单调递增，在，上单调递减. 对于选项A，取 ，易知的极值点为， 且，而，所以不是最小值点，故A错误； 对于选项B，取，则在上单调递减，故是最值点，但 不是极值点，故B错误，C正确； 对于选项D，由连续函数在闭区间上一定存在最值，知选项D错误. 故选：C 【点睛】本题考查函数的极值点、最值点概念的辨析，考查学生对极值点、最值点的理解，是一道容易题. 【例4】已知函数，，则函数的最大值为（       ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数的导函数的正负性判断函数在已知区间的单调性，结合余弦函数的性质进行求解即可. 【详解】 ∵，∴当时，单调递增， 当时， 单调递减， ∴. 故选：C. 【例5】已知函数在x=2处取得极小值，则在上的最大值为______． 【答案】 【分析】根据函数在x=2处取得极小值可得，求得a的值，继而判断函数在上的极值情况，计算端点处函数值并进行比较，可得答案. 【详解】因为，所以， 由题意可得，解得， 则，， 令，可得x=1或x=2，当x在上变化时，与的变化情况如下表： x 1 2 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以函数的极大值为，极小值为， 又因为， 且，所以， 所以， 故答案为： 【题型专练】 1.（多选）下列结论中不正确的是（    ）. A．若函数在区间上有最大值，则这个最大值一定是函数在区间上的极大值 B．若函数在区间上有最小值，则这个最小值一定是函数在区间上的极小值 C．若函数在区间上有最值，则最值一定在或处取得 D．若函数在区间内连续，则在区间内必有最大值与最小值 【答案】ABC 【分析】根据极值与最值的关系判断即可. 【详解】若函数在区间上有最值，则最值可能在极值点或区间端点处取得，故A，B，C都不正确；函数在闭区间上一定有最值，故D正确. 故选：ABC. 2.函数y＝的最大值为( ) A．e－1 B．e C．e2 D．10 【答案】A 【解析】令 当时， ；当 时 ， 所以函数得极大值为 ，因为在定义域内只有一个极值，所以故选：A. 3.函数在上的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用导数确定单调性即可求解最值. 【详解】因为，当时,，所以在上单调递增， 所以． 故答案为： 4.函数在上的最大值为（　　） A． B．π C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用导数研究的单调性，进而求其最大值. 【详解】 由题意，在上，即单调递增， ∴. 故选：B 5.在区间上的最小值是（       ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 求导函数，分析其导函数的符号，得出原函数的单调性，从而可求得最小值． 【详解】 因为，所以，令，解得， 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以函数在上的最小值为， 故选：B． 题型二：根据最值求参数 【例1】已知函数（为常数），在区间上有最大值，那么此函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得导数，得出函数的额单调性，结合函数单调性和端点的函数值，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得， 令，即，解得或（舍去）． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时取最小值，而， 即最大值为，所以， 所以此函数在区间上的最小值为 故选：B. 【例2】（2021·全国·高三专题练习）已知函数（），，的最大值为3，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用导数求出函数的单调性，得到的最小值为，最大值为，解方程组即得解. 【详解】．令，得或（舍去）． 当时，，当时，， 故为极小值点，也是最小值点． ∵，，， ∴的最小值为，最大值为， ∴，解得， ∴． 故选：C 【题型专练】 1.若函数在区间上的最大值是4，则m的值为(    ) A．3 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】利用导函数求出在上的单调性，然后结合已知条件即可求解. 【详解】，令，解得或， 当时，；当时，或， 故在和上单调递增，在上单调递减， 从而在上单调递减，在上单调递增， 又，，则， 所以在区间上的最大值为，解得． 故选：B． 2.已知函数（a是常数）在上有最大值3，那么它在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导得到函数的单调区间得到函数最大值为，再比较端点值的大小得到最小值. 【详解】， 由得或，故函数在上单调递增； 由得，故函数在上单调递减， 故函数的最大值为． 故． 又，， 故当时，函数取得最小值为-37． 故选：D. 3.若函数在区间上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为（    ） A．-5 B．7 C．10 D．-19 【答案】A 【分析】利用导数判断函数的单调性，根据最值，即可求得，再求函数在该区间的最小值. 【详解】，， 当时，，函数单调递减， 所以函数的最大值是，得， 函数的最小值是. 故选：A 题型三：含参数最值讨论问题 【例1】已知函数. （1）若，求函数在区间上的最大值与最小值； （2）若函数的最小值为0，求实数的值. 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）求导，得到函数的单调区间,即可求出最值. (2)对参数进行分类讨论，即可求解. 【详解】解：（1）∵，∴. 令，得. 当，∴，∴是单调递减的； 当，∴，∴是单调递增的， ∴，. 又∵，，∴， ∴， . （2）， 当时，，∴在上是递增的，无最小值，不满足题意； 当时，令，得. 当时，，∴是单调递减的； 当时，，∴是单调递增的， ∴. 令，. 令，则. 当，，∴是递增的；当，，∴是递减的. ∴，∴， 即. 【题型专练】 1.若函数在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（    ） A．－2 B．－1 C．2 D． 【答案】C 【分析】对函数求导后，分和两种情况求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值，使最小值等于零，从而可出实数a的值 【详解】由，得， 当时，在上恒成立， 所以在上递增， 所以，解得（舍去）， 当时，由，得或， 当时，在上恒成立， 所以在上递增， 所以，解得（舍去）， 当时，当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以当时，取得最小值，所以，解得（舍去）， 当时，当时，，所以在上递减， 所以，解得， 综上，， 故选：C 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选择性必修2学习材料---导数 导数的概念及运算题型总结 考点一：导数的概念 ①平均变化率：一般地函数在区间上的平均变化率为 ②导数的概念：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或． 考点二：导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率，即 考点三：导数的物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 考点四：导数的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 考点五：导数的四则运算法则 ①函数和差求导法则：； ②函数积的求导法则：； ③函数商的求导法则：，则． ④常数乘以函数的导数： 考点六：复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为 注： 题型一：平均变化率与瞬时变化率问题 【例1】吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为，为的导函数．已知在上的图像如图所示，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．存在，使得 【例2】为了评估某种药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示，则下列四个结论中正确的是（    ） A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同. B．在内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率不相同. C．若，则在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率一定不同 D．若，则在时刻，甲血管中药物浓度不高于乙血管中药物浓度 【例3】已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（    ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 2.函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：导数的概念 【例1】已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2】函数在处的导数可表示为，即（    ）． A． B． C． D． 【例3】设在可导，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知函数在处的导数为2，则（    ） A．－2 B．2 C．－1 D．1 2.设函数在处可导，且，则等于（    ） A．2 B． C． D． 3.若函数在处的导数为1，则（    ） A．2 B．3 C．－2 D．－3 题型三：导数的基本运算 【例1】下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】求下列函数的导数： (1)； (2)；(3) 【例3】已知函数（是的导函数），则（       ） A． B． C． D． 【例4】下列求导运算错误的是（    ）. A． B． C． D． 【例5】（多选题）下列结论正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型专练】 1.下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数的导数是，且满足，则 __________． 3.已知，则（ ） A． B． C． D． 4.下列导数运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5.下列求导不正确的是（ ） A． B． C． D． 导数的几何意义切线方程 考点一：曲线在点处的切线方程 ①把切点的横坐标带入导函数，得 ②又因切点为，利用点斜式直接写出切线为 考点二：过一点的切线方程 ①设切点为，则斜率 ②利用切点和斜率写出切线方程为：， ③又因为切线方程过点，点入切线得然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目是在点处（为切点），还是过点的切线（不一定为切点） 题型一：曲线在点处的切线方程 【例1】曲线在点处的切线方程为（       ） A． B． C． D． 【例2】函数的图象在点处的切线方程为___________. 【例3】若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例4】曲线在点处的切线方程为___________. 【题型专练】 1.函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2.曲线在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数则曲线在点处的切线方程为_______. 4.已知曲线在点处的切线方程为，则 A． B． C． D． 题型二：过一点的切线方程 【例1】函数过点的切线方程为（       ） A． B． C．或 D．或 【例2】过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为（       ） A．e B．1 C． D． 【例3】若直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D． 【题型专练】 1.曲线过点的切线方程是（       ） A． B． C． D． 2.已知函数，过原点作曲线的切线，则直线的方程为____________ 3.已知曲线的一条切线是，则实数________． 利用导数研究函数单调性 考点一：利用导数判断函数单调性的方法 ①求函数的定义域（常见的）； ②求函数的导数，如果是分式尽量通分，能分解因式要分解因式； ③令，求出根，数轴标根，穿针引线，注意系数的正负； ④判断的符号，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 考点二：已知函数的单调性求参数问题 ①若在上单调递增，则在恒成立（但不恒等于0）； ②若在上单调递减，则在恒成立（但不恒等于0）． 【方法技巧与总结】 求函数的单调区间的步骤如下： （1）求的定义域 （2）求出，通分，分解因式 （3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线. （4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开. 题型一：利用导数求函数的单调区间 【例1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【例2】函数的单调递增区间是（       ） A． B． C． D． 【例3】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【例4】函数的单调增区间为_________. 【例5】已知函数.求的单调区间. 【例6】函数，若曲线在点处的切线方程为：. (1)求的值； (2)求函数的单调区间. 【题型专练】 1.函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2.函数，则的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 3.函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4.函数的单调递减区间为（      ） A．（0，2） B．（2，3） C．（1，3） D．（3，+∞） 5.函数的单调增区间为_________. 题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 【例1】（2022·河南·高三阶段练习（文））如图为函数（其定义域为）的图象，若的导函数为，则的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【例2】（2022·四川·遂宁中学外国语实验学校高三开学考试（理））设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（    ） A．B．C．D． 【题型专练】 1.如图是的图像，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数的图象是下列四个图象之一，函数的图象如图所示，则函数图象是（    ） A．B．C．D． 【方法技巧与总结】 原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）. 题型三：已知含量参函数在区间上单调性求参数范围 【例1】已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3】已知函数的单调递减区间为，则（    ）. A． B． C． D． 【题型专练】 1.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是_______. 导数研究函数含参数单调性 考点一：含参数单调性讨论 ①先求函数定义域； ②求导，化简，通分，分解因式； ③系数有未知数，先考虑系数的情况；再考虑情况，求出的根，判断根与定义域，及根的大小关系，穿针引线，判断导函数正负，进而判断单调性； ④若不能分解因式，若分子为二次函数则考虑讨论判别式，若不是二次函数可以考虑二次求导 题型一：导函数为一次函数型 【例1】已知函数.讨论函数的单调性. 【例2】已知函数.讨论函数的单调性. 【题型专练】 1.已知函数，．求的单调区间. 2.已知函数，讨论函数的单调性。 题型二：导函数为二次可分解因式型 【例1】已知函数．试讨论的单调区间。 【例2】已知函数 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递增区间. 【题型专练】 1.已知函数．讨论的单调性. 2.设函数. (1)讨论的单调性； (2)若直线是曲线的切线，求a的值. 3.已知函数，.讨论函数的单调性. 导数与极值 考点一：函数的驻点 若，我们把叫做函数的驻点． 考点二：函数的极值点与极值 ①极大值点与极大值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作，其中叫做函数的极大值点 ②极小值点与极小值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作，其中叫做函数的极小值点 考点三：求可导函数极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注意：可导函数在满足是在取得极值的必要不充分条件，如，，但不是极值点. 题型一：求函数的极值与极值点 （1）求函数的定义域； （2）求导； （3）解方程，当； （4）列表，分析函数的单调性，求极值： ①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值； ②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值 【例1】函数的极小值为( ) A．0 B． C． D． 【例2】函数在处（    ） A．有极大值 B．无极值 C．有极小值 D．无法确定极值情况 【例3】【多选】下列关于极值点的说法正确的是（    ） A．若函数既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值 B．在任意给定区间上必存在最小值 C．的最大值就是该函数的极大值 D．定义在上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点 【题型专练】 1．已知函数，则（    ） A．在上为增函数 B．在上为减函数 C．在上有极大值 D．在上有极小值 2．若函数，则（    ） A．既有极大值，也有极小值 B．有极小值，无极大值 C．有极大值，无极小值 D．既无极大值，也无极小值 3.设，则函数（    ） A．有且仅有一个极小值 B．有且仅有一个极大值 C．有无数个极值 D．没有极值 4.已知函数，那么（    ） A．有极小值，也有大极值 B．有极小值，没有极大值 C．有极大值，没有极小值 D．没有极值 题型二：利用导函数图像判断极值 【例1】已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 【例2】设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数有极大值和 B．函数有极小值和 C．函数有极小值和极大值 D．函数有极小值和极大值 【例3】【多选】已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（    ） A．是函数的极值点 B．在区间上单调递减 C．函数在处取得极小值 D．的图象在处的切线斜率小于零 【题型专练】 1．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．函数在区间单调递增 B．函数在区间单调递减 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极小值 2．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．函数有极大值和极小值 B．函数有极大值和极小值 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 3.【多选】如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 题型三：根据极值、极值点求参数的值 解含参数的极值问题要注意： ①是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验； ②若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值． 【例1】函数在处取极小值，则（    ） A．6或2 B．或 C．6 D． 【例2】若函数的极小值点是，则的极大值为( ) A． B． C． D． 【例3】函数在处有极大值，则a的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．无答案 【题型专练】 1.设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为________ 2.函数在处有极值，则的值为（ ） A． B． C． D． 导数与最值 考点一：函数的最值 一个连续函数在闭区间上一定有最值，最值要么在极值点处取得，要么在断点处取得。 求函数最值的步骤为： ①求在内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 题型一：利用导数求函数的最值（不含参） 【例1】函数在上的最大值、最小值分别是（ ） A． B． C． D． 【例2】函数在[0，2]上的最大值是( ) A． B． C．0 D． 【例3】设，在上，以下结论正确的是 （    ） A．的极值点一定是最值点 B．的最值点一定是极值点 C．在上可能没有极值点 D．在上可能没有最值点 【例4】已知函数，，则函数的最大值为（       ） A．0 B． C． D． 【例5】已知函数在x=2处取得极小值，则在上的最大值为______． 【题型专练】 1.（多选）下列结论中不正确的是（    ）. A．若函数在区间上有最大值，则这个最大值一定是函数在区间上的极大值 B．若函数在区间上有最小值，则这个最小值一定是函数在区间上的极小值 C．若函数在区间上有最值，则最值一定在或处取得 D．若函数在区间内连续，则在区间内必有最大值与最小值 2.函数y＝的最大值为( ) A．e－1 B．e C．e2 D．10 3.函数在上的最小值为___________． 4.函数在上的最大值为（　　） A． B．π C． D． 5.在区间上的最小值是（       ） A． B．1 C． D． 题型二：根据最值求参数 【例1】已知函数（为常数），在区间上有最大值，那么此函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知函数（），，的最大值为3，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.若函数在区间上的最大值是4，则m的值为(    ) A．3 B．1 C．2 D． 2.已知函数（a是常数）在上有最大值3，那么它在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.若函数在区间上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为（    ） A．-5 B．7 C．10 D．-19 题型三：含参数最值讨论问题 【例1】已知函数. （1）若，求函数在区间上的最大值与最小值； （2）若函数的最小值为0，求实数的值. 【题型专练】 1.若函数在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（    ） A．－2 B．－1 C．2 D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$