第四章 数列 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

选择性必修2学习材料---数列 数列的基本知识与概念 考点一：数列的概念 ①数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． ②数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． ③数列有三种表示法：列表法、图象法和通项公式法． 考点二：数列的分类 ①按照项数分：有限数列和无限数列 ②按照单调性分： 考点三：数列的常用的表示方法 ①通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即． ②递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 考点四：周期数列 题型一：数列的基本概念 【例1】现有下列说法： ①元素有三个以上的数集就是一个数列； ②数列1，1，1，1，…是无穷数列； ③每个数列都有通项公式； ④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2】下列有关数列的说法正确的是（    ） A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列 C．数列2，4，6，8可表示为 D．数列中的每一项都与它的序号有关 【题型专练】 1．下列说法中正确的是（    ） A．数列，，，可以表示为 B．数列，，，与，，，是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列与是相同的 2.（多选）下面四个结论正确的是（    ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 C．数列的图像是一系列孤立的点 D．数列的项数是无限的 题型二：观察法求数列的通项 【例1】在数列中，第9个数是（    ） A． B．3 C． D．10 【例2】若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（    ）． A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项 【例3】数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【例4】若数列的前6项为：1，，，，，，则数列的通项为（    ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．已知一组数据2，5，10，17，26，…，按此规律可以得到第100个数为（    ） A．9802 B．9991 C．10001 D．10202 2.数列， ， ， ，……的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 3.（多选）下列可作为数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的是（    ） A． B． C． D． 4.已知数列，，，，，…，则是该数列的第______项． 题型三：数列的周期性 【例1】数列满足，，则等于（    ） A． B． C．2 D． 【例2】设数列满足且，则（    ） A． B． C． D．3 【题型专练】 1.数列满足，，其前项积为，则等于（ ） A． B． C． D． 2.已知数列中，，，则等于（       ） A． B． C．-1 D．2 题型四：数列的单调性 【例1】数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（    ） A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D． 【题型专练】 1.设函数，数列满足，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：数列的最大（小）项 【例1】已知数列满足，则数列的最小值为（       ） A． B． C． D． 【例2】已知数列的通项公式为，则取最大值时，___________. 【例3】已知数列的通项公式为，则的最小值为___________. 【题型专练】 1.已知数列的通项公式为， (1)依次写出数列的前项； (2)研究数列的单调性，并求数列的最大项和最小项． 2.在数列中，. (1)求证：数列先递增后递减； (2)求数列中的最大项. 等差数列的通项及性质 考点一：等差数列的基本概念及公式 ①等差数列的定义：（或者）． ②等差数列的通项公式：，通项公式的推广： ③等差中项：若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有（）． 考点二：等差数列通项的性质 ①通项下标和性质：在等差数列中，当时，则． 特别地，当时，则． ②等差数列通项的性质：，所以当时，等差数列的通项为关于的一次函数，即． 题型一：等差数列通项公式运用 【例1】在等差数列中，若，，则（    ） A．195 B．196 C．197 D．198 【例2】在数列中，，，若，则（    ） A．671 B．672 C．673 D．674 【例3】已知等差数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【例4】（1）在等差数列中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________. （2）已知等差数列中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________. 【例5】在等差数列中，，且 （1）求数列的首项､公差； （2）设，若，求正整数m的值. 【题型专练】 1．已知等差数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2.在等差数列中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3.在数列中，，，则的值为（    ） A．52 B．51 C．50 D．49 4.(多选)等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则（    ） A．公差d＝－4 B．a2＝7 C．数列{an}为递增数列 D．a3＋a4＋a5＝84 5.已知数列为等差数列，，，则公差d为______． 6.设是公差为－2的等差数列，如果，那么______． 7.已知等差数列满足，则____________． 8.存在条件：①，；②，；③，．在这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列满足______．求数列的通项公式． 题型二：等差中项问题 【例1】已知，，则a，b的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C． D．3 【题型专练】 1.已知数列8，a，2，b，c是等差数列，则___________. 题型三：等差数列通项的性质 【例1】已知数列是等差数列，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【例2】已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【例3】已知等差数列中，，，则等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【题型专练】 1．设是等差数列，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列为等差数列，，则（    ） A．9 B．12 C．15 D．16 3．已知数列是等差数列，且满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知数列为等差数列，若，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．在等差数列中，若，则______． 7．在等差数列中，若，则________． 题型四：整体看成等差数列问题 【例1】定义：在数列中，若对任意的都满足（d为常数），则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】已知数列，均为等差数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【例3】【多选】已知等差数列，若，，则（    ） A．数列的公差 B．数列的公差 C． D． 【题型专练】 1．【多选】在数列中，若（，，为常数），则称为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有（    ） A．若是等差数列，则是等方差数列 B．数列是等方差数列 C．若数列既是等方差数列，又是等差数列，则数列一定是常数列 D．若数列是等方差数列，则数列（，为常数）也是等方差数列 2．已知是等差数列，且，，则______． 3．已知数列中各项为非负数，，，若数列为等差数列，则______． 4．数列中，，，若数列是等差数列，则__________． 题型五：等差数列通项新文化试题 【例1】中国古代有一道数学题：“今有七人差等均钱，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，问戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱，所分得的钱数构成等差数列，甲、乙两人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，则戊、己两人各分得多少文钱？则下列说法正确的是（    ） A．戊分得34文，己分得31文 B．戊分得31文，己分得34文 C．戊分得28文，己分得25文 D．戊分得25文，己分得28文 【例2】《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为（    ） A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 【题型专练】 1．【多选】《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则（    ） A．冬至的日影子长最长，为15.5尺 B．立夏比谷雨的日影子长多1尺 C．大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列 D．清明的日影子长为8.5尺 2.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升. 3.《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为尺，春分当日日影长为尺，则立夏当日日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 等差数列的前项和及性质 考点一：等差数列的前项和公式 考点二：等差数列前项和的性质 等差数列前n项和的常用性质：，所以当时，等差数列的前n项和为关于的二次函数且没有常数项，即 因为 当时，开口向上，有最小值； 当时，开口向下，有最大值； 题型一：等差数列求和公式基本运用 【例1】已知等差数列的前n项和为，若，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】已知等差数列的前项和为．若，，则（       ） A．72 B．74 C．75 D．76 【例3】北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知每层圈数相同，共有9圈，则下层比上层多______块石板． 【题型专练】 1.记为等差数列的前项和.若，，则（       ） A． B． C． D． 2.设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 3.已知等差数列中，为数列的前项和，则（       ） A．115 B．110 C． D． 题型二：利用等差数列的性质求和 【例1】设等差数列的前项和为，若则（    ） A．150 B．120 C．75 D．60 【例2】已知等差数列的前n项和为，且，则（       ） A．74 B．81 C．162 D．148 【题型专练】 1.已知数列为等差数列，其前项和为，则___________. 2.已知等差数列的前项和为，若，则（       ） A．60 B．75 C．90 D．105 题型三：等差数列片段和的性质及应用 【例1】已知等差数列的前n项和为，若，，则等于（    ） A．110 B．150 C．210 D．280 【例2】已知数列是等差数列，，则（    ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.等差数列的前n项和为，若，，则（    ）． A．27 B．45 C．18 D．36 2.设等差数列的前项和为，若，，则______． 3.在前n项和为的等差数列中，，，则______． 题型四：等差数列前项和与的比构成新的等差数列 【例1】已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（    ） A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040 【例2】在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（    ） A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018 2.等差数列的前项和为，若且，则(       ) A． B． C． D． 题型五：等差数列前n项和的最值 【例1】等差数列的前n项和为.已知，.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2】记为等差数列的前项和，且，，则取最大值时的值为（    ） A．12 B．12或11 C．11或10 D．10 【例3】设是等差数列的前项和，，，当取得最小值时，（    ） A．1 B．4 C．7 D．8 【题型专练】 1.已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（    ） A． B．52 C．54 D．55 2.设等差数列的前n项和为，，，取最小值时，n的值为（    ） A．11或12 B．12 C．13 D．12或13 3.已知等差数列的前n项和为.若，且，则的n的最大值是（    ） A．5 B．6 C．10 D．11 4.设等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值. 题型六：对于含绝对值的数列求和问题 【例1】已知数列为等差数列，且，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)求数列的前项和. 【例2】等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【题型专练】 1.已知在前n项和为的等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前20项和． 2.已知数列是等差数列，公差为d，为数列的前n项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 等比数列的通项及性质 考点一：等比数列的基本概念及公式 ①等比数列的定义：（或者）． ②等比数列的通项公式：． ③等比中项：若三个数，，成等比数列，则叫做与的等比中项，且有（）． 考点二：等比数列通项的性质 ①通项下标和性质：在等比数列中，当时，则． 特别地，当时，则． ②等比数列通项的性质：，所以等比数列的通项为指数型函数． 题型一：等比数列的通项公式基本运算 【例1】等比数列中，，．则的公比q为（       ） A．2 B．2或 C． D．3 【例2】在数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.设是等比数列，且，，则（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 2.在等比数列中，若，，则（    ） A．6 B． C． D． 3.已知等比数列满足，，则（    ） A．18 B．24 C．30 D．42 题型二：等比中项问题 【例1】和的等差中项与等比中项分别为（    ） A．， B．2， C．， D．1， 【例2】若依次成等差数列的三个实数a，b，c之和为12，而a，b，又依次成等比数列，则a＝______． 【题型专练】 1.在等比数列中，，则和的等比中项为________． 2.在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（       ） A． B． C． D．10 题型三：等比数列通项下标的性质及应用 【例1】若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（    ） A． B．1011 C． D．1012 【例2】已知为等比数列，，，则（    ） A．1 B．-1 C．1或-8 D．-8 【例3】设是由正数组成的等比数列，公比，且，那么（    ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2.在等比数列中，，，则（    ） A．5 B．7 C．－5 D．－7 3.在正项等比数列中，若，，则公比（    ） A． B．或 C． D．或 4.已知等比数列的各项均为正数，且______． 题型四：等比数列通项新文化试题 【例1】已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（       ） A．420只 B．520只 C． 只 D． 只 【例2】十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0，1］平均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别平均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…；如此这样．每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别平均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（       ）（参考数据：） A． B． C． D． 【题型专练】 1.数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线. 不妨记第个图中的图形的周长为，则（       ） A． B． C． D． 2.1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（       ）． A．7 B．8 C．9 D．10 等比数列的前项和及性质 　　　　　　　　　　　　　　 考点一：等比数列的前n项和公式 等比数列的前项和公式： 考点二：等比数列的前n项和公式的性质 等比数列前n项和的常用性质：，即，其中 题型一：等比数列求和公式基本运用 【例1】设正项等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．510 B．511 C．1022 D．1023 【例2】中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（    ） A．该人第五天走的路程为14里 B．该人第三天走的路程为42里 C．该人前三天共走的路程为330里 D．该人最后三天共走的路程为42里 【例3】等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知,，则的值是（    ） A．28     B．32     C．35     D．41 【题型专练】 1.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了（    ） A．192 里 B．96 里 C．48 里 D．24 里 2.已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（    ） A． B．2 C． D．3 3.设正项等比数列的前项和为，若，，则公比（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4.设是正项等比数列，为其前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 题型二：等比数列前项片段和的性质及应用 【例1】设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.等比数列的前n项和为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 2.等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12 3.设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C．5 D．7 题型三：等比数列前项和新文化试题 【例1】中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（    ） A．该人第五天走的路程为14里 B．该人第三天走的路程为42里 C．该人前三天共走的路程为330里 D．该人最后三天共走的路程为42里 【例2】我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织出的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天织布多少？”这个问题体现了古代对数列问题的研究．某数学爱好者对于这道题作了以下改编：有甲、乙两位女子，需要合作织出尺布．两人第一天都织出一尺，以后几天中，甲女子每天织出的布都是前一天的倍，乙女子每天织出的布都比前一天多半尺，则两人完成织布任务至少需要（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【题型专练】 1.费马数是以法国数学家费马命名的一组自然数，具有形式为记做，其中为非负数．费马对，，，，的情形做了检验，发现这组费马公式得到的数都是素数，便提出猜想：费马数是质数．直到年，数学家欧拉发现为合数，宣布费马猜想不成立．数列满足，则数列的前项和满足的最小自然数是（    ） A． B． C． D． 题型四：等差等比数列的判定 【例1】（多选题）已知等比数列{}中，满足，，则（       ） A．数列{}是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列{}中，仍成等比数列 【例2】【多选】设是等比数列，则下列四个命题正确的是（       ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【题型专练】 1.【多选】等差数列的前项和为，数列为等比数列，则下列说法正确的选项有 （       ） A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等比数列 C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列 数列的通项公式 题型一：观察法求数列通项 【例1】（1）数列，，，，…的一个通项公式为=______； （2）数列，，，，…的一个通项公式为=______； （3）数列1，11，111，1111，…的一个通项公式为=______． 【题型专练】 1.猜想数列，，，，，，…的通项公式___________. 2.数列，，，，…的一个通项公式是______． 题型二：已知，求 【例1】已知数列的前项和是，且，求的通项公式． 【例2】已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【例3】数列满足，则（    ） A．64 B．128 C．256 D．512 【例4】设数列满足，则的前n项和（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知数列的前项和，则______. 2.已知数列满足，求的通项公式． 3.已知数列，满足，则_______. 题型三：叠加法（累加法）求通项 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 具体步骤： ... ... 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得： = 整理得：= 【例1】在数列中，，，则数列______． 【例2】已知是等差数列的前项和，其中，数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知，，求通项________. 2.已知数列满足，，则______． 3.已知数列，，，则数列的通项公式______，其前n项和______． 题型四：叠乘法（累乘法）求通项 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 具体步骤： ... ... 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 【例1】已知数列满足，，则的通项公式为___________. 【题型专练】 1.在数列中，（n∈N*），且，则数列的通项公式________. 2.数列满足：，，则数列的通项________________. 题型五：用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。 【例1】已知数列满足，且，求的通项公式。 【例2】已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及前项的和. 【题型专练】 1.在数列中，，，则通项公式______． 2.设数列满足，且，则数列的通项公式为___________. 题型六：用“同除法”构造等差数列 形如，的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式 形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 【例1】已知数列满足，，，则满足的n的最大取值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【例2】已知正项数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，记数列的前n项和为，证明：． 【题型专练】 1．已知数列满足，且，则数列的通项公式为______． 2．已知数列的通项公式为， (1)求数列的通项公式. (2)若，求满足条件的最大整数值. 题型七：已知通项公式与前项的和关系求通项问题 【例1】若数列的前项和为，则数列的通项公式是___________. 【例2】数列的前项和记为，己知，． (1)求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，证明：． 【题型专练】 1．设数列的前n项和为，已知.求数列的通项公式； 2.已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和． 数列求和 题型一：等差等比通向求和公式应用 根据通项公式的特点求和： （1）等差数列求和公式： （2）等比数列求和公式： 【例1】已知数列为等差数列，，． (1)求数列的通项； (2)设，求数列的前n项和. 【例2】已知数列为等比数列，，且是与的等差中项． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【题型专练】 1.记为等比数列的前项和.已知，. (1)求的通项公式； (2)求，判断，，是否成等差数列并说明理由. 2.设是首项为的等比数列，且、、成等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，求的前项和． 题型二：分析通项，构造新数列求和 【例1】在公差不为零的正项等差数列中，为数列的前项和，请在 ①，；②； ③，，成等比数列，三个条件中，任选一个完成下面的问题． (1)求数列的通项公式； (2)正项数列满足，求． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【题型专练】 1.已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项. (1)求数列的通项公式： (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值. 2.为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如. (1)求； (2)求数列的前2022项和. 题型三：错位相减法求和 通项公式特点：等差等比，比如，其中代表一个等差数列的通项公式（关于的一次函数），代表一个等比数列的通项公式（关于的指数型函数），那么便可以使用错位相减法 方法详解：以为例，设其前项和为 ①先将写成项和的形式 （前三后二，等差求出来，等比不要动） ② 两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列（两边同时乘以公比，后错一位） 发现乘完公比后，对比原式项的次数，新等式的每项向后挪了一位。 ③ 然后两式相减： 除了首项与末项，中间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出即可 所以 【例1】给出以下条件： ①，，成等比数列；②，，成等比数列；③．从中任选一个条件，补充在题目中的横线上，再解答． 已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______． (1)求数列的通项公式； (2)若是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列的前n项的和． 【例2】设数列的前项和为，已知，再从以下三个条件中，任意选择一个，并解决下面两个问题． ①； ②； ③． (1)求数列的通项公式， (2)若数列满足，求数列的前项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【题型专练】 1.已知公差不为零的等差数列和等比数列，满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为．若表示不大于m的正整数的个数，求． 2.若数列满足，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型四：分组求和法 分组求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加。 例： 可知通项公式为，那么在求和的过程中可拆成3部分：分别求和后再相加 【例1】已知数列{}满足，． (1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【例2】已知数列的前n项和为 (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【题型专练】 1.已知数列满足，且． (1)若，证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 题型五：裂项相消法求和 通项公式特点：的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多 方法详解：以为例 ① 裂项：考虑（这里），在裂项的过程中把握两点：一是所裂两项要具备“依序同构”的特点，比如这里的结构相同，且分母为相邻的两个数；二是可以先裂再调：先大胆的将分式裂成两项的差，在将结果通分求和与原式进行比较并调整（调整系数），比如本题中，在调整系数使之符合通项公式即可 ② 求和：设前项和为 ，求和的关键在于确定剩下的项。通过观察可发现正项中没有消去，负项中没有消去。 所以 一般来说，裂开的项中有个正项，个负项，且由于消项的过程中是成对消掉。所以保留项中正负的个数应该相同。 【例1】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【例2】已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足 (1)求数列{}的通项公式： (2)已知数列{}满足，设数列{}的前n项和为，求的最小值. 【例3】已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)，是数列的前项和，求． 【题型专练】 1．记为等比数列的前项和.已知，且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求. 2.记为数列的前项和，已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：． 从①   ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选择性必修2学习材料---数列 数列的基本知识与概念 考点一：数列的概念 ①数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． ②数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． ③数列有三种表示法：列表法、图象法和通项公式法． 考点二：数列的分类 ①按照项数分：有限数列和无限数列 ②按照单调性分： 考点三：数列的常用的表示方法 ①通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即． ②递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 考点四：周期数列 题型一：数列的基本概念 【例1】现有下列说法： ①元素有三个以上的数集就是一个数列； ②数列1，1，1，1，…是无穷数列； ③每个数列都有通项公式； ④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答. 【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确； 对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确； 对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值， 依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确； 对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等， 即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确； 对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确， 所以说法正确的个数是1. 故选：B 【例2】下列有关数列的说法正确的是（    ） A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列 C．数列2，4，6，8可表示为 D．数列中的每一项都与它的序号有关 【答案】D 【分析】根据数列的定义和表示方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，常数列中任意两项都是相等的，所以A不正确； 对于B中，数列，0，2与2，0，中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确； 对于C中，表示一个集合，不是数列，所以C不正确； 对于D中，根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确. 故选：D. 【题型专练】 1．下列说法中正确的是（    ） A．数列，，，可以表示为 B．数列，，，与，，，是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列与是相同的 【答案】C 【分析】根据数列的相关概念逐一判断 【详解】对于A，是一个集合，故A错误； 对于B，两个数列中的数虽然相同，但顺序不同，不是相同的数列，故B错误； 对于C，，故C正确 对于D，数列与是不同的，表示数列，，，…，，…，而表示数列中的第n项，故D错误. 故选：C. 2.（多选）下面四个结论正确的是（    ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 C．数列的图像是一系列孤立的点 D．数列的项数是无限的 【答案】BC 【分析】根据数列的相关概念逐一判断即可. 【详解】对于A，数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是不同的数列，故错误； 对于B，由数列的定义可知正确； 对于C，由数列的，可知正确； 对于D，根据数列的项可以分为有穷数列和无穷数列，故错误. 故选:BC. 题型二：观察法求数列的通项 【例1】在数列中，第9个数是（    ） A． B．3 C． D．10 【答案】B 【分析】观察分析可得数列通项为. 【详解】观察题目中的数列可知，根号里面的数是公差为1的等差数列，即，第9个数为，即3． 故选：B 【例2】若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（    ）． A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项 【答案】D 【分析】根据给定的4项，写出数列的一个通项公式即可计算作答. 【详解】因，因此符合题意的一个通项公式为， 由解得：， 所以是这个数列的第15项. 故选：D 【例3】数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据0.3，0.33，0.333，0.3333，…与9，99，999，9999，…的关系，结合9，99，999，9999，…的通项公式求解即可. 【详解】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是． 故选：C． 【例4】若数列的前6项为：1，，，，，，则数列的通项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察每项的特点，分别确定项的符号以及分子分母上的数的规律，即可找出数列的通项公式. 【详解】通过观察这一列数，发现分子等于各自的序号数，且奇数位置为正，偶数位置为负， 故用表示各项的正负；而分母是以1为首项，2为公差的等差数列， 故第n项的分母为，所以数列的通项可为， 故选：D 【题型专练】 1．已知一组数据2，5，10，17，26，…，按此规律可以得到第100个数为（    ） A．9802 B．9991 C．10001 D．10202 【答案】C 【分析】由所给的数据写出数列的一个通项公式，从而可求出其第100个数 【详解】因为2，5，10，17，26，…的一个通项公式为， 所以第100个数为， 故选：C 2.数列， ， ， ，……的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分母构成等差数列即可求出. 【详解】数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为， 所以. 故选：C. 3.（多选）下列可作为数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据选项，分为奇数和为偶数，两种情况判定，即可求解. 【详解】对于A中，，当为奇数时，；当为偶数时，，满足题意； 对于B中，，当为奇数时，；当为偶数时，，满足题意； 对于C中，，当为奇数时，；当为偶数时，，满足题意； 对于D中，，当为奇数时，；当为偶数时，，不满足题意. 故选：ABC 4.已知数列，，，，，…，则是该数列的第______项． 【答案】21. 【分析】观察通项公式，解方程即可. 【详解】解析  设该数列的第n项为，则，，，…， 所以．令，得n＝21． 故答案为：21. 题型三：数列的周期性 【例1】数列满足，，则等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据递推关系得出数列前几项，归纳可知数列具有周期性，利用周期求解即可. 【详解】因为，， 所以，，，，，…， 所以数列是周期数列，周期为3，所以， 所以. 故选：A. 【例2】设数列满足且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】由题意首先确定数列为周期数列，然后结合数列的周期即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：，， ，， 据此可得数列是周期为4的周期数列， 则. 故选：D 【题型专练】 1.数列满足，，其前项积为，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 依次代入可得是以为周期的周期数列，由可推导得到结果． 【详解】 当时，；当时，；当时，；当时，；…，数列是以为周期的周期数列， ， ． 故选：D． 2.已知数列中，，，则等于（       ） A． B． C．-1 D．2 【答案】D 【解析】解：∵，， ∴， ∴，，，，…， ∴数列是以3为周期的周期数列，，∴， 故选：D． 题型四：数列的单调性 【例1】数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（    ） A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D． 【答案】D 【分析】由题意可得对于都成立，化简求解即可求出的取值范围 【详解】因为数列{}的通项公式为，且{}为递增数列， 所以对于都成立， 所以对于都成立， 即， 所以对于都成立， 所以对于都成立， 所以， 即的取值范围是， 故选：D 【题型专练】 1.设函数，数列满足，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，分段函数两段均为增函数，再结合数列的性质求解． 【详解】由题意，解得． 故选：A． 题型五：数列的最大（小）项 【例1】已知数列满足，则数列的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 又，，， 即的最小值为． 故选：A． 【例2】已知数列的通项公式为，则取最大值时，___________. 【答案】或. 【分析】判断取最大值时，一定有 ，由此设为数列的最大项，列出不等式组，求得n的取值范围，可得答案. 【详解】由可得当时，，当时，， 当时，，故取最大值时，一定有 ， 设为数列的最大项， 则 ，即 ，解得， 则或，此时， 故答案为：或. 【例3】已知数列的通项公式为，则的最小值为___________. 【答案】## 【分析】由，得到数列为递增数列求解. 【详解】因为， 易知数列为递增数列， 所以数列的最小项为，即最小值为. 故答案为： 【题型专练】 1.已知数列的通项公式为， (1)依次写出数列的前项； (2)研究数列的单调性，并求数列的最大项和最小项． 【答案】(1)，，，，； (2)答案见解析. 【分析】（1）分别将代入通项公式即可； （2）由可知当时，；当时，，并可得到在每一段上的单调性，由此可确定最值. (1) 由题意得：，，，，. (2) ， 当时，且递增；当时，且递增； ；. 2.在数列中，. (1)求证：数列先递增后递减； (2)求数列中的最大项. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由于，所以分别由，和求出所对应的的范围，从而可证得结论， （2）由（1）可得是数列的最大项 (1) 证明：因为，令， 即，整理得，解得，即当时，. 同理，令， 即当时，. 令，得， 即当时，. 综上，数列从第1项到第8项递增，从第9项起递减，即数列先递增后递减. (2) 由（1）知，，， 故是数列中的最大项. 等差数列的通项及性质 考点一：等差数列的基本概念及公式 ①等差数列的定义：（或者）． ②等差数列的通项公式：，通项公式的推广： ③等差中项：若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有（）． 考点二：等差数列通项的性质 ①通项下标和性质：在等差数列中，当时，则． 特别地，当时，则． ②等差数列通项的性质：，所以当时，等差数列的通项为关于的一次函数，即． 题型一：等差数列通项公式运用 【例1】在等差数列中，若，，则（    ） A．195 B．196 C．197 D．198 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式求解. 【详解】解：方法一：设等差数列的首项为， 公差为d，则解得 所以， 所以. 方法二：设等差数列的公差为d， 则. . 故选：C 【例2】在数列中，，，若，则（    ） A．671 B．672 C．673 D．674 【答案】D 【分析】分析得到数列是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列通项即得解. 【详解】∵，， ∴ ∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列， ∴，解得. 故选：D. 【例3】已知等差数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设公差为d，利用基本量代换列方程组解出首项和公差，即可写出通项公式. 【详解】在等差数列中，设公差为d，依题意，即 解得公差，，所以. 故选：. 【例4】（1）在等差数列中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________. （2）已知等差数列中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________. 【答案】     20     27 【分析】（1）利用等差数列的性质求解即可， （2）利用等差数列的性质求解，或设等差数列{an}的公差为d，利用已知条件求出公差，再利用等差数的性质求解 【详解】（1）3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20. （2）法一　由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列， 所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27. 法二　设等差数列{an}的公差为d，则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6， 解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27. 故答案为：（1）20　（2）27 【例5】在等差数列中，，且 （1）求数列的首项､公差； （2）设，若，求正整数m的值. 【答案】（1）数列的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3；（2）6. 【分析】（1）根据条件，列出两个关于首项和公差的方程，然后解方程即可； （2）由（1）求出数列的通项，然后再求出，再根据求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，前n项和为，由已知可得： 或， 即数列的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3. （2）由（1）可知或 当时，，又，而不满足题意； 当时，，又， 所以， 整理得，因为m为正整数，所以m=6. 【题型专练】 1．已知等差数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出等差数列的公差的值，由此可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 因此，. 故选：B. 2.在等差数列中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出等差数列的公差的值，利用等差数列的通项公式结合已知条件可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 所以，，解得. 故选：A. 3.在数列中，，，则的值为（    ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【分析】由题判断出函数为等差数列，即可求出. 【详解】由题意，数列满足，即， 又由，所以数列为 首项为2，公差为的等差数列， 所以. 故选：A． 4.(多选)等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则（    ） A．公差d＝－4 B．a2＝7 C．数列{an}为递增数列 D．a3＋a4＋a5＝84 【答案】BC 【分析】根据等差数列性质公式及基本量计算，对选项一一判断即可． 【详解】解析：∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7． ∵a1＝3，∴d＝4．∴数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15． ∴a3＋a4＋a5＝3a4＝45． 故选：BC 5.已知数列为等差数列，，，则公差d为______． 【答案】2 【分析】由等差数列性质得，即可求得公差d 【详解】数列为等差数列，则，可解得. 故答案为：2 6.设是公差为－2的等差数列，如果，那么______． 【答案】－82 【分析】根据等差数列通项公式化简求解. 【详解】∵是公差为－2的等差数列， ∴． 故答案为：-82 7.已知等差数列满足，则____________． 【答案】 【分析】利用表示，整理可得. 【详解】设等差数列的公差为，则由得：， 整理可得：，即. 故答案为：. 8.存在条件：①，；②，；③，．在这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列满足______．求数列的通项公式． 【答案】 【分析】不管选择哪个条件，都是求首项和公差，再求通项公式. 【详解】若选择①，， 数列的通项公式， 即； 若选择②，，解得：，， 数列的通项公式； 若选择条件③ ，解得：，， 数列 的通项公式. 题型二：等差中项问题 【例1】已知，，则a，b的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差中项的定义求解. 【详解】由等差中项的定义得： 则a，b的的等差中项为： ， ． 故选：A． 【例2】已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C． D．3 【答案】D 【分析】利用等差中项的定义即求. 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴和的等差中项是． 故选：D. 【题型专练】 1.已知数列8，a，2，b，c是等差数列，则___________. 【答案】 【分析】根据等差中项的性质即可求解. 【详解】解：因为8，a，2，b，c是等差数列， 所以 解得 所以. 故答案为：. 题型三：等差数列通项的性质 【例1】已知数列是等差数列，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项的性质求出的值，进而可求得结果. 【详解】由等差中项的性质可得，可得，因此，. 故选：B. 【例2】已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意和等差中项的性质可知数列为等差数列，进而可得，结合诱导公式计算即可. 【详解】由题意知，， 由等差数列的等差中项，得数列为等差数列， 又，所以， 则， 所以. 故选：B 【例3】已知等差数列中，，，则等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】利用等差中项的定义直接求得. 【详解】在等差数列中，由等差中项的定义可得：，， 所以． 故选：C 【题型专练】 1．设是等差数列，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列性质可知，，成等差数列，由此可构造方程求得结果. 【详解】解：是等差数列，，，成等差数列， ，. 故选：C. 2．已知数列为等差数列，，则（    ） A．9 B．12 C．15 D．16 【答案】A 【分析】根据等差数列下标和性质计算可得. 【详解】解：在等差数列中，所以， 所以； 故选：A 3．已知数列是等差数列，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差中项的性质可求得结果. 【详解】由等差中项的性质可得，则，因此，. 故选：C. 4．已知数列为等差数列，若，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】由等差中项的性质进行计算 【详解】由题意得：，所以， 故 故选：D 6．在等差数列中，若，则______． 【答案】180 【分析】利用等差中项的性质即可求值. 【详解】由，故， 所以，则. 故答案为： 7．在等差数列中，若，则________． 【答案】 【分析】根据等差数列下标和性质计算可得； 【详解】解：在等差数列中，因为， 又 所以，解得； 故答案为： 题型四：整体看成等差数列问题 【例1】定义：在数列中，若对任意的都满足（d为常数），则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差比数列的定义可求得的通项公式，将变为，利用通项公式即可求得答案. 【详解】因为为等差比数列，，，， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以， 所以． 故选:C． 【例2】已知数列，均为等差数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的通项公式可求出结果. 【详解】设等差数列，的公差分别为， 则， 所以 . 故选：D 【例3】已知等差数列，若，，则（    ） A．数列的公差 B．数列的公差 C． D． 【答案】BC 【分析】设数列的公差为d，利用基本量代换求出d，再求. 【详解】因为是等差数列，设数列的公差为d，且，， 所以，即， 解得. 所以，解得. 故选：BC. 【题型专练】 1．在数列中，若（，，为常数），则称为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有（    ） A．若是等差数列，则是等方差数列 B．数列是等方差数列 C．若数列既是等方差数列，又是等差数列，则数列一定是常数列 D．若数列是等方差数列，则数列（，为常数）也是等方差数列 【答案】BCD 【分析】利用等方差数列的定义判断. 【详解】A.设等差数列的通项公式，则，不一定是常数， 所以不是等方差数列，故错误； B. 因为，所以数列是等方差数列，故正确； C.因为数列是等方差数列，则，又数列是等差数列，则， 当时，数列是常数列，当时，，所以数列一定是常数列，故正确； D.数列是因为， 则， 所以，所以数列（，为常数）也是等方差数列，故正确； 故选：BCD 2．已知是等差数列，且，，则______． 【答案】 【分析】由条件求出数列公差，再求其通项公式，由此可得数列的通项公式，由此可求. 【详解】因为是等差数列，设其公差为， 因为，， 所以，， 所以，即，又， 所以， 所以，所以， 故答案为：. 3．已知数列中各项为非负数，，，若数列为等差数列，则______． 【答案】. 【分析】求出等差数列的公差后，利用等差数列的通项公式可求出结果. 【详解】因为数列为等差数列，设其公差为， 则，所以， 所以，所以. 故答案为：. 4．数列中，，，若数列是等差数列，则__________． 【答案】 【分析】先设等差数列的公差为，由题中条件求出公差，进而求出等差数列的通项公式，得到的通项，从而得出结果. 【详解】设数列的公差为，因为， 则，所以， 所以， 因此，解得. 故答案为: 题型五：等差数列通项新文化试题 【例1】中国古代有一道数学题：“今有七人差等均钱，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，问戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱，所分得的钱数构成等差数列，甲、乙两人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，则戊、己两人各分得多少文钱？则下列说法正确的是（    ） A．戊分得34文，己分得31文 B．戊分得31文，己分得34文 C．戊分得28文，己分得25文 D．戊分得25文，己分得28文 【答案】C 【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，再根据题意列方程组可解得结果. 【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，， 则，解得， 所以戊分得（文），己分得（文）， 故选：C. 【例2】《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为（    ） A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 【答案】D 【分析】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为的等差数列，则有，，从而可求出，进而可求得结果 【详解】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为的等差数列， 则有，， 故解得则， 故选：D. 【题型专练】 1．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则（    ） A．冬至的日影子长最长，为15.5尺 B．立夏比谷雨的日影子长多1尺 C．大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列 D．清明的日影子长为8.5尺 【答案】ACD 【分析】根据给定条件结合等差数列知识，求出首项、公差，再逐一分析计算作答. 【详解】依题意，从冬至起，日影长依次记为，则数列是等差数列， 因此，，而，解得，又， 设数列的公差为，于是得：，解得，A正确； ，立夏比谷雨的日影子长少1尺，B不正确； 而成等差数列，即大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列，C正确； ，即清明的日影子长为8.5尺. 故选：ACD 2.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升. 【答案】## 【分析】设出数列的公差，进而用基本量表达条件并求出首项和公差，进而求得答案. 【详解】设此等差数列为{an}，公差为d，由题意，所以. 故答案为：. 3.《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为尺，春分当日日影长为尺，则立夏当日日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，春分当日日影长为，所以立夏当日日影长为. 故选：D 等差数列的前项和及性质 考点一：等差数列的前项和公式 考点二：等差数列前项和的性质 等差数列前n项和的常用性质：，所以当时，等差数列的前n项和为关于的二次函数且没有常数项，即 因为 当时，开口向上，有最小值； 当时，开口向下，有最大值； 题型一：等差数列求和公式基本运用 【例1】已知等差数列的前n项和为，若，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】方法一：∵∴ ∴ ∴ ， 方法二：由于是二次函数,当时的函数值，根据二次函数的对称性，由可知，的关于对称，因此， 故选:B 【例2】已知等差数列的前项和为．若，，则（       ） A．72 B．74 C．75 D．76 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，， ，. 故选：C. 【例3】北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知每层圈数相同，共有9圈，则下层比上层多______块石板． 【答案】1458 【详解】设第圈的石板为，由条件可知数列是等差数列，且上层的第一圈为，且，所以， 上层的石板数为，下层的石板数为. 所以下层比上层多块石板. 故答案为：1458 【题型专练】 1.记为等差数列的前项和.若，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为， 由得：，解得：， . 故选：D. 2.设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】C 【分析】设的公差为，依题意得到方程组，解得、，从而得解. 【详解】解：设的公差为，依题意可得， 即，解得，所以； 故选：C. 3.已知等差数列中，为数列的前项和，则（       ） A．115 B．110 C． D． 【答案】D 【解析】设数列的公差为，则由得，解得， ． 故选：D． 4.已知为等差数列，为其前n项和．若，则______． 【答案】 【详解】解：设等差数列的公差为，因为 所以，解得，所以，所以． 故答案为： 题型二：利用等差数列的性质求和 【例1】设等差数列的前项和为，若则（    ） A．150 B．120 C．75 D．60 【答案】D 【分析】由等差数列的性质及求和公式计算即可得解. 【详解】由等差数列的性质可知， 所以， . 故选：D 【例2】已知等差数列的前n项和为，且，则（       ） A．74 B．81 C．162 D．148 【答案】B 【解析】因为是等差数列，所以，即， 所以.故选：B 【题型专练】 1.已知数列为等差数列，其前项和为，则___________. 【答案】55 【分析】根据等差数列性质可求得，化简，即可求得答案. 【详解】由题意知数列为等差数列，设公差为d，， 则，即， 所以， 故答案为：55 2.已知等差数列的前项和为，若，则（       ） A．60 B．75 C．90 D．105 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为，则由题意可得， 故，即，，故. 故选：D 题型三：等差数列片段和的性质及应用 【例1】已知等差数列的前n项和为，若，，则等于（    ） A．110 B．150 C．210 D．280 【答案】D 【分析】根据在等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差数列即可得解. 【详解】因为等差数列{an}的前n项和为Sn， 所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列． 故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)， 所以S30＝150， 又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)， 所以S40＝280. 故选：D. 【例2】已知数列是等差数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列前项和的性质求解即可 【详解】由，得，设，则， 因为数列是等差数列， 所以，……，是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，， 所以， 故选：A 【题型专练】 1.等差数列的前n项和为，若，，则（    ）． A．27 B．45 C．18 D．36 【答案】B 【分析】根据等差数列前项和的性质可得，，成等差数列，从而可列方程可求出结果. 【详解】由已知，，，即6，15，成等差数列， 所以，所以， 故选：B． 2.设等差数列的前项和为，若，，则______． 【答案】32 【分析】由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，进而即得. 【详解】由等差数列前n项和的性质， 可得，，，成等差数列， ∴，解得， ∴ 2，6，10，成等差数列， 可得， 解得. 故答案为：32. 3.在前n项和为的等差数列中，，，则______． 【答案】27 【分析】根据等差数列片段和的性质及等差中项列方程求. 【详解】由等差数列片段和性质：成等差数列， 所以，故. 故答案为：27 题型四：等差数列前项和与的比构成新的等差数列 【例1】已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（    ） A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040 【答案】C 【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列． ∵a1＝﹣2018，， ∴数列{}的公差d，首项为﹣2018， ∴2018+2019×1＝1， ∴S2020＝2020． 故选：C． 【例2】在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列性质可知数列为等差数列，由已知等式可求得其公差，结合等差数列通项公式可求得，进而得到结果. 【详解】数列为等差数列，数列为等差数列，设其公差为， 又，解得：，又， ，. 故选：B. 【题型专练】 1．在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（    ） A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质可知，数列也为等差数列，结合已知条件求出等差数列的首项，即可得到. 【详解】因为为等差数列的前项和，令，则也为等差数列，设其公差为， 由得， 又得. 故选：A． 2.等差数列的前项和为，若且，则(       ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设的公差为d， ∵ ∴， 即{}为等差数列，公差为， 由知， 故﹒ 故选：A﹒ 题型五：等差数列前n项和的最值 【例1】等差数列的前n项和为.已知，.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，列方程求得，再求解的最小值即可. 【详解】解：设等差数列的公差为， 因为等差数列中，，， 所以，解得， 所以，且时， 所以的最小值为. 故选：A 【例2】记为等差数列的前项和，且，，则取最大值时的值为（    ） A．12 B．12或11 C．11或10 D．10 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，由，可解出值为－2，从而可知数列前11项为正；第12项为0；从第13项起，各项为负，所以取得最大值时n的值可确定. 【详解】解：设等差数列的公差为，由，得，即， 又，所以，所以，令，可得， 所以数列满足：当时，；当时，；当时，， 所以取得最大值时，的取值为11或12. 【例3】设是等差数列的前项和，，，当取得最小值时，（    ） A．1 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由等差数列的基本量法求得和，得前项和，确定的单调性，找到中相邻项是一正一负的两项，比较绝对值大小可得结论． 【详解】设数列的公差为， 由已知得，解得， ， 由于，，即时，时，， 所以时，递减，时，递增，其中， 由的表达式得，，， 所时，最小． 故选：D． 【题型专练】 1.已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（    ） A． B．52 C．54 D．55 【答案】D 【分析】利用求和公式可得公差为，进而可得，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 故. 又函数的对称轴为直线， 而， 故当时，取得最大值. 故选：D. 2.设等差数列的前n项和为，，，取最小值时，n的值为（    ） A．11或12 B．12 C．13 D．12或13 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为，根据题意求得首项与公差，从而可求得数列的通项，令，求出的范围，从而可得出答案. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，， 则有，解得， 所以， 令，则， 又，所以当或时，取最小值. 故选：D. 3.已知等差数列的前n项和为.若，且，则的n的最大值是（    ） A．5 B．6 C．10 D．11 【答案】D 【分析】由已知，设出公差，根据题意条件，先求解出数列的通项公式，然后再求解出，再令求解出n的取值范围即可. 【详解】由已知，等差数列中，设公差为，因为，所以， 由可得，，所以，， 令，得，因为，所以. 故选：D. 4.设等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值. 【答案】(1)；(2)，最小值为． 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列前项和公式由列出方程即可解出，从而可得数列的通项公式； （2）根据二次函数的性质或者邻项变号法即可判断何时取最小值，并根据等差数列前项和公式求出以及其最小值． （1） 设等差数列的公差为，由等差数列前项和公式可得 因为，所以，解得， 故. （2） 由等差数列前项和公式可得. 因为，所以，则当或时，取得最小值. 题型六：对于含绝对值的数列求和问题 【例1】已知数列为等差数列，且，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，，(2)， 【分析】（1）根据题意，由等差数列的通项公式，求出和，计算可得结果； （2）由（1）的结论可得数列的前4项均为负数，从第5项开始都为非负数．据此分2种情况求出，综合可得答案. （1） 设的公差为，则 ，解得， 所以，. （2） 由，得， 所以当时，；当时，， 所以当时，； 当时， ， 所以，. 【例2】等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知求出和公差，再由等差数列通项公式求解即可； （2）写出的通项公式，可知当时，，当时，；再利用求和公式分别在两个范围内求解. （1） 由题意得：，解得，； （2） ，当时，，；时，，； 当时，； 当时，；即 ，综上所述：. 【题型专练】 1.已知在前n项和为的等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前20项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据等差数列前n项和、通项公式求首项与公差，进而写出通项公式. （2）首先判断、对应n的范围，再根据各项的符号，应用分组求和及等差数列前n项和求. (1) 由，则， 由，则， 所以，即，故， 则. (2) 由（1）知：，可得，即，故时， 所以. 2.已知数列是等差数列，公差为d，为数列的前n项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据通项公式与前n项和的公式，结合基本量求解即可 （2）根据等差数列的通项公式可得当时，；当时，，再分和两种情况，结合的公式分别求解即可 (1) ∵是等差数列，公差为d．且，， ∴解得，． ∴， ∴数列的通项公式为． (2) 令，则，∴，∴，又， ∴当时，；当时，． 又，， ∴当时，， 当时，， ∴ 等比数列的通项及性质 考点一：等比数列的基本概念及公式 ①等比数列的定义：（或者）． ②等比数列的通项公式：． ③等比中项：若三个数，，成等比数列，则叫做与的等比中项，且有（）． 考点二：等比数列通项的性质 ①通项下标和性质：在等比数列中，当时，则． 特别地，当时，则． ②等比数列通项的性质：，所以等比数列的通项为指数型函数． 题型一：等比数列的通项公式基本运算 【例1】等比数列中，，．则的公比q为（       ） A．2 B．2或 C． D．3 【答案】B 【解析】由题意， 故选：B 【例2】在数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知确定数列是等比数列，由等比数列的通项公式得结论． 【详解】∵，∴，．是公比为的等比数列， ∴． 故选：B． 【题型专练】 1.设是等比数列，且，，则（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 【答案】D 【分析】根据是等比数列，且满足，，计算出其通项公式，然后代入计算即可. 【详解】是等比数列，设其公比为，则由，得： ，解得，，. 故选：D. 2.在等比数列中，若，，则（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】求出公比，进而利用等比数列的性质计算出. 【详解】设公比为，则，所以， 故选：A 3.已知等比数列满足，，则（    ） A．18 B．24 C．30 D．42 【答案】C 【分析】由等比数列的通项公式求得公比，然后再由通项公式计算． 【详解】设的公比为，则，解得（负值舍去）， 所以． 故选：C． 题型二：等比中项问题 【例1】和的等差中项与等比中项分别为（    ） A．， B．2， C．， D．1， 【答案】C 【分析】根据等差中项和等比中项的概念分别求值即可. 【详解】和的等差中项为， 和的等比中项为. 故选：C. 【例2】若依次成等差数列的三个实数a，b，c之和为12，而a，b，又依次成等比数列，则a＝______． 【答案】2或8 【分析】由题意列出方程组，即可求得答案. 【详解】由题意可得 ，整理得 ， 解得 或 ， 故答案为：2或8 【题型专练】 1.在等比数列中，，则和的等比中项为________． 【答案】 【分析】根据等比中项的知识求得正确答案. 【详解】设与的等比中项为， 因为，所以，所以. 故答案为： 2.在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（       ） A． B． C． D．10 【答案】B 【解析】不妨设插入两个正数为，即 ∵成等比数列，则 成等差数列，则 即，解得或（舍去） 则 故选：B． 题型三：等比数列通项下标的性质及应用 【例1】若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（    ） A． B．1011 C． D．1012 【答案】C 【分析】利用韦达定理、等比数列的性质以及对数的运算性质进行求解. 【详解】因为等比数列中的，是方程的两个根， 所以，根据等比数列性质知， ， 因为，于是， 则 = =.故A，B，D错误. 故选：C. 【例2】已知为等比数列，，，则（    ） A．1 B．-1 C．1或-8 D．-8 【答案】C 【分析】利用等比数列性质，结合已知解方程组即可计算作答. 【详解】在等比数列中，，因此，解得或， 显然，，则当，时，，当，时，， 所以的值是1或-8. 故选：C 【例3】设是由正数组成的等比数列，公比，且，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质，设，，， 则A，B，C成等比数列，然后利用等比中项的性质可求得答案 【详解】设，，， 则A，B，C成等比数列，公比为，且, 由条件得， 所以，所以，所以. 故选：B 【题型专练】 1.在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据给定条件结合等比数列性质可得，再把所求的式子用等比数列性质化成用表示即可得解. 【详解】因数列是正数组成的等比数列，则， 所以. 故选：C 2.在等比数列中，，，则（    ） A．5 B．7 C．－5 D．－7 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质，可以求出的值，连同已知，可以求出 的值，进而求出首项和公比，分类求出的值． 【详解】等比数列有，而， 联立组成方程组，，解得或， 设等比数列的公比为， 当时，解得， ； 当时，解得， ； 故选：D 3.在正项等比数列中，若，，则公比（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】由等比数列的性质可得出关于、的方程组，进而可求得等比数列的公比. 【详解】由得，即． ，又，解得或， ，或． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键就是利用等比数列下标和的性质建立有关、的方程组，通过求出、的值，结合等比数列的基本量来进行求解. 4.已知等比数列的各项均为正数，且______． 【答案】400 【分析】根据同底数对数的加法运算，再根据等比数列的性质若则，即可将上式化为，再根据即可得出答案. 【详解】解： . 故答案为：400. 题型四：等比数列通项新文化试题 【例1】已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（       ） A．420只 B．520只 C． 只 D． 只 【答案】B 【解析】第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有只蜜蜂，…… 按照这个规律每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列 则第天的蜜蜂数 第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂数 故选：B． 【例2】十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0，1］平均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别平均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…；如此这样．每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别平均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（       ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用题中的条件，分别计算出每一次操作去掉的区间的长度，结合对数不等式即可解出. 【详解】 第一次操作去掉的区间长度为， 第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为， 第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为， ， 第次操作去掉个长度为的区间，长度和为， 于是进行了次操作后，所有去掉的区间长度之和为 ， 由题意可知，，即，解得，又为整数， 所以需要操作的次数n的最小值为. 故选：A. 【题型专练】 1.数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线. 不妨记第个图中的图形的周长为，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题图规律确定第n个图边的条数及其边长，并写出其通项公式，再求第5个图的周长. 【详解】 由图知：第一个图有3条边，各边长为2，故周长； 第二个图有12条边，各边长为，故周长； 第三个图有48条边，各边长为，故周长； …… 所以边的条数是首项为3，公比为4的等比数列，则第n个图的边有条， 边长是首项为2，公比为的等比数列，则第n个图的边长为， 故. 故选：C 2.1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（       ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解析】不属于剩下的闭区间，属于去掉的开区间 经历第步，剩下的最后一个区间为，经历第步，剩下的最后一个区间为，……， 经历第步，剩下的最后一个区间为，去掉的最后开区间为 由化简得，解得 故选:A 等比数列的前项和及性质 　　　　　　　　　　　　　　 考点一：等比数列的前n项和公式 等比数列的前项和公式： 考点二：等比数列的前n项和公式的性质 等比数列前n项和的常用性质：，即，其中 题型一：等比数列求和公式基本运用 【例1】设正项等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．510 B．511 C．1022 D．1023 【答案】A 【分析】设正项等比数列的公比为，由等比数列的通项公式和前项和公式代入化简可得，即可求出，进而求出，再由前项和公式代入即可得出答案. 【详解】设正项等比数列的公比为， 则由得， 即，即，即，解得（舍去）． 由得，所以. 故选：A． 【例2】中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（    ） A．该人第五天走的路程为14里 B．该人第三天走的路程为42里 C．该人前三天共走的路程为330里 D．该人最后三天共走的路程为42里 【答案】D 【分析】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为的等比数列,由题意求出首项，可得其通项公式，即可求出，判断A,B;求出可判断C,D. 【详解】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为的等比数列， 设数列前n项和为，则， 故 ，解得， 则， 故 ，该人第五天走的路程为12里，A错误； ，该人第三天走的路程为48里，B错误； ，该人前三天共走的路程为里，C错误； 由（里），可知该人最后三天共走的路程为42里，D正确， 故选：D 【例3】等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知,，则的值是（    ） A．28     B．32     C．35     D．41 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，易知，由等比数列前项和公式列方程组求得，，然后由通项公式计算． 【详解】设等比数列的公比为，易知， ∵S3，S6， ∴，解得. 则a827＝32. 故选：B. 【题型专练】 1.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了（    ） A．192 里 B．96 里 C．48 里 D．24 里 【答案】C 【分析】根据题意确定每天走的步数构成等比数列，根据数列的前7项和求解数列的首项，进而确定数列的第3项，即可得到此人第三天走的路程. 【详解】由题意得此人每天走的步数构成公比为的等比数列，且该数列的前7项和为378， 设该等比数列为， 则有， 解得， 则，即第三天走了48里. 故选：C. 2.已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】先根据与的关系得到，设出公比，列出方程组，求出公比. 【详解】因为， 所以 设公比为q，可得：， 两式相除得： 故选：A 3.设正项等比数列的前项和为，若，，则公比（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】设公比为，则由已知可得，从而可求出公比. 【详解】设公比为， 因为，，所以， 所以，即 两个方程左右两边分别相除，得， 因为数列是正项等比数列，所以， 故选：D. 4.设是正项等比数列，为其前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等比中项得，再利用和等比数列的通项公式计算，即可得到的值. 【详解】因为是正项等比数列，所以 ，， 由等比中项得，解得， 所以解得，， 所以. 故选：B. 题型二：等比数列前项片段和的性质及应用 【例1】设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质、等比中项的性质进行求解. 【详解】因为，且也成等比数列， 因为，，所以， 所以8，-1，S9-S6成等比数列，所以8(S9-S6)=1， 即，所以.故B，C，D错误. 故选：A. 【题型专练】 1.等比数列的前n项和为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据为等比数列可求的值. 【详解】因为且为等比数列，故为等比数列， 故，解得， 故选：B. 2.等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12 【答案】A 【分析】根据等比数列片段和性质得到方程，求出，再检验即可； 【详解】解：因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列， 因为，，所以， 解得或，因为， 所以，则． 故选：A 3.设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】C 【分析】用等比数列前项表示出，即可求出，代入即可求解. 【详解】由题知：显然 即，解得或（舍） 所以 故选：C 题型三：等比数列前项和新文化试题 【例1】中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（    ） A．该人第五天走的路程为14里 B．该人第三天走的路程为42里 C．该人前三天共走的路程为330里 D．该人最后三天共走的路程为42里 【答案】D 【分析】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为的等比数列,由题意求出首项，可得其通项公式，即可求出，判断A,B;求出可判断C,D. 【详解】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为的等比数列， 设数列前n项和为，则， 故 ，解得， 则， 故 ，该人第五天走的路程为12里，A错误； ，该人第三天走的路程为48里，B错误； ，该人前三天共走的路程为里，C错误； 由（里），可知该人最后三天共走的路程为42里，D正确， 故选：D 【例2】我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织出的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天织布多少？”这个问题体现了古代对数列问题的研究．某数学爱好者对于这道题作了以下改编：有甲、乙两位女子，需要合作织出尺布．两人第一天都织出一尺，以后几天中，甲女子每天织出的布都是前一天的倍，乙女子每天织出的布都比前一天多半尺，则两人完成织布任务至少需要（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】D 【分析】由题意得数列是以为首项，为公比的等比数列，是以为首项，以为公差的等差数列，然后结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解． 【详解】解：设甲，乙每天织布分别记为数列，， 由题意得数列是以为首项，为公比的等比数列，是以为首项，以为公差的等差数列， 故， 即， 因为在上单调递增，当时，，而， 故的解为,故至少需要5天， 故选：D． 【题型专练】 1.费马数是以法国数学家费马命名的一组自然数，具有形式为记做，其中为非负数．费马对，，，，的情形做了检验，发现这组费马公式得到的数都是素数，便提出猜想：费马数是质数．直到年，数学家欧拉发现为合数，宣布费马猜想不成立．数列满足，则数列的前项和满足的最小自然数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，利用等比数列的前项和公式求得，进而求得的最小自然数，得到答案. 【详解】由题意，可得数列满足， 利用等比数列的前项和公式，可得数列的前项和， 当时，可得； 当时，可得， 又由，所以单调递增， 所以的最小自然数为. 故选：B. 题型四：等差等比数列的判定 【例1】（多选题）已知等比数列{}中，满足，，则（       ） A．数列{}是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列{}中，仍成等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】 先利用等比数列通项公式求出，从而得到，利用等比数列的定义判断A选项；得到，判断出为递减数列；求出，利用等差数列定义判断C选项，计算出，利用得到不成等比数列. 【详解】 由题意得：，所以，则， 所以数列{}是等比数列，A正确； ，所以，且，故数列是递减数列，B错误； ，所以，C正确； ， 因为，故数列{}中，不成等比数列，D错误. 故选：AC 【例2】设是等比数列，则下列四个命题正确的是（       ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由等比数列的通项公式及定义依次判断即可. 【详解】 设公比为，则，，即是首项为，公比为的等比数列，A正确； ，即是首项为，公比为的等比数列，B正确； ，即是首项为，公比为的等比数列，C正确； 若数列的首项，则，此时不是等比数列，D错误. 故选：ABC. 【题型专练】 1.等差数列的前项和为，数列为等比数列，则下列说法正确的选项有 （       ） A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等比数列 C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】 利用等差、等比数列的定义判断A、B、C，特殊值判断D，即可得结果. 【详解】 若公差为d，公比为q， A：由为定值，故为等比数列，正确； B：由为定值，故为等比数列，正确； C：由为定值，故为等差数列，正确； D：当时，显然不是等比数列，错误. 故选：ABC 数列的通项公式 题型一：观察法求数列通项 【例1】（1）数列，，，，…的一个通项公式为=______； （2）数列，，，，…的一个通项公式为=______； （3）数列1，11，111，1111，…的一个通项公式为=______． 【答案】               【分析】（1）所给数列的前4项中，分母是项数的平方，分子是分母减1，由此可归纳； （2）各项负正相间，分子都是1，分母是3的正整数倍，由此归纳结论； （3）每一项都是由数字1组成的，数字个数正好是项数，把1与9联系，易归纳通项公式． 【详解】（1）所给数列的前4项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为，，，（分式中应分别考虑分子、分母的特征），所以数列的一个通项公式为． （2）所给数列可写成，，，，…，所以数列的一个通项公式为． （3）所给数列可写成，，，，…，所以数列的一个通项公式为． 故答案为：；；． 【题型专练】 1.猜想数列，，，，，，…的通项公式___________. 【答案】 【分析】通过观察数列的形式，可知分数的分子是相应项序号的平方，偶数项为负，奇数项为正，分母是以3为首项的奇数列，即可求出答案. 【详解】数列，，，，，，…的分子是相应项序号的平方，偶数项为负，奇数项为正，分母是以3为首项的奇数列，所以数列，，，，，，…的通项公式. 故答案为：. 2.数列，，，，…的一个通项公式是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据数列的前几项归纳：一是项的符号规律，二是分子、分母变形后与项的关系． 【详解】数列的项可化为， 因此一个通项公式为． 故答案为：（答案不唯一，也可写为或其他）． 题型二：已知，求 【例1】已知数列的前项和是，且，求的通项公式． 【答案】. 【分析】利用，求解通项公式，通过验证得到 【详解】当时，； 当时，，显然满足上式， ∴； 【例2】已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，由求出；当时，由求出；即可求解. 【详解】当时，，； 当时，，不符合，则. 故选：B. 【例3】数列满足，则（    ） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】A 【分析】即数列的前n项和为，根据代入计算． 【详解】当时，由，① 得，② ①－②，得， 所以，则． 故选：A． 【例4】设数列满足，则的前n项和（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 当时，求，当时，由题意得，可求得，即可求解. 【详解】 解：当时，， 当时，由得 ，两式相减得，，即， 综上， 所以的前n项和为， 故选：C. 【题型专练】 1.已知数列的前项和，则______. 【答案】7 【分析】将代入根据可得出答案；当时由，求出，从而可得出答案. 【详解】当时，； 当时，. 所以，所以. 故答案为： 2.已知数列满足，求的通项公式． 【答案】. 【分析】利用项与前项和的关系即得. 【详解】对任意的，， 当时，则， 当时，由，可得， 上述两个等式作差可得， ， 满足， 因此，对任意的，. 3.已知数列，满足，则_______. 【答案】 【分析】类比于求解． 【详解】由题意，， 两式相减得，． 故答案为：． 题型三：叠加法（累加法）求通项 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 具体步骤： ... ... 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得： = 整理得：= 【例1】在数列中，，，则数列______． 【答案】 【分析】由题意，数列中，可得，再利用等差数列的求和公式，即可求解． 【详解】由题意，数列中，满足，，则 ， 故答案为： 【例2】已知是等差数列的前项和，其中，数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列方程组求出，从而可求出，然后利用累加法可求出数列的通项公式 【详解】设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， 所以， 因为， 所以， 所以，，，……，， 所以， 因为， 所以， 故选：B 【题型专练】 1.已知，，求通项________. 【答案】 【解析】解： ，即， ， ，，， ， 以上各式相加得， 又，所以， 而也适合上式，. 故答案为： 2.已知数列满足，，则______． 【答案】63 【分析】由题设可得，应用累加法，结合已知即可求. 【详解】由题设，， 所以，又，所以. 故答案为：. 3.已知数列，，，则数列的通项公式______，其前n项和______． 【答案】          【分析】第一空，由累加法即可求得数列通项；第二空，利用裂项求和法即可求得答案. 【详解】由题意可得，，，…，， 所以，又， 所以，所以， 所以 ． 故答案为： ； 题型四：叠乘法（累乘法）求通项 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 具体步骤： ... ... 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 【例1】已知数列满足，，则的通项公式为___________. 【答案】 【解析】因为数列满足，，则， 所以，当时，， 也满足，所以，对任意的，. 【题型专练】 1.在数列中，（n∈N*），且，则数列的通项公式________. 【答案】 【分析】由，得，再利用累乘法即可得出答案. 【详解】解：由，得， 则， ， ， ， 累乘得， 所以. 故答案为：. 2.数列满足：，，则数列的通项________________. 【答案】 【分析】根据，，得到，然后利用累加法求解. 【详解】解：因为，， 所以， 当 时，， 所以， ， ， 当时，，适合上式， 所以数列的通项， 故答案为： 题型五：用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。 【例1】已知数列满足，且，求的通项公式。 【答案】 分析：符合类型1的标准形式，先构造 【解析】由可得：，所以是以1为首项3为公比的等比数列，所以，故. 【例2】已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及前项的和. 【答案】(1)证明见解析；(2)，. 【解析】 【分析】 （1）证明出，即可证得结论成立； （2）由（1）的结论并确定数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，再利用分组求和法可求得. (1)证明：因为数列满足，，则， 且，则，，，以此类推可知，对任意的，， 所以，，故数列为等比数列. (2)解：由（1）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，则， 所以，， 因此， . 【题型专练】 1.在数列中，，，则通项公式______． 【答案】 【分析】由递推关系式可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可求得，由此可得. 【详解】由得：，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，则. 故答案为：. 2.设数列满足，且，则数列的通项公式为___________. 【答案】## 【分析】化简已知得，再构造数列求通项得解. 【详解】解：因为， ，， ，则， 数列是以为首项，为公比的等比数列. ， 所以， 故答案为： 题型六：用“同除法”构造等差数列 形如，的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式 形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 【例1】已知数列满足，，，则满足的n的最大取值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】将递推公式两边取倒数，即可得到，从而得到数列是以1为首项，4为公差的等差数列，即可求出的通项公式，再解不等式即可． 【详解】解：因为，所以，所以，又， 数列是以1为首项，4为公差的等差数列． 所以，所以，由，即，即，解得，因为为正整数，所以的最大值为； 故选：C 【例2】已知正项数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)，(2)证明见解析 【分析】（1）先利用题给条件求得数列的通项公式，进而求得数列的通项公式； （2）利用得到，再利用裂项相消法求得数列的前n项和，进而得到. (1) 数列中，，由，可得 又，则数列是首项为1公差为1的等差数列，则， 则数列的通项公式为 (2) 由（1）知，则 则数列的前n项和 由，可得，即． 【题型专练】 1．已知数列满足，且，则数列的通项公式为______． 【答案】 【分析】利用取倒数及等差数列通项公式即可求解. 【详解】由两边取倒数可得，即． 所以数列是首项为2，公差为3等差数列. 所以，所以． 故答案为：. 2．已知数列的通项公式为， (1)求数列的通项公式. (2)若，求满足条件的最大整数值. 【答案】(1) (2)99 【分析】（1）根据已知证明数列是等比数列，根据等比数列的通项求出数列的通项，从而可求出数列的通项公式； （2）利用分组求和法求出数列的前项和，再根据前n项和的单调性，即可得解. (1) 解：因为， 所以， 则， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以； (2) 解：由（1）可得， 则， 由，则， 因为函数是增函数， 且当时，， 当时，， 所以满足的最大正整数的值为99. 题型七：已知通项公式与前项的和关系求通项问题 【例1】若数列的前项和为，则数列的通项公式是___________. 【答案】 【分析】根据，作差得到是首项为，公比为的等比数列，从而求出数列的通项公式； 【详解】解：因为， 当时，，所以， 当时，， 两式相减，整理得， 所以是首项为，公比为的等比数列，故. 故答案为： 【例2】数列的前项和记为，己知，． (1)求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，证明：． 【答案】(1)，(2)证明见解析 【分析】（1）根据，作差得到，结合等差数列定义及通项公式，即可求解； （2）由（1）得到 ，结合裂项相消法求和、分组求和法求和，即可得证. （1） 解：因为，， 令可得，，解得或（舍去）． 当时可得， 两式相减得，即， 因为，可得， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以数列的通项公式为. （2） 解：由（1）知，所以， 所以数列的前项和 【题型专练】 1．设数列的前n项和为，已知.求数列的通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）根据，消元得到，故为等比数列，进而求出通项公式； （1）因为，所以， 两式相减，可得，整理得，即， 因为在中当时，，所以， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以. 2.已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系可得，进而得，由累加法即可求解； （2）根据分组求和，由等差等比数列的求和公式即可求解. （1） 因为，所以，① 当时，，② ①-②得：，即， 所以， 所以，由，可得， 当时，，符合上式， 所以． （2） 由题意得， 则 ， 所以． 数列求和 题型一：等差等比通向求和公式应用 根据通项公式的特点求和： （1）等差数列求和公式： （2）等比数列求和公式： 【例1】已知数列为等差数列，，． (1)求数列的通项； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据给定条件，结合等差数列的性质求出公差d即可求解作答. （2）由（1）结合等比数列前n项和公式求解作答. （1） 等差数列中，，解得，而， 则数列的公差，于是得， 所以数列的通项公式为. （2） 由（1）知，，，即数列是等比数列，首项，公比， 所以数列的前n项和. 【例2】已知数列为等比数列，，且是与的等差中项． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）首先根据等差中项的性质列出等式，然后通过等比数列的基本量的计算列出方程，并解方程即可. （2）首先根据题干条件，由（1）中的通项公式得到的通项公式，然后根据等比数列的前项和公式求得即可. （1） 设的公比为q． 因为是与的等差中项，所以， 即，整理得， 解得或． 又因为，所以． 所以． （2） 由（1）知， 所以， 而， 所以 【题型专练】 1.记为等比数列的前项和.已知，. (1)求的通项公式； (2)求，判断，，是否成等差数列并说明理由. 【答案】(1)，(2)，成等差数列，理由见解析； 【解析】 【分析】 （1）设数列的首项为，公比为，利用已知条件得到方程组求出首项与公比，然后求解通项公式． （2）利用等比数列前项和公式求出，再根据等差数列的性质判断证明即可． (1) 解：（1）设数列的首项为，公比为， 因为，， 所以，解得， 所以． (2) 解：因为，所以， 所以，，成等差数列，理由如下： 因为，， 所以 ， 即，所以，，成等差数列； 2.设是首项为的等比数列，且、、成等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，求的前项和． 【答案】(1)，(2) 【解析】 【分析】 （1）设等比数列的公比为，则，根据题意可得出关于的方程，解出的值，即可得出数列的通项公式； （2）利用等比数列的求和公式求出，再利用分组求和法可求得. (1) 解：设等比数列的公比为，则， 因为、、成等差数列，则，可得，解得， 所以，. (2) 解：， 所以，. 题型二：分析通项，构造新数列求和 【例1】在公差不为零的正项等差数列中，为数列的前项和，请在 ①，； ②； ③，，成等比数列，三个条件中，任选一个完成下面的问题． (1)求数列的通项公式； (2)正项数列满足，求． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)，(2) 【解析】 【分析】 （1）选①：设的公差为，根据等差数列的通项公式的基本量方法列式求解即可； 选②：设的公差为，令，结合等差数列的通项公式的基本量方法列式求解即可； 选③：设的公差为，根据等比中项的定义，结合等差数列的通项公式的基本量方法列式求解即可； （2）由（1），从而求得，再根据等比数列的求和公式求解即可 (1) 设的公差为， 选①：由题意，，即，解得，故 选②：令有，即，因为公差不为零的正项等差数列，故解得.令，则，即，故，故 选③：因为，，成等比数列，，故，故，因为公差不为零，故解得，故 (2) 由（1），故，故，故 【题型专练】 1.已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项. (1)求数列的通项公式： (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）设数列的公差为，根据等比中项列出方程求得即可得到通项公式. （2）由题意计算出在中对应的项数，然后利用分组求和即可. （1） 设数列的公差为，因为是和的等比中项， 则且 则或（舍） 则， 即通项公式 （2） 因为与（，2，…）之间插入， 所以在数列中有10项来自，10项来自， 所以 2.为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如. (1)求； (2)求数列的前2022项和. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据等差数列前项和公式，结合条件即可得到的通项公式，再根据即可得到结果. （2）由（1）中结果即可求得中的各项，加起来即可求得结果. （1） 因为为公差为的等差数列的前项和， 且 所以，解得，则公差， 所以， 由于，所以， （2） 由于， ， ， 所以数列的前2022项和， 题型三：错位相减法求和 通项公式特点：等差等比，比如，其中代表一个等差数列的通项公式（关于的一次函数），代表一个等比数列的通项公式（关于的指数型函数），那么便可以使用错位相减法 方法详解：以为例，设其前项和为 ①先将写成项和的形式 （前三后二，等差求出来，等比不要动） ② 两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列（两边同时乘以公比，后错一位） 发现乘完公比后，对比原式项的次数，新等式的每项向后挪了一位。 ③ 然后两式相减： 除了首项与末项，中间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出即可 所以 【例1】给出以下条件： ①，，成等比数列；②，，成等比数列；③．从中任选一个条件，补充在题目中的横线上，再解答． 已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______． (1)求数列的通项公式； (2)若是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列的前n项的和． 【答案】(1)，(2) 【解析】 【分析】 （1）若选①，则，解方程求出，从而可求出，若选②，则，解方程求出，从而可求出，若选③，由，得，两式相减化简得，从而可求出， （2）结合（1）得，然后利用错位相减法可求出 (1) 设递增等差数列的公差为， 若选择条件①，由，，， 有，化简得． 解得或（舍去），所以数列的通项公式为． 若选择条件②，由，，， 有，化简得 解得或（舍去） 所以数列的通项公式为． 若选条件③，由，有， 两式相减得：，因为，， 所以，故，所以，即， 所以数列的通项公式为． (2) 由是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 由（1）知，所以， 所以， 两边同乘以2得：， 以上两式相减得：， 即， 所以． 【例2】设数列的前项和为，已知，再从以下三个条件中，任意选择一个，并解决下面两个问题． ①； ②； ③． (1)求数列的通项公式， (2)若数列满足，求数列的前项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)选①②③答案均相同， (2)选①②③答案均相同， 【解析】 【分析】 （1）选①，由得出的递推关系，确定是等比数列，求出后再求；选②，由对数的性质得出数列是等比数列，从而得通项公式；选③，由已知式变形可得数列是等比数列，从而得通项公式； （2）用借位相减法求和． (1) 选①，；，， 又，所以是等比数列，公比为2， ， 所以，时，，而a1=1符合， 综上，； 选②，，即， 所以，又，所以是等比数列，公比为2，所以； 选③，，， 因为，所以，而，所以是等比数列，公比为2，所以； (2) 选①②③均相同： 由（1）得， 则 ， 两式相减得， 所以． 【题型专练】 1.已知公差不为零的等差数列和等比数列，满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为．若表示不大于m的正整数的个数，求． 【答案】(1)，(2)26 【分析】（1）根据已知，利用数列的性质建立方程组求解. （2）利用错位相减法以及式子的结构特征、进行求解. （1） 设的公差为d，的公比为， 因为，，， 所以， 整理可得：， 解得或（舍）， 所以． （2） 由（1）有： ， 则， ， 两式相减得 ， 整理得，显然，且， 故为递增数列，又因为，，… 所以，当时，， 所以． 2.若数列满足，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解析】(1)因为数列满足，，，所以. 所以数列为等比数列，设其公比为q（）. 所以，解得：. 所以. 即的通项公式为. (2)由（1）可知：，所以， 所以          ① 得：             ② ①-②得： 所以 题型四：分组求和法 分组求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加。 例： 可知通项公式为，那么在求和的过程中可拆成3部分：分别求和后再相加 【例1】已知数列{}满足，． (1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【解析】(1)由题意可得： ∵ 所以是首项为2，公比为2的等比数列 则，即 因此{}的通项公式为 (2)由（1）知，令则 所以． ． 综上． 【例2】已知数列的前n项和为 (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据通项公式和前n项和的关系，即可求解. (2)利用分组求和，即可求解. (1) 解：当时，，两式作差，整理得 ，故数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 故数列的通项公式为. (2) 由（1）得，， 当时，， 当时， ， 综上， 【题型专练】 1.已知数列满足，且． (1)若，证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）由题意得，根据等比数列的定义，即可得证. （2）由（1）可得，根据分组求和法，结合等差数列、等比数列求和公式，即可得答案. (1) 因为， 所以， 所以，即， 又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列 (2) 由（1）可得， 所以， 所以前项和 题型五：裂项相消法求和 通项公式特点：的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多 方法详解：以为例 ① 裂项：考虑（这里），在裂项的过程中把握两点：一是所裂两项要具备“依序同构”的特点，比如这里的结构相同，且分母为相邻的两个数；二是可以先裂再调：先大胆的将分式裂成两项的差，在将结果通分求和与原式进行比较并调整（调整系数），比如本题中，在调整系数使之符合通项公式即可 ② 求和：设前项和为 ，求和的关键在于确定剩下的项。通过观察可发现正项中没有消去，负项中没有消去。 所以 一般来说，裂开的项中有个正项，个负项，且由于消项的过程中是成对消掉。所以保留项中正负的个数应该相同。 【例1】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【解析】(1)∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； (2) ∴ 【例2】已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足 (1)求数列{}的通项公式： (2)已知数列{}满足，设数列{}的前n项和为，求的最小值. 【解析】(1)正项数列{}，，满足，所以， 所以数列{}是以1为首项1为公差的等差数列， 所以，所以， 当时，， 当时也成立， 所以. (2)因为 所以， 所以当为奇数时，； 当为偶数时，， 由{}递增，得， 所以的最小值为. 【例3】已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)，是数列的前项和，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列的递推关系式可得数列是等差数列，由此求得数列的通项公式； （2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出． （1） 由，有， 可知数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以； （2） ， ． 【题型专练】 1．记为等比数列的前项和.已知，且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由等比数列的基本时法求得公比，首项后得通项公式； （2）用裂项相消法求和，然后解方程得． （1） 设的公比为，因为， 所以， 又因为成等差数列，所以， 所以，解得. 由，解得.所以. （2） 因为， 所以， 因为，所以， 解得. 2.记为数列的前项和，已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：． 从①   ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答. 【解析】(1)①， 当时，，；当时，② ①-②得，即 又， ∴数列是从第2项起的等比数列，即当时，． ． (2)若选择①：， ． 若选择②，则③，④， ③-④得， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$