1.2集合间的基本关系（五个题型）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二节 集合间的基本关系 思维导图 知识点解读 知识点1:Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、矩形、椭圆,也可以是其他封闭曲线.韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系. 知识点2:子集与真子集 （1）子集的定义:对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,就称集合为集合的子集,记作（或）,读作“包含于”（或“包含”）.如果不是的子集, 则记作A⊈B（或B⊉A）,读作“不包含于”（或“不包含”）. （2）真子集的定义:如果集合是集合的子集,并且中至少有一个元素不属于,那么集合称为集合的真子集,记作A⊊B（或B⊋A）,读作“真包含于”（或“真包含”）. 知识点3:集合相等 一般地,如果集合A的任何一个元素都是B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作. 知识点4:空集 （1）定义:一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为,并规定:空集是任何集合的子集,即. （2）特征:①空集只有一个子集,即它本身,;②若,则⊆. （3）0,{0},,的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合; 0是实数 中不含任何元素; {0}含一个元素0 不含任何元素; 含一个元素,该元素是 关系 ⊊{0} ⊊或 知识点5:子集的性质 （1）空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集. （2）任何一个集合都是它本身的子集,即. （3）如果,,则. （4）如果A⊊B,B⊊C,则A⊊C. 知识点6:子集的个数 如果集合中含有个元素,则有: （1）A的子集的个数有个. （2）A的非空子集的个数有个. （3）A的真子集的个数有个. （4）A的非空真子集的个数有个. 题型分练 题型一、集合间关系的判断 1.能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（    ） A． B． C． D． 2.已知集合，，则集合M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 3.指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)}，}； (3)是等腰三角形}，是等边三角形}. 4.指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 5．指出下列各组集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 题型二、利用集合相等求参 1.已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 2.（多选）已知集合，若，则的值可能是（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 3.设，若，求的值. 4.已知，，若，求a与b的值． 5.集合中有三个元素：、、，集合中有三个元素：、、0，若，求的值． 题型三、空集的概念与判断 1.下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 2.（多选）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3.下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为 . 4.已知集合，，若A为空集，求实数a的取值范围； 题型四、求集合的子集、真子集（个数） 1.集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 2.已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 3.若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（    ） A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 4.已知集合，则M的子集个数是（    ） A．2 B．8 C．4 D．16 5.（多选）已知集合恰有两个子集，则的值可能为（   ） A． B． C．4 D． 6.已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 7．已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 题型五、根据集合包含关系求参数 1.（多选）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 2.设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 3.已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 5．已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 巩固练习 1、 单选题 1.已知集合，则集合A的真子集个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2.已知集合⫋，且中至少有一个奇数，则这样的集合有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3.已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 4.下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 5.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 7.已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 8.已知集合，则集合的真子集有（   ） A． B． C． D． 9．已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 10.已知集合恰有4个子集，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 11．已知集合，，则下列选项中正确的是（   ） A．集合有32个子集 B． C．中所含元素的个数为10个 D． 12.已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（    ） A．3 B． C．3.5 D．6 3、 填空题 13.设集合，则A的非空子集的个数为 . 14.若，则 ． 15.给出下列关系式，其中正确的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 16.定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是 . 4、 解答题 17.判断下列关系是否正确： (1)； (2) (3)⫋； (4)； (5)； (6)； (7)⫋； (8)⫋． 18.已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 19.已知集合，且. (1)求实数的取值的集合； (2)写出（1）中集合的所有子集. 20.已知集合 (1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围； (2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围. 21．（1）设集合，，当时，求实数的取值范围. （2）已知，，若，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二节 集合间的基本关系 思维导图 知识点解读 知识点1:Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、矩形、椭圆,也可以是其他封闭曲线.韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系. 知识点2:子集与真子集 （1）子集的定义:对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,就称集合为集合的子集,记作（或）,读作“包含于”（或“包含”）.如果不是的子集, 则记作A⊈B（或B⊉A）,读作“不包含于”（或“不包含”）. （2）真子集的定义:如果集合是集合的子集,并且中至少有一个元素不属于,那么集合称为集合的真子集,记作A⊊B（或B⊋A）,读作“真包含于”（或“真包含”）. 知识点3:集合相等 一般地,如果集合A的任何一个元素都是B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作. 知识点4:空集 （1）定义:一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为,并规定:空集是任何集合的子集,即. （2）特征:①空集只有一个子集,即它本身,;②若,则⊆. （3）0,{0},,的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合; 0是实数 中不含任何元素; {0}含一个元素0 不含任何元素; 含一个元素,该元素是 关系 ⊊{0} ⊊或 知识点5:子集的性质 （1）空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集. （2）任何一个集合都是它本身的子集,即. （3）如果,,则. （4）如果A⊊B,B⊊C,则A⊊C. 知识点6:子集的个数 如果集合中含有个元素,则有: （1）A的子集的个数有个. （2）A的非空子集的个数有个. （3）A的真子集的个数有个. （4）A的非空真子集的个数有个. 题型分练 题型一、集合间关系的判断 1.能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由子集的定义即可得出答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2.已知集合，，则集合M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程确定集合，然后由子集、真子集的定义判断． 【详解】解方程，得或，则， 因为且，且，所以．又因为但，所以． 故选：C． 3.指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)}，}； (3)是等腰三角形}，是等边三角形}. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据子集和真子集的定义，结合已知中给定集合，逐一分析，可得结论． 【详解】（1）中唯一元素， 又， 所以； （2）}，} 的元素都是的元素，而的元素不是的元素， 所以； （3）是等腰三角形}，是等边三角形}， 又∵为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形； 所以. 4.指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，结合子集的定义，举例即可求解； （2）根据已知条件，结合子集的定义，理解的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数，即可求解； （3）根据已知条件，结合子集的定义，注意奇数1即可求解． 【详解】（1）解：的唯一元素， 又， ； （2）解：，， ，， 的倍数一定是的倍数， 的倍数不一定是的倍数， 例如：， ； （3）解：为正整数}正奇数， ，为正整数}不小于3的正奇数， ． 5．指出下列各组集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)⊆． (2)⊆． (3) 【分析】（1）利用数轴即可判断集合关系； （2）利用集合所表示的含义即可判断； （3）求出集合即可判断. 【详解】（1）在数轴上表示出集合A，B，如图所示，由图可知⊆． （2）∵集合A是偶数集，集合B是4的倍数集，∴⊆． （3）．在集合B中，当n为奇数时，， 当n为偶数时，，∴，∴． 题型二、利用集合相等求参 1.已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由集合相等的定义建立方程求得结果. 【详解】∵， ∴，解得， 故选：B 2.（多选）已知集合，若，则的值可能是（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 【答案】BC 【分析】利用集合相等，解出对应参数的值，然后利用元素的性质判断即可. 【详解】因为，所以或解得或则或. 故选：BC 3.设，若，求的值. 【答案】 【分析】由集合相等可得元素相同，由此建方程求解即可. 【详解】由，则， 因为，所以. 所以，解得， 此时，满足题意. 故. 4.已知，，若，求a与b的值． 【答案】或. 【分析】根据给定条件，利用集合相等列式求解即得. 【详解】由，，，得或， 解，得，经验证，符合题意； 解，得，经验证，符合题意； 所以或. 5.集合中有三个元素：、、，集合中有三个元素：、、0，若，求的值． 【答案】 【分析】利用集合中元素的互异性，结合，所以只有，再对剩下两个数对应相等情况分类，即可求解. 【详解】由集合中元素有意义知，由集合中元素的互异性知， ∵，∴或 解得或（舍去）． ∴． 题型三、空集的概念与判断 1.下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义，结合选项即可求解. 【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集. 故选：B． 2.（多选）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】从元素与集合的关系、集合与集合的关系两方面来看即可求解. 【详解】从元素与集合的关系来看：成立，不成立， 从而集合与集合的关系来看：成立，但不成立. 故选：AB. 3.下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为 . 【答案】②④⑥ 【分析】根据空集的定义逐项判断即可. 【详解】①集合中含有一个元素，故不是空集； ②因为，，故是空集； ③集合中含有一个元素，故不是空集； ④是空集； ⑤集合中含有一个元素，故不是空集； ⑥因为方程没有实数解，故是空集； 故答案为：②④⑥. 4.已知集合，，若A为空集，求实数a的取值范围； 【答案】； 【分析】根据给定条件，利用空集的意义列式作答； 【详解】因是空集，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 题型四、求集合的子集、真子集（个数） 1.集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据中元素的性质可得，从而可求其子集个数. 【详解】因为， 故子集个数为， 故选：C. 2.已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由集合子集，真子集的运算，集合中必有，且为集合{1,2,3,4,5}的子集. 【详解】因为集合满足， 所以，，， 又集合满足， 所以集合有：，，，，共有4个， 故选：A. 3.若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（    ） A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 【答案】A 【分析】依题意，即是求集合的非空子集的个数. 【详解】集合的不含有元素的子集个数就是集合的子集个数，共有个， 故不含元素的非空子集共有15个. 故选：A. 4.已知集合，则M的子集个数是（    ） A．2 B．8 C．4 D．16 【答案】B 【分析】讨论x、y、z的正负情况，确定m的值，从而确定M中的元素个数，即可确定其子集个数. 【详解】当x、y、z都是正数时，； 当x、y、z都是负数时，； 当x、y、z中有一个是正数时，另外两个是负数或有两个是正数，另一个是负数时，； 故该集合中有3个元素，则其子集个数为． 故选：B 5.（多选）已知集合恰有两个子集，则的值可能为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】AC 【分析】集合恰有两个子集，则集合有1个元素，问题转化为方程组有一个的实数解即可. 【详解】由，可得由题可知中只有一个元素. 当时，解得，此时，符合题意； 当时，即，则或是方程的解. 当是方程的解时，解得，此时，符合题意； 当是方程的解时，无解.故或4. 故选：AC. 6.已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 7．已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【答案】(1)答案见解析 (2)16，14 【分析】（1）根据集合的子集和真子集的概念即可求解； （2）利用集合的子集和非空真子集个数的求解公式，即可得出其相应的个数． 【详解】（1）， 的子集有：，，，，，，，； 的真子集有：，，，，，，． （2）， 有4个元素，的子集数为个， 的非空真子集数为个． 题型五、根据集合包含关系求参数 1.（多选）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【答案】ABC 【分析】首先求出集合A，然后结合的条件，对集合B中的参数a分类讨论即可得答案. 【详解】解：，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和. 故选：ABC. 2.设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故 ，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则 ，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 3.已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 5．已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分，，得到集合A，再利用求解； （2）分，，得到集合A，再利用求解； 【详解】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2； 巩固练习 1、 单选题 1.已知集合，则集合A的真子集个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合个数，结合集合真子集公式，即可求解. 【详解】集合，则集合的子集个数. 除去集合本身，还有个真子集. 故选：C. 2.已知集合⫋，且中至少有一个奇数，则这样的集合有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】分集合含有一个元素及两个元素分别求解即可. 【详解】当集合A中含一个元素时，或； 当集合A中含两个元素时，或或， 所以这样的集合共有个. 故选：D. 3.已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由集合相等得，解方程即可求解. 【详解】因为集合，，且，所以，解得. 故选：D 4.下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 5.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析两个集合的元素形式来判断两个集合的关系. 【详解】因为集合,，则 . 故选：A 6．已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的真子集个数,判断出集合中有且只有一个元素，从而转化为方程有两个相等根问题求解即可. 【详解】由集合有且仅有1个真子集，可得集合中有且只有一个元素， 所以方程有2个相等的实数解， 即，解得， 所以实数的取值集合为， 故选：B. 7.已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 2、 多选题 8.已知集合，则集合的真子集有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由真子集的定义即可判断. 【详解】已知集合，则集合的真子集有，对比选项可知，只有ABC符合题意. 故选：ABC. 9．已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 【答案】BCD 【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为⫋，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是或或. 故选：BCD. 10.已知集合恰有4个子集，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 【答案】AB 【分析】根据子集个数知集合中有2个元素，即对应方程有两个不同实根，进而求参数a的范围. 【详解】由题设，易知集合中有2个元素，故，即且， 所以符合要求. 故选：AB 11．已知集合，，则下列选项中正确的是（   ） A．集合有32个子集 B． C．中所含元素的个数为10个 D． 【答案】ABC 【分析】A选项由公式计算集合的子集个数；由定义列举集合B中的元素，判断选项BCD. 【详解】集合中有5个元素，则集合有个子集，A选项正确； 由， 则， 中所含元素的个数为10个，C选项正确； ，，B选项正确，D选项错误. 故选：ABC. 12.已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（    ） A．3 B． C．3.5 D．6 【答案】BCD 【分析】利用真子集概念，得出关于的不等式，解之即可判断选项正误. 【详解】因是的真子集， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 故需使或，解得或； 综上所述：或； 故选：BCD. 3、 填空题 13.设集合，则A的非空子集的个数为 . 【答案】15 【分析】根据非空子集个数公式计算. 【详解】集合，则A的子集的个数为， 所以A的非空子集的个数为. 故答案为：15. 14.若，则 ． 【答案】 【分析】由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解． 【详解】由题意可得，则，即， 则，解得或， 若，则违背集合元素的互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则． 故答案为：． 15.给出下列关系式，其中正确的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】①③⑤ 【分析】利用空集的性质判断①，⑤，利用元素和集合的关系判断②，利用集合和集合的关系判断④，利用子集的性质判断③即可. 【详解】因为空集是任何集合的子集，所以①，⑤正确， 由元素和集合的关系得，故②错误， 一个集合是自身的子集，故③正确， 由集合和集合的关系得，故④错误. 故答案为：①③⑤ 16.定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是 . 【答案】3或7 【分析】根据题中定义和元素的性质，结合集合真子集个数公式进行求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性可得且. 当时，，所以， 此时集合的真子集个数为. 因为集合A中有个元素，则集合A有个子集，有个真子集， 当且时，，此时集合的真子集个数为. 故答案为：3或7 4、 解答题 17.判断下列关系是否正确： (1)； (2) (3)⫋； (4)； (5)； (6)； (7)⫋； (8)⫋． 【答案】(1)正确 (2)正确 (3)正确 (4)正确 (5)错误 (6)错误 (7)正确 (8)正确 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系逐一判断即可. 【详解】（1）任何一个集合是它本身的子集，所以，故正确. （2）元素相同的两个集合为相等集合，故正确． （3）空集是任何非空集合的真子集，故正确． （4）中只有一个元素0，，故正确． （5）与是两个集合，不能用“”连接，故错误． （6）中没有任何元素，而中有一个元素，二者不相等，故错误． （7）空集是任何非空集合的真子集，故正确． （8），⫋，故正确． 18.已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的值； （2）首先解方程求出集合，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的范围（值），即可得解. 【详解】（1）若，即，则，符合题意． 若，即，则由中恰有一个元素，得， 解得或． 综上所述，的值构成的集合为． （2）由，解得或，则． 若，符合，则解得或． 若，则，解得，则，符合． 若，则，解得，则，不符合． 综上所述，的取值范围为． 19.已知集合，且. (1)求实数的取值的集合； (2)写出（1）中集合的所有子集. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用可求出，再验证合理性，进一步确定值； （2）利用子集的概念作答即可 【详解】（1）因为，且， 所以或，解得或或， 当时，，集合中出现两个0，故舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴实数的取值的集合 （2）因为，所以集合的子集有： 20.已知集合 (1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围； (2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分两种情况进行分类讨论，列出不等式即可求得结果. （2）将问题转化为方程至少有一个根，分两种情况进行分类讨论，求得结果. 【详解】（1）当时，，即，符合题意； 当时，，解得：. 综上所述，实数k的取值范围为. （2）集合A最少有一个真子集，则集合中至少有一个元素， 当时，，即，符合题意； 当时，，解得：且. 综上所述，实数k的取值范围为. 21．（1）设集合，，当时，求实数的取值范围. （2）已知，，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）分与计算即可得； （2）由题意可得的所有可能，再分类逐个计算并判断即可得. 【详解】（1）， 当，即时，，满足； 当时，， 因此，要使，则需，解得， 综上所述，的取值范围是或； （2）， 因为，所以或或或，   当时，方程的判别式，即； 当时，由韦达定理有，所以； 当时，有，不成立； 当时，有，不成立； 综上所述，实数a的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$