第三章圆锥曲线的方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

选择性必修1学习材料-圆锥曲线 椭圆及其标准方程 考点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 注意：①若，则动点的轨迹为线段； ②若，则动点的轨迹无图形． 考点二：椭圆的标准方程与几何性质 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于轴、轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长，短轴长 离心率 （注：离心率越小越圆，越大越扁） 考点三：椭圆的通径 过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． 考点四：椭圆上一点的有关最值 ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点． 距离的最大值为，距离的最小值为． 题型一：椭圆的定义 【例1】如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（ ）． A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 【例2】设为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是（       ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【题型专练】 1.已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（ ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 2.（多选）在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（ ） A． B． C． D． 题型二：利用椭圆定义的解题 在处理椭圆问题的时候，要优先思考定义，俗称定义优先原则，而非上来就直接设直线和椭圆联立．所以在解题的时候如果看到点在椭圆上，要时刻思考椭圆定义，将该点和焦点连线，用上定义分析问题． 【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，若，则等于（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【例2】椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：，点、是它的两个焦点，当静止的小球放在点处，从点沿直线出发，经椭圆壁（非椭圆长轴端点）反弹后，回到点时，小球经过的最短路程是（ ） A．20 B．18 C．16 D．以上均有可能 【例3】设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且，则（ ） A． B． C． D． 【例4】设，为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，如果的中点在轴上，那么是的（ ） A．7倍 B．6倍 C．5倍 D．4倍 2.在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（       ） A． B．2 C． D．4 3.设是椭圆：上一点，，分别是的左、右焦点，则 A．5 B． C．4 D． 4.椭圆上一点到焦点的距离为2，是的中点，则 等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．1.5 5．平面内有两个定点和一动点，设命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知A为椭圆上一点，F为椭圆一焦点，的中点为，为坐标原点，若则（ ） A． B． C． D． 题型三：利用椭圆定义求范围 （1）若表示椭圆，则 （2）若表示焦点在轴上的椭圆，则 （3）若表示焦点在轴上的椭圆，则 【例1】“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（多选题）已知曲线 A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 【题型专练】 1.已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2.是方程表示椭圆的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 题型四：椭圆中有关三角形周长、面积问题 【例1】已知△的顶点､在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为（ ） A． B． C． D． 【例2】椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则的面积为 A．24 B．28 C．40 D．48 【题型专练】 1.设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点 的直线交椭圆于两点， （Ⅰ）若的周长为16，求； 2.已知椭圆C：的左右焦点分别是，过的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型五：椭圆的标准方程 【例1】椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ） A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1 【例2】椭圆的右焦点到直线的距离是（ ） A． B． C．1 D． 【例3】已知椭圆的焦点为，．过点的直线与交于，两点．若的周长为8，则椭圆的标准方程为（ ）． A． B． C． D． 【题型专练】 1．到点和的距离之和为的点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 2.（多选）已知椭圆C：，则下列结论正确的是 A．长轴长为 B．焦距为 C．焦点坐标为 D．离心率为 3.已知椭圆的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于 A．3 B．5 C．7 D．8 4.已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过的直线l交C与A，B两点，若△的周长为，则C的方程为（       ） A． B． C． D． 椭圆的离心率 椭圆的离心率， 题型一：利用，利用椭圆定义去转换，利用焦距表示 在处理问题的时候一定要注意定义优先原则，用上椭圆定义，再结合平面几何、三角函数、不等式、以及函数的内容，往往可以解决诸多离心率问题． 【例1】椭圆的左右焦点分别是，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为（ ）． A． B． C． D． 【例2】过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 2.已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．若为等边三角形，求C的离心率。 题型二：利用与建立一次二次方程不等式 在处理此类问题的时候，一般要用到余弦定理，或者带入椭圆，总之就是找到之间的关系 【例1】已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【例2】已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（       ） A． B． C． D． 【例3】已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，直线与直线的交点为P，若的面积是面积的2倍（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知椭圆，是椭圆的右焦点，为左顶点，点在椭圆上，轴，若，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 2.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A． B． C． D． 题型三：利用相似、垂直、平行等几何关系求离心率 【例1】设，分别是椭圆：的左，右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．若直线的斜率为，求的离心率。 【例2】已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知椭圆：的左右焦点分别为，点A是椭圆上一点，线段的垂直平分线与椭圆的一个交点为若则椭圆的离心率为____. 2.已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过作的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为______. 椭圆中最值问题 题型一：利用均值不等式求最值 【例1】已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（       ）． A．13 B．12 C．25 D．16 【例2】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.设是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 题型二：利用焦半径范围求最值 【例1】已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________． 【例2】已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足，且，则的最小值是 ． 【题型专练】 1.已知椭圆，点，为椭圆上一动点，则的最大值为____. 题型三：椭圆上一点到定点距离最值问题 【例1】已知椭圆的长轴长为，短轴长为，则椭圆上任意一点到椭圆中心的距离的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【例2】已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为________. 2.（多选）已知点是椭圆：上的动点，是圆：上的动点，则（       ） A．椭圆的短轴长为1 B．椭圆的离心率为 C．圆在椭圆的内部 D．的最小值为 题型四：椭圆上一点到直线距离最值问题 两种思路：法一：设椭圆参数方程，即设椭圆上一点为，用点到直线的距离公式 法二：利用直线与椭圆相切，联立方程，利用判别式，求出切线，再求两直线间距离 【例1】椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（       ） A． B． C． D． 【例2】椭圆上的点到直线的距离的最大值为______. 【题型专练】 1.已知实数x，y满足方程，则的最大值为________． 2.椭圆：上的点到直线的距离的最小值为_____. 题型五：声东击西，利用椭圆定义求最值 此种类型题目，一般要利用椭圆定义，转化为三点共线问题，利用三角形两边之和大于第三边，或者两边之差小于第三边解决 【例1】动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（       ） A．4 B．8 C． D．12 【例2】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（       ） A． B．13 C．3 D．5 【题型专练】 1.已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（       ） A． B． C． D． 2.已知为椭圆的左焦点，是其内一点，为椭圆上的动点，则的最大值为_________，最小值为________。 椭圆中焦点三角形面积和中点弦问题 考点一：椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 证明：设 ． 考点二：中点弦问题（点差法） 中点弦问题：若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似． 直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有． 两式相减得，所以． 中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得 ． 题型一：焦点三角形面积 【例1】为椭圆上的一点，和是其焦点，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为 . 【题型专练】 1.设P为椭圆上一点，为左右焦点，若，则P点的纵坐标为（ ） A． B． C． D． 2.（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的动点（异于椭圆的左、右顶点），，的面积为，则（       ） A．的最大值为 B．不可能为 C．当时，椭圆的离心率为 D． 题型二：中点弦问题 【例1】已知椭圆的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，），则G的方程为 A． B． C． D． 【例2】若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在的直线方程为______． 【题型专练】 1.过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（       ） A． B． C． D． 2.已知椭圆C：），O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为． (1)求椭圆C的离心率； (2)若椭圆C经过点，求椭圆C的标准方程． 3.已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别为和. (1)求椭圆的标准方程. (2)直线与椭圆交于两点，若线段的中点，求直线的方程. 双曲线及其性质 考点一：双曲线定义及标准方程 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于轴、轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 注：离心率越大，双曲线开口越大 渐近线方程 考点二：双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． 考点三：双曲线常考性质结论 ①双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数; ②双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 证明：设是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是和，点到两条渐近线的距离分别是和，则． 考点四：双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） 题型一: 双曲线的定义 【例1】已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（       ） A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线 【例2】已知定点，，M是上的动点，关于点M的对称点为N，线段的中垂线与直线交于点P，则点P的轨迹是（       ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线 【题型专练】 1.－＝4表示的曲线方程为（       ） A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2) C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2) 2.已知曲线上任意一点满足方程，求曲线的方程； 题型二：利用双曲线定义解题 【例1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（       ） A． B． C．或 D．或 【例2】已知双曲线的左右焦点分别为、，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（       ） A． B． C．或 D．或 【题型专练】 1.直线是双曲线的一条渐近线，，分别是双曲线左、右焦点，P是双曲线上一点，且，则（       ） A．2 B．6 C．8 D．10 2.已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且，则（       ） A． B． C． D． 题型三：利用双曲线定义求参数范围 【例1】“”是“为双曲线”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（多选题）已知曲线的方程为，下列说法正确的是（       ） A．若，则曲线为椭圆 B．若，则曲线为双曲线 C．若曲线为焦点在轴的椭圆，则 D．若为双曲线，则渐近线方程为 【题型专练】 1.【多选】若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（       ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则 2.已知，则“”是“方程表示双曲线”的（       ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型四：求双曲线的标准方程 【例1】（多选题）已知双曲线，则下列结论正确的有（       ） A．焦点在y轴上 B．实轴长为4 C．虚轴长为6 D．离心率为 【例2】与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（       ） A． B． C． D． 【例3】经过两点，的双曲线的标准方程为______． 【题型专练】 1．（多选题）已知双曲线方程为，则下列说法正确的有（       ） A．离心率为 B．顶点坐标为 C．实轴长为4 D．渐近线方程为 2.若双曲线的一个焦点为，则实数__________． 3.已知双曲线方程为，焦距为6，则k的值为________. 题型五：利用双曲线定义求周长 【例1】双曲线过焦点的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为，则的周长为（       ） A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m 【例2】过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则（F2为右焦点）的周长（ ） A．28 B．22 C．14 D．12 【题型专练】 1.已知为双曲线的左焦点, 为上的点,若的长等于虚轴长的2倍,点 在线段上,则的周长为____________. 2.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为（       ） A． B． C． D． 题型六：双曲线焦点三角形面积 【例1】设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【题型专练】 1.设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则△的面积为（ ） A． B．3 C． D．2 题型七： 双曲线的渐近线方程 焦点在轴上的渐近线为 焦点在轴上的渐近线为 若双曲线的方程为，要求渐近线只需令，解出即可 即已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。 【例1】已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 【例2】若双曲线的渐近线与圆相切，则_________． 【题型专练】 1.双曲线的渐近线方程是（          ） A． B． C． D． 2.双曲线与有相同的（       ） A．离心率 B．渐近线 C．实轴长 D．焦点 3.若双曲线的渐近线与圆相切，则______． 题型八： 渐近线与离心率的关系 【例1】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【例2】已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率（       ） A．3 B． C． D． 【题型专练】 1．若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 题型九： 双曲线焦点到渐近线的距离为 【例1】若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ） A． B．3 C． D． 2．已知双曲线的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 题型十：已知渐近线方程求双曲线方程 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）（共轭双曲线，具有相同渐近线的两个双曲线） 【例1】已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 【例2】设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________． 【题型专练】 1．已知双曲线的渐近线方程是，且双曲线经过点，则双曲线的标准方程为___________. 2.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（       ） A． B． C． D． 双曲线的离心率 椭圆的离心率， 题型一：利用双曲线的定义、几何性质求离心率的值 【例1】已知双曲线的两个焦点分别为，，是双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 【例2】已知双曲线的左、右焦点为，，过且垂直于轴的直线交于，两点，若，则的离心率为（       ） A． B．2 C． D． 【例3】已知，分别为双曲线（）的左、右焦点，，是右支上的两点，且直线经过点．若，以为直径的圆经过点，则的离心率为（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则双曲线C的离心率为（       ） A． B． C． D． 2.已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（       ） A．2 B． C． D．2 3.如图，双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点，直线与圆相切于点，，则双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 题型二：双曲线的离心率范围范围问题 【例1】设双曲线的中心为点，若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 A． B． C． D． 【例2】已知双曲线，，是实轴顶点，F是右焦点，是虚轴端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是（       ）． A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知双曲线的焦距为为其左右两个焦点，直线l经过点且与渐近线平行，若l上存在第一象限的点P满足，则双曲线C离心率的取值范围为（       ） A． B． C． D． 2.已知点F为双曲线的右焦点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A．若△OAF（点O为坐标原点）的面积为4，双曲线的离心率，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 3.设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为______，的取值范围为______． 双曲线中的最值问题 题型一：利用焦半径范围求最值 【例1】【多选】若P是双曲线C：上一点，C的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（          ） A． B．渐近线方程为 C．的最小值是2 D．焦点到渐近线的距离是 【例2】设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（       ） A．6 B．9 C．12 D．14 【题型专练】 1.已知点P是双曲线（a>0，b>0）的渐近线上一点，F是双曲线的右焦点，若|PF|的最小值为2a，则该双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 2.双曲线的一条渐近线方程为，，分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 题型二：利用双曲线线定义转化为三点共线问题求最值 【例1】已知，分别是双曲线：的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为______． 【例2】已知点在双曲线的右支上，，动点满足，是双曲线的右焦点，则的最大值为___________. 【例3】设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（       ） A．6 B．9 C．12 D．14 【题型专练】 1.已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（       ） A．3 B．1 C． D． 2.设F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为（       ） A．5 B． C． D．9 3.已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是________. 抛物线定义及性质 考点一：抛物线定义 平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 考点二：抛物线标准方程与几何性质 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 题型一：抛物线的定义 【例1】已知实数x，y满足，其中常数，则动点的轨迹是（       ） A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 【例2】抛物线的准线方程是（       ） A． B． C． D． 【例3】抛物线的焦点为F，点M在C上，，则M到y轴的距离是（       ） A．4 B．8 C．10 D．12 【例4】若抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，则（       ） A．6 B．8 C．12 D．16 【例5】已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（       ） A． B．1 C．2 D．4 【题型专练】 1．抛物线的焦点坐标为（       ） A． B． C． D． 2.已知抛物线，其焦点为F，准线为l，则下列说法正确的是（       ） A．焦点F到准线l的距离为1 B．焦点F的坐标为 C．准线l的方程为 D．对称轴为x轴 3．已知圆与抛物线的准线相切，则（       ） A．1 B．2 C．4 D．8 4.抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（       ） A． B． C． D．2 5.抛物线上一点到焦点的距离是10，则点到轴的距离是（       ） A．10 B．9 C．8 D．7 题型二：求抛物线的标准方程 【例1】抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为4，则抛物线方程为（       ） A． B． C． D． 【例2】已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（       ） A． B． C． D． 【例3】已知O是坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上一点，且，则的面积为（       ） A．8 B．6 C．4 D．2 【例4】位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m． 【题型专练】 1.过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（       ） A． B． C． D． 2.焦点在x－y－1＝0上的抛物线的标准方程是______． 3.已知抛物线上一点到焦点的距离．求抛物线的方程； 4.已知抛物线上一点的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为______． 5.如图，某河流上有一座抛物线形的拱桥，已知桥的跨度米，高度米（即桥拱顶到基座所在的直线的距离）．由于河流上游降雨，导致河水从桥的基座处开始上涨了1米，则此时桥洞中水面的宽度为______米． 题型三：抛物线的性质 【例1】抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等边三角形，则（       ） A．2 B． C．6 D． 【例2】已知抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，的延长线交抛物线于点，若，则（       ） A．5 B． C．10 D．15 【例3】已知点A是抛物线C：上一点，F为焦点，O为坐标原点，若以点O为圆心，以的长为半径的圆与抛物线C的另一个交点为B，且，则的值是（       ） A． B．6 C． D．7 【题型专练】 1.抛物线的焦点为F，点M在C上，，则M到y轴的距离是（       ） A．4 B．8 C．10 D．12 2.已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，若，则（       ） A．4 B． C．8 D． 3.已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作准线的垂线，垂足为Q，若，则（       ） A．2 B．4 C．6 D． 4.（多选）已知平面内到定点比它到定直线：的距离小1的动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（       ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离 抛物线的焦点弦、焦半径、中点弦 考点一：抛物线焦点弦焦半径公式 图1-3-1 图1-3-2 焦半径：，，． 焦点弦：． 三角形面积：． 题型一：抛物线焦点弦焦半径 【例1】直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（       ） A．6 B．8 C．2 D．4 【例2】过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若若直线l的斜率为k，则k=（       ） A． B． C．或 D．或 【例3】过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（       ） A． B．2 C． D． 【例4】已知抛物线上一点到焦点的距离为4. (1)求实数的值； (2)若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程. 【题型专练】 1.设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（       ） A．2 B． C．3 D． 2.直线与抛物线交于，两点，则（       ） A． B． C． D． 3.设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（       ） A． B．8 C．12 D． 题型二：有关三角形面积问题 【例1】斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（       ） A． B． C． D． 【例2】已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为___． 【例3】已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求该抛物线的方程； (2)为坐标原点，求的面积. 【题型专练】 1.已知点为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线与交于点，，则（为坐标原点）的面积为___________. 2.抛物线 ​的焦点为​， 直线​与抛物线分别交 于​两点（点​在第一象限）， 则​的值等于________. 3.已知抛物线过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)设抛物线的焦点为，坐标原点为.过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，求的面积. 题型三：抛物线中点弦问题 【例1】已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（       ） A．4 B．2 C．1 D． 【例2】已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为，则点F到直线l的距离为（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（       ） A． B．3 C． D．－3 2.已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（       ） A． B． C． D． 抛物线中的最值问题 题型一：过焦点的弦通径 【例1】已知直线l过抛物线C的焦点，l与C交于A，B两点，若的最小值为6，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为___． 【题型专练】 1.设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于M，N两点， ，求C的方程； 题型二：利用抛物线定义转化为三点共线问题求最值 【例1】已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______． 【例2】已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________． 【例3】已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.设是抛物线上的一个动点，点是焦点． (1)求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值； (2)若，求的最小值． 2.已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（       ） A．3 B．4 C．5 D． 题型三：利用直线与抛物线相切求最值 【例1】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，则________；设点是抛物线上的任意一点，点是的对称轴与准线的交点，则的最大值为________. 【题型专练】 1.已知点在直线上，点在曲线上，则的最小值为_____. 题型四：抛物线与圆结合最值问题 【例1】已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（       ） A．1 B．2 C． D． 【例2】【多选】已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（       ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【题型专练】 1.已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选择性必修1学习材料-圆锥曲线 椭圆及其标准方程 考点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 注意：①若，则动点的轨迹为线段； ②若，则动点的轨迹无图形． 考点二：椭圆的标准方程与几何性质 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于轴、轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长，短轴长 离心率 （注：离心率越小越圆，越大越扁） 考点三：椭圆的通径 过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． 考点四：椭圆上一点的有关最值 ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点． 距离的最大值为，距离的最小值为． 题型一：椭圆的定义 【例1】如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（ ）． A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 【答案】B 【解析】表示平面由点到点的距离之和为，而，所以点的轨迹是椭圆，故选：B 【例2】设为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是（       ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【答案】D 【解析】 【分析】 由条件可得，即可得答案. 【详解】 因为，所以动点M的轨迹是线段， 故选：D 【题型专练】 1.已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（ ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【答案】A 【解析】 ， 故， 又， 根据椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆. 故选：A. 2.（多选）在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】A选项，表示动点到定点和的距离等于，即，所以点的轨迹是线段，故A错； B选项，表示动点到定点和的距离等于，即，满足椭圆定义，所以表示焦点在轴上，焦距为，长轴长为的椭圆，故B正确； C选项，由可得，整理得显然表示椭圆，故C正确； D选项，由可得，则，显然不表示椭圆，故D错. 故选：BC 题型二：利用椭圆定义的解题 在处理椭圆问题的时候，要优先思考定义，俗称定义优先原则，而非上来就直接设直线和椭圆联立．所以在解题的时候如果看到点在椭圆上，要时刻思考椭圆定义，将该点和焦点连线，用上定义分析问题． 【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，若，则等于（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【解析】因，所以 【例2】椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：，点、是它的两个焦点，当静止的小球放在点处，从点沿直线出发，经椭圆壁（非椭圆长轴端点）反弹后，回到点时，小球经过的最短路程是（ ） A．20 B．18 C．16 D．以上均有可能 【答案】C 【解析】因最短路程 【例3】设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因，所以，所以 【例4】设，为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由中位线定理以及椭圆方程得出，再由椭圆的定义得出，再求的值. 【详解】 由椭圆的定义可知，，由中位线定理可知，，将代入中，解得，即，，故 故选：C 【题型专练】 1.椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，如果的中点在轴上，那么是的（ ） A．7倍 B．6倍 C．5倍 D．4倍 【答案】C 【解析】由题意知：，所以，因，所以，所以 2.在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（       ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】 【分析】 由题设易知为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有，，最后应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值. 【详解】 由题设知：为椭圆的两个焦点，而B在椭圆上， 所以，， 由正弦定理边角关系知：. 故选：A 3.设是椭圆：上一点，，分别是的左、右焦点，则 A．5 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】依题意得椭圆：焦点在轴，且，， 因为，所以，即， 又，，所以，故选：A． 4.椭圆上一点到焦点的距离为2，是的中点，则 等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．1.5 【答案】B 【解析】设椭圆另一焦点为,根据椭圆定义，故， 中, 是的中点，是的中点，故 是中位线， .故选：B. 5．平面内有两个定点和一动点，设命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若点的轨迹是以为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点到两定点的距离之和 ，且为常数）成立是定值． 若动点到两定点的距离之和 ，且为常数），当，此时的轨迹不是椭圆．甲是乙的必要不充分条件．故选：． 6．已知A为椭圆上一点，F为椭圆一焦点，的中点为，为坐标原点，若则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不妨设椭圆左焦点为，右焦点为， 因为的中点为，的中点为，所以， 又由，可得.故选：B. 题型三：利用椭圆定义求范围 （1）若表示椭圆，则 （2）若表示焦点在轴上的椭圆，则 （3）若表示焦点在轴上的椭圆，则 【例1】“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若方程表示椭圆，则，解得：或 或是的真子集，所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故选：B 【例2】（多选题）已知曲线 A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 【答案】AD 【解析】由题意得：，所以当，则，所以表示焦点在轴上的椭圆，所以对，错，当时，曲线为，所以表示圆，半径为，当时，曲线为，所以，所以表示两条直线，故选：AD 【题型专练】 1.已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，且，所以或． 故选D． 2.是方程表示椭圆的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】若方程表示椭圆，则有，解得且 所以是方程表示椭圆的必要不充分条件故选：B 题型四：椭圆中有关三角形周长、面积问题 【例1】已知△的顶点､在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆方程知：，又，， ∴△的周长为，故选：D. 【例2】椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则的面积为 A．24 B．28 C．40 D．48 【答案】A 【解析】由题意得：，所以，又因，所以，所以为直角三角形，所以，故选：A 【题型专练】 1.设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点 的直线交椭圆于两点， （Ⅰ）若的周长为16，求； 【解析】：（Ⅰ）由得． 因为的周长为16，所以由椭圆定义可得 故． 2.已知椭圆C：的左右焦点分别是，过的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【解析】由椭圆知：a=3， 由椭圆的定义得：， 所以， 又因为， 所以， 故选：A 题型五：椭圆的标准方程 【例1】椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ） A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1 【答案】A 【解析】∵椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26， ∴椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，∴＝12， ∴椭圆的方程为＝1．故选：A． 【例2】椭圆的右焦点到直线的距离是 A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由条件可知，所以右焦点为，由点到直线的距离公式得，故选：B 【例3】已知椭圆的焦点为，．过点的直线与交于，两点．若的周长为8，则椭圆的标准方程为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据椭圆的定义知的周长为，∴，又，，∴， ∴椭圆的标准方程为． 【题型专练】 1．到点和的距离之和为的点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为和两点间的距离， 所有由椭圆的定义知动点的轨迹是以和为焦点，长轴长为的椭圆， 所以，，即， 所以， 所以所求动点的轨迹方程为， 故选：A. 2.（多选）已知椭圆C：，则下列结论正确的是 A．长轴长为 B．焦距为 C．焦点坐标为 D．离心率为 【答案】D 【解析】由题意知，所以焦点在轴上，所以，所以，所以，故选D 3.已知椭圆的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于 A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】D 【解析】要表示焦点在轴上的椭圆时， ，所以，解得，故选：D 4.已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过的直线l交C与A，B两点，若△的周长为，则C的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，解得，所以，故选B 椭圆的离心率 椭圆的离心率， 题型一：利用，利用椭圆定义去转换，利用焦距表示 在处理问题的时候一定要注意定义优先原则，用上椭圆定义，再结合平面几何、三角函数、不等式、以及函数的内容，往往可以解决诸多离心率问题． 【例1】椭圆的左右焦点分别是，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，所以， 所以，所以离心率为．故选：C． 【例2】过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为为正三角形，所以结合椭圆的定义可得，所以椭圆的离心率，代入即可得出答案. 【详解】图所示，易知，． 由椭圆的定义可得，则该椭圆的离心率． 故选：A. 【题型专练】 1.已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用椭圆定义和勾股定理可构造齐次方程求得离心率. 【详解】 设，则，由椭圆定义知：； ，，即，， ，椭圆的离心率. 故选：C. 2.已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．若为等边三角形，求C的离心率； 【解析】（1）连结，由为等边三角形可知在中，，，，于是，故的离心率是． 题型二：利用与建立一次二次方程不等式 在处理此类问题的时候，一般要用到余弦定理，或者带入椭圆，总之就是找到之间的关系 【例1】已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设椭圆方程为，焦点，离心率为e， 将代入可得，所以, 又是等腰直角三角形，所以， 所以即，所以，解得（负值舍去）. 故选：C. 【例2】已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义以及焦点三角形中的余弦定理即可建立齐次式求解. 【详解】在椭圆中，由椭圆的定义可得， 因为，所以，在中，， 由余弦定理得， 即所以所以的离心率. 故选：C 【例3】已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，直线与直线的交点为P，若的面积是面积的2倍（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的三角形面积关系，可求得，即可求得离心率. 【详解】由题可知，故， 所以与直线的交点P坐标为， 由的面积是面积的2倍知， ，．所以． 故选：C 【题型专练】 1.已知椭圆，是椭圆的右焦点，为左顶点，点在椭圆上，轴，若，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点在椭圆上，且轴，所以代入椭圆方程可得，又因为且若，所以，即，则，应选答案A． 2.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为， 直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即， 从而，则椭圆的离心率，故选A． 题型三：利用相似、垂直、平行等几何关系求离心率 【例1】设，分别是椭圆：的左，右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．若直线的斜率为，求的离心率。 【解析】（Ⅰ）根据及题设知， 将代入，解得（舍去），故C的离心率为． 【例2】已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画图，利用相似于，和相似于列方程求解即可. 【详解】如图，由题意得､､， 设，因为轴，所以，所以 ，得①， 又由，中点为，得，得②， 由①②得，则. 故选：A. 【题型专练】 1.已知椭圆：的左右焦点分别为，点A是椭圆上一点，线段的垂直平分线与椭圆的一个交点为若则椭圆的离心率为____. 【答案】## 【分析】根据已知关系表示出点B的坐标，代入方程即可求出离心率. 【详解】如图所示， 线段的垂直平分线与椭圆的一个交点为连接，则， ，，，， 点A是椭圆短轴的一个端点，不妨设为上端点． 作轴，垂足为点则， ， ， 代入椭圆方程可得：，解得，. 故答案为：. 2.已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过作的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为______. 【答案】 【分析】延长，交于点Q，根据PA是的外角平分线，得到，，再利用椭圆的定义求解. 【详解】解：如图所示： 延长，交于点Q， ∵PA是的外角平分线， ，， 又O是的中点，，且. 又， ， ， ∴离心率为. 故答案为： 椭圆中最值问题 题型一：利用均值不等式求最值 【例1】已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（       ）． A．13 B．12 C．25 D．16 【答案】C 【解析】 【分析】 根据椭圆定义可得，利用基本不等式可得结果. 【详解】 由椭圆方程知：；根据椭圆定义知：， （当且仅当时取等号）， 的最大值为. 故选：C. 【例2】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由椭圆的定义可得； 利用基本不等式，若 ，则，当且仅当时取等号. 【详解】 根据椭圆的定义可知，，即， 因为，， 所以， 当且仅当，时等号成立. 故选：A 【题型专练】 1.设是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用椭圆的定义以及基本不等式可求得的最小值. 【详解】 在椭圆中，，，， 由椭圆定义可得，， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：A. 题型二：利用焦半径范围求最值 【例1】已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________． 【答案】[1,3] 【分析】设出点P的坐标，由两点间的距离公式求出，进而根据点在椭圆上将式子化简，最后求出范围. 【详解】由题意，，设，则，所以，因为，所以的范围是. 故答案为：. 【例2】已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足，且，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】由题意知 ，所以，解得，所以为椭圆的右焦点，由题意知点是以为圆心，为半径上的圆上一动点，且所以 ，因的最小值为，所以 【题型专练】 1.已知椭圆，点，为椭圆上一动点，则的最大值为____. 【答案】 【分析】设点，可得出，其中，利用二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】设点，则，可得，其中， ， 当且仅当时，取得最大值. 故答案为：. 题型三：椭圆上一点到定点距离最值问题 【例1】已知椭圆的长轴长为，短轴长为，则椭圆上任意一点到椭圆中心的距离的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设椭圆的焦点在轴上，设点，则，且有，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】不妨设椭圆的焦点在轴上，则该椭圆的标准方程为， 设点，则，且有， 所以，. 故选：A. 【例2】已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，得到，利用椭圆的范围求解. 【详解】解：设， 则， ， ， 因为， 所以，即， 故选：B 【题型专练】 1.设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为________. 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆的几何性质，以及两点间的距离公式，即可求解. 【详解】根据题意，易知，设，则，即， 故， 因为，所以当时，. 故答案为：. 2.（多选）已知点是椭圆：上的动点，是圆：上的动点，则（       ） A．椭圆的短轴长为1 B．椭圆的离心率为 C．圆在椭圆的内部 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】 AB.利用椭圆的方程求解判断；C.由椭圆方程和圆的方程联立，利用判别式法判断；D.利用圆心到点的距离判断. 【详解】 解：因为椭圆方程为：， 所以，故A错误，B正确； 由，得， 因为， 所以椭圆与圆无公共点，又圆心在椭圆内部， 所以圆在椭圆内部，故C正确； 设， 则， 当时，取得最小值，则的最小值为，故D错误， 故选：BC 题型四：椭圆上一点到直线距离最值问题 两种思路：法一：设椭圆参数方程，即设椭圆上一点为，用点到直线的距离公式 法二：利用直线与椭圆相切，联立方程，利用判别式，求出切线，再求两直线间距离 【例1】椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据椭圆的形式，运用三角代换法，结合点到直线距离公式、辅助角公式进行求解即可. 【详解】 由，设， 设点到直线：的距离， 所以有， 其中， 所以当时，有最小值， 故选：C 【例2】椭圆上的点到直线的距离的最大值为______. 【答案】 【分析】设与直线平行的直线与椭圆相切，然后将直线方程代入椭圆方程中，由可求出的值，再利用两平行线间的距离公式可求得结果 【详解】设与直线平行的直线与椭圆相切， 由得， 由得，，解得 设直线与直线的距离为， 当时，直线为，则， 当时，直线为，则， 因为， 所以椭圆1上的点到直线的距离的最大值为. 故答案为： 【题型专练】 1.已知实数x，y满足方程，则的最大值为________． 【答案】 【分析】利用三角换元法，再用辅助角公式，结合三角函数的性质可求出答案. 【详解】因为，所以 令， 则， 所以的最大值为. 故答案为： 2.椭圆：上的点到直线的距离的最小值为_____. 【答案】 【分析】设点的坐标为，利用点到直线的距离公式及辅助角公式计算可得. 【详解】解：设点的坐标为，其中， 则点到直线的距离 ，其中， 当时，等号成立． 所以取得最小值． 故答案为： 题型五：声东击西，利用椭圆定义求最值 此种类型题目，一般要利用椭圆定义，转化为三点共线问题，利用三角形两边之和大于第三边，或者两边之差小于第三边解决 【例1】动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（       ） A．4 B．8 C． D．12 【答案】B 【解析】 【分析】 求出轨迹方程，根据椭圆的定义，可得，当经过点时，最短. 【详解】 设动点 的坐标为 ，则 整理后得： ，动点 的轨迹为椭圆，左焦点为，右焦点为 ， ，如下图所示，当经过点时，最短，此时 故选：B 【例2】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（       ） A． B．13 C．3 D．5 【答案】B 【解析】 【分析】 利用椭圆的定义求解. 【详解】 如图所示： ， 故选：B 【题型专练】 1.已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 设左焦点为，为椭圆右焦点，利用椭圆定义转化，然后利用平面几何的性质得最大值． 【详解】 解：椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为， 则由椭圆定义， 于是. 当不在直线与椭圆交点上时，､､三点构成三角形，于是， 而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有， 在第三象限交点时有. 显然当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为 . 故选：A. 2.已知为椭圆的左焦点，是其内一点，为椭圆上的动点，则的最大值为_________，最小值为________。 【答案】          【解析】 【分析】 设为椭圆右焦点，设左焦点为，在椭圆内，由椭圆定义，结合当在直线与椭圆交点上时和当在直线与椭圆交点，分别求得其最大值与最小值，即可求解. 【详解】 设为椭圆右焦点，设左焦点为，在椭圆内， 则由椭圆定义， 当在直线与椭圆交点上时，在轴的上方时，，取得最小值，最小值为：； 当在直线与椭圆交点，在轴的下方时，有最大值， 其最大值为. 故答案为：，. 椭圆中焦点三角形面积和中点弦问题 考点一：椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 证明：设 ． 考点二：中点弦问题（点差法） 中点弦问题：若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似． 直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有． 两式相减得，所以． 中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得 ． 题型一：焦点三角形面积 【例1】为椭圆上的一点，和是其焦点，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为 . 【答案】 【详解】 由题知. 【题型专练】 1.设P为椭圆上一点，为左右焦点，若，则P点的纵坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据椭圆中焦点三角形的面积公式求解即可. 【详解】 由题知.设P点的纵坐标为则 . 故选：B 2.（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的动点（异于椭圆的左、右顶点），，的面积为，则（       ） A．的最大值为 B．不可能为 C．当时，椭圆的离心率为 D． 【答案】ACD 【解析】 【分析】 利用椭圆的范围和三角形的面积公式判定选项A正确，利用为椭圆上顶点时的特殊情况判定选项B错误，利用通径长判定选项C正确，利用焦点三角形和余弦定理判定选项D正确. 【详解】 对于A：设，，则， ，， 即选项A正确； 对于B：若存在，只需当为椭圆上顶点时， ，只需， 即选项B错误； 对于C：由，可知，此时， 则，即，解得， 即选项C正确； 对于D：设，，由余弦定理可得， 则有， 所以， 则， 即选项D正确． 故选：ACD． 题型二：中点弦问题 【例1】已知椭圆的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，），则G的方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则=2，=－2， ， ① ， ② ①－②得，所以===， 又==，所以=，又9==，解得=9，=18， 所以椭圆方程为，故选D 【例2】若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在的直线方程为______． 【答案】 【分析】设 和 点的坐标，代入椭圆方程，利用“点差法”即可求得直线 的斜率，利用点斜式方程，即可求得直线方程. 【详解】设直线与椭圆的交点为 为的中点， ； 两点在椭圆上，则 两式相减得 ； 则 ； ； 故所求直线的方程为 ，即 ； 故答案为： 【题型专练】 1.过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由与x轴交点横坐标可得半焦距c，设出点A，B坐标，利用点差法求出的关系即可计算作答. 【详解】依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，， 则有，两式相减得：， 而，且，即有， 又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符合题意， 所以椭圆的方程为. 故选：A 2.已知椭圆C：），O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为． (1)求椭圆C的离心率； (2)若椭圆C经过点，求椭圆C的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点差法、中点坐标公式、斜率公式可得到，再利用椭圆的离心率公式进行求解； （2）利用离心率和点在椭圆上进行求解. (1) 解：设，，， 则，所以， 所以，即， 即，即， 则离心率； (2) 解：若椭圆C过点， 即，又因为， 所以，即，， 所以椭圆C的标准方程为. 3.已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别为和. (1)求椭圆的标准方程. (2)直线与椭圆交于两点，若线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）假设椭圆方程，根据短轴长、焦点坐标和椭圆关系可构造方程组求得，由此可得椭圆方程； （2）利用点差法可求得直线斜率，由此可得直线方程. (1) 由题意可设椭圆方程为：， 则，解得：，椭圆的标准方程为：. (2) 设，，则， 两式作差得：， 直线斜率， 又中点为，，，， 直线方程为：，即. 双曲线及其性质 考点一：双曲线定义及标准方程 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于轴、轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 注：离心率越大，双曲线开口越大 渐近线方程 考点二：双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． 考点三：双曲线常考性质结论 ①双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数; ②双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 证明：设是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是和，点到两条渐近线的距离分别是和，则． 考点四：双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） 题型一: 双曲线的定义 【例1】已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（       ） A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线 【答案】B 【解析】 【分析】 根据表示的几何意义，结合双曲线定义，可判断答案. 【详解】 点的坐标满足, 即动点,到定点距离减去到的距离，差等于4， 即 ,且 ， 故动点P的轨迹是双曲线的一支， 故选：B 【例2】已知定点，，M是上的动点，关于点M的对称点为N，线段的中垂线与直线交于点P，则点P的轨迹是（       ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线 【答案】A 【解析】 【分析】 根据垂直平分线的性质，结合图分析点P到，的距离只差可知. 【详解】 由题意及图可知，， 因为O、M分别为的中点，所以，所以 故点P的轨迹是以，为焦点，2为实轴长的双曲线. 故选：A 【题型专练】 1.－＝4表示的曲线方程为（       ） A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2) C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2) 【答案】C 【分析】根据两点间距离的定义及双曲线定义，可判断双曲线的长轴长与焦距，进而求得b，得双曲线方程；结合方程的意义，即可判断出y的取值范围． 【详解】根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合. 根据双曲线定义可知， 所以    由焦点在y轴上，所以 ，且到点 的距离比较大 所以 即曲线方程为 故选：C. 2.已知曲线上任意一点满足方程，求曲线的方程； 【答案】 【分析】根据双曲线的定义即可得出答案； 【详解】设， 则，等价于， 曲线为以为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为， 故曲线的方程为：； 题型二：利用双曲线定义解题 【例1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由双曲线定义可直接构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程知：； 根据双曲线定义知：，解得：（舍）或. 故选：B. 【例2】已知双曲线的左右焦点分别为、，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据已知条件求出的值，再利用双曲线的定义可求得. 【详解】解：双曲线C的渐近线方程为，则，所以，，， 由双曲线定义可知，则或， 又因为，故， 故选：A． 【题型专练】 1.直线是双曲线的一条渐近线，，分别是双曲线左、右焦点，P是双曲线上一点，且，则（       ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据渐近线可求出a，再由双曲线定义可求解. 【详解】因为直线是双曲线的一条渐近线， 所以， ， 又或， 或（舍去）， 故选：C 2.已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程确定的值，从而求出，再利用双曲线的定义求解得答案. 【详解】在双曲线中，，，, ∵，∴， 又，∴, 故选:A 题型三：利用双曲线定义求参数范围 【例1】“”是“为双曲线”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先求方程表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系. 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 又当时，方程表示双曲线， 因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件. 故选：C 【例2】（多选题）已知曲线的方程为，下列说法正确的是（       ） A．若，则曲线为椭圆 B．若，则曲线为双曲线 C．若曲线为焦点在轴的椭圆，则 D．若为双曲线，则渐近线方程为 【答案】BD 【分析】根据椭圆及双曲线的标准方程可判断ABC，由双曲线的性质可判断D. 【详解】对于A，当时，满足，曲线不为椭圆，故错误； 对于B，当时，由双曲线标准方程知，是双曲线，故正确； 对于C，由可得，若表示焦点在轴的椭圆，则， 即，故错误； 对于D，若为双曲线，则由可得，即双曲线的渐近线方程为，故正确. 故选：BD 【题型专练】 1.【多选】若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（       ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则 【答案】BC 【分析】分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可 【详解】若为椭圆，则 ，且 ，故A错误 若为双曲线，则 ， ，故B正确 若为圆，则 ， ，故C正确 若为椭圆，且长轴在轴上，则 ， ，故D错误 故选：BC 2.已知，则“”是“方程表示双曲线”的（       ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据双曲线标椎方程的定义，可得，再根据充分必要条件的集合关系，可得到答案. 【详解】由方程表示双曲线，可得，解得或， 则为或的充分不必要条件， 故选：B. 题型四：求双曲线的标准方程 【例1】（多选题）已知双曲线，则下列结论正确的有（       ） A．焦点在y轴上 B．实轴长为4 C．虚轴长为6 D．离心率为 【答案】BC 【分析】根据双曲线方程的形式对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论 【详解】解：由方程可知，焦点在轴上，则A不正确； 设，则， 则实轴长为，虚轴长为，则B,C正确； ，则，所以离心率，即D不正确. 故选：BC. 【例2】与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得的值，再由可求得的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程. 【详解】 椭圆的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为， 由双曲线的定义可得， ，，， 因此，双曲线的方程为. 故选：C. 【例3】经过两点，的双曲线的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据给定条件，设出双曲线方程，再利用待定系数法求解作答. 【详解】 设双曲线方程为，依题意有，解得， 所以所求双曲线的标准方程为：. 故答案为： 【题型专练】 1．（多选题）已知双曲线方程为，则下列说法正确的有（       ） A．离心率为 B．顶点坐标为 C．实轴长为4 D．渐近线方程为 【答案】AC 【解析】先化为标准方程得，进而得，再依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解： 将双曲线的方程化为标准方程得：， 所以双曲线的焦点在轴上，且， 所以离心率为，顶点坐标为，实轴长为，渐近线方程为. 所以AC选项正确，BD选项错误. 故选：AC. 2.若双曲线的一个焦点为，则实数__________． 【答案】3 【分析】根据双曲线方程即可得解. 【详解】双曲线的一个焦点为， 所以且， 所以. 故答案为：3 3.已知双曲线方程为，焦距为6，则k的值为________. 【答案】 【分析】由双曲线焦距可得，讨论焦点在x轴、y轴上，结合求k值即可. 【详解】由焦距为6，知：， 若焦点在x轴上，则方程可化为，即，解得k=6； 若焦点在y轴上，则方程可化为，即，即k=-6. 综上所述，k值为6或-6. 故答案为：±6. 题型五：利用双曲线定义求周长 【例1】双曲线过焦点的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为，则的周长为（       ） A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m 【答案】C 【解析】 【分析】 由双曲线定义得到，，两式相加得到，进而求出周长. 【详解】 由双曲线的定义得：①，②， 两式相加得：， 即， 所以， 故的周长为. 故选：C 【例2】过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则（F2为右焦点）的周长（ ） A．28 B．22 C．14 D．12 【答案】A 【解析】由双曲线的定义得：①，②， 两式相加得：， 即， 所以， 故的周长为. 故选：A 【题型专练】 1.已知为双曲线的左焦点, 为上的点,若的长等于虚轴长的2倍,点 在线段上,则的周长为____________. 【答案】 【解析】的周长为. 2.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由双曲线的定义得：①，②， 两式相加得：， 即， 所以， 故的周长为. 故选：B 题型六：双曲线焦点三角形面积 【例1】设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案． 【解析】解法一：，，根据双曲线的定义可得， ，即， ，，，即，解得，故选A． 解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为．∴=4，则， 又∵，∴． 解法三：设，则，，，求的． 【题型专练】 1.设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则△的面积为（ ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【解析】由已知，不妨设， 则，∵， ∴点在以为直径的圆上，[来源：Z．xx．k．Com] 即是以P为直角顶点的直角三角形， 故， 即，又， ∴， 解得，∴，故选B． 题型七： 双曲线的渐近线方程 焦点在轴上的渐近线为 焦点在轴上的渐近线为 若双曲线的方程为，要求渐近线只需令，解出即可 即已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。 【例1】已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定双曲线的，确定其焦点位置，即可求得其渐进线方程. 【详解】由可知， ，且双曲线焦点位于x轴上 故该双曲线的渐近线方程为 ， 故选：C 【例2】若双曲线的渐近线与圆相切，则_________． 【答案】 【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可． 【详解】解：双曲线的渐近线为，即， 不妨取，圆，即，所以圆心为，半径， 依题意圆心到渐近线的距离， 解得或（舍去）． 故答案为：． 【题型专练】 1.双曲线的渐近线方程是（          ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将双曲线化为标准方程，再根据渐近线的方程求解即可 【详解】由题意，的渐近线方程为 故选：C 2.双曲线与有相同的（       ） A．离心率 B．渐近线 C．实轴长 D．焦点 【答案】D 【分析】根据双曲线方程判断焦点在轴上，并求，进而确定离心率、渐近线、实轴长和焦点． 【详解】对于双曲线可得：焦点在轴上， 则离心率，渐近线，实轴长，焦点 对于双曲线可得：焦点在轴上， 则离心率，渐近线，实轴长，焦点 ∴ABC错误，D正确 故选：D． 3.若双曲线的渐近线与圆相切，则______． 【答案】 【分析】求出渐近线方程，求出圆心与半径，利用点到直线的距离等于半径求解即可． 【详解】解：双曲线的渐近线：， 圆的圆心与半径， 双曲线的渐近线与圆相切， ，解得或（舍去）． 故答案为：． 题型八： 渐近线与离心率的关系 【例1】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】试题分析：根据离心率得关系，进而得关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果． 试题解析：． ∵渐近线方程为渐近线方程为，故选A． 【名师点睛】已知双曲线方程求渐近线方程：． 【考点】双曲线的简单几何性质（离心率、渐近线方程） 【例2】已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率（       ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，再由可求出答案. 【详解】由双曲线的渐近线方程为，可知， ， ， 故选：B． 【题型专练】 1．若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的离心率可得之间的关系，从而可得到渐近线方程. 【详解】双曲线的离心率为， 即 ，所以 ， 则 ，故C的渐近线方程为. 故选：D. 题型九： 双曲线焦点到渐近线的距离为 【例1】若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，，即得. 【详解】双曲线 的焦点 到渐近线： ，即 的距离为：，而， 从而，故渐近线即. 故选：B. 【题型专练】 1．已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】A【解析】双曲线方程为，焦点到一条渐近线的距离为，故选A． 2．已知双曲线的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】圆，而，则，故选A． 题型十：已知渐近线方程求双曲线方程 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）（共轭双曲线，具有相同渐近线的两个双曲线） 【例1】已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 【答案】【解析】∵双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线的方程为，又双曲线过点，∴，∴，故双曲线的方程为． 【例2】设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________． 【答案】 【解析】设与具有相同渐近线的双曲线C的方程为，将点代入C的方程中，得．∴双曲线的方程为，渐近线方程为． 【题型专练】 1．已知双曲线的渐近线方程是，且双曲线经过点，则双曲线的标准方程为___________. 【答案】 【分析】根据渐近线方程可设双曲线的方程，再代入计算即可 【详解】双曲线的渐近线方程为,可设双曲线的方程为,代入,可得,则双曲线的方程为. 故答案为： 2.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点的坐标，求出的值，即可的解. 【详解】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为， 代入点，得，解得 ， 所以所求双曲线方程为，即 故选：C. 双曲线的离心率 椭圆的离心率， 题型一：利用双曲线的定义、几何性质求离心率的值 【例1】已知双曲线的两个焦点分别为，，是双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义及几何性质结合向量的数量积直接可得离心率. 【详解】， 则， 又因为，，即， 所以，， 所以， 则， 故选：B. 【例2】已知双曲线的左、右焦点为，，过且垂直于轴的直线交于，两点，若，则的离心率为（       ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，从而可建立方程，即可得出双曲线的离心率. 【详解】由题可得，代入双曲线， 解得， 又， ∴，即， ， ， ，， . 故选：A 【例3】已知，分别为双曲线（）的左、右焦点，，是右支上的两点，且直线经过点．若，以为直径的圆经过点，则的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由以为直径的圆经过点得，结合双曲线的定义及勾股定理可得解. 【详解】由题意得，设，则，，，， 在中，由勾股定理得，解得， 则，， 在中，由勾股定理得，化简得， 所以的离心率， 故选：A. 【题型专练】 1.已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则双曲线C的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得， 所以，即. 故选：B 2.已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（       ） A．2 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用直角三角形勾股定理及面积公式列式，再结合双曲线定义即可计算作答. 【详解】依题意，，令，，则有， 由得：，即有， 而，所以. 故选：C 【点睛】思路点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系． 3.如图，双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点，直线与圆相切于点，，则双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合双曲线定义可得，在中利用勾股定理即可求出. 【详解】由题可得，因为，所以， 则在中，，即，即. 故选：A. 题型二：双曲线的离心率范围范围问题 【例1】设双曲线的中心为点，若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设双曲线的焦点在轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率必须满足，∴，，既有，又双曲线的离心率为，∴． 【例2】已知双曲线，，是实轴顶点，F是右焦点，是虚轴端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是（       ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将题意转化为以，为直径的圆与线段BF有两个不同的交点，再数形结合列不等式化简求解即可. 【详解】以，为直径的圆与线段BF有两个不同的交点， 所以，， 解得； 且圆心到直线BF：的距离， 化简得， 所以，， 又，解得， 所以双曲线离心率的取值范围是． 故选：B 【题型专练】 1.已知双曲线的焦距为为其左右两个焦点，直线l经过点且与渐近线平行，若l上存在第一象限的点P满足，则双曲线C离心率的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析满足的点的轨迹，再根据此轨迹与直线l有交点，结合渐近线的性质求解即可； 【详解】因为满足的所有点在以为焦点，长轴长为，短轴长为的双曲线，即上.故若l上存在第一象限的点P满足，则双曲线与直线l有交点即可.又直线，数形结合可得，当或的经过一象限的渐近线的斜率 即可，两种情况均有，故，故离心率 故选：A 2.已知点F为双曲线的右焦点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A．若△OAF（点O为坐标原点）的面积为4，双曲线的离心率，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据△OAF的面积得到，然后利用离心率的取值范围得到关于的不等式，求解即可. 【详解】取双曲线的一条渐近线为，即. 则到渐近线的距离即，， ，即. 又，，易得， 即，解得. 故选：B. 3.设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为______，的取值范围为______． 【答案】          【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于，即可得出,由此即可求出、的取值范围. 【详解】设椭圆和双曲线的焦距分別为，，由题意，得双曲线的渐近线方程为，所以，则， 所以，． 故答案为：； 双曲线中的最值问题 题型一：利用焦半径范围求最值 【例1】若P是双曲线C：上一点，C的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（          ） A． B．渐近线方程为 C．的最小值是2 D．焦点到渐近线的距离是 【答案】BCD 【分析】由焦点坐标可求得值，由双曲线方程可得渐近线方程，根据双曲线的性质可得双曲线上的点到焦点距离的最小值，由点到直线距离公式求得焦点到渐近线的距离判断各选项． 【详解】依题意可知，所以A答案错误；双曲线的方程为，所以渐近线的方程为，， 渐近线方程为，焦点到渐近线的距离是， 故选：BCD． 【例2】设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（       ） A．6 B．9 C．12 D．14 【答案】B 【分析】根据双曲线方程及其定义，求得的范围，再求得最大值即可. 【详解】 因为双曲线方程为，故，则其焦点为， 根据题意，作图如下： 则，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号； ，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号； 则， 故可得， 故的最大值为：. 故选：B. 【题型专练】 1.已知点P是双曲线（a>0，b>0）的渐近线上一点，F是双曲线的右焦点，若|PF|的最小值为2a，则该双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 结合双曲线的概念和性质求双曲线的离心率. 【详解】 双曲线的渐近线方程为，即， |PF|的最小值即为焦点到渐近线的距离，故， 即，∴，. 故选：D 2.双曲线的一条渐近线方程为，，分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 求最小值，则要尽可能小，要尽可能大,所以在双曲线的右支上,则，所以，消元转化为对勾函数求最值 【详解】 若求最小值，则要尽可能小，要尽可能大 所以在双曲线的右支上 渐近线 又因为   所以 由双曲线定义，当在双曲线的右支上， 当且仅当，即时取等号 因为右支上的顶点到最小，最小为 所以不到等号，当时，取最小值 最小值为： 故选：B 题型二：利用双曲线线定义转化为三点共线问题求最值 【例1】已知，分别是双曲线：的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】求出双曲线的焦点坐标，应用双曲线的定义和圆的性质，结合三点共线时取得最值，即可得到的最小值. 【详解】双曲线中 ，，，，， 圆半径为，， ， (当且仅当共线且在之间时取等号)， ， 当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号． 的最小值是7． 故答案为：7. 【例2】已知点在双曲线的右支上，，动点满足，是双曲线的右焦点，则的最大值为___________. 【答案】## 【分析】由题意可知的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，利用双曲线定义将转化为，结合图形，利用几何性质可求得答案. 【详解】动点满足，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆, 设双曲线的左焦点为，由题知， 则， 当且仅当，，三点共线时，等号成立， 所以的最大值为， 故答案为： 【例3】设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（       ） A．6 B．9 C．12 D．14 【答案】B 【分析】根据双曲线方程及其定义，求得的范围，再求得最大值即可. 【详解】因为双曲线方程为，故，则其焦点为， 根据题意，作图如下： 则，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号； ，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号； 则， 故可得， 故的最大值为：. 故选：B. 【题型专练】 1.已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（       ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面几何性质得结论． 【详解】设双曲线C的实半轴长为，右焦点为， 所以， 当且仅当M为的延长线与双曲线交点时取等号. 故选：C． 2.设F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为（       ） A．5 B． C． D．9 【答案】B 【分析】由双曲线的的定义可得，于是将问题转化为求的最小值，由得出答案. 【详解】设双曲线的由焦点为，且点A在双曲线的两支之间. 由双曲线的定义可得,即 所以 当且仅当三点共线时，取得等号. 故选：B 3.已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是________. 【答案】## 【分析】利用双曲线定义，将的最小值问题转化为的最小值问题，然后结合图形可解. 【详解】由题设知，，，，圆的半径 由点为双曲线右支上的动点知 ∴ ∴. 故答案为： 抛物线定义及性质 考点一：抛物线定义 平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 考点二：抛物线标准方程与几何性质 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 题型一：抛物线的定义 【例1】已知实数x，y满足，其中常数，则动点的轨迹是（       ） A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 【答案】C 【分析】利用两点的距离公式、绝对值的几何意义以及抛物线的定义进行判断. 【详解】因为表示动点到定点的距离与到定直线l：的距离相等，且点F不在直线l上，所以由抛物线的定义知动点的轨迹为抛物线．故A，B，D错误. 故选：C. 【例2】抛物线的准线方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将抛物线方程化成标准式，即可解出． 【详解】可化为，所以抛物线的准线方程为． 故选：B． 【例3】抛物线的焦点为F，点M在C上，，则M到y轴的距离是（       ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】设，由抛物线的定义，即，即可求出答案. 【详解】抛物线的准线方程为： 设，由抛物线的定义知：，即， 即，所以M到y轴的距离是. 故选：B. 【例4】若抛物线上的一点到它的焦点的距离为8，则（       ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】根据题意，结合跑线的定义得到，即可求解. 【详解】由题意，抛物线上的一点到它的焦点的距离为8， 根据抛物线的定义，可得，解得. 故选：D. 【例5】已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（       ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】由题可得，利用抛物线的定义可得，利用三角形的面积公式结合条件即得， 【详解】由题可得，因为， 所以，， 所以为坐标原点)的面积是. 故选：A. 【题型专练】 1．抛物线的焦点坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可 【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为 故选：C 2.已知抛物线，其焦点为F，准线为l，则下列说法正确的是（       ） A．焦点F到准线l的距离为1 B．焦点F的坐标为 C．准线l的方程为 D．对称轴为x轴 【答案】C 【解析】将抛物线方程化为标准形式，表示焦点坐标和准线，即得答案. 【详解】将抛物线化为标准方程 所以焦点F的坐标为，准线l的方程为，焦点F到准线l的距离为，对称轴为y轴 故选：C 【点睛】本题考查由抛物线的标准方程表示其简单几何性质，属于简单题. 3．已知圆与抛物线的准线相切，则（       ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】写出抛物线的准线方程，由圆的方程得圆心和半径，由已知得圆心到准线的距离为半径，从而求出. 【详解】因为 ，所以抛物线准线为 又 ，所以圆心坐标为 ，半径为2 由已知得：圆心到准线的距离为半径，则 ，所以 故选：C. 4.抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（       ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，再由到其焦点的距离求得横坐标，进一步求得纵坐标，则答案可求. 【详解】由题意知，焦点坐标为，准线方程为， 由到焦点距离等于到准线距离，得，则， ，可得， 故选：A. 5.抛物线上一点到焦点的距离是10，则点到轴的距离是（       ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】解：由题可知，抛物线的准线方程为， 因为点到焦点的距离是10，故到准线的距离是10， 则点到轴的距离是9. 故选：B. 题型二：求抛物线的标准方程 【例1】抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为4，则抛物线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，可设抛物线方程为，利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离计算即可. 【详解】由题意，设抛物线方程为，准线方程为，由抛物线的定义知， ，解得，故抛物线的方程为. 故选：C 【点睛】本题考查求抛物线的方程，涉及到利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，是一道容易题. 【例2】已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由抛物线的定义可知，，所以． 故选：C. 【例3】已知O是坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上一点，且，则的面积为（       ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据条件求出的值，然后可算出答案. 【详解】由题可知，解得，所以的面积为， 故选：C 【例4】位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m． 【答案】##3.6 【分析】首先建立直角坐标系，再根据抛物线所过的点求标准方程，进而得到抛物线的焦点到准线的距离. 【详解】以抛物线的最高点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为，， 因为抛物线过点，所以，可得， 所以抛物线的焦点到准线的距离为． 故答案为： 【题型专练】 1.过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设抛物线方程为，代入点的坐标，即可求出的值，即可得解； 【详解】解：依题意设抛物线方程为，因为抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线方程为； 故选：C 2.焦点在x－y－1＝0上的抛物线的标准方程是______． 【答案】或 【分析】先根据抛物线是标准方程可确定焦点的位置，再由直线与坐标轴的交点可得到焦点坐标可得到标准方程． 【详解】因为抛物线焦点坐标即为直线与坐标轴的交点, 所以其焦点坐标为和， 当焦点为时，设抛物线标准方程为， 可知，所以其方程为， 当焦点为时，设抛物线标准方程为, 可知其方程中的， 所以其方程为， 故答案为：或． 3.已知抛物线上一点到焦点的距离． 求抛物线的方程； 【答案】 【分析】由题知，进而解方程即可得答案； 【详解】解：因为抛物线上一点到焦点的距离， 所以，抛物线的定义得． 所以， ，解得．                  所以，抛物线的方程为； 4.已知抛物线上一点的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为______． 【答案】或 【分析】先根据点到直线的距离公式求出点的横坐标，再根据点在抛物线上，代入解方程即可求出，从而解出． 【详解】由于抛物线的准线方程是，而点到准线的距离为6，所以点的横坐标是， 于是，代入，得，解得或， 故该抛物线的标准方程为或． 故答案为：或． 5.如图，某河流上有一座抛物线形的拱桥，已知桥的跨度米，高度米（即桥拱顶到基座所在的直线的距离）．由于河流上游降雨，导致河水从桥的基座处开始上涨了1米，则此时桥洞中水面的宽度为______米． 【答案】 【分析】以桥的顶点为坐标原点，水平方向所在直线为x轴建立直角坐标系，则根据点在抛物线上，可得抛物线的方程，设水面与桥的交点坐标为，求出，进而可得水面的宽度. 【详解】以桥的顶点为坐标原点，水平方向所在直线为x轴建立直角坐标系， 则抛物线的方程为，因为点在抛物线上， 所以，即 故抛物线的方程为， 设河水上涨1米后，水面与桥的交点坐标为，则，得， 所以此时桥洞中水面的宽度为米． 故答案为：． 题型三：抛物线的性质 【例1】抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等边三角形，则（       ） A．2 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】设抛物线的准线与y轴交于点D，等边三角形ABF中，可得点B的坐标代入双曲线上方程可得答案． 【详解】设抛物线的准线与y轴交于点D，如图，在等边三角形ABF中，，，所以点B的坐标为，又点B在双曲线上，故，解得． 故选：C． 【例2】已知抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，的延长线交抛物线于点，若，则（       ） A．5 B． C．10 D．15 【答案】C 【分析】过向准线作垂线，垂足为，设与轴的交点为，结合抛物线的定义得，由可得答案． 【详解】如图，过向准线作垂线，垂足为，设与轴的交点为， 因为，所以， 根据已知条件，结合抛物线的定义，得，又，∴，∴． 故选：C． 【例3】已知点A是抛物线C：上一点，F为焦点，O为坐标原点，若以点O为圆心，以的长为半径的圆与抛物线C的另一个交点为B，且，则的值是（       ） A． B．6 C． D．7 【答案】C 【分析】，由题意确定为等边三角形，进而表示A点坐标，代入抛物线方程，求得a的值，结合抛物线的焦半径公式即可求得答案. 【详解】由知： ； 设，结合圆和抛物线的对称性可得 ，结合， 得为等边三角形， 不妨设点A在第一象限，则A的坐标为， 因为点A是抛物线C：上一点，所以， 所以，得A的坐标为， 故， 故选：C 【题型专练】 1.抛物线的焦点为F，点M在C上，，则M到y轴的距离是（       ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】设，由抛物线的定义，即，即可求出答案. 【详解】抛物线的准线方程为： 设，由抛物线的定义知：，即， 即，所以M到y轴的距离是. 故选：B. 2.已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，若，则（       ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线定义得，求出，再分析求解即可. 【详解】根据抛物线定义得：，解得，所以， 所以. 故选：B. 3.已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作准线的垂线，垂足为Q，若，则（       ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】B 【分析】由抛物线定义可知，结合可得△PQF为正三角形，设准线l与x轴交于点A，由可得，利用，可得答案. 【详解】由抛物线定义可知，∴，△PQF为正三角形， 设准线l与x轴交于点A，由抛物线可知：， ∵，∴，∴，∴. 故选：B． 4.（多选）已知平面内到定点比它到定直线：的距离小1的动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（       ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离 【答案】AB 【分析】由抛物线的定义可知曲线的轨迹是抛物线，进而可判断A,根据抛物线的性质可判断B,C,D. 【详解】由题意可知：动点到定点与它到定直线：的距离相等， 由抛物线定义，知曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，所以A，B正确；由知，点到直线的距离，所以C，D错误． 故选：AB． 抛物线的焦点弦、焦半径、中点弦 考点一：抛物线焦点弦焦半径公式 图1-3-1 图1-3-2 焦半径：，，． 焦点弦：． 三角形面积：． 题型一：抛物线焦点弦焦半径 【例1】直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（       ） A．6 B．8 C．2 D．4 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可 【详解】因为抛物线的焦点坐标为， 又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以． 故选：B 【例2】过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若若直线l的斜率为k，则k=（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由条件结合抛物线的定义，解三角形求直线l的斜率. 【详解】当在轴上方时，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过作于，设，则，所以， 所以， 同理可得当在轴下方时，的值为， 故选：C. 【例3】过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（       ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用抛物线的定义直接求出的值，进而得到的值 【详解】如图所示，设，，因为，所以点到准线的距离为3， 所以，得，因为，所以，所以，得， 所以的值为，故选：C 【例4】已知抛物线上一点到焦点的距离为4. (1)求实数的值； (2)若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由抛物线的焦半径公式可知，由此即可求出答案； （2）由（1）可知焦点坐标为，则可设直线为，联立直线与抛物线，则可得，再利用，即可求出直线. （1） 由题意可知：， 解得：. （2） 由（1）知抛物线，则焦点坐标为， 由题意知直线斜率不为0，设直线为：， 联立直线与抛物线：，消得：， 则 则 所以， 解得， 所以直线为：或 【题型专练】 1.设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（       ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案. 【详解】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 2.直线与抛物线交于，两点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】焦点弦长度等于. 【详解】抛物线的焦点为在直线上，故是抛物线的焦点弦，则 由得：， 所以，， 所以， 故选：D. 3.设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（       ） A． B．8 C．12 D． 【答案】B 【分析】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案. 【详解】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为， 代入抛物线方程得，可得， 根据抛物线的定义可知直线AB的长为． 故选：B． 题型二：有关三角形面积问题 【例1】斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出直线方程，联立抛物线方程，求出A，B两点坐标，进而求出AB的长，再求出原点到直线距离，求出三角形面积. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 则斜率为的直线方程为：，与抛物线方程联立得： ， 设，不妨设，， 则， 点O到直线AB的距离为， 所以△AOB的面积为 故选：B 【例2】已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为___． 【答案】9 【分析】首先设抛物线的解析式，写出抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径，求出，的面积是与乘积的一半. 【详解】设抛物线的解析式， 则焦点为，对称轴为轴，准线为， 直线经过抛物线的焦点，A，B是与的交点， 又轴， ， ， 又点在准线上，过点P作l的垂线，垂直为D， ， . 故答案为：9. 【例3】已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求该抛物线的方程； (2)为坐标原点，求的面积. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，由抛物线的定义结合韦达定理化简弦长后求解 （2）解出坐标，由割补法求解 【详解】(1)抛物线的焦点为，所以直线的方程为， 由消去得，所以， 由抛物线定义得，即，所以. 所以抛物线的方程为. (2)由知，方程， 可化为， 解得，，故，. 所以，. 则面积 【题型专练】 1.已知点为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线与交于点，，则（为坐标原点）的面积为___________. 【答案】 【分析】先写出直线方程，联立椭圆求得，，再由计算面积即可. 【详解】 由题意知，的方程为，代入的方程得，所以，设， 则，，所以. 故答案为：. 2.抛物线 ​的焦点为​， 直线​与抛物线分别交 于​两点（点​在第一象限）， 则​的值等于________. 【答案】 【分析】由题意可知直线过焦点且倾斜角为，设，则 ，，求出，结合三角形面积公式即可求解 【详解】因为直线可化为， 所以过焦点且倾斜角为， 设，则 ，， 解得，， 代入得，， 所以， 故答案为： 3.已知抛物线过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)设抛物线的焦点为，坐标原点为.过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，求的面积. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）将点代入抛物线，即可求出的值，即可得到抛物线的标准方程； （2）由题意即可写出直线的方程，联立直线与抛物线，结合韦达定理与弦长公式即可求出，利用点到直线的距离公式，即可求出点到边上的高，即可求出其面积. 【详解】（1）因为抛物线过点，所以，所以抛物线； （2）由题意知：直线的斜率，，所以直线方程为：， 联立直线与抛物线：消得：， 设，则，则， 点到直线的距离， 所以. 题型三：抛物线中点弦问题 【例1】已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（       ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】设，，代入抛物线方程相减可得． 【详解】设，，∵是AB的中点，∴， 由，相减得， 所以直线的斜率， 故选：B． 【例2】已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为，则点F到直线l的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得直线方程，根据点到直线的距离即可得结果. 【详解】设，，则，，所以， 即， 因为AB的中点为，， 所以直线的斜率，所以直线的方程为， 所以焦点到直线的距离， 故选：A. 【题型专练】 1.已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（       ） A． B．3 C． D．－3 【答案】C 【分析】利用点差法计算可得； 【详解】解：设，，则，所以，整理得． 因为弦的中点为，所以，即直线的斜率为． 故选：C 2.已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点、，则，利用点差法可求得直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】设点、，则， 若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，则直线的斜率存在， 由已知，两式作差可得， 所以，直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故选：A. 抛物线中的最值问题 题型一：过焦点的弦通径 【例1】已知直线l过抛物线C的焦点，l与C交于A，B两点，若的最小值为6，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为___． 【答案】9 【分析】首先设抛物线的解析式，写出抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径，求出，的面积是与乘积的一半. 【详解】设抛物线的解析式， 则焦点为，对称轴为轴，准线为， 若的最小值为6，， 又点在准线上，过点P作l的垂线，垂直为D， ， . 故答案为：9. 【题型专练】 1.设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于M，N两点， ，求C的方程； 【答案】； 【分析】设直线，，求出，得当与x轴垂直时弦长最短，即得解； 【详解】设直线，， 由可得，， 所以， 所以当，即与x轴垂直时弦长最短，此时，所以， 所以抛物线C的方程为； 题型二：利用抛物线定义转化为三点共线问题求最值 【例1】已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】分析可知，利用抛物线的定义结合三点共线可求得的最小值. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为． 过点作抛物线准线的垂线，垂足为点， 由抛物线的定义可得， 则， 当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 【例2】已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________． 【答案】5 【分析】利用抛物线的定义，将转化为到准线的距离，再由三点共线求最小值. 【详解】由题意，抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为，则， 当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为，则，所以最小值为5. 故答案为：5. 【例3】已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，此时最小，再根据点到直线距离公式即可求解. 【详解】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线， 如下图所示，此时最小，为点到直线的距离. ，则． 故选：B． 【点睛】抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益． 【题型专练】 1.设是抛物线上的一个动点，点是焦点． (1)求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)，(2)4 【分析】（1）利用抛物线定义将问题转化为求抛物线上一点到点的距离与其到点的距离之和的最小值，连接交抛物线于点，即可求得答案； （2）作垂直准线于点，交抛物线于点，连接，利用抛物线定义将转化为,即可求得答案. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线是． 由抛物线的定义，知点到直线的距离等于点到焦点的距离， 所以问题转化为求抛物线上一点到点的距离与其到点的距离之和的最小值， 如图，当A，，共线时上述距离之和最小， 连接交抛物线于点，此时所求的最小值为． （2）由题意，可知，故点B在抛物线内部（焦点所在一侧）， 如图，作垂直准线于点，交抛物线于点，连接， 此时,当点与点重合时，的值最小， 此时， 即的最小值为4． 2.已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（       ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】先根据焦点坐标求出，结合抛物线的定义可求答案. 【详解】因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得． 记抛物线的准线为l，作于，作于，则由抛物线的定义得，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立． 故选：A. 题型三：利用直线与抛物线相切求最值 【例1】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，则________；设点是抛物线上的任意一点，点是的对称轴与准线的交点，则的最大值为________. 【答案】     ，    【分析】空1：设直线联立方程可得，根据题意可得，代入可解得；空2：根据抛物线定义取到最大值即最小，此时直线与抛物线相切，利用导数求切线分析求解． 【详解】设过点的直线为， 联立方程消去得，可得 ∵，则可得：，可得，解得 过点作准线的垂线，垂足为，则可得 若取到最大值即最小，此时直线与抛物线相切 ，即，则 设，则切线斜率，切线方程为 切线过，代入得，解得，即 则，即 则的最大值为 故答案为：；． 【题型专练】 1.已知点在直线上，点在曲线上，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】由题意可知求得与直线平行和抛物线相切的切线方程，则的最小值即为这两平行线间的距离，即可求得答案. 【详解】设与直线平行且与抛物线相切的直线为， 则的最小值即为这两平行线间的距离， 联立 消去，得 ， ，即得直线和相切， 故的最小值即为这两平行线间的距离，最小距离为 ， 故答案为： 题型四：抛物线与圆结合最值问题 【例1】已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（       ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接，则，而，所以当最小时，四边形的面积最小，再抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果 【详解】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1， 则． 又，所以当四边形的面积最小时，最小． 过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则， 当点与坐标原点重合时，最小，此时． 故． 故选：C 【例2】已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（       ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】根据抛物线的性质判断A，根据圆的性质判断B，结合抛物线的定义判断C，D. 【详解】抛物线焦点为，准线为，作出图象， 对选项A：由抛物线的性质可知：的最小值为，选项A正确； 对选项B：注意到F是定点，由圆的性质可知：的最小值为，选项B错误； 对选项CD：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线定义可知，故，的最小值为点Q到准线的距离，故最小值为4，从而选项C正确，选项D错误． 故选：AC. 【题型专练】 1.已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______. 【答案】 【分析】根据题意可得抛物线的焦点坐标、准线方程及圆的圆心坐标、半径，利用抛物线的定义可得点到抛物线准线的距离即为点到焦点的距离，进而得到动点位于线段上时距离最小，计算即可求解. 【详解】解：由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为， 圆的圆心坐标为，半径为， 设点到抛物线准线的距离为，则，故， 所以当动点位于线段上时，点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和最小， 此时. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$