必修第二册 第七章 万有引力与宇宙航行-【新课程暑假作业】2024-2025学年高一物理暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 梳理 · 建构 第七章 万有引力与宇宙航行 1. 树状图 ： 2. 必备概念 、 必备规律及必备原理 ： 3. 本章知识学习中涉及的科学方法 ： 万有引力与宇宙航行 开普勒行星运动定律 开普勒第一定律 开普勒第二定律 开普勒第三定 定 # # # # " # # # # $ 律 万有引力定律 太阳与行星间的引力 月 — 地检验 万有引力定律 引力常 定 # # # # # # " # # # # # # $ 量 定 # " # $ 相对论时空观 两个基本假设 时间延缓效应 长度收缩效 定 # # # # " # # # # $ 应 牛顿力学的局限性 天体质量的计算 发现未知天体 宇宙速度 第一宇宙速度 第二宇宙速度 第三宇宙速 定 # # # # " # # # # $ 度 人造地球卫星 定 # " # $ 万有引力定律的应用 22 积 累 · 整 合 应 用 · 拓 展 创 新 · 实 践 高一物理 第 周 年 月 日 1. 若想检验 “ 使月球绕地球运动的力 ” 与 “ 使苹果落地的力 ” 遵循同样的规律 ， 在已知 月地距离约为地球半径 60 倍的情况下 ， 需要验证 （ ） A. 地球吸引苹果的力约为地球吸引月球的力的 1 60 2 B. 苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 1 60 C. 自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 1 6 D. 月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 1 60 2 2. 北斗卫星导航系统将在 2023 年发射 3 至 5 颗卫星 ， 以进一步强化系统的稳定运行 。 北斗导航卫星中包括地球同步卫星和中圆轨道卫星 ， 它们都绕地球做圆周运动 ， 同步卫星距 地面的高度大于中圆轨道卫星距地面的高度 。 与同步卫星相比 ， 下列物理量中圆轨道卫星较 小的是 （ ） A. 周期 B. 角速度 C. 线速度 D. 向心加速度 3. “ 慧眼 ” 卫星是中国第一个空间天文卫星 ， 于 2018 年 1 月正式交 付使用 。 如图 ， “ 慧眼 ” 卫星在轨运行时 ， 在 P 、 Q 位置与地心的距离分 别为 a 、 b ， 则卫星在 P 、 Q 位置所受地球的万有引力之比为 （ ） A. a ∶ b B. b ∶ a C. a 2 ∶ b 2 D. b 2 ∶ a 2 4. 地球绕太阳运行的轨道半径是 1.5×10 11 m ， 周期为 365 天 ， 月球绕地球运转的轨道半 径长轴为 3.83×10 8 m ， 周期为 27.3 天 ， 则对于绕太阳运行的 R 3 T 2 的值为 m 3 /s 2 ， 对于绕 地球运动的卫星的 R 3 T 2 的值为 m 3 /s 2 。 5. 某行星 （ 可看作是均匀球体 ） 的近地卫星的运行周期为 T ， 行星的半径为 R ， 引力常 量为 G ， 则由此可知该行星的密度约为 。 6. 宇宙飞船在某星球高空以 4 m/s 2 的加速度沿竖直方向减速降落 ， 降落到某一高度时 ， 飞船内一质量为 2 kg 的物体对飞船水平地板的压力大小为 9 N ， 已知该星球半径为 3000 km ， 星球表面的重力加速度为 2 m/s 2 ， 则飞船此时离该星球表面的高度为 km 。 第 3 题图 P Q 地球 积累 · 整合 （ 一 ） 23 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 如图所示 ， 甲 、 乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量 为 M 和 2M 的行星做匀速圆周运动 ， 下列说法正确的是 （ ） A. 甲的线速度比乙的大 B. 甲的向心力比乙的小 C. 甲的运行周期比乙的小 D. 甲的角速度比乙的小 2. 如图所示 ， P 为地球的同步卫星 ， P 到地心的距离为 r ， 向心加速 度大小为 a 0 ； Q 为静止在地球赤道表面的物体 ， Q 到地心的距离为 R ， 向 心加速度大小为 a 。 已知引力常量为 G ， 则下列说法正确的是 （ ） A. 地球的质量为 M= aR 2 G B. 地球的第一宇宙速度大小为 aR 姨 C. P 与 Q 的向心加速度大小之比为 a 0 a = r R D. P 与 Q 的线速度大小之比为 v P v Q = R r 姨 3. 地球表面的平均重力加速度为 g ， 地球半径为 R ， 引力常量为 G ， 则可以用下列哪一 表达式来估算地球的平均密度 （ ） A. 3g 4πRG B. 3g 4πR 2 G C. g RG D. g R 2 G 4. 我国成功发射的第四十四颗北斗导航卫星是北斗三号系统首颗倾斜地球同步轨道卫 星 ， 经过一系列在轨测试后 ， 该卫星将与此前发射的 18 颗中圆地球轨道卫星和 1 颗地球同 步轨道卫星进行组网 。 已知中圆地球轨道卫星的轨道半径是地球同步轨道卫星的半径的 1 n ， 中圆地球轨道卫星轨道半径为地球半径的 k 倍 ， 地球表面的重力加速度为 g ， 地球的自转周 期为 T ， 则中圆地球轨道卫星在轨运行的 （ ） A. 周期为 T n B. 周期为 T n 2 C. 向心加速度大小为 g k 2 D. 向心加速度大小为 g k 5. 一名宇航员到达半径为 R 、 密度均匀的某星球 表面 ， 做如下实验 ： 如图 （ a ） 所示 ， 用不可伸长的长 为 L 的轻绳拴一质量为 m 的小球 ， 轻绳上端固定在 O 点 ， 在最低点给小球一初速度 ， 使其绕 O 点在竖直面 内做圆周运动 ， 测得绳的拉力大小 F 随时间 t 的变化 积累 · 整合 （ 二 ） M 甲 乙 2M 第 1 题图 O 7F 0 F 0 F t （ b ）（a ） 第 5 题图 第 2 题图 P Q O 24 积 累 · 整 合 应 用 · 拓 展 创 新 · 实 践 高一物理 第 周 年 月 日 规律如图 （ b ） 所示 。 引力常量 G 及图中 F 0 均为已知量 ， 忽略各种阻力 。 下列说法正确的是 （ ） A. 该星球表面的重力加速度为 7F 0 m B. 小球过最高点的速度为 F 0 L m 姨 C. 该星球的第一宇宙速度为 Gm R 姨 D. 该星球的密度为 3F 0 4πmGR 1. 牛顿运动定律适用于 （ ） A. 宏观物体的高速运动 B. 宏观物体的低速运动 C. 微观粒子的高速运动 D. 微观粒子的低速运动 2. 嫦娥二号月球探测器升空后 ， 先在地球表面附近以速率 v 环绕地球飞行 ， 再调整速度 进入地月转移轨道 ， 最后以速率 v′ 在月球表面附近环绕月球飞行 。 若认为地球和月球都是质 量分布均匀的球体 ， 已知月球与地球的半径之比为 1 ∶ 4 ， 密度之比为 64 ∶ 81 。 设月球与地球 表面的重力加速度分别为 g′ 和 g ， 下列结论正确的是 （ ） A. g′ ∶ g= 2 9 B. g′ ∶ g= 2 9 姨 C. v′ ∶ v= 2 9 D. v′ ∶ v= 2 9 姨 3. 嫦娥四号月球探测器实现了人类首次在月球背面的软着陆 ， 着陆前有环月飞行过程 。 设月球质量为 M ， 半径为 R ， 嫦娥四号月球探测器的质量为 m ， 绕月球做匀速圆周运动的半 径为 r ， 引力常量为 G ， 则嫦娥四号月球探测器绕月的 （ ） A. 周期为 4π 2 r 3 GM 姨 B. 动能为 GMm 2R C. 线速度为 GM r 姨 D. 向心加速度为 GM R 2 4. 甲 、 乙两卫星绕地球运动 。 卫星甲做匀速圆周运动 ， 其轨道直径为 4R ， C 是轨道上 任意一点 ； 卫星乙的轨道是椭圆 ， 椭圆的长轴为 6R ， A 、 B 是轨道的近地点和远地点 ， 如 图所示 。 下列说法正确的是 （ ） A. 卫星甲的周期大于卫星乙的周期 B. 两卫星与地心的连线在相同的时间内扫过的面积相等 C. 卫星甲在 C 点的速度一定小于卫星乙在 A 点的速度 D. 卫星甲在 C 点的速度一定小于卫星乙在 B 点的速度 5. （ 多选 ） 如图所示 ， 假设在月球水平地面上固定有倾角为 45° 的斜面 体 ABC ， 水平长度 AC=d ， P 点位于 A 点的正上方 ， 并与 B 点等高 。 从 P 点 沿 PB 方向水平抛出一小球恰好落在 AB 中点 ， 小球在空中运动时间为 t 。 已 知月球的半径为 R ， 引力常量为 G ， 不考虑月球自转 ， 则 （ ） 积累 · 整合 （ 三 ） 第 4 题图 A B C 甲 乙 第 5 题图 A B C P 45° 25 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 A. 月球表面的重力加速度为 2d t 2 B. 月球的第一宇宙速度可表示为 2dR t 2 姨 C. 月球的第一宇宙速度可表示为 dR t 2 姨 D. 月球的平均密度为 3d 4πGRt 2 6. （ 多选 ） 如图所示 ， A 、 B 、 C 三颗行星组成一个独立的三星系统 ， 在相互的万有引力作用下 ， 绕一个共同的圆心 O 做角速度相等的圆周运 动 ， 已知 A 、 B 两星的质量均为 m ， C 星的质量为 2m ， 等边三角形的每边 长为 L ， 则 （ ） A. C 星做圆周运动的向心力大小为 3 姨 G m 2 L 2 B. A 星所受的合力大小为 7 姨 G m 2 L 2 C. B 星的轨道半径为 7 姨 4 L D. 三个星体做圆周运动的周期为 2π L 3 Gm 姨 1. （ 多选 ） 某星球的质量约为地球质量的 6 倍 ， 半径约为地球的 2 倍 ， 绕母星公转一 周的时间为 55.7 天 。 若已知地球的第一宇宙速度 v 0 ， 则根据以上信息可以算出该星球的 （ ） A. 密度 B. 第一宇宙速度 C. 母星的质量 D. 公转的角速度 2. （ 多选 ） 我国成功发射了国内首颗全球二氧化碳监测科学实验卫星 （ 简称 “ 碳卫星 ”）， 用于监测地球大气层中二氧化碳的浓度变化情况 。 “ 碳卫星 ” 在半径为 R 的圆周轨道上运 行 ， 每天绕地球运行约 14 圈 。 已知地球自转周期为 T ， 引力常量为 G ， 则 （ ） A. 可算出地球质量为 4π 2 R 3 GT 2 B. “ 碳卫星 ” 的运行速度大于 7.9 km/s C. “ 碳卫星 ” 的向心加速度小于 9.8 m/s 2 D. “ 碳卫星 ” 和地球同步卫星的周期之比约为 1 ∶14 3. 某人在一星球上以速率 v 竖直上抛一物体 ， 经时间 t 后物体以速率 v 落回手中 。 已知 该星球的半径为 R 。 求 ： （ 1 ） 该星球表面的重力加速度 ； （ 2 ） 该星球上的第一宇宙速度 。 A B C 第 6 题图 积累 · 整合 （ 四 ） 26 积 累 · 整 合 应 用 · 拓 展 创 新 · 实 践 高一物理 第 周 年 月 日 4. 2022 年 10 月 ， “ 雪龙号 ” 和 “ 雪龙 2 号 ” 共同出征南极 ， 揭开我国南极科考里程碑 式的一页 。 为考察地球自转对重力的影响 ， 在 “ 雪龙号 ” 经过赤道时 ， 用测力计测得哑铃的 重力是 F 1 ； 到达南极时 ， 用测力计测得该哑铃的重力为 F 2 。 已知地球的自转周期为 T ， 地球 的半径为 R ， 引力常量为 G ， 将地球视为质量分布均匀的球体 。 （ 1 ） 求地球的质量 ； （ 2 ） 在南极观测到绕地球做匀速圆周运动的极地卫星 “ 高分七号 ” 通过南极上空时距地 面的高度为 h ， 求 “ 高分七号 ” 的周期 。 5. “ 天宫二号 ” 是我国自主研发的空间实验室 ， 科学家 、 航天员们将在里面展开各种工 作和试验 ， 为建成空间站奠定基础 。 “ 天宫二号 ” 绕地球做匀速圆周运动 ， 距地球表面的高 度为 h 。 已知地球质量为 M ， 半径为 R ， 引力常量为 G 。 （ 1 ） 求 “ 天宫二号 ” 在轨运行线速度 v 的大小 ； （ 2 ） “ 太空移民 ” 是人们的大胆设想 ， 为解决在空间站生活的失重问题 ， 科学家设想让 空间站通过自转产生的向心加速度来模仿重力加速度 ， 获得 “ 人工重力 ”， 就是要使人们感 受到 “ 人工重力 ” 与在地球表面上受到的重力一样 （ 不考虑重力因地理位置不同而产生的差 异 ）。 设自转半径为 r ， 求空间站自转周期 T 的大小 。 27 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 地球的质量为 M ， 半径为 R ， 引力常量为 G ， 重力加速度为 g 。 （ 1 ） 推导地球的第一宇宙速度 ； （ 2 ） 已知地球的第一宇宙速度为 7.9 km/s ， 某行星的质量为地球质量的 16 倍 ， 半径为地 球半径的 4 倍 ， 该行星的第一宇宙速度是多少 ？ 2. 某宇航员在一星球表面附近高度为 H=32 m 处以速度 v 0 =10 m/s 水平抛出一个小物体 ， 经过一段时间后物体落回星球表面 ， 测得该物体水平位移为 x=40 m ， 已知星球半径为 R= 4000 km ， 引力常量为 G=6.67×10 -11 N · m 2 /kg 2 ， 不计空气阻力 。 求 ： （ 结果保留两位有效数字 ） （ 1 ） 该星球质量 M ； （ 2 ） 该星球第一宇宙速度 v 的大小 。 积累 · 整合 （ 五 ） 28 积 累 · 整 合 应 用 · 拓 展 创 新 · 实 践 高一物理 第 周 年 月 日 3. 如图所示 ， A 、 B 是地球的两颗卫星 ， 卫星 A 、 B 的圆形轨道位于赤道平面内 ， 运行 方向与地球自转方向相同 。 卫星 A 离地面高度为 7R ， 卫星 B 离地面高度为 R ， R 为地球半 径 ， 地球表面的重力加速度为 g ， O 为地球中心 。 （ 1 ） 求卫星 A 、 B 的运行周期之比 ； （ 2 ） 若某时刻 A 、 B 两卫星相距最近 （ O 、 B 、 A 在同一直线上 ）， 则至少经过多长时间 ， 它们再一次相距最近 ？ 4. 欧洲天文学家宣称 ， 在距离地球 20.5 光年之外的天秤座发现了一颗宜居行星 ， 它或 许可以让人类 “ 拎包即住 ”。 这颗被科学家们称为 “ 581c ” 的系外行星 ， 其半径为地球的 p 倍 ， 质量为地球的 q 倍 。 不计星球的自转影响 ， 地球表面重力加速度为 g ， 地球第一宇宙速 度大小为 v 1 。 求 ： （ 1 ） 该行星表面重力加速度的大小 g c ； （ 2 ） 该行星 “ 第一宇宙速度 ” 的大小 v c 。 A B O R 第 3 题图 29 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. （ 多选 ） 质量为 m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行 ， 其运动视为匀速圆周 运动 。 已知月球质量为 M ， 月球半径为 R ， 月球表面重力加速度为 g ， 引力常量为 G ， 不考 虑月球自转的影响 ， 则航天器的 （ ） A. 线速度 v= GM R 姨 B. 角速度 棕= gR 姨 C. 运行周期 T=2π R g 姨 D. 向心加速度 a= Gm R 2 2. 我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭 ， 以一箭双星的方式将第 50 、 51 颗 北斗导航卫星成功发射 。 北斗卫星导航系统由静止轨道卫星 （ 即地球同步卫星 、 离地面的 高度约 36000 km ）、 中轨道卫星 （ 离地面的高度约 21000 km ） 及其他轨道卫星组成 ， 则 （ ） A. 静止轨道卫星的周期为 24 小时 B. 静止轨道卫星可定位在南京上空 C. 静止轨道卫星的运行速度等于 7.9 km/s D. 中轨道卫星的运行速度比静止轨道卫星的运行速度更小一些 3. 甘肃酒泉和海南文昌是我国的两个卫星发射中心所在地 ， 酒泉卫星发射中心的纬度约 为北纬 40° ， 文昌卫星发射中心的纬度约为北纬 20° 。 把地球看作一个半径为 6.4×10 3 km 的 质量分布均匀的球体 ， 比较分别位于酒泉和文昌的甲 、 乙两个物体随地球自转做匀速圆周运 动的情况 ， 下列判断正确的是 （ ） A. 两物体的线速度大小相等 B. 两物体的角速度大小相等 C. 甲物体的线速度大于乙物体的线速度 D. 甲物体的角速度小于乙物体的角速度 4. 我国成功发射第 45 颗北斗导航卫星 ， 该星属于地球静止轨道卫星 （ 同步卫星 ）。 该卫 星入轨后 （ ） A. 可以飞过天津市正上方 B. 周期大于地球自转周期 C. 加速度等于重力加速度 D. 速度小于第一宇宙速度 5. 某卫星绕地球做圆周运动时 ， 其动能为 E k ， 该卫星做圆周运动的向心加速度为近地卫 星做圆周运动向心加速度的 1 9 。 已知地球的半径为 R ， 则该卫星在轨运行时受到地球引力的 大小为 （ ） A. 2E k 3R B. E k 3R C. 2E k 9R D. E k 9R 应用 · 拓展 （ 一 ） 30 积 累 · 整 合 应 用 · 拓 展 创 新 · 实 践 高一物理 第 周 年 月 日 6. 人造卫星由于受到大气阻力 ， 其轨道半径逐渐减小 ， 其相应的线速度和周期的变化情 况是 （ ） A. 速度减小 ， 周期增大 B. 速度减小 ， 周期减小 C. 速度增大 ， 周期增大 D. 速度增大 ， 周期减小 1. 一颗卫星绕地球做匀速圆周运动 ， 其轨道半径为 r ， 卫星绕地球做匀速圆周运动的周 期为 T ， 已知地球的半径为 R ， 引力常量为 G 。 求 ： （ 1 ） 地球的质量 M ； （ 2 ） 卫星绕地球运行轨道处的重力加速度 。 2. 已知地球质量为 M ， 引力常量为 G 。 将地球视为半径为 R 、 质量均匀分布的球体 ， 忽 略地球自转影响 。 求 ： （ 1 ） 地面附近的重力加速度 g ； （ 2 ） 地球的第一宇宙速度 v ； （ 3 ） 若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量 ， 需要知道哪些相关数据 ？ 请分析说明 。 应用 · 拓展 （ 二 ） 31 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 3. 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体 ， 探寻黑洞的方案之一是观测双星 系统的运动规律 。 天文学家观测河外星系大麦哲伦云时 ， 发现了 LMCX－3 双星系统 ， 它由可 见星 A 和不可见的暗星 B 构成 。 两星视为质点 ， 不考虑其他天体的影响 ， A 、 B 围绕两者连 线上的 O 点做匀速圆周运动 ， 它们之间的距离保持不变 ， 如图所示 。 引力常量为 G ， 由观测 能够得到可见星 A 的速率 v 和运行周期 T 。 （ 1 ） 可见星 A 所受暗星 B 的引力 F A 可等效为位于 O 点处质量为 m′ 的星体 （ 视为质点 ） 对它的引力 ， 设 A 和 B 的质量分别为 m 1 、 m 2 ， 试求 m′ （ 用 m 1 、 m 2 表示 ）； （ 2 ） 求暗星 B 的质量 m 2 与可见星 A 的速率 v 、 运行周期 T 和质量 m 1 之间的关系式 。 1. 宇航员在地球表面 ， 以一定初速度竖直向上抛出的一个小球经过时间 t 落回抛出点 ； 若他在某星球表面以相同方式抛出小球需经过时间 2t 落回抛出点 。 一个质量为 M 的宇航员 ， 在某星球表面站在台秤上 ， 使一根轻质细线连接的小球在竖直平面内做圆周运动 ， 且摆球正 好能够通过最高点 ， 忽略星球表面一切阻力 。 已知细线长为 L ， 小球质量为 m ， 地球表面的 重力加速度为 g 。 求 ： （ 1 ） 某星球表面的重力加速度 ； （ 2 ） 小球做圆周运动到最低点时的速度 ； （ 3 ） 小球在最低点时台秤的示数 。 应用 · 拓展 （ 三 ） 第 3 题图 O A B 32 积 累 · 整 合 应 用 · 拓 展 创 新 · 实 践 高一物理 第 周 年 月 日 2. 如图所示 ， 地球上空有两颗质量均为 m 的人造卫星 A 、 B ， 它们的轨道半径分别为 2R 和 3R ， 在同一平面内 ， 运行方向相同 ， 不计两颗卫星之间的万有引力 ， 地球质量为 M 、 半 径为 R ， 引力常量为 G 。 （ 1 ） 试求 A 、 B 两颗卫星的运动周期 T A 、 T B ； （ 2 ） 若某时刻两颗卫星与地球中心正好在一条直线上 ， 试求最短经过多长时间 A 、 B 两 颗卫星又和地球在一条直线上且相距最近 ； （ 3 ） 如果两颗卫星成为绳系卫星 ， 即用结实的绳连接 ， 它们将可以一起绕地球运动且与 地球中心始终在一条直线上 ， 第一颗绳系卫星由意大利航天局研制 。 求此情况下两颗卫星的 运动周期 T 。 3. 月球称太阴 ， 我国古代常常根据月相计时 。 若近似认为月球绕地球做匀速圆周运动 ， 地球绕太阳也做匀速圆周运动 ， 它们的绕行方向一致且轨道在同一平面内 。 （ 1 ） 已知地球表面处的重力加速度为 g ， 地球半径为 R ， 月心与地心间的距离为 r ， 求月 球绕地球一周的时间 T m ； （ 2 ） 如图是相继两次满月时 ， 月球 、 地球和太阳相对位置的示意图 。 已知月球绕满月地 球运动一周的时间 T m =27.4 天 ， 地球绕太阳运动的周期 T e =365 天 ， 农历常常把相邻两次满月 时长作为 “ 一个月 ”， 若一年中共有 12 个月 ， 则该年约为多少天 ？ （ 结果保留三位有效数字 ） 第 2 题图 A B O 第 3 题图 太阳 S 兹 满月 满月 月球 M 1 M 2 兹 E 2 E 1 地球 33 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. （ 多选 ） 如图所示 ， A 是地球的同步卫星 ， B 是位于赤道平面内的近地卫星 ， C 是地 面赤道上随地球自转的物体 ， 已知地球半径为 R ， 同步卫星离地面的高度为 h ， 则 （ ） A. A 、 B 加速度的大小之比为 R R+h h " 2 B. A 、 C 加速度的大小相等 C. A 、 B 、 C 速度的大小关系为 v B ＞v A ＞v C D. A 、 B 、 C 周期的大小关系为 T A =T C ＜T B 2. （ 多选 ） 中国航天科工集团虹云工程 ， 将在 2023 年前共发射 156 颗卫星组成的天基互 联网 ， 建成后 Wi鄄Fi 信号覆盖全球 。 假设这些卫星中有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的周 期为 T 0 16 （ T 0 为地球的自转周期 ）， 已知地球的第一宇宙速度为 v ， 地球表面的重力加速度为 g ， 则地球的半径 R 和该卫星做圆周运动的半径 r 分别为 （ ） A. R= v 2 g B. R= v 2 2g C. r= T 2 0 v 2 4gπ 2 3 姨 D. r= 1 8 T 2 0 v 2gπ 2 3 姨 3. 观看某科幻电影后 ， A 同学设想地球仅在木星引力作用下沿椭圆轨道通过木星的情 景 ， 如图所示 ， 轨道上 P 点距木星最近 （ 距木星表面的高度可忽略 ）。 则 （ ） A. 地球靠近木星的过程中运行速度减小 B. 地球远离木星的过程中加速度增大 C. 地球远离木星的过程中角速度增大 D. 地球在 P 点的运行速度大于木星第一宇宙速度 4. （ 多选 ） “ 嫦娥二号 ” 成功进入了环绕 “ 日地拉格朗日点 ” 的轨道 ， 我国成为世界上 第三个造访该点的国家 。 如图所示 ， 该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上 ， 一飞 行器处于该点 ， 在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动 ， 则此飞行器的 （ ） A． 线速度大于地球的线速度 B． 向心加速度大于地球的向心加速度 C． 向心力仅由太阳的引力提供 D． 向心力仅由地球的引力提供 5. 双星的运动是产生引力波的来源之一 ， 假设宇宙中有一双星系统由 P 、 Q 两颗星体组 应用 · 拓展 （ 四 ） 地球 A B C 第 1 题图 椭圆轨道 木星 地球 P 第 3 题图 第 4 题图 拉格朗日点 太阳 地球 34 积 累 · 整 合 应 用 · 拓 展 创 新 · 实 践 高一物理 第 周 年 月 日 成 ， 这两颗星绕它们连线的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动 ， 测得 P 星的周期 为 T ， P 、 Q 两颗星的距离为 l ， P 、 Q 两颗星的轨道半径之差为 Δr （ P 星的轨道半径大于 Q 星的轨道半径 ）， 引力常量为 G 。 求 ： （ 1 ） Q 、 P 两颗星的线速度之差 Δv ； （ 2 ） Q 、 P 两颗星的质量之差 Δm 。 35 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 一名宇航员在某星球上立定跳高的最好成绩是在地球上的 4 倍 ， 该星球半径为地球的 一半 。 阻力不计 ， 则该星球的第一宇宙速度约为 （ ） A. 2.0 km/s B. 2.8 km/s C. 4.0 km/s D. 5.9 km/s 2. 我国对 “ 一带一路 ” 沿线国家免费发送风云系列气象卫星数据 ， 其 中 “ 风云三号 ” 为极地卫星 ， 轨道与赤道平面垂直且通过地球两极上空 ， 每绕地球一圈完成一次全球监测 ， 该卫星从北极正上方点 ， 按图所示方向 第一次运动到南极正上方 B 点的时间约为 1 h ， “ 风云四号 ” 为地球同步 卫星 。 则下列说法正确的是 （ ） A. “ 风云三号 ” 比 “ 风云四号 ” 线速度小 B. “ 风云三号 ” 比 “ 风云四号 ” 周期大 C. “ 风云三号 ” 比 “ 风云四号 ” 加速度小 D. 在同一时刻 ， “ 风云三号 ” 能够监测到的地表范围比 “ 风云四号 ” 小 3. （ 多选 ） 为了探测 X 星球 ， 载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心 、 半径为 r 1 的圆轨道上运动 ， 周期为 T 1 ， 总质量为 m 1 。 随后登陆舱脱离飞船 ， 变轨到离星球更近的半径 为 r 2 的圆轨道上运动 ， 此时登陆舱的质量为 m 2 ， 则 （ ） A． X 星球的质量 M= 4π 2 r 1 3 GT 1 2 B． X 星球表面的重力加速度 g x = 4π 2 r 1 T 1 2 C． 登陆舱在 r 1 与 r 2 轨道上运动时的速度大小之比 v 1 v 2 = m 1 r 2 m 2 r 1 姨 D． 登陆舱在半径为 r 1 轨道上做圆周运动的周期 T 2 = r 2 3 r 1 3 姨 4. 科学家们推测 ， 太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上 。 从地球上看 ， 它永远在太阳 的背面 ， 人类一直未能发现它 ， 可以说它是 “ 隐居 ” 着的 ， 它是地球的 “ 孪生兄弟 ”， 由以 上信息我们可以推知 （ ） A． 这颗行星的公转周期与地球相等 B． 这颗行星的自转周期与地球相等 C． 这颗行星的质量等于地球的质量 D． 这颗行星的密度等于地球的密度 应用 · 拓展 （ 五 ） 第 2 题图 A B 北极 南极 36 积 累 · 整 合 应 用 · 拓 展 创 新 · 实 践 高一物理 第 周 年 月 日 1. 如图所示 ， 一颗卫星在近地轨道 1 上绕地球做圆周运动 ， 轨道 1 的半径可近似等于地球半径 ， 卫星运动到轨道 1 上 A 点时进行变轨 ， 进 入椭圆轨道 2 ， 远地点 B 离地面的距离为地球半径的 2 倍 。 已知地球的 密度为 ρ ， 引力常量为 G ， 则卫星从 A 点运动到 B 点所用的时间为 （ ） A. 6π Gρ 姨 B. 2π Gρ 姨 C. 3π Gρ 姨 D. 2 3π Gρ 姨 2. 宇航员在月球表面以初速度 v 将一石块与水平方向成 θ 角斜向上抛出 ， 石块上升的最 大高度为 h ， 月球的半径为 R ， 引力常量为 G ， 由此可推算 （ ） A. 月球表面的重力加速度为 v 2 cos 2 θ ２h B. 石块在空中的运动时间为 2h vsin θ C. 月球的质量为 v 2 R 2 sin 2 θ ２Gh D. 月球的第一宇宙速度为 vsin θ R h 姨 3. 据科学家推算 ， 六亿两千万年前 ， 一天只有 21 小时 ， 而现在已经被延长到 24 小时 ， 假设若干年后 ， 一天会减慢延长到 25 小时 ， 则若干年后的地球同步卫星与现在的相比 ， 下 列说法正确的是 （ ） A. 可以经过地球北极上空 B. 轨道半径将变小 C. 加速度将变大 D. 线速度将变小 4. 火星直径约为地球的 1 2 ， 质量约为地球的 1 10 ， 它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太 阳公转半径的 1.5 倍 。 以下说法正确的是 （ ） A. 火星公转的向心加速度比地球的大 B. 火星公转的周期比地球的小 C. 火星公转的线速度比地球的大 D. 火星表面的重力加速度比地球表面的重力加速度小 5. 在星球 A 上将一小物块 P 竖直向上抛出 ， P 的速度的二次方 v 2 与位移 x 间的关系如图 中实线所示 ； 在另一星球 B 上用另一小物块 Q 完成同样的过程 ， Q 的 v 2 -x 关系如图中虚线 所示 。 已知 A 的半径是 B 的半径的 1 3 ， 若两星球均为质量均匀分布的球体 " 球的体积公式为 应用 · 拓展 （ 六 ） 第 1 题图 A B 1 2 37 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 V= 4 3 πr 3 ， r 为球的半 ! 径 ， 两星球上均没有空气 ， 不考虑两星球的自转 ， 则 （ ） A. A 表面的重力加速度是 B 表面的重力加速度的 1 9 B. A 的第一宇宙速度是 B 的第一宇宙速度的 3 姨 倍 C. A 的密度是 B 的密度的 9 倍 D. P 抛出后落回原处的时间是 Q 抛出后落回原处的时间的 1 9 1. 我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射第 46 颗北 斗导航卫星 。 目前已有 46 颗卫星在轨运行 ， 其每一颗卫星运动的周期会因 轨道半径的不同而不同 ， 某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的轨道半 径 r 与周期 T 作出如图所示图像 ， 则可求得地球平均密度为 （ 已知引力常 量为 G ， 地球的半径为 R ） （ ） A. 3πa GR 3 b B. GR 3 b 3πa C. 3πb GR 3 a D. GR 3 a 3πb 2. 如图所示 ， 在轨道 Ⅲ 上绕地球做匀速圆周运动的卫星返回时 ， 先在 A 点变轨沿椭圆轨道 Ⅱ 运行 ， 然后在近地点 B 变轨沿近地圆轨道 Ⅰ 运行 。 下列说法正确的是 （ ） A. 卫星在轨道 Ⅲ 上运行的向心加速度大于在轨道 Ⅰ 上运行的向心加速度 B. 卫星在轨道 Ⅲ 上运行的周期小于在轨道 Ⅰ 上运行的周期 C. 卫星在轨道 Ⅲ 上运行的周期大于在轨道 Ⅱ 上运行的周期 D. 卫星在轨道 Ⅲ 上的 A 点变轨时 ， 要加速才能沿轨道 Ⅱ 运动 3. 科学家对银河系中心附近的恒星 S 2 进行了多年的持续观测 ， 给 出 1994 年到 2002 年间 S 2 的位置如图所示 。 科学家认为 S 2 的运动轨迹 是半长轴为 1000 AU （ 太阳到地球的距离为 1 AU ） 的椭圆 ， 银河系中 心可能存在超大质量黑洞 。 这项研究工作获得了 2020 年诺贝尔物理学 奖 。 若认为 S 2 所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力 ， 设太阳的质 量为 M ， 可以推测出该黑洞质量约为 （ ） A. 4×10 4 M B. 4×10 6 M C. 4×10 8 M D. 4×10 10 M 第 2 题图 地球 卫星 A B Ⅰ Ⅱ Ⅲ 第 5 题图 v 2 x O P Q 3v 2 0 v 2 0 3x 0 x 0 应用 · 拓展 （ 七 ） 第 1 题图 T 2 r 3 a b O 第 3 题图 黑洞 1994 1995 1996 1998 1997 1999 2000 2001 2002 38 积 累 · 整 合 应 用 · 拓 展 创 新 · 实 践 高一物理 第 周 年 月 日 4. 火星绕太阳公转周期约为地球公转周期的 2 倍 ， 火星的直径约为地球的一半 ， 质量仅 是地球的 0.1 倍 。 由以上信息可知 （ ） A. 发射火星探测器需要的速度不能小于 16.7 km/s B. 探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的引力小 C. 火星绕太阳的轨道半径约为地球绕太阳的轨道半径的 4 倍 D. 在火星表面发射近地卫星的速度小于地球的第一宇宙速度 5. 中国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭 ， 成功发射第 49 颗北斗导航卫星 ， 该卫星发射成功 ， 标志着北斗三号系统 3 颗 IGSO 卫星 （ 倾斜地球同步轨道卫星 ） 全部发射 完毕 。 该卫星在轨道上运动的周期与地球自转周期相同 ， 但该轨道平面与赤道平面有一定 的夹角 ， 因此该轨道也被称为倾斜同步轨道 ， 根据以上信息判断下列说法中不正确的是 （ ） A. 该卫星做匀速圆周运动的圆心一定是地球的球心 B. 该卫星离地面的高度等于地球同步卫星离地面的高度 C. 地球对该卫星的万有引力一定等于地球对地球同步卫星的万有引力 D. 只要倾角合适 ， 处于倾斜同步轨道上的卫星可以在每天的固定时间经过同一城市的上空 6. 双星系统由相距较近的星球组成 ， 每个星球的半径均远小于两者之间的距离 ， 而且 双星系统一般远离其他天体 ， 它们在彼此的万有引力作用下 ， 绕某一点做匀速圆周运动 。 如图所示 ， 某一双星系统中 A 星球的质量为 m 1 ， B 星球的质量为 m 2 ， 它们球心之间的距离 为 L ， 引力常量为 G ， 则下列说法正确的是 （ ） A. B 星球的轨道半径为 m 2 m 1 +m 2 L B. A 星球运行的周期为 2πL L G （ m 1 +m 2 ） 姨 C. A 星球和 B 星球的线速度大小之比为 m 1 ∶ m 2 D. 若在 O 点放一个质点 ， 则它受到两星球的引力之和一定为 0 1. 在地球上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上 ， 把质量为 m 的物体 P 置于弹簧上端 ， 用力压到弹簧形变量为 3x 0 处后由静止释放 ， 从释放点上升的最大高度为 4.5x 0 ， 上升过程中 物体 P 的加速度 a 与弹簧的压缩量 x 间的关系如图中实线所示 。 若在另一星球 N 上把完全相 同的弹簧竖直固定在水平桌面上 ， 将物体 Q 在弹簧上端点由静止释放 ， 物体 Q 的加速度 a 与弹簧的压缩量 x 间的关系如图中虚线所示 。 两星球可视为质量分布均匀的球体 ， 星球 N 半 径为地球半径的 3 倍 。 忽略两星球的自转 ， 图中两条图线与横 、 纵坐标轴交点坐标为已知量 。 求 ： A B O 第 6 题图 创新 · 实践 （ 一 ） 39 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 （ 1 ） 地球表面和星球 N 表面重力加速度之比 ； （ 2 ） 地球和星球 N 的质量比 。 2. 2019 年诺贝尔物理学奖的一半授予詹姆斯 · 皮伯斯以表彰他 “ 在物理宇宙学方面的理 论发现 ”， 另一半授予了米歇尔 · 马约尔和迪迪埃 · 奎洛兹 ， 以表彰他们 “ 发现了一颗围绕太 阳运行的系外行星 ”。 对宇宙探索一直是人类不懈的追求 。 现假设有这样的模型 ： 图示为宇 宙中一恒星系的示意图 ， A 为该星系的一颗行星 ， 它绕中央恒星 O 的运行轨道近似为圆 。 已 知引力常量为 G ， 天文学家观测得到 A 行星的运行轨道半径为 R 0 ， 周期为 T 0 。 （ 1 ） 求中央恒星 O 的质量 M ； （ 2 ） 长期观测发现 A 行星每隔 t 0 时间其运行轨道便会偏离理论轨道少许 ， 天文学家认为 出现这种现象的原因可能是 A 行星外侧还存在着一颗未知的行星 B （ 假设其运行的圆轨道与 A 在同一平面内 ， 且与 A 的绕行方向相同 ）。 根据上述现象和假设 ， 试求未知行星 B 的运动 周期和轨道半径 。 0.5a 0 a 0 a O P Q x 3x 0 x 0 第 1 题图 O M A m 第 2 题图 40 积 累 · 整 合 应 用 · 拓 展 创 新 · 实 践 高一物理 第 周 年 月 日 1. 银河系中心存在大量黑洞 。 黑洞是一种密度极高的天体 ， 其第二宇宙速度超过光速 ， 已知天体的第二宇宙速度为其第一宇宙速度的 2 姨 倍 。 若某黑洞的半径 R 约为 300 km ， 则 该黑洞表面最小重力加速度的数量级为 （ ） A. 10 8 m/s 2 B. 10 11 m/s 2 C. 10 13 m/s 2 D. 10 15 m/s 2 2. 2019 年 4 月 10 日 21 时 ， 科学家发布了黑洞人马座 A* 的照片 。 黑洞强大的引力致使 以 3×10 8 m/s 的速度传播的光都不能逃逸 。 已知人马座 A* 的直径为 4400 万千米 ， 则人马座 A* 与地球的质量之比约为 （ 可能用到的数据 ： 地球半径为 6400 km ； 地球的环绕速度 为 7.9 km/s ； 天体的逃逸速度为该天体环绕速度的 2 姨 倍 ） （ ） A. 10 11 B. 10 12 C. 10 13 D. 10 14 3. 某科幻电影讲述了因太阳急速膨胀 ， 地球将被太阳吞没 ， 为了自救 ， 人类提出一个大 胆的计划 ， 倾全球之力在地球表面建造上万座发动机 ， 推动地球离开太阳系 ， 奔往另外一个 栖息之地 。 计划中地球的逃逸速度是地球逃离太阳系的速度 ， 此速度等于地球绕太阳运行速 度的 2 姨 倍 。 已知太阳的质量约为 2.0×10 30 kg ， 地球和太阳之间的距离约为 1.5×10 11 m ， 引力 常量 G=6.67×10 -11 N · m 2 /kg 2 ， 不考虑其他天体对地球的作用力 ， 则地球要想逃离太阳系需要加 速到的最小速度约为 （ ） A. 11.2 km/s B. 30 km/s C. 16.7 km/s D. 42 km/s 4. 某科幻电影中有一种思路是不断加速地球 ， 使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨 道运动 ， 最终离开太阳系 。 假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动 ， 地球到太 阳的最近距离仍为 R ， 最远距离为 7R （ R 为加速前地球与太阳间的距离 ）， 则在该轨道上地 球公转周期将变为 （ ） A. 8 年 B. 6 年 C. 4 年 D. 2 年 5. （ 多选 ） 发射同步卫星时 ， 先将卫星发射到近地圆轨道 1 ， 然后经点 火使其沿椭圆轨道 2 运动 ， 最后再次点火 ， 将卫星送入同步圆轨道 3 ， 轨道 1 、 2 相切于 Q 点 ， 轨道 2 、 3 相切于 P 点 ， 如图所示 ， 当卫星分别在 1 、 2 、 3 轨道上正常运行时 ， 以下说法正确的是 （ ） A． 卫星在轨道 2 上由 Q 向 P 运动的过程中速率越来越小 B． 卫星在轨道 3 上经过 P 点的速率大于在轨道 2 上经过 P 点的速率 C． 卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道 2 上经过 Q 点时的加速度 D． 卫星在轨道 2 上经过 Q 点时的加速度等于在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度 创新 · 实践 （ 二 ） 第 5 题图 1 2 3 Q P 41 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 6. 某科研团队完成了下面的两个实验 ： ① 当飞船经过距 X 星球一定高度的 P 点时 ， 正对着 X 星球发射一个激光脉冲 ， 经过很 短时间 t 后收到反射回来的信号 ， 此时观察得 X 星球对 P 点的张角为 2θ ， 如图所示 ； ② 当飞船在 X 星球表面着陆后 ， 把一个弹射器固定在 X 星球表面上 ， 竖直向上弹射一 个小球 ， 经测定小球从弹射到落回的时间为 t 1 。 已知用上述弹射器在地球上做同样的实验时 ， 小球在空中运动的时间为 t 2 ， 地球表面的 重力加速度为 g ， 引力常量为 G ， 真空中光速为 c ， 地球和 X 星球的自转以及它们对物体的 大气阻力均可不计 ， 试根据以上信息 ， 求 ： （ 1 ） X 星球表面的重力加速度 g 0 ； （ 2 ） X 星球的平均密度 ρ ； （ 3 ） 飞船环绕 X 星球做圆周运动的最小周期 T 。 第 6 题图 2θ P X 星球 42 积 累 · 整 合 应 用 · 拓 展 创 新 · 实 践 高一物理 在竖直方向上 ， 有 v 2 y1 ＝2gh ， v 2 y -v 2 y1 ＝2gH ， 解得 A 球距风洞上边界的高度为 h＝ 1 3 H 。 创新 · 实践 （ 1 ） （ 表略 ） 保证橡皮筋拉伸长度相等 （ 初速度相同 ） 的情况下 ， 抛射角为 45° （ 大约 ） 时抛射距离最大 。 （ 2 ） （ 表略 ） 在抛射角相同的情况下 ， 橡皮筋的拉伸长度越大 （ 抛射速度越大 ）， 抛射距离越大 。 第六章 圆周运动 积累 · 整合 （ 一 ） 1. D 2. C 3. C 4. A 5. D 6. B 积累 · 整合 （ 二 ） 1. B 2. A 3. B 4. B 5. C 6. C 积累 · 整合 （ 三 ） 1. C 2. C 3. A 4. A 5. B 应用 · 拓展 1. 变小 变长 不变 3 ∶ 1 ２． 40 N ０ ３. D 第七章 万有引力与宇宙航行 积累 · 整合 （ 一 ） 1. D 2. A 3. D 4. 3.4×10 18 1.0×10 13 5. ３π GT 2 6. 3000 积累 · 整合 （ 二 ） 1. D 2. C 3. A 4. C 5. D 积累 · 整合 （ 三 ） 1. B 2. C 3. A 4. C 5. CD 6. BC 积累 · 整合 （ 四 ） 1. BD 2. CD 3. 解 ： （ 1 ） 该星球表面的重力加速度为 2v t 。 （ 2 ） 该星球上的第一宇宙速度为 2vR t 姨 。 4. 解 ： （ 1 ） 在赤道处 ， 哑铃受到万有引力与重力的差值提供向心力 GMm R 2 -F 1 =m · 4π 2 T 2 · R ， 在南极处 ， 万有引力等于重力 ， GMm R 2 =F 2 ， 联立解得 M＝ 4π 2 R 3 F 2 GT 2 （ F 2 -F 1 ） 。 （ 2 ） 高分七号卫星绕地球做匀速圆周运动 ， 万有引力提供向心力 ， GMm′ （ R+h ） 2 =m′ 4π 2 T′ 2 （ R+h ）， 解得周期 T′＝T （ R+h ） 3 （ F 2 -F 1 ） R 3 F 2 姨 。 5. 解 ： （ 1 ） 根据 “ 天宫二号 ” 绕地球运行 ， 万有引力提供向心力 ， 得 GMm （ R+h ） 2 =m v 2 R+h ， 所以运行线速度为 v= GM R+h 姨 。 （ 2 ） 质量为 m′ 的物体在地球表面 ， 受到的万有引力等于重力 ， 则重力加速度满足 ： G Mm′ R 2 =m′g ， 则人工产生的重力满足 ： m′ 4π 2 T 2 r=m′g ， 解得空间站自转周期 T=2πR r GM 姨 。 积累 · 整合 （ 五 ） 1. 解 ： （ 1 ） 因为第一宇宙速度就是物体在地球表面绕地球做匀速圆周运动的线速度 ， 此时 ， 地球对它的引力充 当它做圆周运动的向心力 ， 有 G Mm R 2 =m v 2 R ， 解得 v= GM R 姨 。 （ 2 ） 行星的质量为地球质量的 16 倍 ， 半径为地球半径的 4 倍 ， 所以该行星的第一宇宙速度为 v＝7.9 km/s×2＝ 15.8 km/s 。 2. 解 ： （ 1 ） 抛出的物体在星球表面做平抛运动 ， 水平方向上做匀速直线运动 ， 77 暑 假 作 业 新课程 水平位移为 x＝v 0 t ， 竖直方向上做自由落体运动 ， 有 H＝ 1 2 gt 2 ， 由以上两式可得该星球表面的重力加速度为 g＝ 2Hv 2 0 x 2 ＝4 m/s 2 ， 星球表面的物体受到的重力等于万有引力 ， 有 mg＝G Mm R 2 ， 得 M＝ gR 2 G ＝ 2Hv 2 0 R 2 Gx 2 ＝9.6×10 23 kg 。 （ 2 ） 第一宇宙速度就是卫星贴近该星球表面飞行的速度 ， 根据万有引力提供向心力 G Mm R 2 ＝m v 2 R 得第一宇宙速度 为 v＝ GM R 姨 ， 由 GM＝gR 2 解得 v＝ gR 姨 ＝ 2Hv 2 0 R x 2 姨 = v 0 x 2HR 姨 ＝4.0 km/s＝4.0×10 3 m/s 。 3. 解 ： 由万有引力提供向心力 ： G Mm r 2 ＝mω 2 r＝m 2π T " # 2 r ， 解得 T＝ 2πr v ＝2π r 3 GM 姨 · ω＝ GM r 3 姨 。 （ 1 ） 由 T＝ 2πr v ＝2π r 3 GM 姨 可知 T A T B ＝ r A r B " B 3 姨 ＝ 7R+R R+R R B 3 姨 ＝8 。 （ 2 ） 由 ω＝ GM r 3 姨 ， 又 gR 2 ＝GM ， 则得 ω＝ gR 2 r 3 姨 ， ω A ＝ gR 2 （ 7R+R ） ３ 姨 ， ω B ＝ gR 2 （ R+R ） ３ 姨 ， 得它们再一次相距最近时 ， 一定是 B 比 A 多转了一圈 ， 有 （ ω B -ω A ） t＝2π ， 由以上各式可得 t＝ 32π 7 2R g 姨 。 4. 解 ： （ 1 ） 设 “ 581c ” 星球质量为 M c ， 半径为 R c ， 其表面有一物体质量为 m ， 由于不计星球的自转影响 ， 则万 有引力等于重力 ， 即 GM c m R 2 c =mg c ① 若该物体在地球表面有 GM 地 m R 2 地 =mg ② 联立 ①② 式并代入相关数据可得 g c = q p 2 g 。 （ 2 ） 设质量为 m 0 的飞行器在其表面附近做圆周运动 ， 有 GM c m 0 R 2 c = m 0 v 2 c R c ③ 若该飞行器在地球表面附近做圆周运动 ， 则同理有 GM 地 m 0 R 2 地 = m 0 v 2 1 R 地 ④ 联立 ③④ 式并代入相关数据可得 v c = q p 姨 v 1 。 应用 · 拓展 （ 一 ） 1. AC 2. A 3. B 4. D 5. A 6. D 应用 · 拓展 （ 二 ） 1. 解 ： （ 1 ） 卫星绕地球做匀速圆周运动 ， 根据万有引力提供向心力有 G Mm r 2 =m 2π T " B 2 r ， 解得地球的质量 M= 4π 2 r 3 GT 2 。 （ 2 ） 根据万有引力提供向心力有 GMm r 2 =m 4π 2 T 2 r＝mg′ ， 解得卫星所在轨道处的重力加速度 g′= 4π 2 r T 2 。 2. 解 ： （ 1 ） 设地球表面的物体质量为 m ， 有 G Mm R 2 =mg ， 解得 g= Gm R 2 。 （ 2 ） 设地球的近地卫星质量为 m′ ， 有 G Mm′ R 2 =m′ v 2 R ， 解得 v= GM R 姨 。 （ 3 ） 若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量 ， 需要知道地球绕太阳运动的轨道半径 、 周期和万有引力常量 。 设太阳质量为 M′ ， 地球绕太阳运动的轨道半径为 r 、 周期为 T 。 根据 G M′M r 2 =M 4π 2 T 2 r 可知 ， 若知道地球绕太阳运动的轨道半径 、 周期和万有引力常量 ， 可求得太阳的质量 。 3. 解 ： （ 1 ） 设 A ， B 运动的圆轨道半径分别为 r 1 ， r 2 ， 由题意可知 ， A ， B 做匀速圆周运动的角速度相同 ， 设其 78 积 累 · 整 合 应 用 · 拓 展 创 新 · 实 践 高一物理 为 ω 。 由牛顿运动定律 ， 有 F A =m 1 ω 2 r 1 ， F B =m 2 ω 2 r 2 ， F A =F B 。 设 A ， B 之间的距离为 r ， 则 r=r 1 +r 2 ， 由上述各式得 r= m 1 +m 2 m 2 r 1 ① 。 由万有引力定律 ， 有 F A =G m 1 m 2 r 2 ， 将 ① 式代入得 F A =G m 1 m 3 2 （ m 1 +m 2 ） 2 r 2 1 。 令 F A =G m 1 m′ r 2 1 ， 比较可得 m′= m 3 2 （ m 1 +m 2 ） 2 ② 。 （ 2 ） 对可见星 A ， 由牛顿第二定律 ， 有 G m 1 m′ r 2 1 =m 1 v 2 r 1 ③ 。 又因可见星 A 的轨道半径 r 1 = vT 2π ④ ， 由 ②③④ 式解得 m 3 2 （ m 1 +m 2 ） 2 = v 3 T 2πG 。 应用 · 拓展 （ 三 ） 1. 解 ： （ 1 ） 由题意可知 ， 在地球表面 ， 以一定初速度竖直向上抛出一个小球 ， 经过时间 t 小球落回抛出点 ， 有 g＝ 2v 0 t ， 在某星球表面以相同初速度竖直上抛同一小球 ， 经过时间 2t 小球落回原处知 g′＝ 2v 0 2t ＝ g 2 。 （ 2 ） 小球正好能够通过最高点 ， 重力提供向心力 ， 有 mg′=m v 2 1 L ， 从最高点运动到最低点的过程中 ， 有 mg′ · 2L＝ 1 2 mv 2 2 - 1 2 mv 2 1 ， 联立解得 ， 小球通过最低点时的速度为 v 2 ＝ 10gL 姨 2 。 （ 3 ） 小球在最低点时台秤的示数即台秤对人的作用力为 F N ， 设细线的拉力为 F T ， F T -mg′=m v 2 2 L ， F N ＝F T +Mg′ ， 联立解得台秤的示数为 F N ＝3mg+ Mg 2 。 2. 解 ： （ 1 ） 卫星做圆周运动的向心力等于 X 星的万有引力 ， 则对 A ： G Mm （ 2R ） 2 ＝m · 2R · 4π 2 T 2 A ， 解得 T A ＝4πR 2R GM 姨 ； 对 B ： GMm （ 3R ） 2 ＝m · 3R · 4π 2 T 2 B ， 解得 T B ＝6πR 3R GM 姨 。 （ 2 ） 当三者正好又在一条直线上且相距最近需要的最短时间满足 ： 2π T A t- 2π T B t=2π ， 解得 t＝ 12 6 姨 πR 3 2 姨 -2 2 姨 R GM 姨 。 （ 3 ） 设绳的拉力为 F ， 则对卫星 A ： G Mm （ 2R ） 2 -F＝m · 2R · 4π 2 T 2 ， 对卫星 B ： GMm （ 3R ） 2 +F＝m · 3R · 4π 2 T 2 。 联立解得 T＝12πR 5R 13GM 姨 。 3. 解 ： （ 1 ） 设地球的质量为 M ， 月球的质量为 m ， 地球对月球的万有引力提供向心力 ， 则有 GMm r 2 ＝m · 4π 2 T 2 m · r ， 地球表面万有引力近似等于重力 ， 则有 GMm R 2 ＝mg ， 解得 T m ＝2π r 3 gR 2 姨 。 （ 2 ） 相继两次满月 ， 月球绕地心转过的弧度比地球绕日心转过的弧度多 2π ， 即为 ω m t＝2π+ω e t 。 而 ω m = 2π T m ， ω e = 2π T e ， 解得 t＝29.6 天 。 一年中共有 12 个月 ， 则该年约为 12t＝355 天 。 应用 · 拓展 （ 四 ） 1. AC 2. AD 3. D 4. AB 5. 解 ： （ 1 ） Q 、 P 两颗星的线速度之差为 2πΔr T 。 79 暑 假 作 业 新课程 （ 2 ） Q 、 P 两颗星的质量之差为 4π 2 l 2 Δr GT 2 。 应用 · 拓展 （ 五 ） 1. B 2. D 3. AD 4. A 应用 · 拓展 （ 六 ） 1. A 2. C 3. D 4. D 5. B 应用 · 拓展 （ 七 ） 1. C 2. C 3. B 4. D 5. C 6. B 创新 · 实践 （ 一 ） 1. 解 ： （ 1 ） 由图像可知 ， 地球表面处的重力加速度为 g 1 ＝a 0 ， 星球 N 表面处的重力加速度为 g 2 ＝0.5a 0 ， 则地球表面和星球 N 表面重力加速度之比为 2 ∶ 1 。 （ 2 ） 在星球表面 ， 有 GMm R 2 ＝mg ， 其中 ， M 表示星球的质量 ， g 表示星球表面的重力加速度 ， R 表示星球的半径 ， 则 M＝ gR 2 G 。 在地球表面有 G M 1 m R 2 =mg 1 ， 解得 M 1 = R 2 g 1 G 。 因此 ， 地球和星球 N 的质量比为 2 ∶ 9 。 2. 解 ： （ 1 ） 根据万有引力定律 ， 令 A 行星质量为 m ， 则有 GMm R 2 0 ＝m · 4π 2 T 2 0 · R 0 ， 求得 M＝ 4π 2 R 3 0 GT 2 0 。 （ 2 ） 令 B 行星运动周期为 T B ， 轨道半径为 R B ， 根据圆周运动的追击规律可知 2π T 0 - 2π T B B " t 0 ＝2π ， 解得 T B ＝ T 0 t 0 t 0 -T 0 ， 由开普勒第三定律可知 R 3 0 T 2 0 = R 3 B T 2 B ， 得 R B ＝ 2 3 t 0 （ t 0 -T 0 ） 2 3 R 0 。 创新 · 实践 （ 二 ） 1. B 2. B 3. D 4. A 5. ABD 6. 解 ： （ 1 ） 在 X 星球上以 v 0 初速度竖直上抛时 ， 有 t 1 = 2v 0 g 0 ， 在地球上以 v 0 初速度竖直上抛时 ， 有 t 2 = 2v 0 g ， 得 g 0 ＝ t 2 t 1 g 。 （ 2 ） 由图可知 （ R+0.5ct ） sin θ＝R ， 得 R＝ ctsin θ 2 （ 1-sin θ ） 。 又由 GMm R 2 =mg 0 ， 有 M＝ g 0 R 2 G ， 而 V＝ 4 3 πR 3 ， 故 ρ＝ 3gt 2 （ 1-sin θ ） 2RGctt 1 sin θ 。 （ 3 ） mg 0 ＝m v 2 R ， v＝ g 0 R 姨 。 当以第一宇宙速度 v 运行 ， 卫星最小周期为 T＝ 2πR v ， 解得 T＝π 2ctt 1 sin θ gt 2 （ 1-sin θ ） 姨 。 第八章 机械能守恒定律 积累 · 整合 （ 一 ） 1. A 2. C 3. AD 4. C 5. A 6. D 积累 · 整合 （ 二 ） 1. C 2. C 3. A 4. B 5. C 6. B 积累 · 整合 （ 三 ） 1. D 2. B 3. B 4. C 5. B 6. B 积累 · 整合 （ 四 ） 1. A 2. A 3. C 4. C 5. D 6. D 7. D 80