第二章直线和圆的方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

选择性必修1学习材料-直线与圆 直线的倾斜角与斜率 考点一：直线的倾斜角和斜率 ①直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 注意：1.规定：当直线与轴平行（或重合）时，倾斜角为 2.倾斜角的取值范围 ②直线的斜率 斜率，亦称“角系数”，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度。一条直线与某平面直角坐标系横轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率 。 如果直线与x轴垂直，直角的正切值无穷大，故此直线不存在斜率。 当直线L的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b（斜截式），k即该函数图像(直线)的斜率。 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 注意：1.当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 2.所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 3.斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度 4.越大，直线越陡峭 ③过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点， 则 当，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° ④利用斜率证三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在。 考点二：两条直线平行垂直的判定 ①两条直线平行的判定：1.当斜率存在时，且不重合 2.当两条不重合的直线斜率都不存在时，也平行。 ②两条直线垂直的判定：1.当斜率都存在时， 2.一条斜率不存在，另一条斜率为 题型一：直线的倾斜角与斜率 【例1】已知直线经过点A(2，5)，B(3，7)两点，则直线的斜率为（ ） A．2 B．-2 C． D．- 【例2】若经过，两点的直线的倾斜角为，则m等于（ ） A．2 B．1 C． D． 【例3】已知，，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【例4】已知三点，，在同一条直线上，则实数的值为（ ） A．0 B．5 C．0或5 D．0或-5 【例5】过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【例6】已知，，若过（-2，0）的直线与线段AB有公共点，则此直线斜率的取值范围是（ ） A．， B．， C．， D．，， 【题型专练】 1.过点，的直线的倾斜角为45°，则等于（ ） A．1 B． C．3 D． 2.已知直线l经过原点和两点，则直线l的倾斜角是（ ） A．30° B．45° C．60° D．120° 3.设点，若三点共线，则实数的值为_______． 4.如图直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 5.设直线的斜率为，且，求直线的倾斜角的取值范围（ ） A． B． C． D． 6．直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为________. 题型二：两直线平行的判定 【例1】下列说法中正确的是（       ） A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行 B．若，则 C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交 D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行 【例2】判断下列不同的直线与是否平行. （1）的斜率为2，经过，两点； （2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点； （3）经过，两点，经过，两点． 【题型专练】 1.(多选)下列直线l1与直线l2平行的有（ ） A．直线l1经过点A(2，1)，B(-3，5)，直线l2过点C(3，-3)，D(8，-7) B．直线l1经过点A(0，1)，B(-2，-1)，直线l2过点C(3，4)，D(5，2) C．直线l1经过点A(1，)，B(2，2)，直线l2的倾斜角为60°且过原点 D．直线l1经过点A(0，2)，B(0，1)，直线l2的斜率为0 题型三：两直线垂直的判定 【例1】判断下列直线与是否垂直. （1）的斜率为，经过点，； （2）的倾斜角为，经过，两点； （3）经过，两点，经过，两点． 【题型专练】 1.过点，的直线与过点，的直线垂直，则的值为（ ） A． B．2 C． D． 题型四：平行垂直在几何中的运用 【例1】在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________． 【例2】已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为________. 【题型专练】 1.如图，在矩形中，，直线的斜率为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 2.已知A(-4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(-3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，则四边形ABCD的形状是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形 直线的方程 考点一：直线的点斜式方程 设直线l经过一点，斜率为，则方程叫作直线l的点斜式方程. 注意：当直线的斜率不存在时，其直线方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于，所以直线方程可以写为 考点二：直线的斜截式方程 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. 考点三：直线的两点式方程 设直线l经过两点， ，则方程叫作直线l的两点式方程. 注意：①当时，直线方程为 (或). ②当时，直线方程为 (或). 考点四：直线的截距式方程 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. 注意：当直线在x轴上的截距、y轴上的截距都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 考点五：直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 注意：对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)， 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. 题型一：求直线的方程 【例1】方程表示（       ） A．通过点的所有直线 B．通过点且不垂直于y轴的所有直线 C．通过点且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点且除去x轴的所有直线 【例2】写出满足下列条件的直线的方程. （1）经过点，斜率是； （2）经过点，且与x轴垂直； （3）斜率是，在y轴上的截距是7； （4）经过，两点； （5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行； （6）在x轴、y轴上的截距分别是4，． 【例3】下面说法正确的是（ ）. A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．不经过原点的直线都可以用方程表示 C．经过定点的直线都可以用方程表示 D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示 【例4】过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程为（       ） A． B．或 C． D．或 【例5】过点且与直线平行的直线方程是（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.【多选】下列说法正确的是（       ） A．＝k不能表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线方程 B．在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 C．直线y＝kx+b与y轴的交点到原点的距离为b D．过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线方程为 2.过点且与直线垂直的直线方程为（       ） A． B． C． D． 3.若直线过点，则直线的方程为（       ） A． B． C． D． 4.【多选】下列说法错误的是（       ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过，两点的所有直线的方程为 D．直线的倾斜角的取值范围是 题型二：直线过定点问题 【例1】直线恒过定点（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.不论为何实数，直线恒过一个定点，则这个定点的坐标为（       ） A． B． C． D． 2．直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（　　） A． B． C． D． 题型三：直线的图像问题 【例1】（全国高二课时练习）直线经过第二、三、四象限，则斜率和在轴上的截距满足的条件为（ ） A．， B．， C．， D．， 【题型专练】 1．在直角坐标系中，直线经过（ ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限 2．方程表示的直线可能是 A． B． C． D． 题型四：直线方程在几何中运用 【例1】已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），试求： （1）边AC所在直线的方程； （2）BC边上的中线AD所在直线的方程； （3）BC边上的高AE所在直线的方程. 【例2】【多选】下列说法正确的是（     ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 B．若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为 C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或 D．过两点的直线方程为 【题型专练】 1.一条光线沿直线入射到轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）. A． B． C． D． 2.△ABC的三个顶点是，，，求： （1）边BC上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程； （3）边BC的垂直平分线的方程． 直线的交点坐标与距离公式 考点一： 两点的中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为， 则的中点坐标公式． 考点二： 两点间的距离公式 设，则 考点三：点到直线距离公式 设，，则点到直线的距离． 考点四：两平行线间距离公式 ，，则的距离为． 考点五：两条直线的交点坐标计算 ①两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. 题型一：两直线的交点问题 【例1】直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为（ ） A．(－1，1) B．(1，－1) C．(1，1) D．(－1，－1) 【例2】斜率为2，且过直线和直线交点的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（       ） A． B． C． D． 2.直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为____． 题型二：直线的三种距离问题 【例1】若直线与交于点A，且，则___________． 【例2】点到直线的距离为 【例3】已知两直线与，则与间的距离为（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.若直线x＋3y－9＝0与直线x＋3y－c＝0的距离为，则c的值为（ ） A．－1 B．19 C．－1或19 D．1或－19 2.点P在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值为（ ） A． B．2 C． D．2 3.【多选】若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为（ ） A．0 B． C．5 D．－ 4.两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________. 题型三：交点和距离在几何中的综合运用 【例1】设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是______． 【例2】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)． （1）判断△ABC的形状； （2）求△ABC的面积． 【题型专练】 1.若直线m经过直线与直线的交点，且点到直线m的距离为1，则直线m的方程为________． 2.两条平行线分别过点，它们分别绕旋转，但始终保持平行，则之间距离的取值范围是____． 3.（多选）已知直线，，，以下结论正确的是（ ） A．不论为何值时，与都互相垂直； B．当变化时，与分别经过定点和 C．不论为何值时，与都关于直线对称 D．如果与交于点M，则的最大值是 对称问题 考点一：点关于点的对称问题 设点关于点的对称点为，则易知点为的中点 由中点坐标公式得 ，解得的坐标为 考点二：点关于直线的对称问题 设点关于直线对称的点为，则易知直线垂直于直线，且的中点在直线上所以，解出即可求得对成点坐标． 考点三：直线关于点的对称直线问题 法一：在已知直线上取两点，利用点与点的对称方法求出对称点，再由两点式求出直线方程即可； 法二：设直线为ax+by+c=0，直线上一点为P(u, v)关于点(p, q)对称点P'坐标为(x, y)，则有x=(p+u)/2, y=(q+v)/2, 得u=2x-p, v=2y-q，代入直线方程得：a(2x-p)+b(2y-q)+c=0，即ax+by+(c-ap-bq)/2=0，这就是所求的对称直线的方程。 考点四：直线关于直线的对称直线问题 法一：特殊点法：在直线上取两点，利用点关于直线的对称方法求出对称点，再由两点式求出直线方程即可； 法二：在所求直线上设任意一点，设此点关于直线的对称点为，利用点关于直线的对称点问题解出，带入直线即可 题型一：点关于点对称问题 【例1】（点关于点对称）若点，关于直线l对称，那么直线l的方程为________. 【题型专练】 1.一条光线从点出发射向轴，经过轴上的点反射后经过点，则点的坐标为______. 题型二：点关于直线对称问题 【例1】（点关于线对称）点关于直线的对称点是______. 【例2】入射光线沿直线射向直线，被反射后的光线所在直线的方程是_____． 【题型专练】 1.原点关于的对称点的坐标为_____． 2.点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______． 题型三：直线关于点对称问题 【例1】直线关于原点对称的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【例2】直线与关于点成中心对称，若的方程是，则的方程是__________ 【题型专练】 1.直线关于点的对称直线的方程为________． 2.直线关于点对称的直线方程为____________. 题型四：直线关于直线对称问题 【例1】直线关于对称的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【例2】直线关于对称的直线方程是（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.直线关于直线的对称直线方程为__________． 2.直线关于直线对称的直线方程为___________. 圆的方程 考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 考点二：圆的标准方程 设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为： 考点三：圆的一般方程 圆的一般方程为，圆心坐标：，半径： 注意：①的系数相同，方程中无项 ②对于的取值要求： 当时，方程只有实数解．它表示一个点 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． ③二元二次方程，表示圆的充要条件是 考点四：以 为直径端点的圆的方程为 考点五： 阿波罗尼斯圆 设为平面上相异两定点，且，为平面上异于一动点且（且）则点轨迹为圆；特别的当，轨迹为中垂线； 题型一：圆的标准方程 【例1】圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3 C． D． 【例2】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（       ） A． B． C． D． 【例3】经过三个点的圆的方程为（       ） A． B． C． D． 【例4】若直线是圆的一条对称轴，则（       ） A． B． C．1 D． 【例5】过点，且圆心在直线上的圆的方程为_______． 【题型专练】 1.【多选】圆，则（       ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 2.圆关于直线对称的圆的方程为______． 3.过点，且圆心在直线上的圆的方程 。 4.△ABC顶点坐标分别为，，．则△ABC外接圆的标准方程为______． 题型二：圆的一般方程 【例1】圆的圆心C的坐标为（ ） A．（1，0） B．（－1，0） C．（2，0） D．（－2，0） 【例2】已知圆与以原点为圆心的圆关于直线对称，则（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例3】与圆同圆心，且过点的圆的方程是（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知圆方程的圆心为（       ） A． B． C． D． 2.经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是 。 题型三：由圆的定义及方程求参数 【例1】已知方程表示一个圆. (1)求实数m的取值范围； (2)求圆的周长的最大值. 【题型专练】 1.若曲线表示圆，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2.已知方程表示一个圆． 求： (1)圆半径最大时t的值； (2)圆心的轨迹方程． 点、直线与圆的位置关系 考点一：点与圆的位置关系 点与圆：的位置关系： 若在圆外，则； 若在圆上，则； 若在圆内，则． 考点二：直线与圆的位置关系 设圆心到直线的距离，圆的半径为，则 直线与圆的位置关系 几何意义 代数意义 公共点的个数 ①直线与圆相交 两个 ②直线与圆相切 一个 ③直线与圆相离 0个 注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于的一元二次方程 考点三：直线与圆相交的弦长问题 法一：设圆心到直线的距离，圆的半径为，则弦长 法二：联立直线方程与圆方程，得到关于的一元二次方程 ，利用韦达定理，弦长公式即可 题型一: 点与圆的位置关系 【例1】两个点、与圆的位置关系是（ ） A．点在圆外，点在圆外 B．点在圆内，点在圆内 C．点在圆外，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 【例2】点与圆的位置关系是（ ）． A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定 【例3】若坐标原点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.点在圆的（ ） A．圆上 B．圆内 C．圆外 D．无法判定 2.点与圆的位置关系是（ ）． A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定 3.（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ） A． B． C． D． 题型二：直线与圆的位置关系 【例1】圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（　 　） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 【例2】直线与圆的公共点个数为 （ ） A．个 B．个 C．个 D．个或个 【例3】若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例4】已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.直线：与圆：的位置关系为（       ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 2.直线和圆的位置关系为（       ） A．相交 B．相切或相交 C．相离 D．相切 3.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型三：直线与圆的弦长问题 【例1】直线被圆截得的弦长为（ ） A．1 B．2 C． D． 【例2】已知直线 与圆 交于A、B两点，若 则a=（        ） A．5 B． C． D． 【例3】直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【例4】在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.直线被圆截得的弦长为（ ） A． B． C． D． 2.直线被圆所截得的最短弦长等于（       ） A． B． C． D． 3.已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程是（ ） A． B． C．或 D．或 4.已知直线和圆的交点为A，B，且，则实数a的值为（ ） A． B． C． D． 5.已知圆，直线. （1）证明：直线与圆相交. （2）设与圆交于两点，若，求直线的倾斜角及其方程. 题型四：圆上的点到直线距离 【例1】圆上动点到直线的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 【例2】圆上到直线的距离为的点共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型专练】 1．（多选）已知直线：与圆：，则（       ） A．直线与圆相离 B．直线与圆相交 C．圆上到直线的距离为1的点共有2个 D．圆上到直线的距离为1的点共有3个 2.在圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则a的取值范围为__________． 题型五：圆中的切线 切线长和切点弦问题 【例1】【多选】过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（       ） A． B． C． D． 【例2】已知圆：，为直线：上任一点，过点作圆的切线为切点)，则最小值是____． 【例3】过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______． 【题型专练】 1.过点作圆的切线，则切线方程为（       ） A． B． C． D．或 2.过直线上任意点作圆的两条切线，切点分别为，当切线长最小时，切线长为_________；同时 的面积为_______． 3.已知圆． (1)直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)设直线与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求的面积S的最大值． 圆与圆的位置关系 考点一：圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为 ，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 考点二：圆与圆相交公共弦求法：两圆方程相减 题型一：圆与圆的位置关系 【例1】圆与圆的位置关系为（ ） A．内切 B．相切 C．相交 D．外离 【例2】“a＝3”是“圆与圆相切”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型专练】 1.（多选）若圆与圆没有公共点，则实数a的值可能是（       ） A．7 B． C．－2 D．1 2.已知圆的标准方程是，圆：关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．内含 3.已知圆和圆，若圆和有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型二：圆与圆相交公共弦问题 【例1】已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦 A． B． C． D．2 【例2】已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知圆和圆的公共弦长为，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 题型三：两圆公切线问题 【例1】设圆，圆，则圆，的公切线有（       ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【例2】写出与圆＋＝1和＋＝16都相切的一条直线的方程_______． 【题型专练】 1.若圆与圆有3条公切线，则正数（       ） A．3 B．3 C．5 D．3或3 2.写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________. 题型四: 有关圆的轨迹方程 【例1】已知动点M与两个定点，的距离的比为，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【例2】已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)． 求：(1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 【题型专练】 1.方程y＝表示的曲线是（ ） A．一个圆 B．两条射线 C．半个圆 D．一条射线 2.已知圆过三个点，， ． （1）求圆的方程； （2）过原点的动直线与圆相交于不同的、两点，求线段的中点 的轨迹． 3.圆C过点，，且圆心在直线上. （1）求圆C的方程； （2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程. 题型五：与圆有关的最值 【例1】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则 (1)的最大值和最小值分别为________和________； (2)y－x的最大值和最小值分别为________和________； (3)x2＋y2的最大值和最小值分别为_______和_______． 【题型专练】 1.若，则的取值范围为 2.已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)． (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 选择性必修1学习材料-直线与圆 直线的倾斜角与斜率 考点一：直线的倾斜角和斜率 ①直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 注意：1.规定：当直线与轴平行（或重合）时，倾斜角为 2.倾斜角的取值范围 ②直线的斜率 斜率，亦称“角系数”，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度。一条直线与某平面直角坐标系横轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率 。 如果直线与x轴垂直，直角的正切值无穷大，故此直线不存在斜率。 当直线L的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b（斜截式），k即该函数图像(直线)的斜率。 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 注意：1.当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 2.所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 3.斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度 4.越大，直线越陡峭 ③过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点， 则 当，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° ④利用斜率证三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在。 考点二：两条直线平行垂直的判定 ①两条直线平行的判定：1.当斜率存在时，且不重合 2.当两条不重合的直线斜率都不存在时，也平行。 ②两条直线垂直的判定：1.当斜率都存在时， 2.一条斜率不存在，另一条斜率为 题型一：直线的倾斜角与斜率 【例1】已知直线经过点A(2，5)，B(3，7)两点，则直线的斜率为（ ） A．2 B．-2 C． D．- 【答案】A 【解析】利用两点的斜率公式即得．故选：A 【例2】若经过，两点的直线的倾斜角为，则m等于（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】因为经过，两点的直线的倾斜角为，所以，解得. 故选：A. 【例3】已知，，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的斜率为k,则，所以倾斜角为，故选：D 【例4】已知三点，，在同一条直线上，则实数的值为（ ） A．0 B．5 C．0或5 D．0或-5 【答案】C 【解析】因为三点，，在同一条直线上，且直线斜率存在， 所以，解得或故选：C 【例5】过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是 A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】当时，直线的倾斜角为，满足题意； 当时，直线的斜率为，或， 所以或，解得或. 综上，实数的取值范围是.故选：B. 【例6】已知，，若过（-2，0）的直线与线段AB有公共点，则此直线斜率的取值范围是（ ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】C 【解析】由于直线经过定点，如图设直线与线段AB有公共点为，则在A，B之间运动， 在A点时，直线的斜率为；在B点时，直线的斜率为，故. 故选:C. 【题型专练】 1.过点，的直线的倾斜角为45°，则等于（ ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由题意可知，所以.故选：B． 2.已知直线l经过原点和两点，则直线l的倾斜角是（ ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】C 【解析】由和两点，代入斜率公式得，则直线l的倾斜角是60°.故选：C. 3.设点，若三点共线，则实数的值为_______． 【答案】 【解析】因为点三点共线，所以，解得.故答案为： 4.如图直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图象可得，直线的倾斜角为钝角，所以直线的斜率， 又由的倾斜角都为锐角，且的倾斜角大于直线的倾斜角，所以， 所以故选：D. 5.设直线的斜率为，且，求直线的倾斜角的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，直线的倾斜角为，则，因为，即，结合正切函数的性质，可得．故选：D． 6．直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为________. 【答案】 【解析】设与的倾斜角分别为，直线的斜率是，直线的斜率是，当直线由变化到与轴平行的位置时，它的倾斜角由增至90°，斜率的取值范围为 当直线由变化到的位置时，它的倾斜角由90°增至，斜率的变化范围是. 故斜率的取值范围是 题型二：两直线平行的判定 【例1】下列说法中正确的是（       ） A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行 B．若，则 C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交 D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行 【答案】C 【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案. 【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误； 若，则或，的斜率都不存在，B错误； 若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C正确； 若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误． 故选：C. 【例2】判断下列不同的直线与是否平行. （1）的斜率为2，经过，两点； （2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点； （3）经过，两点，经过，两点． 【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行. 【解析】（1）经过，两点，则， 则，可得两直线平行. （2）经过，两点，可得平行于x轴， 平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以； （3）经过，两点，， 经过，两点，则，所以. 【题型专练】 1.(多选)下列直线l1与直线l2平行的有（ ） A．直线l1经过点A(2，1)，B(-3，5)，直线l2过点C(3，-3)，D(8，-7) B．直线l1经过点A(0，1)，B(-2，-1)，直线l2过点C(3，4)，D(5，2) C．直线l1经过点A(1，)，B(2，2)，直线l2的倾斜角为60°且过原点 D．直线l1经过点A(0，2)，B(0，1)，直线l2的斜率为0 【答案】AC 【解析】A选项中，，且两直线不重合，故l1l2； B选项中，，∵∴两直线不平行； C选项中，，且两直线不重合，故l1l2； D选项中，l1斜率不存在，l2的斜率为0，∴两直线不平行. 故选：AC 题型三：两直线垂直的判定 【例1】判断下列直线与是否垂直. （1）的斜率为，经过点，； （2）的倾斜角为，经过，两点； （3）经过，两点，经过，两点． 【答案】（1）垂直；（2）垂直；（3）垂直. 【解析】（1）因为，又，所以，所以； （2）因为的倾斜角为，所以， 又因为，所以，所以； （3）因为，，所以，所以. 【题型专练】 1.过点，的直线与过点，的直线垂直，则的值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】两条直线垂直，则：，解得，故选：A． 题型四：平行垂直在几何中的运用 【例1】在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________． 【答案】0 【解析】由于正三角形的内角都为，且边BC所在直线的斜率是0，不妨设边AB所在直线的倾斜角为，则斜率为，则边AC所在直线的倾斜角为，斜率为，所以AC，AB所在直线的斜率之和为． 【例2】已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为________. 【答案】(3,4) 【解析】设顶点D的坐标为(x,y)，∵ABDC，ADBC，∴，解得，∴点D的坐标为(3,4).故答案为：(3,4). 【题型专练】 1.如图，在矩形中，，直线的斜率为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，在中，，， ∴，即. 设直线的倾斜角为，则， ∴直线的倾斜角为，故. 故选：A. 2.已知A(-4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(-3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，则四边形ABCD的形状是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形 【答案】D 【解析】∵ ∴ABCD，AD⊥AB，AD⊥CD，AD与BC不平行， ∴四边形ABCD为直角梯形.故选：D. 直线的方程 考点一：直线的点斜式方程 设直线l经过一点，斜率为，则方程叫作直线l的点斜式方程. 注意：当直线的斜率不存在时，其直线方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于，所以直线方程可以写为 考点二：直线的斜截式方程 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. 考点三：直线的两点式方程 设直线l经过两点， ，则方程叫作直线l的两点式方程. 注意：①当时，直线方程为 (或). ②当时，直线方程为 (或). 考点四：直线的截距式方程 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. 注意：当直线在x轴上的截距、y轴上的截距都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 考点五：直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 注意：对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)， 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. 题型一：求直线的方程 【例1】方程表示（       ） A．通过点的所有直线 B．通过点且不垂直于y轴的所有直线 C．通过点且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点且除去x轴的所有直线 【答案】C 【分析】根据直线的点斜式方程的知识确定正确答案. 【详解】为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点． 故选：C 【例2】写出满足下列条件的直线的方程. （1）经过点，斜率是； （2）经过点，且与x轴垂直； （3）斜率是，在y轴上的截距是7； （4）经过，两点； （5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行； （6）在x轴、y轴上的截距分别是4，． 【答案】（1）（2）（3） （4）（5）；（6） 【解析】（1）经过点，斜率是；则直线方程为，即 （2）经过点，且与x轴垂直；则直线方程为 （3）斜率是，在y轴上的截距是7；则直线方程为，即 （4）经过，两点；则斜率，所以直线方程为，即 （5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行；则直线方程为 （6）在x轴、y轴上的截距分别是4，．则直线方程为，即 【例3】下面说法正确的是（ ）. A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．不经过原点的直线都可以用方程表示 C．经过定点的直线都可以用方程表示 D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示 【答案】D 【解析】经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以A错； 不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程表示，所以B错； 经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以C错； 当时，经过点的直线可以用方程即表示， 当时，经过点的直线可以用方程，即表示， 因此经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示，所以D对； 故选：D 【例4】过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程为（       ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据直线过原点和不过原点两种情况讨论，分别设出所求直线的方程，结合过点，即可求解. 【详解】当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为， 因为直线过点，代入可得，即； 当所求直线过原点时，设直线方程为， 因为直线过点，代入可得，即， 综上可得，所求直线的方程为或. 故选：B. 【例5】过点且与直线平行的直线方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，设所求直线为，代入A点坐标，求得m值，即可得答案. 【详解】因为所求直线与直线l平行， 所以设所求直线方程为：， 又所求直线过点，代入可得，解得， 所以所求直线为，即. 故选：A 【题型专练】 1.【多选】下列说法正确的是（       ） A．＝k不能表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线方程 B．在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 C．直线y＝kx+b与y轴的交点到原点的距离为b D．过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线方程为 【答案】AD 【详解】 ＝k表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线去掉点，A正确； 在x轴，y轴上的截距分别为a，b，只有时，直线方程为，B错误； 直线y＝kx+b与y轴的交点坐标是，交点到原点的距离为，C错误； 过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线 当时，直线方程为，变形为， 当时，直线方程为，也适合方程， 所以D正确． 故选：AD． 2.过点且与直线垂直的直线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出与直线垂直的直线的斜率，利用点斜式求出直线方程. 【详解】直线的斜率，因为，故的斜率，故直线的方程为，即， 故选：B． 3.若直线过点，则直线的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知直线的过点点，可通过直线方程的截距式得出其方程为. 【详解】由直线过点，则直线的方程为即. 故选：A . 4.下列说法错误的是（       ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过，两点的所有直线的方程为 D．直线的倾斜角的取值范围是 【答案】ABC 【详解】对于A：当时，“直线与直线互相垂直”，当直线与直线互相垂直，解得或a=0，故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故A错误； 对于B：经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为：①经过原点的直线，②不经过原点，设直线在坐标轴上的截距为a，设直线方程，所以，解得，即，故B错误； 对于C：过，(且，) 两点的所有直线的方程，故C错误； 对于D：直线的倾斜角，则，由正切函数性质可知斜角的取值范围是，故B正确. 故选：ABC 题型二：直线过定点问题 【例1】直线恒过定点（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线变形为，则且，即可求出定点 【详解】将变形为：，令且，解得，故直线恒过定点 故选：A 【题型专练】 1.不论为何实数，直线恒过一个定点，则这个定点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线，即，令，得，，可得它恒过一个定点. 故答案为：. 2．直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把直线方程整理为，令，故，所以定点为， 故选：C. 题型三：直线的图像问题 【例1】（全国高二课时练习）直线经过第二、三、四象限，则斜率和在轴上的截距满足的条件为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B【解析】在平面直角坐标系中作出图象，如图所示： 由图可知：，.故选：B. 【题型专练】 1．在直角坐标系中，直线经过（ ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限 【答案】A 【解析】由，令可得，；令可得； 即直线过点，，所以直线经过一、二、三象限.故选：A. 2．方程表示的直线可能是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，排除. 当时，，此时直线与轴的交点在轴的负半轴上，排除. 当时，，此时直线与轴的交点在轴的正半轴上，排除，选. 故选：. 题型四：直线方程在几何中运用 【例1】已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），试求： （1）边AC所在直线的方程； （2）BC边上的中线AD所在直线的方程； （3）BC边上的高AE所在直线的方程. 【答案】（1）3x﹣y+9＝0（2）2x﹣3y+6＝0（3）2x﹣y+6＝0 【解析】（1）∵A（﹣3，0），C（﹣2，3）， 故边AC所在直线的方程为：， 即3x﹣y+9＝0， （2）BC边上的中点D（0，2）， 故BC边上的中线AD所在直线的方程为， 即2x﹣3y+6＝0， （3）BC边斜率k， 故BC边上的高AE的斜率k＝2， 故BC边上的高AE所在直线的方程为y＝2（x+3），即2x﹣y+6＝0. 【例2】【多选】下列说法正确的是（     ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 B．若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为 C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或 D．过两点的直线方程为 【答案】AD 【分析】根据直线的方程即位置关系分别判断. 【详解】A选项：直线与轴和轴的交点分别为和，三角形面积为，A选项正确； B选项：三条直线不能构成三角形，可得或或直线过点，解得或或，B选项错误； C选项：当直线经过坐标原点时，，当直线不经过坐标原点时，设直线方程为，代入点，即，解得，故直线为，C选项错误； D选项：由两点式方程可直接判断D选项正确； 故选：AD. 【题型专练】 1.一条光线沿直线入射到轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令得，所以直线与轴的交点为， 又直线的斜率为，所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在的直线方程为，即. 故选：B. 2.△ABC的三个顶点是，，，求： （1）边BC上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程； （3）边BC的垂直平分线的方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）BC的中点坐标为 则边BC上的中线所在直线的方程为； （2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过， 则边BC上的高所在直线的方程为； （3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为， 则边BC的垂直平分线的方程为. 直线的交点坐标与距离公式 考点一： 两点的中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为， 则的中点坐标公式． 考点二： 两点间的距离公式 设，则 考点三：点到直线距离公式 设，，则点到直线的距离． 考点四：两平行线间距离公式 ，，则的距离为． 考点五：两条直线的交点坐标计算 ①两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. 题型一：两直线的交点问题 【例1】直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为（ ） A．(－1，1) B．(1，－1) C．(1，1) D．(－1，－1) 【答案】A 【解析】由解得所以直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为(－1，1) 故选：A 【例2】斜率为2，且过直线和直线交点的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立，解得，所以两直线的交点坐标为， 所求直线方程为.整理为.故选：A 【题型专练】 1.已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，然后求出两直线的交点坐标，代入上式方程可求出，从而可求出直线方程 【详解】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为， 由，得，即和的交点为， 因为直线过点， 所以，得， 所以所求直线方程为， 故选：D 2.直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为____． 【答案】 【分析】联立方程求两直线的交点坐标，进而根据第四象限的特征即可列不等式求解. 【详解】由题意可得，解得， 且， 故答案为： 题型二：直线的三种距离问题 【例1】若直线与交于点A，且，则___________． 【答案】 【解析】联立解得，故，则．故答案为： 【例2】点到直线的距离为 【答案】 【解析】根据距离公式可得：点到直线的距离 【例3】已知两直线与，则与间的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】直线的方程可化为（使用两条平行直线间的距离公式时，x，y的系数要对应相等），显然，所以与间的距离为． 故选:D． 【题型专练】 1.若直线x＋3y－9＝0与直线x＋3y－c＝0的距离为，则c的值为（ ） A．－1 B．19 C．－1或19 D．1或－19 【答案】C 【解析】由两平行线间的距离公式，d＝＝，所以| c－9|＝10，得c＝－1或c＝19．选：C. 2.点P在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值为（ ） A． B．2 C． D．2 【答案】B 【解析】点到的距离为：，所以的最小值为．故选：B. 3.若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为（ ） A．0 B． C．5 D．－ 【答案】AB 【解析】点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为故，解得或 故选：AB 4.两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________. 【答案】 【解析】直线与直线平行，所以， 直线与直线的距离为．故答案为：． 题型三：交点和距离在几何中的综合运用 【例1】设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是______． 【答案】 【分析】由直线知过定点，又,则直线与之间距离的最大值为两定点距离.用两点间距离公式计算即可. 【详解】解：由于直线，整理得：， 故，解得， 即直线恒过点；则过点作直线，且， 则最大距离． 故答案为：． 【例2】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)． （1）判断△ABC的形状； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）△ABC是以A为直角顶点的直角三角形；（2）5． 【解析】（1）如图所示，△ABC为直角三角形，下面进行验证． 法一：∵，， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． 法二：∵． ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC． ∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． （2）由（1）中法一得|AB|＝2，|AC|＝． 又∵∠A＝90°，∴S△ABC＝|AB||AC|＝×2×＝5． 【题型专练】 1.若直线m经过直线与直线的交点，且点到直线m的距离为1，则直线m的方程为________． 【答案】或 【分析】先求出交点坐标.讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线的距离为1，即可求出直线. 【详解】方法一：由，得两直线的交点坐标为． 当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为， 则，解得， 此时直线m的方程为； 当直线m的斜率不存在时，，点到直线m的距离等于1，满足条件． 综上，直线m的方程为或． 方法二：设直线m的方程为，即，则， 解得或， 所以直线m的方程为或． 故答案为：或 2.两条平行线分别过点，它们分别绕旋转，但始终保持平行，则之间距离的取值范围是____． 【答案】 【分析】借助与的夹角和的距离表示出两平行直线之间的距离，然后根据三角函数的值域可得. 【详解】过点P作PR垂直于，垂足为R， ． 记与的夹角为，则 则 所以，即之间距离的取值范围是 故答案为： 3.（多选）已知直线，，，以下结论正确的是（ ） A．不论为何值时，与都互相垂直； B．当变化时，与分别经过定点和 C．不论为何值时，与都关于直线对称 D．如果与交于点M，则的最大值是 【答案】ABD 【解析】对于A，恒成立，恒成立，A正确； 对于B，对于直线，当时，恒成立，则过定点；对于直线，当时，恒成立，则恒过定点，B正确； 对于C，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为， 代入方程知：不在上，C错误； 对于D，联立，解得：，即， ，即的最大值是，D正确. 故选：ABD. 对称问题 考点一：点关于点的对称问题 设点关于点的对称点为，则易知点为的中点 由中点坐标公式得 ，解得的坐标为 考点二：点关于直线的对称问题 设点关于直线对称的点为，则易知直线垂直于直线，且的中点在直线上所以，解出即可求得对成点坐标． 考点三：直线关于点的对称直线问题 法一：在已知直线上取两点，利用点与点的对称方法求出对称点，再由两点式求出直线方程即可； 法二：设直线为ax+by+c=0，直线上一点为P(u, v)关于点(p, q)对称点P'坐标为(x, y)，则有x=(p+u)/2, y=(q+v)/2, 得u=2x-p, v=2y-q，代入直线方程得：a(2x-p)+b(2y-q)+c=0，即ax+by+(c-ap-bq)/2=0，这就是所求的对称直线的方程。 考点四：直线关于直线的对称直线问题 法一：特殊点法：在直线上取两点，利用点关于直线的对称方法求出对称点，再由两点式求出直线方程即可； 法二：在所求直线上设任意一点，设此点关于直线的对称点为，利用点关于直线的对称点问题解出，带入直线即可 题型一：点关于点对称问题 【例1】（点关于点对称）若点，关于直线l对称，那么直线l的方程为________. 【答案】 【解析】求得， ∵点，关于直线l对称，∴直线l的斜率1， 直线l过AB的中点，∴直线l的方程为， 即.故答案为：. 【题型专练】 1.一条光线从点出发射向轴，经过轴上的点反射后经过点，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】根据题意：关于轴的对称点为 而反射光线直线又过∴其直线为：即：， 当时，，即点的坐标为，故答案为：. 题型二：点关于直线对称问题 【例1】（点关于线对称）点关于直线的对称点是______. 【答案】 【解析】设点M（﹣1，1）关于直线l：x﹣y﹣1=0对称的点N的坐标（x，y） 则MN中点的坐标为（，），利用对称的性质得：KMN==﹣1，且 ﹣﹣1=0， 解得：x=2，y=﹣2，∴点N的坐标（2，﹣2），故答案为（2，﹣2）． 【例2】入射光线沿直线射向直线，被反射后的光线所在直线的方程是_____． 【答案】 【分析】在入射光线上取点，它关于直线的对称在反射光线上，再求得入射光线与直线的交点坐标，由两点求斜率后得直线方程． 【详解】在入射光线上取点，则关于的对称点在反射光线上， 又由得， ， 所以反射光线所在直线方程为，即． 故答案为：． 【题型专练】 1.原点关于的对称点的坐标为_____． 【答案】 【分析】设所求对称点的坐标为，由两对称点连线与对称轴垂直，两对称点连线段中点在对称轴上列方程组，解之可得． 【详解】设原点关于的对称点的坐标为， 则，解得． 要求的点()． 故答案为：． 2.点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______． 【答案】 【分析】设点(3,4)关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标是，根据垂直和中点列方程组可求出结果. 【详解】设点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为， 则，解得， 所以点（3，4）关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为． 故答案为： 题型三：直线关于点对称问题 【例1】直线关于原点对称的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】点在直线上，则在所求直线上 所求直线的斜率，则所求直线方程为故选：A 【例2】直线与关于点成中心对称，若的方程是，则的方程是__________ 【答案】 【解析】在直线上任取一点， 则关于点对称点一定在直线上， 故有，即． 故直线的方程为．故答案为：． 【题型专练】 1.直线关于点的对称直线的方程为________． 【答案】 【分析】方法一：设对称直线上一点，则将点关于点的对称点在直线上，代入即可. 方法二：显然点不在直线上，设对称直线方程为，利用点到这两条直线的距离相等解出即可. 方法三：在上任取两点，解出这两点关于的对称点，利用两点式即可得到直线方程. 【详解】方法一 ：设对称直线上一点，则点关于的对称点为，所以点在直线上，代入得． 方法二 ：易知直线关于点的对称直线与直线平行，故设为．由点到这两条直线的距离相等，得，解得（舍去）或－11，即所求直线方程为． 方法三 ：易知点，在直线上，且它们关于点的对称点分别为，，则所求直线的方程为，即． 故答案为：. 2.直线关于点对称的直线方程为____________. 【答案】 【解析】设直线关于点对称的直线方程为， 在上任取一点， 则点关于点对称的点的坐标为， 由题意可知点在直线上， 故，整理可得. 故答案为： 题型四：直线关于直线对称问题 【例1】直线关于对称的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线上一点关于直线对称点的坐标为， 则，整理可得：，， 即直线关于对称的直线方程为：. 故选：A. 【例2】直线关于对称的直线方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设所求直线上任意一点是关于直线的对称点，根据对称关系求得,代入直线的方程整理即得所求. 【详解】解：设所求直线上任意一点是关于直线的对称点， 则，解得, 由对称性得在直线上，, 即, 故选：A. 【点睛】根据“一垂直二中点”列出方程组，求得是解决问题的关键，利用轨迹方程思想方法求直线的方程也是重要的思想之一. 【题型专练】 1.直线关于直线的对称直线方程为__________． 【答案】 【分析】先求得两直线的交点坐标，然后在任取一点，求得其关于直线的对称点，即可求得答案. 【详解】联立和直线， 求得它们的交点为, 在直线取点，设其关于的对称点为， 则 ，解得， 故直线关于直线的对称的直线为AC, 其斜率为 ，直线方程为，即， 故答案为： 2.直线关于直线对称的直线方程为___________. 【答案】 【分析】结合点斜式求得直线方程. 【详解】直线的斜率为， 直线关于直线对称的直线的斜率为， 点是直线上一点， 点关于直线对称点为， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故答案为： 圆的方程 考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 考点二：圆的标准方程 设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为： 考点三：圆的一般方程 圆的一般方程为，圆心坐标：，半径： 注意：①的系数相同，方程中无项 ②对于的取值要求： 当时，方程只有实数解．它表示一个点 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． ③二元二次方程，表示圆的充要条件是 考点四：以 为直径端点的圆的方程为 考点五： 阿波罗尼斯圆 设为平面上相异两定点，且，为平面上异于一动点且（且）则点轨迹为圆；特别的当，轨迹为中垂线； 题型一：圆的标准方程 【例1】圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3 C． D． 【答案】D 【解析】根据圆的标准方程可得，的圆心坐标为，半径为，故选：D. 【例2】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接写出标准方程，即可得到答案. 【详解】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为. 故选：B 【例3】经过三个点的圆的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解. 【详解】由已知得，分别在原点、轴、轴上， ， 经过三点圆的半径为， 圆心坐标为的中点，即， 圆的标准方程为. 故选：C. 【例4】若直线是圆的一条对称轴，则（       ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 【例5】过点，且圆心在直线上的圆的方程为_______． 【答案】 【分析】设圆的标准方程为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆过点，且圆心在直线上， 则有，解得， 所以所求圆的方程为． 故答案为：. 【题型专练】 1.圆，则（       ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】ABC 【分析】由圆的方程可确定圆心，由圆心位置和直线是否过圆心可确定各个选项的正误. 【详解】对于A，由圆的方程知其圆心为，则圆关于点对称，A正确； 对于B，由A知其圆心在轴上，则圆关于轴对称，即关于对称，B正确； 对于C，过圆心，圆关于直线对称，C正确； 对于D，不过圆心，圆不关于直线对称，D错误. 故选：ABC. 2.圆关于直线对称的圆的方程为______． 【答案】 【分析】先求圆心关于直线的对称点，半径不变，可得圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆心关于直线对称的点为， 所以所求圆的方程为. 故答案为：. 3.过点，且圆心在直线上的圆的方程 。 【答案】 【解析】因为过点，，所以线段AB的中点坐标为，， 所以线段AB的中垂线的斜率为，所以线段AB的中垂线的方程为， 又因为圆心在直线上，所以，解得， 所以圆心为，所以圆的方程为.故选：C 4.△ABC顶点坐标分别为，，．则△ABC外接圆的标准方程为______． 【答案】 【解析】设圆的标准方程为，因为过点，， 所以 解得 则圆的标准方程为 故答案为： 题型二：圆的一般方程 【例1】圆的圆心C的坐标为（ ） A．（1，0） B．（－1，0） C．（2，0） D．（－2，0） 【答案】B 【解析】由圆可得，故圆心坐标为,故选：B 【例2】已知圆与以原点为圆心的圆关于直线对称，则（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】分别求得圆和原点为圆心的圆的圆心坐标，求得直线的斜率为，即的中点坐标为，结合题意，求得直线的方程，代入中点坐标，即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为， 以原点为圆心的圆的圆心坐标为， 可得直线的斜率为，且的中点坐标为， 因为圆与以原点为圆心的圆关于直线对称， 所以，即， 将点代入直线，可得. 故选：A. 【例3】与圆同圆心，且过点的圆的方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为,代入点即可求解. 【详解】设所求圆的方程为，由该圆过点，得m＝4， 所以所求圆的方程为. 故选：B 【题型专练】 1.已知圆方程的圆心为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标； 【详解】解：因为，即， 所以圆心坐标为； 故选：C 2.经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是 。 【答案】 【解析】圆的方程化简为，圆心，半径， 由条件可知设直线方程：，直线过点， 代入直线方程，所以直线方程是.故选：B 题型三：由圆的定义及方程求参数 【例1】已知方程表示一个圆. (1)求实数m的取值范围； (2)求圆的周长的最大值. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据圆的一般式与标准式的转化，根据标准式即可求解. （2）根据二次函数的性质可求解半径的最大值，进而可求圆周长的最大值. （1）原方程可化为， 若方程表示一个圆，则，解得， 即实数m的取值范围是. （2）圆的半径，当且仅当时，半径r取得最大值，所以圆的周长的最大值为. 【题型专练】 1.若曲线表示圆，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照圆的一般方程满足的条件求解即可. 【详解】或. 故选：C. 2.已知方程表示一个圆． 求： (1)圆半径最大时t的值； (2)圆心的轨迹方程． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用方程表示圆的条件，建立不等式，求出实数t的取值范围，利用圆的半径，结合二次函数的性质，即可求出该圆半径r的取值范围； （2）根据，确定圆的圆心坐标，再消去参数，根据（1）中实数t的取值范围，可求得圆心的轨迹方程． (1)在圆的方程中，有， 所以， 所以，即． 而， 当时，r取得最大值． (2)设圆心坐标为，则， 由①得：，代入②消去t得：． 由，则，即轨迹为抛物线的一段， 圆心的轨迹方程为． 点、直线与圆的位置关系 考点一：点与圆的位置关系 点与圆：的位置关系： 若在圆外，则； 若在圆上，则； 若在圆内，则． 考点二：直线与圆的位置关系 设圆心到直线的距离，圆的半径为，则 直线与圆的位置关系 几何意义 代数意义 公共点的个数 ①直线与圆相交 两个 ②直线与圆相切 一个 ③直线与圆相离 0个 注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于的一元二次方程 考点三：直线与圆相交的弦长问题 法一：设圆心到直线的距离，圆的半径为，则弦长 法二：联立直线方程与圆方程，得到关于的一元二次方程 ，利用韦达定理，弦长公式即可 题型一: 点与圆的位置关系 【例1】两个点、与圆的位置关系是（ ） A．点在圆外，点在圆外 B．点在圆内，点在圆内 C．点在圆外，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 【答案】D 【解析】将代入方程左边得， 则点在圆内，将代入方程左边得， 则点在圆外，故选：D. 【例2】点与圆的位置关系是（ ）． A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】C 【解析】因为，所以点在圆外．故选：C 【例3】若坐标原点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】化为标准方程为： 把原点坐标代入圆的方程得: ,解得：,故选：D. 【题型专练】 1.点在圆的（ ） A．圆上 B．圆内 C．圆外 D．无法判定 【答案】A 【解析】将点的坐标代入圆的方程即，∴点在圆上， 故选：A 2.点与圆的位置关系是（ ）． A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定 【答案】A 【解析】将点代入圆方程，得．故点在圆外，选． 3.（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由已知条件可得，即，解得.故选：AD. 题型二：直线与圆的位置关系 【例1】圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（　 　） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】利用圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系即可. 【详解】圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为，半径 圆心到直线2x+y+1＝0的距离 由，可得圆与直线的位置关系为相交. 故选：C 【例2】直线与圆的公共点个数为 （ ） A．个 B．个 C．个 D．个或个 【答案】D 【解析】将直线变形为，令，解得，所以直线过定点，因为，所以点在圆上，所以直线与圆相切或者相交 【例3】若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为，即，圆心为，半径为，所以圆心到直线得距离，解得 【例4】已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，曲线整理得，则该曲线表示圆心为，半径为的圆上半部分，直线可化为，过定点，如图，当时，曲线与直线有两个不同的交点，由，得或，所以，所以实数的取值范围是 【题型专练】 1.直线：与圆：的位置关系为（       ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】求出圆心到直线的距离，即可判断； 【详解】解：圆：的圆心为，半径， 圆心到直线：的距离， 所以直线与圆相切； 故选：A 2.直线和圆的位置关系为（       ） A．相交 B．相切或相交 C．相离 D．相切 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系列式判断. 【详解】由，得， 所以圆心为，半径为. 因为圆心到直线的距离为 ， 所以直线和圆相交. 故选：A 3.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，曲线变形得，则该曲线表示圆心为，半径为的圆下半部分，若直线与曲线有公共点，如图，当直线经过点时，曲线与直线有公共点，即，得，将直线向下平移至直线与曲线相切时，有，解得又由，则，所以实数的取值范围是 题型三：直线与圆的弦长问题 【例1】直线被圆截得的弦长为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】圆的标准方程为的圆心为，半径，圆心到直线的距离为，所以弦长，故选B 【例2】已知直线 与圆 交于A、B两点，若 则a=（        ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知是等腰直角三角形，由及勾股定理得点O到直线的距离是，故，解得． 故选：B． 【例3】直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令圆的圆心到直线l的距离为d，而圆半径为，弦AB长满足， 则有，又，于是得，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：B 【例4】在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆化简为可得圆心为 易知过点的最长弦为直径，即 而最短弦为过与垂直的弦，圆心到的距离： 所以弦 所以四边形ABCD的面积： 故选：D. 【题型专练】 1.直线被圆截得的弦长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的标准方程为的圆心为，半径，圆心到直线的距离为，即直线过圆心，所以弦长等于圆的直径，为，故选B 2.直线被圆所截得的最短弦长等于（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出直线过定点坐标，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，求出弦心距，利用勾股定理求出结果即可． 【详解】解：圆的圆心为，半径， 又直线，直线恒过定点， 当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦， 此时弦心距为． 所截得的最短弦长：． 故选：C． 3.已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为，若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意； 若直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，此时圆心到直线的距离为，解得，此时直线的方程为 故选D 4.已知直线和圆的交点为A，B，且，则实数a的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得圆的标准方程为，即圆心为，半径，因为，所以圆心在直线上，即，解得，故选C 5.已知圆，直线. （1）证明：直线与圆相交. （2）设与圆交于两点，若，求直线的倾斜角及其方程. 【答案】（1）直线，即过定点，因为，所以点在圆内部，故直线与圆相交 （2）由题意知，圆的标准方程为，圆心为，半径为，因为，所以，即，解得， 当时，直线的方程为，倾斜角为 当时，直线的方程为，倾斜角为 题型四：圆上的点到直线距离 【例1】圆上动点到直线的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最小值为，故选A 【例2】圆上到直线的距离为的点共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，，所以劣弧上有1个点到直线的距离为1，优弧上有2个，一共有3个，故选C 【题型专练】 1．（多选）已知直线：与圆：，则（       ） A．直线与圆相离 B．直线与圆相交 C．圆上到直线的距离为1的点共有2个 D．圆上到直线的距离为1的点共有3个 【答案】BD 【分析】计算圆心到直线的距离即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】由圆，可知其圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离，即， 所以直线与圆相交，故A错误，B正确， 所以圆上到直线的距离为1的点共有3个，故C错误，D正确， 故选：BD 2.在圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，因圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，所以，即，解得或 题型五：圆中的切线 切线长和切点弦问题 【例1】过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程. 【详解】解：圆，即，则圆心为，半径为1，易知点在圆外， 显然是其中一条切线. 当切线斜率存在时，设切线方程为，则，解得， 所以切线方程为.综上，切线方程为或. 故选：BC. 【例2】已知圆：，为直线：上任一点，过点作圆的切线为切点)，则最小值是____． 【答案】 【分析】根据题意易知当圆心到直线上点的距离最小时，最小，利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】圆：，圆心，半径， 设圆心到直线：的距离为， 故当圆心到直线上点的距离最小时， 即圆心到直线的距离，此时最小， 因为，所以， 故最小值是． 故答案为：. 【例3】过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______． 【答案】 【分析】由题知、，进而求解方程即可. 【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为， 所以过点作圆的两条切线，切点分别为、， 所以， 所以直线的方程为，即； 方法2：设，，则由，可得， 同理可得， 所以直线的方程为. 故答案为： 【题型专练】 1.过点作圆的切线，则切线方程为（       ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】确定点在圆上，即可求得圆心和该点连线的斜率，即得过该点的切线的斜率，由直线的点斜式方程可得答案. 【详解】将点代入中，成立， 即点在圆上， 圆心和连线的斜率为 ， 故过圆上点的切线的斜率为 ， 则切线方程为，即， 故选：C 2.过直线上任意点作圆的两条切线，切点分别为，当切线长最小时，切线长为_________；同时 的面积为_______． 【答案】     1     ## 【分析】依据题意，作出图形，如图，由于,所以当取最小值时，最小，此时与直线垂直，利用点到直线的距离公式可求出的长，从而可得的值，由圆的对称性和切线长定理可知，，从而可求出的面积 【详解】解：依据题意，作出图形，如下图： 因为直线过点且与圆相切于点A， 所以，所以， 要使得最小，则要最小， 由题可得：的最小值就是点到直线的距离． 此时，，所以 由切线的对称性可得： 所以的面积为， 故答案为：1；. 3.已知圆． (1)直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)设直线与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求的面积S的最大值． 【答案】(1)x＝－1或4x－3y＋7＝0 (2) 【分析】（1）根据直线的斜率是否存在，分别设出直线方程，再根据圆心到直线的距离等于半径，即可解出； （2）根据弦长公式求出，再根据几何性质可知，当时，点P到直线距离的最大值为半径加上圆心到直线的距离，即可解出． （1） 由题意得C（2，0），圆C的半径为3． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0， 由直线与圆C相切，得，解得，所以直线的方程为4x－3y＋7＝0． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆C相切． 综上，直线的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0． （2） 由题意得圆心C到直线的距离， 设圆C的半径为r，所以r＝3，所以， 点P到直线距离的最大值为， 则的面积的最大值． 圆与圆的位置关系 考点一：圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为 ，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 考点二：圆与圆相交公共弦求法：两圆方程相减 题型一：圆与圆的位置关系 【例1】圆与圆的位置关系为（ ） A．内切 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为 圆的圆心为，半径为 所以，所以两圆相交，故选C 【例2】“a＝3”是“圆与圆相切”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】当两圆外切时，a＝－3或a＝3；当两圆内切时，a＝1或a＝－1．再利用充分必要条件的定义判断得解. 【详解】解：若圆与圆相切， 当两圆外切时，，所以a＝－3或a＝3； 当两圆内切时，，所以a＝1或a＝－1． 当时，圆与圆相切， 所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分条件． 当圆与圆相切时，不一定成立， 所以“a＝3”是“圆与圆相切”的不必要条件． 所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分不必要条件． 故选：A 【题型专练】 1.（多选）若圆与圆没有公共点，则实数a的值可能是（       ） A．7 B． C．－2 D．1 【答案】AD 【分析】首先求出两圆的圆心和半径，然后由条件可得两圆相离或内含，由此可建立不等式求解. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径． 因为两圆没有公共点，所以两圆相离或内含，所以或， 所以或，解得或或0＜a＜2． 故选：AD 2.已知圆的标准方程是，圆：关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．内含 【答案】C 【解析】圆，表示以为圆心，半径的圆；因为圆关于直线对称。所以圆心在直线上，即，解得， 所以圆，，圆心，半径为 所以，所以 所以两圆相交，故选C 3.已知圆和圆，若圆和有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆，表示以为圆心，半径的圆； 所以圆，，圆心，半径为 所以，由于两圆有公共点，则，解得 所以两圆相交，故选C 题型二：圆与圆相交公共弦问题 【例1】已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦 A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】圆与圆两式相减得公共弦所在直线的方程为，因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，则故选：A 【例2】已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 两式相减得公共弦所在直线方程为：， 分别取，得，解得，即 故选：A 【题型专练】 1.已知圆和圆的公共弦长为，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆与圆两式相减得公共弦所在直线的方程为，因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，则，解得因，故选：A 题型三：两圆公切线问题 【例1】设圆，圆，则圆，的公切线有（       ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解． 【详解】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线． 故选：B． 【例2】写出与圆＋＝1和＋＝16都相切的一条直线的方程_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】 先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】 圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 【题型专练】 1.若圆与圆有3条公切线，则正数（       ） A．3 B．3 C．5 D．3或3 【答案】B 【分析】由题可知两圆外切，然后利用两点间的距离公式即得. 【详解】由题可知两圆外切，又圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为4， ， ∴，又， ∴. 故选：B. 2.写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________. 【答案】或或 【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4， 圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线， 易得切线的方程为， 因为，且，所以，设，即， 则到的距离，解得（舍去）或，所以， 可知和关于对称，联立，解得在上， 在上任取一点，设其关于的对称点为， 则，解得， 则，所以直线，即， 综上，切线方程为或或. 故答案为：或或. 题型四: 有关圆的轨迹方程 【例1】已知动点M与两个定点，的距离的比为，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【答案】，以为圆心2为半径的圆 【解析】设点.则，化简得： 为以为圆心2为半径的圆. 【例2】已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)． 求：(1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 【答案】（1）x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)（2）(x－2)2＋y2＝1(y≠0) 【解析】(1)方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1， 又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)． 方法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)． 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)． (2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝， 所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)． 【题型专练】 1.方程y＝表示的曲线是（ ） A．一个圆 B．两条射线 C．半个圆 D．一条射线 【答案】C 【解析】由得，即，∴曲线表示圆x2＋y2＝36在x轴上方的半圆．故选：C. 2.已知圆过三个点，， ． （1）求圆的方程； （2）过原点的动直线与圆相交于不同的、两点，求线段的中点 的轨迹． 【答案】（1）；（2）的轨迹是以为圆心，为半径的圆（点在圆内，不与边界重合）． 【解析】（1）设圆方程为， 则，解得 ， 所以圆方程为，即； （2）由（1），设，则由 得，，即 ，，． 又在圆内部，所以的轨迹是以为圆心， 为半径的圆（点在圆内部）． 3.圆C过点，，且圆心在直线上. （1）求圆C的方程； （2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）直线的斜率， 所以的垂直平分线m的斜率为1. 的中点的横坐标和纵坐标分别为，. 因此，直线m的方程为.即. 又圆心在直线上，所以圆心是直线m与直线的交点.联立方程组 ，解得 所以圆心坐标为，又半径， 则所求圆的方程是. （2）设线段的中点， M为线段的中点，则，解得 代入圆C中得， 即线段中点M的轨迹方程为. 题型五：与圆有关的最值 【例1】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则 (1)的最大值和最小值分别为________和________； (2)y－x的最大值和最小值分别为________和________； (3)x2＋y2的最大值和最小值分别为_______和_______． 【答案】（1） - （2）－2＋，－2－.（3）7＋4　7－4 【解析】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心， 为半径的圆． (1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－. (2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±，所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. （1） （3） 【题型专练】 1.若，则的取值范围为 【答案】 【解析】因为，所以所以 如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆, 的几何意义是点与点连线的斜率 如图，， ， 所以的取值范围为故选：D 2.已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)． (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 【答案】（1）6 2（2）2＋，2－. 【解析】(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8， ∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2. 又|QC|＝＝4，∴|MQ|max＝4＋2＝6， |MQ|min＝4－2＝2. (2)可知表示直线MQ的斜率k. 设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0. ∵直线MQ与圆C有交点， ∴≤2， 可得2－≤k≤2＋， ∴的最大值为2＋，最小值为2－. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$