15.2 画轴对称的图形（第二课时关于坐标轴对称的点的坐标特征）导学案2025-2026学年人教版八年级数学上册

本文围绕关于坐标轴对称的点的坐标特征展开，涵盖特征推导、应用及画图等内容。承接轴对称图形知识，为后续图形变换奠基。通过几何验证、例题讲解等环节，培养学生几何直观、推理能力等核心素养，引导学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达坐标对称问题。 该设计亮点在于借助思维导图梳理知识，采用讲练结合教法。从学生层面看，能提升其对坐标变化规律的理解与应用能力；从教师层面看，提供了清晰授课思路，利于高效备课；从课堂效果看，有效突破理解坐标特征推导等教学难点。

15.2 画轴对称的图形 （第二课时关于坐标轴对称的点的坐标特征）导学案 一、学习目标（简写版） 1. 掌握点关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标变化规律。 1. 能根据点的坐标写出其关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标。 1. 会利用坐标特征在平面直角坐标系中画出图形关于坐标轴对称的图形。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 关于 x 轴对称的点的坐标特征：点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（x，-y）（横坐标不变，纵坐标互为相反数）。 1. 关于 y 轴对称的点的坐标特征：点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为（-x，y）（纵坐标不变，横坐标互为相反数）。 1. 应用坐标特征画图：根据图形各顶点的坐标，求出其对称点的坐标，再连接对称点得到对称图形。 （二）学习难点 1. 理解坐标特征的推导过程（结合轴对称的性质，分析对应点的横、纵坐标关系）。 1. 区分关于 x 轴和 y 轴对称的坐标变化规律（避免混淆横坐标和纵坐标的变化）。 1. 运用坐标特征解决复杂问题（如已知对称点坐标求原点点坐标，或结合图形面积计算）。 三、本节内容的思维导图 四、知识点自主预习填空 1. 点（a，b）关于 x 轴对称的点的坐标为（ ， ）。 1. 点（a，b）关于 y 轴对称的点的坐标为（ ， ）。 1. 点（-2，3）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ），关于 y 轴对称的点的坐标是（ ）。 1. 若点 P（m，n）与点 Q（-m，n）关于（ ）轴对称。 1. 在平面直角坐标系中，画出图形关于坐标轴对称的图形时，需先确定原图形各（ ）的坐标，再求出其（ ）的坐标，最后描点连线。 五、详细讲解各部分知识点和要点 （一）关于 x 轴对称的点的坐标特征 1. 特征解析：在平面直角坐标系中，点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（x，-y）。 0. 变化规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数（即 “横轴不变，纵轴变号”）。 0. 几何验证：如图，取点 A（2，3），作其关于 x 轴的对称点 A'，过 A、A' 分别作 x 轴的垂线，垂足为 O，可发现 OA=OA'=3，且 A' 的坐标为（2，-3），符合（x，-y）的规律。 0. 应用：已知点的坐标，直接替换纵坐标的符号即可得到关于 x 轴对称的点的坐标。 经典例题：求点（-1，4）关于 x 轴对称的点的坐标。 解：根据关于 x 轴对称的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点（-1，4）关于 x 轴对称的点的坐标为（-1，-4）。 （二）关于 y 轴对称的点的坐标特征 1. 特征解析：在平面直角坐标系中，点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为（-x，y）。 0. 变化规律：纵坐标相同，横坐标互为相反数（即 “纵轴不变，横轴变号”）。 0. 几何验证：取点 B（-3，1），作其关于 y 轴的对称点 B'，过 B、B' 分别作 y 轴的垂线，垂足为 P，可发现 PB=PB'=3，且 B' 的坐标为（3，1），符合（-x，y）的规律。 0. 应用：已知点的坐标，直接替换横坐标的符号即可得到关于 y 轴对称的点的坐标。 经典例题：若点 M（a，-5）关于 y 轴对称的点的坐标为（-2，b），求 a 和 b 的值。 解：∵点 M（a，-5）关于 y 轴对称的点的坐标为（-a，-5）， 又∵该对称点的坐标为（-2，b）， ∴-a=-2，b=-5， 解得 a=2，b=-5。 （三）利用坐标特征画对称图形 1. 作图步骤： 0. 已知：平面直角坐标系中的图形（如△ABC）及其各顶点坐标。 0. 求作：该图形关于 x 轴（或 y 轴）对称的图形。 0. 步骤： ① 确定原图形各顶点的坐标（如 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃））； ② 分别求出各顶点关于 x 轴（或 y 轴）的对称点的坐标（如关于 x 轴的对称点为 A'（x₁，-y₁）、B'（x₂，-y₂）、C'（x₃，-y₃））； ③ 在坐标系中描出所有对称点； ④ 按原图形的连接顺序，依次连接各对称点，得到对称图形。 经典例题：在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为 A（1，2）、B（3，1）、C（2，3），画出△ABC 关于 y 轴对称的△A'B'C'。 解：① 求对称点坐标： A（1，2）关于 y 轴对称的点 A'（-1，2）； B（3，1）关于 y 轴对称的点 B'（-3，1）； C（2，3）关于 y 轴对称的点 C'（-2，3）。 ② 描点：在坐标系中描出 A'、B'、C'； ③ 连线：连接 A'B'、B'C'、C'A'，△A'B'C' 即为所求。 六、效果检测 1. 点（2，-3）关于 x 轴对称的点的坐标为（-2，-3）。（ ） 1. 点（-5，-7）关于 y 轴对称的点的坐标为（5，-7）。（ ） 1. 若点（a，b）关于 x 轴对称的点是它本身，则 b=0。（ ） 1. 点（0，-4）关于 y 轴对称的点的坐标还是（0，-4）。（ ） 1. 关于 x 轴对称的两个点，到 y 轴的距离相等。（ ） 七、本节内容的归纳总结 1. 核心规律： 0. 关于 x 轴对称：（x，y）→（x，-y）（横坐标不变，纵坐标相反）； 0. 关于 y 轴对称：（x，y）→（-x，y）（纵坐标不变，横坐标相反）。 23. 应用方法： 0. 求对称点坐标：直接根据规律变换坐标符号； 0. 画对称图形：通过 “求顶点对称坐标→描点→连线” 三步完成，确保对称点对应准确。 24. 易错提醒： 0. 区分 x 轴和 y 轴对称的坐标变化，避免 “横纵变号” 混淆； 0. 注意特殊点（如坐标轴上的点）的对称特征（如（0，y）关于 x 轴对称的点为（0，-y））。 25. 联系拓展：坐标特征是轴对称性质在坐标系中的具体体现，为后续学习图形变换打下基础。 8、 课后作业 1．下列说法正确的个数有（    ） ①点关于x轴的对称点的坐标是；②估计的值在1和2之间；③一定没有平方根；④实数与数轴上的点是一一对应的 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 3．点关于y轴对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如果点和点关于轴对称，则 ． 8．已知点与点关于轴对称，则的值为 ． 9．将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 九、答案及解析 （一）自主预习填空的答案 1. a；-b 1. -a；b 1. （-2，-3）；（2，3） 1. y 1. 顶点；对称点 （二）效果检测的答案和解析 1. （×）解析：关于 x 轴对称的点横坐标不变，纵坐标相反，应为（2，3），该说法错误。 1. （√）解析：关于 y 轴对称的点纵坐标不变，横坐标相反，（-5，-7）的对称点为（5，-7），该说法正确。 1. （√）解析：若点（a，b）关于 x 轴对称的点是本身，则 b=-b，即 b=0，该说法正确。 1. （√）解析：点（0，-4）在 y 轴上，关于 y 轴对称的点还是自身，该说法正确。 1. （√）解析：关于 x 轴对称的两个点横坐标相同，到 y 轴的距离（即横坐标的绝对值）相等，该说法正确。 （三）课后作业的答案和解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C A A C B 1．D 【分析】本题主要考查了点关于x轴对称的坐标变化，无理数的估算，平方根的定义，实数与数轴的关系．根据点关于x轴对称的坐标变化，无理数的估算，平方根的定义，实数与数轴的关系，逐一判断四个说法的正确性即可． 【详解】解：①点关于x轴的对称点的坐标是，原说法错误； ②，则的值在2和3之间，原说法错误； ③当a为负数时，为正数，有平方根，原说法错误； ④实数与数轴上的点是一一对应的，正确． 综上，只有④正确，正确个数为1． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查点关于坐标轴对称点求法，以及根据象限点去判断参数的取值范围，能根据题意找见相关的关系是解题关键． 先根据题意求出点关于轴的对称点坐标，根据点在第四象限列方程组，求解即可． 【详解】解：∵ ∴点 关于轴的对称点坐标为 ∵在第四象限 ∴ 解得： 故选：C 3．A 【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称问题，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称问题是解题的关键；因此此题可根据“点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变”，进而问题可求解． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是； 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了点的坐标—轴对称，根据关于轴对称的点的坐标规律，横坐标互为相反数，纵坐标不变，直接计算即可，熟练掌握点的坐标的关于对称的特点是解此题的关键． 【详解】解：点关于轴对称时，横坐标变为相反数，即，纵坐标保持不变，仍为，因此对称点的坐标为， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了轴对称坐标的求解，根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标不变，直接求解即可． 【详解】解：点关于轴对称时，横坐标变为相反数，即，纵坐标保持不变仍为， 因此对称点的坐标为， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了点的坐标—轴对称，根据平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标变换规律：横坐标取相反数，纵坐标不变，直接求解即可，熟练掌握关于轴对称的点的坐标变换规律是解此题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是， 故选：B． 7．20 【分析】本题考查了点坐标与轴对称“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等、纵坐标互为相反数”，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．根据在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等、纵坐标互为相反数求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴ ∴ 故答案为：20． 8． 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的特点．根据轴对称的点的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得到，的值，代入计算即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ∴， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查坐标与图形变化－平移及对称的性质；用到的知识点为：两点关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；左右平移只改变点的横坐标，右加左减． 先利用平移中点的变化规律求出点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】∵将点沿轴向左平移4个单位长度得到点， ∴点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． $$