15.3.1 等腰三角形 导学案2025-2026学年人教版数学八年级上册

本文围绕等腰三角形的定义、性质及应用展开，承接三角形基础，为后续复杂几何学习奠基。通过自主预习、例题讲解、效果检测等环节，培养学生抽象能力、推理能力、应用意识等核心素养，引导学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。 本设计亮点在于借助思维导图梳理知识，采用讲练结合教法。从学生层面看，能提升其解决问题能力；从教师角度，提供了清晰授课思路；从课堂效果而言，有效突破 “三线合一” 等教学难点。

15.3.1 等腰三角形导学案 一、学习目标（简写版） 1. 理解等腰三角形的定义，能识别等腰三角形的腰、底边、顶角和底角。 1. 掌握等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一），能运用性质解决角度和线段计算问题。 1. 会运用等腰三角形的性质进行简单的推理和证明。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 1. 等腰三角形的性质： 0. 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 0. 三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 1. 性质的应用：利用性质求角度、证明线段相等或垂直。 （二）学习难点 1. 理解 “三线合一” 的含义（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高是同一条线段）。 1. 区分 “等边对等角” 与 “等角对等边”（本节重点是等边对等角）。 1. 综合运用等腰三角形的性质解决复杂问题（如结合角平分线、垂直平分线等知识）。 三、本节内容的思维导图 四、知识点自主预习填空 1. 有（ ）的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做（ ），另一边叫做（ ）。 1. 等腰三角形中，两腰的夹角叫做（ ），腰和底边的夹角叫做（ ）。 1. 等腰三角形的性质 1：等腰三角形的（ ）相等（简称为 “（ ）”）。 1. 等腰三角形的性质 2：等腰三角形（ ）的平分线、（ ）的中线、（ ）的高相互重合（简称为 “三线合一”）。 1. 等边三角形是特殊的（ ），它的三个角都是（ ）度。 五、详细讲解各部分知识点和要点 （一）等腰三角形的定义 1. 定义解析：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。 0. 要素说明： 3. 腰：相等的两条边，如在△ABC 中，若 AB=AC，则 AB 和 AC 是腰。 3. 底边：除腰以外的第三条边，如上述△ABC 中的 BC。 3. 顶角：两腰的夹角，即∠A。 3. 底角：腰与底边的夹角，即∠B 和∠C。 0. 特殊情况：等边三角形（三边都相等）是特殊的等腰三角形，它满足 “有两边相等” 的条件，且三个角都是 60°。 经典例题：在△DEF 中，DE=DF，指出该等腰三角形的腰、底边、顶角和底角。 解：腰是 DE 和 DF，底边是 EF，顶角是∠D，底角是∠E 和∠F。 （二）等腰三角形的性质 1（等边对等角） 1. 性质内容：等腰三角形的两个底角相等（简称为 “等边对等角”）。 0. 几何语言表示：在△ABC 中，∵AB=AC，∴∠B=∠C。 0. 证明思路：如图，作顶角∠A 的平分线 AD，交 BC 于点 D。在△ABD 和△ACD 中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠B=∠C。 0. 应用：已知等腰三角形的顶角，可以求出底角（底角 =（180°- 顶角）÷2）；已知底角，可以求出顶角（顶角 = 180°-2× 底角）。 经典例题：在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=80°，求∠B 和∠C 的度数。 解：∵AB=AC，∴△ABC 是等腰三角形，∠B=∠C（等边对等角）。 ∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），∠A=80°， ∴∠B+∠C=100°， ∴∠B=∠C=50°。 答：∠B 和∠C 的度数都是 50°。 （三）等腰三角形的性质 2（三线合一） 1. 性质内容：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称为 “三线合一”）。 0. 几何语言表示：在△ABC 中，AB=AC， 8. 若 AD 是顶角∠A 的平分线，则 AD 是 BC 边上的中线，且 AD⊥BC； 8. 若 AD 是 BC 边上的中线，则 AD 是顶角∠A 的平分线，且 AD⊥BC； 8. 若 AD⊥BC，则 AD 是顶角∠A 的平分线，且 AD 是 BC 边上的中线。 0. 证明思路（以 “顶角平分线是底边上的中线和高” 为例）： 在△ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。 在△ABD 和△ACD 中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（SAS），∴BD=CD（AD 是中线），∠ADB=∠ADC=90°（AD 是高）。 0. 应用：在等腰三角形中，已知 “三线” 中的一线，可推出另外两线，简化证明过程。 经典例题：在等腰△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，若 BC=6cm，求 BD 的长度，并判断 AD 与 BC 的位置关系。 解：∵AD 是 BC 边上的中线，∴BD=CD=BC÷2=6÷2=3cm。 ∵AB=AC，AD 是 BC 边上的中线， ∴根据等腰三角形 “三线合一” 的性质，AD⊥BC。 答：BD 的长度是 3cm，AD 与 BC 垂直。 六、效果检测 1. 等腰三角形的两个底角一定相等。（ ） 1. 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。（ ） 1. 等腰三角形底边上的中线也是底边上的高，但不是顶角的平分线。（ ） 1. 等腰三角形的顶角一定小于底角。（ ） 1. 等边三角形是特殊的等腰三角形。（ ） 七、本节内容的归纳总结 1. 核心概念：等腰三角形是有两边相等的三角形，包含腰、底边、顶角、底角等要素，等边三角形是其特殊形式。 1. 关键性质： 0. 等边对等角：两底角相等，是角度计算的重要依据。 0. 三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，可简化线段相等和垂直的证明。 1. 应用方法： 0. 求角度时，利用等边对等角和内角和定理，结合顶角与底角的关系计算。 0. 证明线段关系时，巧用三线合一将中线、高、角平分线相互转化。 1. 注意事项： 0. 区分等腰三角形的腰与底边，避免混淆顶角和底角。 0. 应用三线合一时，确保针对的是等腰三角形的顶角和底边。 8、 课后作业 1．如图，为的边上一点，连接，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，是的一个外角，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，，交于点．则下列说法中，不一定正确的是（    ）    A． B．若，则 C．的面积的面积 D． 5．下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 6．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交AB于点，交AC于点，若，，则的周长是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 7．如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，那么下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在锐角中，，的垂直平分线，相交于点O，连接，，，延长交于点D，于点E，交于点G．若，，则的长为 （    ） A． B．12 C． D．16 二、填空题 9．如图，在中，点E在上，垂直平分于点D，，若，则 ． 10．如图，中，，点为中点，于点，若，则 ． 11．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，；若，则的长是 ． 12．如图，已知，，，那么 ． 三、解答题 13．如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 九、答案及解析 （一）自主预习填空的答案 1. 两边相等；腰；底边 1. 顶角；底角 1. 两个底角；等边对等角 1. 顶角；底边；底边 1. 等腰三角形；60 （二）效果检测的答案和解析 1. （√）解析：这是等腰三角形的基本性质 “等边对等角”，该说法正确。 1. （√）解析：若等腰三角形的顶角是 60°，则底角为（180°-60°）÷2=60°；若底角是 60°，则顶角为 180°-2×60°=60°，三个角都是 60°，是等边三角形，该说法正确。 1. （×）解析：根据三线合一，等腰三角形底边上的中线也是顶角的平分线和底边上的高，该说法错误。 1. （×）解析：等腰三角形的顶角可以大于、等于或小于底角（如顶角 100°，底角 40°），该说法错误。 1. （√）解析：等边三角形满足 “有两边相等”，是特殊的等腰三角形，该说法正确。 （三）课后作业的答案和解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D C D C D A 1．D 【分析】本题考查了等边对等角，根据，得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 2．D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的定义和性质等知识，等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，再根据三角形外角的定义和性质即可求出答案. 【详解】解：∵， ∴． ∵是的一个外角， ∴， 故选：D 3．D 【分析】本题考查斜边上的中线，等边对等角，三角形的外角，斜边上的中线得到，进而得到，三角形的外角，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴； 故选D． 4．C 【分析】本题考查了三角形全等的性质和判定，角平分线的定义，三角形的中线，等角对等边．A、根据三角形内角和定理可得，然后根据、分别平分、，可得，再根据三角形内角和定理即可进行判断；B、延长至G，使，连接，根据证明，则可得，，然后根据等角对等边可得，再根据等腰三角形三线合一即可进行判断；C、当是的中线时，的面积的面积，进而可以进行判断；D、如图，作的平分线交于点G，易得，，通过证明，，得出，，即可解答；熟练掌握相关知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：A、中，， ， ∵、分别平分、， ， ． 故A选项正确，不符合题意； B、如图，延长至G，使，连接，    又，， ， ， 又， ， ， 又， ， ， 故B选项正确，不符合题意： C、当是的中线时，的面积的面积，题干所给条件无法证明， 故C选项不一定正确，符合题意； D、如图，作的平分线交于点G，由A选项得，   ，， ， ，， ，， ，， ， 故D选项正确，不符合题意． 故选：C 5．D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的判定条件，即至少有两个角相等或两边相等，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．由，总份数为，故，．因，则，为等腰三角形，不符合题意； B．边比例，说明，故为等腰三角形，不符合题意； C．，，则．因，则，为等腰三角形，不符合题意； D．由，结合内角和，得，即，．但无法确定与是否相等，例如，时，不为等腰三角形．符合题意． 故选：D． 6．C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质．根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，从而得到，进而得到，再根据三角形周长公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴的周长为． 故选：C 7．D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是根据特殊三角形中边和角之间的关系，判断三角形中角之间的关系． 【详解】解：A选项：在中，， ， ， ， ， ， 故A选项一定成立； B选项：在中，，是边上的中线， ， ， 由A选项可知， ， 故B选项一定成立； C选项：是的外角， ， 由B选项可知， ， ， 故C选项一定成立； D选项：当时，是等边三角形， ， 平分， 则有， 若，则不成立， 故D选项不一定成立． 故选：D． 8．A 【分析】由线段垂直平分线的性质得出，，，，则可得出，，，设，，由三角形外角的定义和性质可得出，，由三角形内角和定理得出，证明，则得出，过点A作与点N，由等腰三角形三线合一的性质得出，再得出，即可得出，，再结合已知条件可得出答案． 【详解】解：∵，垂直平分，， ∴，，，， ∴，，， 设，， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 则， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 过点A作与点N， 则， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的综合问题，三角形内角和定理以及外角的定义和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 9．/30度 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三线合一，垂直的定义，三角形的内角和为，掌握知识点是解题的关键；由垂直平分，得，，继而求出，根据，可得，即可解答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 10．28 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵，点为中点，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．4 【分析】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定定理求出，再根据线段垂直平分线的性质求出． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， 故答案为：4． 12．/度 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，平行线的性质，等边对等角，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，先证明，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$