15.2 画轴对称的图形（第一课时 画轴对称的图形）导学案2025-2026学年人教版八年级数学上册

本文围绕画轴对称图形展开，聚焦掌握作图方法、理解原理及应用。承接图形性质相关知识，为解决对称问题奠基。通过详细讲解、例题练习等，培养学生几何直观、推理能力等核心素养，引导学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。 该设计亮点在于以思维导图、自主预习填空等多样形式展开。从学生层面看，能提升其对知识的理解与应用能力；从教师层面看，提供了清晰授课思路，助力高效备课；从课堂效果看，有效突破教学难点。

15.2 画轴对称的图形 （第一课时 画轴对称的图形）导学案 一、学习目标（简写版） 1. 掌握画一个图形关于某条直线成轴对称的图形的方法，能准确完成作图。 1. 理解画轴对称图形的原理（利用轴对称的性质：对应点连线被对称轴垂直平分）。 1. 会运用画轴对称图形的方法解决简单的几何问题（如补全轴对称图形、设计对称图案等）。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 画轴对称图形的步骤：确定关键顶点→作各顶点关于对称轴的对称点→连接对称点得到对称图形。 1. 作对称点的方法：过已知点作对称轴的垂线并延长，使对称轴两侧的线段相等，垂足为中点。 1. 依据：轴对称的性质（对称轴垂直平分对应点的连线）。 （二）学习难点 1. 准确找到图形的关键顶点（尤其是不规则图形或复杂图形）。 1. 规范使用尺规作对称点（确保垂线准确、对应点到对称轴的距离相等）。 1. 结合图形特征优化作图步骤（如利用图形的对称性减少作图量）。 三、本节内容的思维导图 四、知识点自主预习填空 1. 画一个图形关于某条直线的对称图形时，关键是作出原图形各（ ）的对称点。 1. 作点 A 关于直线 l 的对称点 A' 的方法：过点 A 作直线 l 的（ ），垂足为 O，在直线 l 的另一侧截取（ ），则点 A' 即为点 A 关于 l 的对称点。 1. 对称点的连线被对称轴（ ），且对称点到对称轴的（ ）相等。 1. 连接对称点时，需按照原图形中各点的（ ）依次连接，才能保证图形的形状不变。 1. 已知一个图形和对称轴，画其对称图形的依据是（ ）的性质。 五、详细讲解各部分知识点和要点 （一）画轴对称图形的原理 1. 原理解析：根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。因此，要画出一个图形关于某条直线的对称图形，只需作出原图形上所有关键点的对称点，再按原图形的连接方式连接这些对称点即可。 0. 关键点：对于多边形，关键点是各顶点；对于曲线形图形（如圆、扇形），关键点是圆心、端点、弧上的特殊点等。 0. 核心：确保每个对称点都满足 “到对称轴的距离相等” 且 “连线与对称轴垂直”。 经典例题：为什么画轴对称图形时，只需作出关键点的对称点？ 解：因为图形由线段或曲线连接关键点而成，只要关键点的对称点位置准确，按原顺序连接后，对应线段和对应角必然相等，图形的形状和大小就与原图形关于对称轴对称，因此无需对每一条边单独作图。 （二）画轴对称图形的步骤（以多边形为例） 1. 具体步骤： 0. 已知：一个多边形和一条直线（对称轴）。 0. 求作：该多边形关于这条直线的对称图形。 0. 作法： ① 确定关键点：找出多边形的所有顶点； ② 作第一个顶点的对称点：过这个顶点作对称轴的垂线，标记垂足，在对称轴的另一侧，以垂足为起点，截取与该顶点到垂足距离相等的线段，线段的另一端点就是这个顶点的对称点； ③ 同理操作：按照同样的方法，分别作出多边形其他所有顶点关于对称轴的对称点； ④ 连接对称点：按照原多边形中各顶点的连接顺序，依次连接所作的所有对称点，得到的图形就是原多边形关于这条直线的对称图形。 0. 验证：测量对称点到对称轴的距离，可确认距离相等；对比原图形与所作图形的对应线段长度和对应角大小，可确认图形全等。 经典例题：已知一个四边形和一条直线，画出该四边形关于这条直线的对称图形。 解：① 确定关键点：找出四边形的四个顶点；② 作对称点：分别过每个顶点作已知直线的垂线，在直线另一侧截取与原顶点到垂足距离相等的线段，得到四个对称点；③ 连接对称点：按原四边形顶点的连接顺序，依次连接四个对称点，所得四边形即为所求（保留作图时的垂线和截取痕迹）。 （三）作对称点的方法（尺规作图） 1. 作点关于直线的对称点： 0. 已知：一个点和一条直线（对称轴）。 0. 求作：这个点关于这条直线的对称点。 0. 作法： ① 以已知点为圆心，取适当长度为半径画弧，使弧与已知直线相交于两点； ② 分别以这两个交点为圆心，以大于两交点间距离一半的长度为半径画弧，使两弧在已知直线的另一侧相交于一点； ③ 这个交点就是已知点关于这条直线的对称点。 （四）补全轴对称图形 1. 补全方法：已知图形的一半和对称轴，找出已知部分的关键点，作出其对称点，再连接对称点补全图形。 0. 示例：已知轴对称图形的左半部分和对称轴 y 轴，补全右半部分时，只需将左半部分各顶点关于 y 轴的对称点画出，再连接即可。 六、效果检测 1. 画轴对称图形时，只需作出图形边缘上任意一点的对称点即可。（ ） 1. 对称点到对称轴的距离一定相等。（ ） 1. 作点关于直线的对称点时，所作垂线必须经过该点。（ ） 1. 连接对称点的顺序可以与原图形不同。（ ） 1. 利用尺规作对称点时，不需要保留作图痕迹。（ ） 七、本节内容的归纳总结 1. 核心方法：画轴对称图形的关键是 “作对称点”，步骤可概括为 “找点→作点→连线”。 1. 作对称点的要点：过已知点作对称轴的垂线，在另一侧截取等长线段，确保 “垂直” 和 “等距”。 1. 注意事项： 0. 准确识别关键点（顶点、端点等），避免遗漏； 0. 严格按尺规作图要求操作，保留痕迹； 0. 连接对称点时遵循原图形顺序，保证图形形状正确。 26. 应用价值：通过画轴对称图形，加深对轴对称性质的理解，为设计对称图案、解决对称相关问题奠定基础。 8、 课后作业 1．在如图所示的正方形网格中，画出格点，使得与成轴对称，则不同位置的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图，在的正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，若将剩余的白色小正方形再涂黑一个，使得到的图形是轴对称图形，满足条件的涂法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．则在网格中，能画出与成轴对称的格点三角形个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形，在图中最多能画出（ ）个格点三角形与△ABC成轴对称． A．4 B．5 C．6 D．7 5．下列几何图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正五边形 D．正八边形 6．如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 7．如图，在中，，，沿过点B的直线折叠三角形，使顶点C落在边上的点E处，折痕为，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则 ． 9．如图，点，分别在长方形纸片的边，上，将纸片沿对折，点，分别落在点，，交于点．若，则 （用含的式子表示）． 10．如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点C落在点的位置，点D落在点的位置，的延长线交于点G．若，则的度数为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 九、答案及解析 （一）自主预习填空的答案 1. 关键点（或顶点） 1. 垂线；OA'=OA（O 为垂足） 1. 垂直平分；距离 1. 连接顺序 1. 轴对称（或对应点连线被对称轴垂直平分） （二）效果检测的答案和解析 1. （×）解析：需作出所有关键点的对称点，仅一点无法确定图形形状，该说法错误。 1. （√）解析：这是轴对称的基本性质，对称点到对称轴的距离相等，该说法正确。 1. （√）解析：作对称点时，垂线必须过已知点才能确保对称点与原点点的连线被对称轴垂直平分，该说法正确。 1. （×）解析：连接顺序不同会导致图形变形，必须与原图形一致，该说法错误。 1. （×）解析：尺规作图需保留痕迹以验证正确性，该说法错误。 （三）课后作业的答案和解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D D B C C D D 1．D 【分析】此题考查利用轴对称设计图案，解题关键在于掌握作图法则．根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形． 【详解】解：如图所示： 因此共有6个不同位置， 故选：D． 2．D 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．利用轴对称图形定义进行补图即可． 【详解】解：如图所示： 共4种， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了轴对称图形，根据题意作出图形是解答本题的关键． 根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可． 【详解】解：如图所示：与成轴对称的格点三角形一共4个， 故选：B． 4．C 【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 5．C 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意； B、菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意； C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； D、正八边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后可与原图重合． 6．D 【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案． 【详解】解：符合题意的三角形如图所示： 满足要求的图形有4个 故选：D 【点睛】本题主要考查利用轴对称来设计轴对称图形，关键是要掌握轴对称的性质和轴对称图形的含义． 7．D 【分析】此题考查了折叠的性质，全等三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 根据折叠的性质得到，，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，连接 ∵沿过点B的直线折叠三角形，使顶点C落在边上的点E处 ∴，，故A，B正确； ∴ ∵ ∴故C正确； ∴ ∴ ∴，故D错误． 故选：D． 8．124 【分析】本题考查了邻补角的定义，折叠的性质，平行线的性质等知识，先根据邻补角的定义求出，再根据折叠的性质求出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解∶根据题意，得， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶124． 9． 【分析】本题考查的是折叠的性质和平行线的性质，掌握折叠的性质，折叠后折叠部分的角与折叠前的角度相等，平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补． 利用图形翻折的性质得到翻折重叠的角相等和平行线的知识即可解答． 【详解】解：由折叠，得 ， ∵， ∴，， 即， ∴． 故答案为：． 10．/65度 【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是正确理解折叠的性质．由长方形对边平行，可得内错角相等，结合折叠的性质和三角形的内角和定理，计算即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：． $$