第22章二次函数第9课时二次函数与一元二次方程(2)——利用图象解决问题 暑假预习 2025—2026学年人教版数学九年级上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第9课时二次函数与一元二次方程(2)——利用图象解决问题-图象与abc的关系 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与字母系数a，b，c之间的关系： ①当a＞0时，图象开口向上，当a＜0时，图象开口向下；②若对称轴在y轴的左边，则a，b同号，若对称轴在y轴的右边，则a，b异号，简称“左同右异”；③若抛物线与y轴的正半轴相交，则c＞0，若抛物线与y轴的负半轴相交，则c＜0，若抛物线经过原点，则c＝0. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图 (1)因为图象开口向上，所以a　 　0； (2)因为对称轴在y轴的左侧，所以－　 　0，又因为a　 　0，所以b　 　0； (3)因为与y轴的交点在y轴的负半轴，所以c　 　0. 知识点1：抛物线与x轴 【例1】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图.根据图象填空： (1)抛物线的对称轴是　 　； (2)当x＝　 　时，y＝0； (3)当　 　时，y＞0； (4)当　 　时，y＜0. 知识点2：抛物线与一般的直线 【例2】 如图，直线y1＝x＋m和抛物线y2＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，则 (1)当x＝　 　时，y1＝y2； (2)当　 　时，y1＞y2； (3)当　 　时，y1＜y2. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 2.二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3.已知函数的图象如图，下列个结论，其中正确的结论有(    )            A. B. C. D. 4.二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 5.抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断： ；；；若点，均在抛物线上，则；其中正确的个数是  (    ) A. B. C. D. 二、填空题： 6.已知二次函数的图象如图所示，则点在第          象限． 7.抛物线为常数的顶点为，且抛物线经过点，，，下列结论： ， ， ， 时，存在点使为直角三角形． 其中正确结论的序号为______． 8.如图，已知二次函数为常数，且的图象顶点为，经过点有以下结论：；；时，随的增大而减小；对于任意实数，总有其中结论正确的是          填序号． 9.如图，观察二次函数的图象，下列结论：，，，的实数其中正确的结论是______填写序号． 10.二次函数的图象如图所示，回答下列问题： 抛物线开口          ，            ； 抛物线的对称轴在轴          ，           ，            抛物线与轴负半轴相交，则            ，            ； 抛物线与轴有          个不同的交点，            ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与轴交于点，与轴的交点在之间包含端点． 分析并判断结论，用“”，“”或“”填空：                                                                                                    求证：对于任意实数，总成立 求证：．   12.如图，抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于，两点，与轴的交点的纵坐标值在之间包含端点． 判断下列结论的正误．  (    ) (    ) (    ) 二次函数的最大值为(    ) (    ) (    ) 当时，(    ) (    ) 若点，点是函数图象上的两点，则(    ) 证明下列结论． 对于任意实数，总成立 ． 13.已知二次函数的图象如图所示，在以下四个结论中，试判断哪些是正确的，哪些是错误的，并说明理由． ； ； ； ． 14.已知二次函数的图象如图所示，有以下结论： 直接写出与的关系______； ______； ______；填“”、“”或“” 若点和在该图象上，且，则的取值范围是______； 若，且该函数与轴交于，当时，的取值范围是______． 15.已知二次函数的图象如图所示，在以下四个结论中，试判断哪些是正确的，哪些是错误的，并说明理由． ； ； ； ．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第9课时二次函数与一元二次方程(2)——利用图象解决问题-图象与abc的关系 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与字母系数a，b，c之间的关系： ①当a＞0时，图象开口向上，当a＜0时，图象开口向下；②若对称轴在y轴的左边，则a，b同号，若对称轴在y轴的右边，则a，b异号，简称“左同右异”；③若抛物线与y轴的正半轴相交，则c＞0，若抛物线与y轴的负半轴相交，则c＜0，若抛物线经过原点，则c＝0. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图 (1)因为图象开口向上，所以a　>　0； (2)因为对称轴在y轴的左侧，所以－　<　0，又因为a　>　0，所以b　>　0； (3)因为与y轴的交点在y轴的负半轴，所以c　<　0. 知识点1：抛物线与x轴 【例1】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图.根据图象填空： (1)抛物线的对称轴是　直线x＝－1　； (2)当x＝　－3或1　时，y＝0； (3)当　x＜－3或x＞1　时，y＞0； (4)当　－3＜x＜1　时，y＜0. 知识点2：抛物线与一般的直线 【例2】 如图，直线y1＝x＋m和抛物线y2＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，则 (1)当x＝　1或3　时，y1＝y2； (2)当　1＜x＜3　时，y1＞y2； (3)当　x＜1或x＞3　时，y1＜y2. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  2.二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A  【解析】解：由函数图象可知，对称轴在和之间，图象与轴的交点，函数与轴有两个不同的交点， ，； ； ； 当时，，即； 当时，，即； ，即； 只有是正确的； 故选：． 由函数图象可知，对称轴在和之间，图象与轴的交点，函数与轴有两个不同的交点；即可得出，；；再由图象可知当时，，即；当时，，即；即可求解． 本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出，，，，对称轴的关系是解题的关键． 3.已知函数的图象如图，下列个结论，其中正确的结论有(    )            A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型． 根据二次函数的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征逐项判断即可． 【解答】 解：由抛物线的对称轴可知：  ，． 由抛物线与轴的交点可知：，，故正确；   ，，由图可知，，，故错误； 由关于直线对称点为，关于直线对称点为，，，，故错误； 由可知：，故正确； 由图象可知：，，，故正确． 故选B． 4.二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由图象可得：，，与轴的交点为，， 对称轴为，，故B选项错误； ，，故D选项正确； ，故C选项错误； 当时，，故选项A错误， 故选：． 根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可． 本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键． 5.抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断： ；；；若点，均在抛物线上，则；其中正确的个数是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，二次函数与方程，二次函数与不等式的关系解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型由对称轴与轴的位置关系，可得出的符号，再结合图象与轴交点的位置，可得出的符号，即可判断的符号；由图象与轴交点的情况，可判断的符号；令，看函数值的符号，即可判断与的大小关系；比较两点与对称轴的距离，结合图象的开口方向，可得出结论；由对称轴位置可得与的等量关系，再由图象经过点，得关于，，的一个等量关系，进而转化得到与的等量关系，分别将，用含的式子代入中，结合的符号即可判断． 【解答】 解：抛物线对称轴，经过， ，， ，， 开口相上，即， ，， ， 故错误， 抛物线与轴有交点， ，故正确， 抛物线与轴交于一， ，故正确， 点一，，均在抛物线上， 根据抛物线的对称性，，也在抛物线上， ，则；故错误， ，故正确， 故选B． 二、填空题： 6.已知二次函数的图象如图所示，则点在第          象限． 【答案】一  【解析】解：抛物线开口向下， 对称轴在轴左侧， 图象与轴的交点在正半轴上， ， ，， 点在第一象限． 7.抛物线为常数的顶点为，且抛物线经过点，，，下列结论： ， ， ， 时，存在点使为直角三角形． 其中正确结论的序号为______． 【答案】  【解析】解：将，，代入解析式， 对称轴， ， ， ， ， ， ， ， ；错误； 当时，， ，正确； ，正确； 时，， 抛物线经过点 ， 若为直角三角形，则为等腰直角三角形， 的直线解析式的， ， 解得或 对称轴在轴的右侧， ， 不存在点使为直角三角形． 错误； 故答案为； 由已知可以确定，，； ； 当时，，即； ； 时，，则为等腰直角三角形，，求出不符合题意； 本题考查二次函数的图象及性质；能够熟练掌握二次函数的图象，根据给出的点判断函数系数，，的取值情况是解题的关键． 8.如图，已知二次函数为常数，且的图象顶点为，经过点有以下结论：；；时，随的增大而减小；对于任意实数，总有其中结论正确的是          填序号． 【答案】  【解析】略 9.如图，观察二次函数的图象，下列结论：，，，的实数其中正确的结论是______填写序号． 【答案】  【解析】解：抛物线开口向下， ； 抛物线的对称轴为直线， ； 抛物线与轴的交点在轴的上方， ， ，所以正确； 当时，，即， ，所以正确； 当时，，即，所以正确； 抛物线的对称轴为， 不一定成立， 不一定成立，所以错误． 故答案为． 由抛物线开口向下得到；由抛物线的对称轴为直线得到；由抛物线与轴的交点在轴的上方得到，则；观察图象得到当时，，即；当时，，即；根据二次函数的最值问题得到不一定成立． 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数的图象为一条抛物线，当，抛物线的开口向下，当时，函数值最大；抛物线与轴的交点坐标为． 10.二次函数的图象如图所示，回答下列问题： 抛物线开口          ，            ； 抛物线的对称轴在轴          ，           ，            抛物线与轴负半轴相交，则            ，            ； 抛物线与轴有          个不同的交点，            ． 【答案】(1)向上  ;​​​​​​​  (2)右侧 ;> ;<  (3)    ;>  (4)两 ;​​​​​​​  三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与轴交于点，与轴的交点在之间包含端点． 分析并判断结论，用“”，“”或“”填空：                                                                                                    求证：对于任意实数，总成立 求证：． 【答案】 证明：，设顶点坐标为， ，且， 对于任意实数，总成立 证明：抛物线与轴交点的纵坐标在之间，且开口向下， 顶点的纵坐标大于， ． ， ．   12.如图，抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于，两点，与轴的交点的纵坐标值在之间包含端点． 判断下列结论的正误．  (    ) (    ) (    ) 二次函数的最大值为(    ) (    ) (    ) 当时，(    ) (    ) 若点，点是函数图象上的两点，则(    ) 证明下列结论． 对于任意实数，总成立 ． 【答案】解：抛物线的开口向下，， 抛物线与轴交点在轴上方，， 抛物线对称轴为直线，，， ，故错误； 抛物线与轴有两个不同交点，，故错误； ，，故正确； 当时，抛物线有最高点，即函数最大值为，故正确； 抛物线与轴一个交点为，当时，由图象得函数值小于，即，即，故错误； 抛物线与轴一个交点为，对称轴为直线，则另一交点为，，故正确； 由图象得，当函数图象位于轴上方，即，故正确； ，， ，即，故错误； ，， 点离对称轴更远， ，故错误； 故答案为：                     证明：对称轴为直线， 当时，函数取得最大值， ，即总成立； ， ， ， ， ．  【解析】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与与轴的交点问题，也考查了二次函数的性质． 首先确定出，，的符号，然后根据二次函数的图象和性质即可作出判断； 根据对称轴为直线，可得当时，函数取得最大值，可得即可得到结论； 根据，表示出，再根据，即可证得结论． 13.已知二次函数的图象如图所示，在以下四个结论中，试判断哪些是正确的，哪些是错误的，并说明理由． ； ； ； ． 【答案】解：由图象可知，， ， ， ，故错误． 令，则， ， ，故错误． 由于关于对称的点坐标为， 令，则， ，故正确． 由图象可知：， ， ，故正确．  【解析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型． 14.已知二次函数的图象如图所示，有以下结论： 直接写出与的关系______； ______； ______；填“”、“”或“” 若点和在该图象上，且，则的取值范围是______； 若，且该函数与轴交于，当时，的取值范围是______． 【答案】      或    【解析】解：由抛物线对称轴，可知， 故答案为：； 由抛物线图象可知，，，， ， 当时，， 故答案为：；； 若时，，若时，点关于对称轴对称点为，， 故答案为：或． ，且该函数与轴交于， ，，， 抛物线解析式为：，抛物线对称轴为直线，顶点坐标，当时，， 当时，的取值范围为：． 故答案为：． 根据二次函数图象和性质逐项分析判断即可． 本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是关键． 15.已知二次函数的图象如图所示，在以下四个结论中，试判断哪些是正确的，哪些是错误的，并说明理由． ； ； ； ． 【答案】(1)解：错误． 由抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，得a＜0。由，得 b＞0．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，得c＞0．∴abc＜0．   (2)错误． 观察图象发现当x＝-1时，y＜0，∴a-b＋c＜0，即b＞a＋c．   (3)正确． 观察图象，根据抛物线的轴对称性可得抛物线与x轴的正半轴的交点的横坐标大于2（或由抛物线的轴对称性，得x＝0时的函数值与x＝2时的函数值相等），于是得到当x＝2时，y＞0，即4a＋2b＋c＞0．   (4)正确． 当x＝1时，y＝a＋b＋c为最大值， 当x＝0时，y＝c。∴a＋b＋c＞c，∴a＋b＞0． 另解：由抛物线的对称轴是直线x＝1，得，∴ b＝-2a，∴a＋b＝a＋（-2a）＝-a． ∵a＜0，∴-a＞0，∴a＋b＞0．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$