第22章二次函数第8课时二次函数与一元二次方程(1)——抛物线与坐标轴的交点 暑假预习 2025—2026学年人教版数学九年级上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第8课时二次函数与一元二次方程(1)——抛物线与坐标轴的交点 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 二次函数与一元二次方程的联系 b2－4ac的符号 b2－4ac　 　0 b2－4ac　 　0 b2－4ac　 　0 二次函数的图象 a>0 a<0 抛物线与x轴的交点个数 个 个 个 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根情况 　　　　　　　　 知识点1：求二次函数与x轴、y轴的交点坐标 【例1】 已知抛物线y＝2x2－8. (1)在方程2x2－8＝0中，Δ　 　0； (2)方程2x2－8＝0有　 　实数根； (3)抛物线与x轴有　 　个交点； (4)求抛物线与坐标轴的交点坐标. 　　　　　　　　　　　　　 知识点2：根据抛物线与x轴的交点个数求参数的值或范围 【例2】已知二次函数y＝x2－2x＋k的图象与x轴有交点，求k的取值范围. 知识点3：二次函数与一元二次方程的解 【例3】 若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1,0)，(3,0)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的解为　　 　 　. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.二次函数的图象与轴交点的情况是(    ) A. 没有交点 B. 共有一个交点 C. 有两个交点 D. 有三个交点 3.抛物线与轴有两个交点，其中一个交点的坐标为，那么另一个交点的坐标为  (    ) A. B. C. D. 4.若二次函数的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围为(    ) A. B. C. 且 D. 且 5.抛物线与两坐标轴的交点个数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 6.二次函数的图象与轴的两个交点的坐标分别是______． 7.若抛物线和轴有交点，则的取值范围是          ． 8.二次函数的图象与轴的两个交点之间的距离是          ． 9.抛物线与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点的坐标是          ． 10.抛物线与轴只有一个交点，则          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.已知抛物线与轴没有交点． 求的取值范围； 试确定直线经过的象限，并说明理由． 12.如图，已知函数与的图象的交点为，在的右边． 求点、点的坐标 求的面积．   13.已知二次函数． 求证：无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点； 若图象经过原点，求二次函数的解析式． 14.若抛物线与轴有交点，求的取值范围． 15.已知抛物线与轴有两个交点，求的取值范围． 16.若二次函数的图象与轴没有交点，求的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第8课时二次函数与一元二次方程(1)——抛物线与坐标轴的交点 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 二次函数与一元二次方程的联系 b2－4ac的符号 b2－4ac　>　0 b2－4ac　＝　0 b2－4ac　<　0 二次函数的图象 a>0 a<0 抛物线与x轴的交点个数 2个 1个 0个 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 　　　　　　　　 知识点1：求二次函数与x轴、y轴的交点坐标 【例1】 已知抛物线y＝2x2－8. (1)在方程2x2－8＝0中，Δ　＞　0； (2)方程2x2－8＝0有　两个不相等的　实数根； (3)抛物线与x轴有　两　个交点； (4)求抛物线与坐标轴的交点坐标. 解：(4)当y＝0时，2x2－8＝0. 解得x1＝2，x2＝－2. 当x＝0时，y＝－8. ∴抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)和(－2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－8).　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：根据抛物线与x轴的交点个数求参数的值或范围 【例2】已知二次函数y＝x2－2x＋k的图象与x轴有交点，求k的取值范围. 解：根据题意，得Δ＝(－2)2－4k≥0. 解得k≤1. ∴k的取值范围为k≤1. 知识点3：二次函数与一元二次方程的解 【例3】 若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1,0)，(3,0)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的解为　　x1＝－1，x2＝3　　. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点．关于的一元二次方程的两实数根就是二次函数为常数的图象与轴的两个交点的横坐标．根据二次函数的对称性求出该抛物线与轴的另一个交点的坐标即可解答此题． 【解答】 解：二次函数的解析式是为常数， 该抛物线的对称轴是：． 又二次函数为常数的图象与轴的一个交点为， 根据抛物线的对称性质知，该抛物线与轴的另一个交点的坐标是， 关于的一元二次方程的两实数根分别是：，． 故选B． 2.二次函数的图象与轴交点的情况是(    ) A. 没有交点 B. 共有一个交点 C. 有两个交点 D. 有三个交点 【答案】C  3.抛物线与轴有两个交点，其中一个交点的坐标为，那么另一个交点的坐标为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  4.若二次函数的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围为(    ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】D  5.抛物线与两坐标轴的交点个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了抛物线与两坐标轴交点．注意，本题求的是“抛物线与两坐标轴的交点个数”，而非“抛物线与轴交点的个数”． 根据一元二次方程的根的判别式的符号来判定抛物线与轴的交点个数，再令，来判断与轴的交点个数即可． 【解答】 解：当时，，， 一元二次方程没有实数根，即抛物线与轴没有交点 当时，，即抛物线与轴有一个交点． 抛物线与两坐标轴的交点个数为． 故选B． 二、填空题： 6.二次函数的图象与轴的两个交点的坐标分别是______． 【答案】，  【解析】解：当时，，即， 解得，， 所以二次函数的图象与轴的交点坐标是，． 故答案为：，． 根据抛物线与轴的交点问题，通过解方程即可得到抛物线与轴的交点坐标． 本题考查了抛物线与轴的交点：从二次函数的交点式是常数，中可直接得到抛物线与轴的交点坐标，． 7.若抛物线和轴有交点，则的取值范围是          ． 【答案】且  【解析】解：抛物线和轴有交点， 解得且 8.二次函数的图象与轴的两个交点之间的距离是          ． 【答案】  【解析】解：当时，，解得，， 二次函数的图象与轴的交点坐标是，， 两个交点之间的距离是． 9.抛物线与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点的坐标是          ． 【答案】  10.抛物线与轴只有一个交点，则          ． 【答案】  三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.已知抛物线与轴没有交点． 求的取值范围； 试确定直线经过的象限，并说明理由． 【答案】解：抛物线与轴没有交点． ， 解得； ， 直线过一、三象限， ， 直线与轴的交点在轴的正半轴， 直线经过第一、二、三象限．  【解析】本题考查了抛物线和轴的交点问题以及一次函数的性质，是基础知识要熟练掌握． 根据题意的判别式小于，从而得出的取值范围即可； 根据的值，判断直线所经过的象限即可． 12.如图，已知函数与的图象的交点为，在的右边． 求点、点的坐标 求的面积． 【答案】解：由题意得解得或即交点，的坐标分别为，． 易知直线与轴交于点，即， ．   13.已知二次函数． 求证：无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点； 若图象经过原点，求二次函数的解析式． 【答案】(1)证明：Δ＝(-m)2-4(m-2)＝m2-4m+8＝(m-2)2+4＞0，∴无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点．  (2)解：把(0，0)代入y＝x2-mx+m-2，得m-2＝0，  解得m＝2．∴二次函数的解析式为y＝x2-2x．  14.若抛物线与轴有交点，求的取值范围． 【答案】解：抛物线与轴有交点，则，且，解得的取值范围为且．  15.已知抛物线与轴有两个交点，求的取值范围． 【答案】解：抛物线与轴有两个交点，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．，解得的取值范围是．  16.若二次函数的图象与轴没有交点，求的取值范围． 【答案】解：由题意得且， 解得， 所以的取值范围为．  【解析】由二次函数和根的判别式得且，解不等式即可求解． 本题考查了抛物线与轴的交点，解答本题的关键要明确：二次函数是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$