第22章二次函数第5课时二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质 暑假预习 2025—2026学年人教版数学九年级上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第22章二次函数第5课时二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 函数 y＝a(x－h)2＋k(a＞0) y＝a(x－h)2＋k(a＜0) 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 当x＝ 时，y有最 值为 . 当x＝ 时，y有最 值为 . 增减性 当x＞h时，y随x的增大而　 ； 当x＜h时，y随x的增大而　 　 当x＞h时，y随x的增大而　 　； 当x＜h时，y随x的增大而　 　 抛物线y＝a(x－h)2＋k可由y＝ax2向右(或左)平移个单位长度，再向上(或下)平移个单位长度得到. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1：画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象 【例1】在同一直角坐标系(如图)中，画出二次函数y＝x2，y＝(x－2)2－1和y＝(x＋2)2＋1的图象. x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2 y＝(x－2)2－1 y＝(x＋2)2＋1 　　　　　　　　　　　　 知识点2：抛物线y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 【例2】已知抛物线y＝(x－2)2－1. (1)开口方向：　 　； (2)对称轴：　 　； (3)顶点坐标：　 　； (4)当x　 　时，y随x的增大而增大； (5)当x＝　 　时，y有最　 　值为　 　. 知识点3：抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的关系 【例3】 将抛物线y＝2x2先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的表达式为　　 　　. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.二次函数的最小值是(    ) A. B. C. D. 2.二次函数的图象的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 3.二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是(    ) A. B. C. D. 4.把抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 5.二次函数的图象大致是  (    ) A. B. C. D. 二、填空题： 6.已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为          用“”连接 7.抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线          ． 8.如果抛物线经过，，那么的值是          ． 9.二次函数的最小值为______． 10.二次函数的顶点坐标是          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.已知二次函数． 画出函数的图象： 函数的最小值为          ； 当时，最小值为          ； 当时，最小值为          ，最大值为          ． 12.已知抛物线经过点、． 求抛物线的解析式； 直接写出不等式的解集． 13.已知抛物线经过点． 求的值； 若点，都在该抛物线上，试比较与的大小．   14.已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线都相同，顶点与抛物线相同． 求这条抛物线的解析式； 将上面的抛物线向右平移个单位长度会得到怎样的拋物线？ 若中所求抛物线的顶点不动，将拋物线的开口反向，求符合此条件的拋物线的解析式． 15.已知二次函数． 写出此函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； 当取何值时，随的增大而增大？当取何值时，随的增大而减小？ 当取何值时，函数有最大值或最小值？并求出这个最大值或最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第22章二次函数第5课时二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ A. 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 函数 y＝a(x－h)2＋k(a＞0) y＝a(x－h)2＋k(a＜0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (h，k) (h，k) 对称轴 直线x＝h 直线x＝h 最值 当x＝ h 时，y有最 小 值为 k 当x＝ h 时，y有最 大 值为 k 增减性 当x＞h时，y随x的增大而　增大　； 当x＜h时，y随x的增大而　减小 　 当x＞h时，y随x的增大而　减小　； 当x＜h时，y随x的增大而　增大 　 B. 抛物线y＝a(x－h)2＋k可由y＝ax2向右(或左)平移个单位长度，再向上(或下)平移个单位长度得到. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1：画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象 【例1】在同一直角坐标系(如图)中，画出二次函数y＝x2，y＝(x－2)2－1和y＝(x＋2)2＋1的图象. x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2 y＝(x－2)2－1 y＝(x＋2)2＋1 　　　　　　　　　　　　 知识点2：抛物线y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 【例2】已知抛物线y＝(x－2)2－1. (1)开口方向：　向上　； (2)对称轴：　直线x＝2　； (3)顶点坐标：　(2，－1)　； (4)当x　＞2　时，y随x的增大而增大； (5)当x＝　 2 　时，y有最　小　值为　－1　. 知识点3：抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的关系 【例3】 将抛物线y＝2x2先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的表达式为　　y＝2(x－5)2＋2　　. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.二次函数的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查的是二次函数的最值，，当时，时，有最小值，当时，时，有最大值根据二次项系数大于时，函数有最小值，确定答案．  【解答】 解：，对称轴是直线， 当时，有最小值． 故选B． 2.二次函数的图象的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：抛物线解析式为， 二次函数图象的顶点坐标是． 故选：． 根据顶点式可直接写出顶点坐标． 本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的顶点坐标。 3.二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 可先根据一次函数的图象判断、的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【解答】 解：、一次函数的图象与轴交于负半轴，，与二次函数的图象开口向上，即相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，，二次函数的图象开口向上，顶点为在第四象限，，，故B正确； C、二次函数的对称轴，在轴右侧，故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，，与抛物线的顶点在第四象限，相矛盾，故D错误； 故选：． 4.把抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象的平移规律是解答此题的关键． 根据“左加右减、上加下减”的平移规律进行解答即可． 【解答】 解：把抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的解析式为：． 故选：． 5.二次函数的图象大致是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  二、填空题： 6.已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为          用“”连接 【答案】  7.抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线          ． 【答案】  8.如果抛物线经过，，那么的值是          ． 【答案】  【解析】【分析】 先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性解答． 本题考查了二次函数的性质，求出对称轴并观察出点、关于对称轴对称是解题的关键． 【解答】 解：抛物线的对称轴为直线， 则点、关于对称轴对称， ． 故答案为：． 9.二次函数的最小值为______． 【答案】  【解析】【分析】 根据二次函数的性质可直接得出二次函数的最小值． 本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的顶点式，并会根据顶点式求最值． 【解答】 解：由于二次函数中，， 所以当时，函数取得最小值为， 故答案为． 10.二次函数的顶点坐标是          ． 【答案】  【解析】解：因为是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为． 故答案为：． 已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.已知二次函数． 画出函数的图象： 函数的最小值为          ； 当时，最小值为          ； 当时，最小值为          ，最大值为          ． 【答案】(1)解： -1 0 1 2 3 3 0 -1 0 3 函数图象如图所示．   (2)-1  (3)0  (4)-1;8  12.已知抛物线经过点、． 求抛物线的解析式； 直接写出不等式的解集． 【答案】解：将点、的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为； 画出抛物线大致的图象如下， 过点作直线交抛物线于点， 由抛物线的表达式知，函数的对称轴为，则点的坐标为， 则不等式的解集为．  【解析】将点、的坐标代入抛物线表达式即可求解； 画出抛物线大致的图象，过点作直线交抛物线于点，则点的坐标为，即可求解． 本题考查的是二次函数与不等式组和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解． 13.已知抛物线经过点． 求的值； 若点，都在该抛物线上，试比较与的大小． 【答案】(1)解：经过点，，解得；  (2)，当时，随的增大而增大. 点，都在该抛物线上，.   14.已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线都相同，顶点与抛物线相同． 求这条抛物线的解析式； 将上面的抛物线向右平移个单位长度会得到怎样的拋物线？ 若中所求抛物线的顶点不动，将拋物线的开口反向，求符合此条件的拋物线的解析式． 【答案】(1)解：y＝3（x＋2）2．  (2)y＝3（x-2）2．  (3)y＝-3（x-2）2．  15.已知二次函数． 写出此函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； 当取何值时，随的增大而增大？当取何值时，随的增大而减小？ 当取何值时，函数有最大值或最小值？并求出这个最大值或最小值． 【答案】(1)解：抛物线开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，-8）．  (2)当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小．  (3)当x＝3时，y有最小值，最小值是-8．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$