第22章二次函数第3课时二次函数y＝ax²＋k的图象和性质 暑假预习 2025—2026学年人教版数学九年级上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第22章二次函数第3课时二次函数y＝ax²＋k的图象和性质 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 函数 y＝ax2＋k(a＞0) y＝ax2＋k(a＜0) 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 当x＝ 时，y有最 值为 . 当x＝ 时，y有最 值为 . 增减性 当x＞0时，y随x的增大而　 　； 当x＜0时，y随x的增大而　 　 当x＞0时，y随x的增大而　 　； 当x＜0时，y随x的增大而　 　 二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的图象形状相同，只是位置不同. 函数y＝ax2＋k的图象是由抛物线y＝ax2向上(或下)平移个单位长度得到的. 知识点1：画二次函数y＝ax2＋k的图象 【例1】 在同一直角坐标系(如图)中，画出二次函数y＝2x2，y＝2x2＋1，y＝2x2－1的图象. x … －2 －1 0 1 2 … y＝2x2 y＝2x2＋1 y＝2x2－1 知识点2：二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 【例2】 已知函数y＝3x2＋4，不画图象，回答下列问题： (1)开口方向：　 　； (2)对称轴：　 　； (3)顶点坐标：　 　； (4)当x　 　时，y随x的增大而增大； (5)当x＝　 　时，y有最　 　值为　 　. 知识点3：抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2的关系 【例3】 将抛物线y＝3x2向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的表达式为 . 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线可以看作是由抛物线按下列哪种变换得到的(    ) A. 向上平移个单位长度 B. 向下平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 2.将抛物线向上平移个单位长度得到的抛物线是(    ) A. B. C. D. 3.将抛物线平移后得到抛物线，则平移方式为(    ) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向上平移个单位长度 D. 向下平移个单位长度 4.关于二次函数，下列说法正确的是(    ) A. 图象开口向下 B. 图象经过点 C. 图象的对称轴是直线 D. 最小值是 5.将抛物线向下平移个单位长度，得到抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 6.抛物线开口          填“向上”或“向下”，对称轴是          ，顶点坐标是          ，它可以看作是由抛物线          向          平移          个单位得到的． 7.将抛物线向下平移个单位长度后与轴的两个交点之间的距离为          ， 8.将抛物线向上平移个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式是          若向下平移个单位长度，则得到的抛物线对应的函数解析式是          ． 9.将抛物线向上平移个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为          ． 10.抛物线向上平移______个单位长度得到抛物线． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11. 在同一直角坐标系(如图)中，画出二次函数y＝－2x2，y＝－2x2＋3， y＝－2x2－3的图象. x … －2 －1 0 1 2 … y＝－2x2 y＝－2x2＋3 y＝－2x2－3 12. 已知函数y＝－x2－3，不画图象，回答下列问题： (1)开口方向：　 　； (2)对称轴：　 　； (3)顶点坐标：　 　； (4)当x>0时，y随x的增大而　 　； (5)当x＝　 　时，y有最　 值为　 . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13.把函数的图象向上平移个单位长度． 求所得新图象的函数解析式、顶点坐标和对称轴； 画出平移后所得的函数图象． 14.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，四边形为平行四边形． 直接写出，，三点的坐标； 若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第22章二次函数第3课时二次函数y＝ax²＋k的图象和性质 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 函数 y＝ax2＋k(a＞0) y＝ax2＋k(a＜0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，k) (0，k) 对称轴 y轴(直线x＝0) y轴(直线x＝0) 最值 当x＝ 0 时，y有最 小 值为 k 当x＝ 0 时，y有最 大 值为 k 增减性 当x＞0时，y随x的增大而　增大　； 当x＜0时，y随x的增大而　减小 　 当x＞0时，y随x的增大而　减小　； 当x＜0时，y随x的增大而　增大 　 二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的图象形状相同，只是位置不同. 函数y＝ax2＋k的图象是由抛物线y＝ax2向上(或下)平移个单位长度得到的. 知识点1：画二次函数y＝ax2＋k的图象 【例1】 在同一直角坐标系(如图)中，画出二次函数y＝2x2，y＝2x2＋1，y＝2x2－1的图象. x … －2 －1 0 1 2 … y＝2x2 y＝2x2＋1 y＝2x2－1 　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 【例2】 已知函数y＝3x2＋4，不画图象，回答下列问题： (1)开口方向：　向上　； (2)对称轴：　y轴　； (3)顶点坐标：　(0，4)　； (4)当x　＞0　时，y随x的增大而增大； (5)当x＝　 0 　时，y有最　小　值为　4　. 知识点3：抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2的关系 【例3】 将抛物线y＝3x2向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的表达式为　y＝ 3x2＋2　.　　 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线可以看作是由抛物线按下列哪种变换得到的(    ) A. 向上平移个单位长度 B. 向下平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B  2.将抛物线向上平移个单位长度得到的抛物线是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  3.将抛物线平移后得到抛物线，则平移方式为(    ) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向上平移个单位长度 D. 向下平移个单位长度 【答案】C  【解析】解：抛物线平移得到抛物线的步骤是：向上平移个单位． 故选：． 直接利用二次函数图象平移规律左加右减，上加下减进而得出答案． 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 4.关于二次函数，下列说法正确的是(    ) A. 图象开口向下 B. 图象经过点 C. 图象的对称轴是直线 D. 最小值是 【答案】D  【解析】【分析】 此题主要考查了二次函数的性质，正确把握二次函数的性质是解题关键． 分别利用二次函数的性质分析得出即可． 【解答】A. ，二次函数的图象开口向上，故A错误 B. 当时，，故B错误  易知对称轴是直线，顶点坐标是，又图象开口向上，最小值是，故C错误，D正确故选D． 5.将抛物线向下平移个单位长度，得到抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  二、填空题： 6.抛物线开口          填“向上”或“向下”，对称轴是          ，顶点坐标是          ，它可以看作是由抛物线          向          平移          个单位得到的． 【答案】向上 轴或直线 下   【解析】【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是掌握函数图象的平移规律． 根据函数解析式即可得出答案． 【解答】 解：由抛物线可知：，它的开口向上， 对称轴为轴或直线，顶点坐标为， 因为抛物线的顶点坐标为， 所以抛物线是由向下平移个单位得到的． 故答案为：向上；轴或直线；；；下；． 7.将抛物线向下平移个单位长度后与轴的两个交点之间的距离为          ， 【答案】  8.将抛物线向上平移个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式是          若向下平移个单位长度，则得到的抛物线对应的函数解析式是          ． 【答案】   【解析】解：将抛物线向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式是；将抛物线向下平移个单位长度，得到的抛物线的解析式是． 故答案为：；． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 9.将抛物线向上平移个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为          ． 【答案】  10.抛物线向上平移______个单位长度得到抛物线． 【答案】  【解析】解：设抛物线向上平移个单位长度得到抛物线， 则， 解得． 故答案为：． 根据“上加下减”的法则进行计算即可． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11. 在同一直角坐标系(如图)中，画出二次函数y＝－2x2，y＝－2x2＋3， y＝－2x2－3的图象. x … －2 －1 0 1 2 … y＝－2x2 y＝－2x2＋3 y＝－2x2－3 12. 已知函数y＝－x2－3，不画图象，回答下列问题： (1)开口方向：　向下　； (2)对称轴：　y轴　； (3)顶点坐标：　(0，－3)　； (4)当x>0时，y随x的增大而　减小　； (5)当x＝　 0 　时，y有最　大　值为　－3　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13.把函数的图象向上平移个单位长度． 求所得新图象的函数解析式、顶点坐标和对称轴； 画出平移后所得的函数图象． 【答案】(1)把函数的图象向上平移2个单位长度后所得新图象的函数解析式为，它的顶点坐标是(0，2)，对称轴是直线x＝0，即y轴.  (2)解：列表： x ··· -4 -2 0 2 4 ··· y=-x2+2 ··· -6 0 2 0 -6 ··· 描点、连线，可得平移后所得的函数y=-x2+2的图象如图所示： ​​​​​​​  14.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，四边形为平行四边形． 直接写出，，三点的坐标； 若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式． 【答案】(1)解：，，；  (2)四边形为平行四边形，，， ，，， 设平移后的抛物线为，，解得， 平移后的抛物线为20.   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$