第22章二次函数第2课时二次函数y＝ax²的图象和性质 暑假预习 2025—2026学年人教版数学九年级上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第22章二次函数第2课时二次函数y＝ax²的图象和性质 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 二次函数y＝ax2的图象和性质 函数 y＝ax2(a＞0) y＝ax2(a＜0) 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 当x＝　 　时，y有最 值为　 　 当x＝　 　时，y有最 值为　 　 增减性 当x＞0时，y随x的增大而　 　； 当x＜0时，y随x的增大而　 　　 当x＞0时，y随x的增大而　 　； 当x＜0时，y随x的增大而　 　 　　　 知识点1：画二次函数y＝ax2的图象 【例1】在同一直角坐标系(如图1－22－14－1)中，画出函数y＝x2，y＝－x2的图象. x … －2 －1 0 1 2 … y＝x2 y＝－x2 知识点2：二次函数y＝ax2的图象和性质 【例2】 已知函数y＝2x2，不画图象，回答下列问题： (1)开口方向：　 　； (2)对称轴：　 　； (3)顶点坐标：　 　； (4)当x>0时，y随x的增大而　 　； (5)当x＝　 　时，y＝0； (6)当x＝　 　时，y有最　 　值为　 　. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点(    ) A. B. C. D. 2.下列函数中，随的增大而减小的是  (    ) A. B. C. D. 3.已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是  (    ) A. B. C. D. 4.已知，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是(    ) A. B. C. D. 5.二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象为  (    ) A. B. C. D. 二、填空题： 6.已知原点是抛物线的最高点，则的取值范围是          ． 7.若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是          ． 8.已知二次函数，当时，随的增大而增大，则          ． 9.若二次函数的图象过点，则的值是          ． 10.二次函数的图象是一条          ，它的开口方向向          ，顶点坐标是          ，对称轴是          ，当时，随的增大而          ；当时，随的增大而          ；当时，有最          值，为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.在同一坐标系中画出二次函数和的图象． 12.已知抛物线经过点． 求此抛物线的函数解析式． 判断点是否在此抛物线上． 求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 13.抛物线与直线相交于点． 求与的值； 二次函数中，当时，直接写出的最小值与最大值． 14.如图，抛物线经过点 判断点是否在此抛物线上； 点在此抛物线第三象限的图象上，过点作轴交抛物线于另一点，求的面积． 15.如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． 求抛物线对应的函数解析式； 当四边形为正方形时，求线段的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第22章二次函数第2课时二次函数y＝ax²的图象和性质 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 二次函数y＝ax2的图象和性质 函数 y＝ax2(a＞0) y＝ax2(a＜0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，0) (0，0) 对称轴 y轴(直线x＝0) y轴(直线x＝0) 最值 当x＝　0　时，y有最 小 值为　0　 当x＝　0　时，y有最 大 值为　0　 增减性 当x＞0时，y随x的增大而　增大　； 当x＜0时，y随x的增大而　减小　　 当x＞0时，y随x的增大而　减小　； 当x＜0时，y随x的增大而　增大　 　　　 知识点1：画二次函数y＝ax2的图象 【例1】在同一直角坐标系(如图1－22－14－1)中，画出函数y＝x2，y＝－x2的图象. x … －2 －1 0 1 2 … y＝x2 y＝－x2 知识点2：二次函数y＝ax2的图象和性质 【例2】 已知函数y＝2x2，不画图象，回答下列问题： (1)开口方向：　向上　； (2)对称轴：　y轴　； (3)顶点坐标：　(0，0)　； (4)当x>0时，y随x的增大而　增大　； (5)当x＝　0　时，y＝0； (6)当x＝　0　时，y有最　小　值为　0　. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点(    ) A. B. C. D. 【答案】A  2.下列函数中，随的增大而减小的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  3.已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  4.已知，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  5.二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  二、填空题： 6.已知原点是抛物线的最高点，则的取值范围是          ． 【答案】  7.若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是          ． 【答案】  8.已知二次函数，当时，随的增大而增大，则          ． 【答案】  9.若二次函数的图象过点，则的值是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，是基础题，比较简单． 把点的坐标代入二次函数解析式计算即可求出的值． 【解答】 解：二次函数的图象过点， ， 解得． 故答案为． 10.二次函数的图象是一条          ，它的开口方向向          ，顶点坐标是          ，对称轴是          ，当时，随的增大而          ；当时，随的增大而          ；当时，有最          值，为          ． 【答案】抛物线             下 轴 减小 增大 大 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.在同一坐标系中画出二次函数和的图象． 【答案】解： 函数图象如图所示．   12.已知抛物线经过点． 求此抛物线的函数解析式． 判断点是否在此抛物线上． 求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【答案】解：抛物线经过点， ， ． 此抛物线的函数解析式为． 把代入得， 所以点不在此抛物线上； 把代入得，解得，， 所以纵坐标为的点的坐标为或．  【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 根据二次函数图象上点的坐标满足其解析式，把点坐标代入解析式得到关于的方程，然后解方程即可． 将代入抛物线的解析式，求出对应的值即可判断； 把代入抛物线的解析式，求出的值，即可得到点的坐标． 13.抛物线与直线相交于点． 求与的值； 二次函数中，当时，直接写出的最小值与最大值． 【答案】(1)解：把代入，得，再把点代入，得；  (2)当时，取得最小值0；当时，取得最大值4.  14.如图，抛物线经过点 判断点是否在此抛物线上； 点在此抛物线第三象限的图象上，过点作轴交抛物线于另一点，求的面积． 【答案】(1)解：抛物线经过点（，），，．．当时，，点（，）不在此抛物线上；  (2)点在此抛物线第三象限图象上，，．（，）轴，（，），，．  15.如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． 求抛物线对应的函数解析式； 当四边形为正方形时，求线段的长． 【答案】(1)∵点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，∴4＝4a，解得a＝1．∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2  (2)∵四边形CDFE为正方形，∴CD // EF，CD＝EC＝EF．又∵AB⊥y轴，∴EF⊥y轴，即EF // x轴．设点E的横坐标为m（m＞0），∵点E在抛物线上，∴E（m，m2）．∴EF＝2m．又∵AB⊥y轴，CE⊥x轴，A（2，4），∴C（m，4）．∴EC＝4－m2．∵EC＝EF，∴4－m2＝2m，解得（不合题意，舍去），．∴  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$