第26讲 数轴与简单的数形结合 培优提分课件-2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第26讲 数轴与简单的数形结合 1 2 1.数与形有着密切的联系，一方面，我们常用代数的方法研究图形问题:另一方面，也利用图形来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想——数形结合思想. 2.数轴是数与形的第一次碰撞，利用数轴，可以化复杂为简单，化抽象为直观、具体.运用数轴可以直观地表示实数，形象地解释相反数，准确地比较实数的大小，恰当地解决与绝对值有关的问题. 3 1.规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴，数轴是联系数与形的桥梁，主要体现在： （1）数轴可以直观地表示实数. （2）数轴可以形象地解释相反数. （3）利用数轴可以用来比较实数的大小. （4）利用数轴能直观而简捷地解决与绝对值相关的问题. 4 2.设数轴上的点 表示的数分别为 ，则有： （1） 两点之间的距离为 （2）线段 的中点表示的数为 . 5 知识点一：数轴与数形结合 实数 在数轴上对应点的位置如图所示. 6 （1）在数轴上表示 思路点拨 根据相反数的定义可得出表示 的点在数轴上的位置， 再根据绝对值的定义可得出表示 的点在数轴上的位置. 解题过程 如图. 7 （2）试把 这五个数从小到大用“＜”连接起来. 思路点拨 根据（1）中的结论，根据实数比较大小的方法进行判定即可得出答案 解题过程 8 （3）化简： 思路点拨 根据表示 ， ， 的点在数轴上的位置，即可得出 ， ， ，再根据绝对值的性质进行化简即 可得出答案. 解题过程 ， 原式 9 方法提炼 本题考查数轴及绝对值，熟练掌握数轴及绝对值的意义，结合数轴先判断绝对值中代数式的符号再化简是解题的关键. 10 用直尺画数轴时，数轴上的点 分别表示数 ，已 知 ，如图.设 ，该数轴的原点为 （1）若点 表示的数是-1，则点 表示的数是___. 7 11 （2）若点 表示的数互为相反数，则点 表示的数是___，此时 的 值为___. 5 5 [解析] 点 表示的数互为相反数， 原点 是线段 的 中点. 故答案为5；5. 12 （3）若数轴上点 表示的数为4，求 的值. [答案] 点 表示的数为 ， . 13 知识点二：数轴与绝对值的几何意义 我们知道， 可以理解为 ，它表示：数轴上表示数 的 点到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上的两个点 分别表示数 ，那么 两点之间的距离 ；反过 来，式子 的几何意义是：数轴上表示数 的点和表示数 的点 之间的距离.利用此结论，回答以下问题： 14 （1）数轴上表示数-5的点和表示数3的点之间的距离是___. 8 思路点拨 根据两点间的距离公式求解可得. （2）数轴上点 表示数 ，若 ，则 的值为_ ____. <m></m> 思路点拨 根据绝对值的定义可得. 解题过程 若 ，则 的值为5或-5.故答案为 15 （3）数轴上点 表示数 ，探究以下几个问题： ①若 ，则 的值是_ _______. 8或 <m></m> 思路点拨 利用绝对值定义知 或 ，分别求解可得 解题过程 若 ，则 或 或-2. 故答案为8或-2. 16 ②满足 的整数 有___个. 5 思路点拨 根据绝对值的几何意义可知当 时， 等于5，再由 是整数，求出符合条件的 的值即可. 解题过程 表示数轴上表示 的点与表示-2，3的 点之间的距离之和， 当 时， 等于5. 是整数， 的值为-2，-1，0，1，2，3，共6个.故答案为6. 17 ③ 有最小值，最小值是______. 2025 思路点拨 根据绝对值的几何意义可知当 时， 的最小值是2025. 解题过程 表示数轴上表示 的点与表示3， -2022的点之间的距离之和， 当 时， 的最小值是2025. 故答案为2025. 18 ④求 的最小值. 思路点拨 式子表示数轴上表示 的点到表示 ， ， ，…， 的点的距离之和，根据绝对值的几何意义可知:当 时，原式的值最小，然后去掉绝对值符号，再利用求和公式 列式计算即可得解. [答案] 1023132 19 解题过程 的最中间一项是 当 时，原式有最小值. 的最小值为1023132. 20 方法提炼 本题考查绝对值的性质与几何意义，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键. 21 先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排 列的 台机床，我们要设置一个零件供应站 ，使这 台机床到 供应站 的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形. 如图1，如果直线上有2台机床，很明显供应站设在 和 之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于 到 的距离. 22 如图2，如果直线上有3台机床，不难判断，供应站设在中间一台机 床 处最合适，因为如果 不放在 处，甲和丙所走的距离之和恰好 是 到 的距离，可是乙还得走从 到 的这一段，这是多出来的， 因此 放在 处是最佳选择. 不难知道，如果直线上有4台机床， 应设在第2台与第3台机床之 间的任何地方，有5台机床， 应设在第3台机床的位置. 23 （1）有 台机床时， 应设在何处？ [答案] 当 为偶数时， 应设在第 台和第 台机床之间的任何 地方； 当 为奇数时， 应设在第 台机床的位置. 24 （2）根据（1）的结论，求 的最小值. [答案] 根据绝对值的几何意义，求 的最小值，就是在数轴上找 出表示 的点，使它到表示 的整数的各点的距离之和最小. 根据问题（1）的结论可知，当 时，原式的值最小，最小值是 25 如图，在数轴上点 表示数-3，点 表示数1，点 表示数9. （1）若将数轴折叠，使得点 与点 重合，则点 与数几对应的点重合？ 思路点拨 求出 的中点表示的数，即可求出与点 重合的点. 解题过程 的中点表示的数为 ，数1关于数3对称的数为5， 点 与数5对应的点重合. 26 （2）若点 分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度 的速度在数轴上同时向左运动. ①若 后， 三点中恰有一点为另外两点的中点，求 的值. 27 思路点拨 分别以 ， ， 为中点，列出等式解出即可. 解题过程 时，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ， 点 表示的数为 若 为 的中点，则 ， 若 为 的中点，则 ， 若 为 的中点，则 ， 综上所述，当 或4或16时， 三点中恰有一点为另外两点的 中点. ②当点 在点 右侧时，是否存在常数 ，使 的值为定值？ 若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 思路点拨 使 的值为定值，列出等式中的含 的项合并 为 0，从而求出 . 解题过程 存在 点 在点 右侧，点 在点 右侧， ， 当 ，即 时， 为定值， 存在常数 ，使 的值为定值. 29 方法提炼 本题考查数轴，解题的关键是能用运动时间 表示出运动状态下各点表示的数及线段的长，再根据线段之间的数量关系列出方程或算式解决问题. 30 1.已知 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是( ) （第1题） C A. B. C. D. 31 2.已知点 在数轴上的位置如图所示， 为原点， ，若点 表示的数为 ，则点 表示的数为 ( ) A A. B. C. D. 32 3.如图，在数轴上，点 表示的数分别为-19和 是线段 的中点， 且 ，则点 表示的数为 ( ) A A.-9 B.-9.5 C.-10 D.-10.5 33 [解析] 数轴上点 表示的数分别为 - 19和 设 是线段 的中点， 点 表示的数为 .故选A. 34 4.已知数轴上 两点（不与原点 重合）分别表示有理数 的中点为 ，若 ，且 ，则关于原点 的位置， 下列说法正确的是 ( ) B A.点 在点 的左侧 B.点 在点 的右侧 C.点 在点 的右侧 D.点 在点 和 之间 35 [解析] 的中点为 点 表示的数是 ，且 ＞ 点 表示的数是负数. 点 表示的数是负数. 点 在点 的右侧. 故选B. 36 5.如图， 两点在数轴上（点 在点 的右 侧），点 表示的数是 是线段 的 中点，则点 表示的数是_ ___. <m></m> 6.已知点 都在同一条数轴上，点 表示-3，点 和 位于原点的 两侧并且到原点的距离相等，点 和点 相距5个单位长度，则点 表 示的数是_ _______. <m></m> 或8 37 7.如图，将数轴上表示-4与8的两点间的线段六等分，五个等分点所表 示的数依次为 ，则 ____0（填“＞”“＜”或“ ”）. ＞ 8.已知 是同一条数轴上的三个点，且 ，若点 表示 的数是1，则点 表示的数是_ _______________. <m></m> 或 <m></m> 38 9.如图1，已知数轴上 两点表示的数分别为-1和4. （1）线段 的长是___. 5 39 （2）若 为线段 上的一点（点 不与 两点重合），当 时，如图2，求此时 的长. [答案] . . 40 10.如图，在一条不完整的数轴上，点 表示的数分别为 ，其 中点 在点 的左侧，且 （1）若 ，求 的值. [答案] 点 在点 的左侧，且 ， ＜ 41 （2）若点 在点 的左侧，化简： [答案] 点 在点 的左侧，点 在点 的左侧， ＜ ＜ 42 （3）若 ，求 的值. [答案] . ，即 或 . 或 的值为2或10. 43 11.如图，在原点为 的数轴上，从左到右依次排列的三个点 ， 满足 ，将点 表示的数分别记为 若 ，则 的值是 ( ) D A. B.-4 C.2 D.2或 44 [解析] 由题意可知 或 当 时， ，解得 当 时， ，解得 . 或 . 故选D. 45 12.如图，点 在数轴上表示的数分别为 为 的中点， 且 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 其中正确的有 ( ) B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 46 [解析] 且 ，故①正确. ，故②正确. 若 为 为3，则 为1，则 ，故③错误. 为 的中点， ，即 ，故④正确. 正确的结论有3个.故选B. 47 13.已知数轴上三点 表示的数分别是 为数轴上任意一点. 如果点 以每分钟1个单位长度的速度从点 向左运动，同时点 和点 分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动. 若 时点 到点 的距离相等，则 的值为_ _____. <m></m> 或4 48 [解析] 点 到点 的距离相等，即 点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，点 表示的数是 ①当点 和点 在点 同侧时，点 和点 重合， ，解得 ，符合题意. 49 ②当点 和点 在点 异侧时，点 位于点 的左侧，点 位于点 的右侧， ，解得 ，符合题意. 综上所述， 的值为 或4.故答案为 或4. 50 14.如图，点 在数轴上的初始位置为-1对应的点，现对点 做如下移动： 第1次向左移动3个单位长度至点 ，第2次从点 向右移动6个单位长度 至点 ，第3次从点 向左移动9个单位长度至点 ，第4次从点 向右 移动12个单位长度至点 以此类推，第_____次移动到的点到原点 的距离为1033. 687 51 [解析] 第1次移动到的点表示的数为 ； 第2次移动到的点表示的数为 ； 第3次移动到的点表示的数为 ； 第4次移动到的点表示的数为 ； 以此类推，第 次移动到的点表示的数为 52 当 为奇数时，原式 . 由题意得 ，解得 当 为偶数时，原式 . 由题意得 ，解得 （不合题意，舍去）. 综上所述，第687次移动到的点到原点的距离为1033. 故答案为687. 53 15.如图，已知 为数轴的原点，点 在数 轴上，其中 两点表示的数分别为 ，3. （1）线段 的长度为___. 4 54 （2）若 是 的中点，点 在点 的右侧，且 ，点 在线 段 上运动.该数轴上是否存在一条线段，当点 在这条线段上运动 时， 的值不会随着点 的运动而发生变化？ 55 [答案] 两点表示的数分别为 是 的中点， 点 表示的数为 . 又 ，点 在点 的右侧， 点 表示的数为4. 设点 表示的数为 ，则 由绝对值的几何意义可知，当 时， 为 定值 当点 在线段 上运动时， 的值不会随着点 的运动而发生变化. （3）若点 以1个单位长度/秒的速度从点 向右运动，同时点 从点 以5个单位长度/秒的速度向左运动，点 从点 以20个单位长度/秒的速度向右运动， 分别是 的中点.在点 的运动过程中， 的值是否发生变化？请说明理由. 57 [答案] 在运动过程中， 的值不发生变化. 理由如下： 设运动时间为 ，则点 表示的数分别为 . 分别是 的中点， 点 表示的数分别为 - ， . - . 58 . 在运动过程中， 的值不发生变化. 16.已知数轴上两点 ，其中点 表示的数为 ，点 表示的数为2. 对于数轴上一点 （不与点 重合），若线段 与 的长度之比 为 ，则称 为点 的“ 倍伴随点”，记作 例如：如图1， 若 是线段 的中点，有 ，则称 为点 的“1倍伴随点”， 记作 请根据上述规定回答下列问题： 60 （1）如图2，已知 为数轴上的三个点，点 表示的数是 . ① _ _. <m></m> 61 ②比较 与 的大小________________________（用 “＜”连接起来）. <m></m> [解析] 由题意得 ， ， ， 由图可知， ， . 正分数的分子越大，分母越小，分数就越大， . 故答案为 62 （2）已知 是数轴上点 的“3倍伴随点”，请你直接写出点 表示的 数为______. 1或4 [解析] 是数轴上点 的“3倍伴随点”， 设点 表示的数为 当点 在点 之间时， ，解得 ； 当点 在点 的右侧时， ，解得 故答案为1或4. 63 （3）已知数轴上三点 ，其中 分别为 的中点，满足 ，且此时 是点 的“ 倍伴随点”，求 的值及点 表 示的数. [答案] 设点 表示的数为 分别为 的中点， 点 表示的数分别为 ， . ， . 64 ， ，解得 或 . 当 时， . 当 时， . 综上所述，当 时，点 表示的数为8；当 时，点 表示的 数为 . $$