第22讲 线段与线段的度量 培优提分课件-2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第22讲 线段与线段的度量 1 2 1.直线、射线和线段的概念、表示方法及相互关系. 2.直线公理:经过两点有且只有一条直线,简称:两点确定一条直线. 3.线段公理:两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短 简单说成:两点之间线段最短线段可以度量，可以进行“加、减、倍、分”计算. 3 1.直线、射线、线段的表示方法： （1）直线：可用一个小写字母表示，如直线 ；也可用直线上任意两 个点的大写字母表示，如直线 （或直线 ）. （2）射线：射线是直线的一部分，可用表示它的端点和射线上另外任 意一点的两个大写字母表示，端点的字母写在前面. 4 （3）线段：线段是直线的一部分，可用一个小写字母表示，如线段 ； 也可用表示它的两个端点的字母表示，如线段 （或线段 ）. 2.点与直线的位置关系： （1）直线经过点，说明点在直线上. （2）直线不经过点，说明点在直线外. 5 3.线段的性质：两点之间线段最短.连结两点的线段的长度叫做这两点间的距离. 4.由于线段可以度量，因此从数和形的角度，线段之间可以求和、差，可以倍、分.线段的中点就是将一条线段分成两条相等线段的点，解决与线段相关的问题，常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概念与方法. 6 知识点一：直线、射线、线段的概念与性质 如图，已知 三点. 7 （1）画直线 、射线 、线段 思路点拨 由直线、射线、线段的概念即可画图. 解题过程 如图，直线 、射线 、线段 即为所求. 8 （2）在线段 上任取一点 （不同于点 ），连结 ，并延长 至点 ，使 （用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 思路点拨 按要求即可画图. 解题过程 如图，点 即为所求. 9 （3）在完成（1）（2）后，图中的线段共有多少条？写出以点 为端 点的所有线段. 思路点拨 由图形结合线段的概念与表示方法即可得到答案. 解题过程 图中共8条线段.以点 为端点的线段有：线段 、线段 、 线段 、线段 10 方法提炼 本题考查线段、射线、直线的概念以及表示方法，掌握以上概念并能根据题意将文字语言转化为图形语言是解题的关键. 针对所给图形，下列说法正确的是( ) B A.点 在射线 上 B.点 在线段 上 C.射线 和射线 是同一条射线 D.点 是直线 的一个端点 12 如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，若直线 经 过3枚颜色相同的棋子，则这样的直线共有___条. 3 [解析] 如图，这样的直线共有3条. 13 知识点二：线段的度量和计算 （1）已知线段 是线段 的中点， 是线段 的中点. 14 ①如图1，若 为线段 上任意一点，求线段 的长度. 思路点拨 由 是 的中点，得 ，由 是 得中点， 得 ，而 ，从而求出 的长度. 解题过程 是线段 的中点， 是线段 的中点， 15 ②如图2，若 为线段 的延长线上任意一点，线段 的长度会发生 变化吗？请说明理由. 思路点拨 由 得到 ，从而判定 的长度不会发生变化. 16 解题过程 线段 的长度不会发生变化.理由如下： 是线段 的中点， 是线段 的中点， 线段 的长度不会发生变化. 17 （2）如图3 ，若 为线段 的延长线上一点， 是线段 的中点， 是线段 上的一点，且 求 的值. 思路点拨 由已知条件得到 ，则 ，从而可以求出其值. 18 解题过程 是线段 的中点， 19 方法提炼 本题考查线段中点有关的计算以及线段之间的数量关系等知识，厘清线段之间的数量关系是解题的关键. 已知点 在线段 上，点 在线段 上. 21 （1）如图1，若 为线段 的中点，求线段 的长度. [答案] ， 又 为线段 的中点， . 22 （2）如图2，若 ， 为线段 的中点， ，求线段 的长度. [答案] 设 ， 为线段 的中点， . 又 ，解得 23 已知线段 为常数 为直线 上一点，点 分别在 线段 上，且满足 24 （1）如图，若 ，当 恰好为线段 的中点时， ___. 4 思路点拨 根据 ， 以及线段的中点的 定义解答。 解题过程 恰好为线段 的中点， ， 故答案为4. 25 （2）若 为直线 上任一点，则 的长度是否为常数？若是，请求 出这个常数；若不是，请说明理由. 思路点拨 根据 ( 为常数)， ，分三 种情况计算即可. [答案] 的长度是常数.理由如下： ①如图1，当点 在线段 上时. 26 为常数), ②如图2，当点 在线段 的延长线上时. 为常数), ③如图3，当点 在线段 的延长线上时. 为常数), 的长度是一个常数，且这个常数为 （3）若点 在点 左侧，同时点 在线段 上（不与端点重合），请 判断 与1的大小关系，并说明理由. 思路点拨 根据题意，画出图形，求得 ，即可得出 与1的大小关系. 29 [答案] 理由如下：如图4. . . 30 方法提炼 本题考查两点间的距离、线段的和差及整式的加减运算，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算，并能根据点的位置进行分类讨论是解题的关键. 31 1.如图，工人师傅在砌墙时需用细绳在墙的两 端之间拉一条直的水平线，才能够使所砌每层 C A.直线比曲线短 B.两点之间，线段最短 C.两点确定一条直线 D.两点之间线段的长度 的每一块砖的上端都在同一条直线上，其依据是 ( ) 32 2.如图，观察图形，下列说法：①直线 和直线 是 同一条直线；②射线 和射线 是同一条射线；③ ；④线段 和线段 是同一条线段.其 中正确的个数是 ( ) D A.1 B.2 C.3 D.4 33 3.如图， 是线段 上的点，若 ，则 的长为 ( ) B A.6 B.7 C.8 D.9 4.某趟往返于 站和 站之间的动车，中途要停靠 站和 站，则铁路 部门供旅客购买的火车票要准备 ( ) A A.12种 B.10种 C.6种 D.4种 34 5.如图，以点 为端点的射线有___条. 4 6.如图，已知 为 的中点，则线段 的长 为___ 1 7.在平面上有三点，过其中任意两点画直线，可画直线的条数为______. 1或3 35 8.通过画图尝试，我们发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有线段条数 2 1 3 3 4 6 5 10 若在直线上有10个不同的点，则此图中共有____条线段. 45 36 [解析] 根据表格中“直线上点的个数”与“共有线段的条数”的变化规律可知， 直线上有10个不同点时，线段的条数为 （条）.故答案为45. 37 9.如图，平面上有 四个点，根据下列语句画图. 38 （1）画射线 交于点 [答案] 如图，射线 交于点 39 （2）连结 ，并将其反向延长. [答案] 如图，连结 ，并将其反向延长. 40 （3）取一点 ，使点 既在直线 上又在直线 上. [答案] 如图，直线 和直线 相交于点 ，点 即为所求. 41 （4）取一点 ，使点 到 四点的距离之和最小. [答案] 如图，连结 ，交点为 ，点 即为所求. 42 10.如图，点 和点 把线段 分为三部分，已知 ， . （1）求线段 的长. [答案] ， 43 （2）若 为线段 的中点， 为线段 的中点，求线段 的长. [答案] ， ， 为线段 的中点， 为线段 的中点， ， 44 11.已知点 在同一直线上，下列说法正确的是( ) D A.若 ，则 是 的中点 B.若 ，则 是 的中点 C.若 ，则 是 的中点 D.若 ，则 是 的中点 45 12.已知点 位于直线 上，其中线段 ，且 ，若 是线段 的中点，则线段 的长为 ( ) C A.1 B.5 C.1或5 D.1或3 [解析] 如图1，当点 在点 的右侧时. 46 ，且 是线段 的中点， . 如图2，当点 在点 的左侧时. 47 ，且 是线段 的中点， . 综上所述，线段 的长为1或5.故选C. 48 13.如图， 是线段 上两点， 分别是线段 的中点，下 列结论：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③ ；④ 其中正 确的结论是________.（填序号） ①②③ 49 [解析] 是线段 的中点， ，即 ，故①正确. 分别是线段 的中点， ，故②正确. 50 分别是线段 的中点， ，故③正确. ， ， ， 故④错误. 故答案为①②③. 14.如图， 是线段 上的两点， 是 的中点， 是 的中点. （1）若 ，则 ___. 9 [解析] 是 的中点， 是 的中点， 故答案为9. 53 （2）若 ，则 _ ___ . <m></m> [解析] 是 的中点， 是 的中点， ， . .故答案为 . 54 15.已知 分别为线段 上的点（点 在点 的左边），且满足 . 55 （1）如图，若 为 的中点，求 的长. [答案] 如图1，设 ， ， ， 为 的中点， . 的长为3. 56 （2）若 为 的中点， ，试探究线段 与 之间的数 量关系. [答案] 如图2，设 为 的中点， . 57 又 ， 线段 与 之间的数量关系为 16.如图， 是一条公路边的三个村庄， 间的距离为 间的距离为 ，现要在 之间设一个车站 ，设 间的距离为 （1）用含 的代数式表示车站到三个村庄的距离之和. [答案] 点 在 之间， 距离之和为 59 （2）若车站到三个村庄的距离之和为 ，问：车站应设在何处？ [答案] 由题意得 ，解得 车站应设在 村庄左侧 或右侧 处. （3）若要使车站到三个村庄的距离之和最小，问：车站应设在何处？ [答案] 当 时， 有最小值 车站应设在 处. 60 $$