第25讲 简单的点线运动问题 培优提分课件-2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第25讲 简单的点线运动问题 1 2 点线运动问题包括点运动问题和线运动问题，通常在解决此类问题时，要充分发挥空间想象能力，“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住运动过程中的一瞬间寻找确定的关系式，这样就会找到解决问题的途径. 3 1.“动点问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或直线上运动的一类开放性问题，动点问题解题的一般思路： （1）分析动点的运动轨迹，这可能是分类讨论的依据，如在直线上运 动、在线段上运动或在射线上运动；在一条线段上运动还是在几条线段 上运动等都是分类讨论的关键. （2）用含时间 的代数式表示相应线段的长度. （3）建立等量关系，要考虑由动点构成图形的特殊性，线段之间的数 量关系等. 4 （4）解方程，在这个过程中注意时间 的取值范围. 2.“线运动或角运动问题”包括线段的平移或翻折、射线或角的旋转、角的 折叠以及三角尺的旋转等问题，解题的主要思路是用时间表示运动过程 中相应角的度数，再根据角之间的数量关系列出方程，解方程解决问题. 3.解决动态几何问题的常见方法：（1）特殊探究，一般推证.（2）动手 实践，操作确认.（3）建立联系，计算说明. 5 知识点一：动点问题 如图，已知点 表示的数分别为-2和14，点 在线段 上， 且 分别是 的中点. 6 （1）若 ，求线段 的长. 思路点拨 先求出线段 ，然后再利用线段中点的性质求出 ， 即可. 解题过程 点 表示的数分别为-2和 分别是 的中点， 7 （2）当线段 在线段 上运动时，试判断 的长度是否发生变化， 如果不变，请求出 的长；如果变化，请说明理由. 思路点拨 利用线段中点的性质证明 EF的长度不会发生改变. 解题过程 的长度不发生变化. 分别是 的中点， 8 方法提炼 本题考查数轴上两点间的距离，根据题目的已知条件并结合图形正确表示出各线段的长度，并理解线段 运动过程中哪些线段长度不变是解题的关键. 9 如图， 是线段 上一点， ，点 从点 出发，以 的速度沿 向右运动，终点为 ；点 从点 出发，以 的速度沿 向左运动，终点为 已知点 同时出 发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设点 运动时间 为 （1） ____ 12 [解析] .故答案为12. 10 （2）当 _ __ 时， 两点重合. <m></m> [解析] 故答案为 . 11 （3）是否存在某一时刻，使得 这三个点中，有一个点恰为另外 两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的 的值；若不存在， 请说明理由. [答案] 存在. ①当 是线段 的中点时， ，解得 ②当 是线段 的中点时， ，解得 . ③当 是线段 的中点时， ，解得 综上所述，满足条件的 的值为4或 或7. 12 知识点二：动线问题 如图1，把一副三角尺的直角边 和 分别放在直线 上，两 把三角尺分别在直线 两侧， 13 （1）在图1中， _ _____， ______. <m></m> <m></m> 思路点拨 根据角的和差解答即可. 解题过程 故答案为 ； 14 （2）如图 为射线，将三角尺 绕点 旋转，使 的一边 恰好平分 问：此时 是否平分 ？请说明理由. 思路点拨 根据角平分线的定义得 ,再根据等角的余角相等得 ,进而得出答案. 15 解题过程 平分 理由如下： 平分 ， ，即 平分 16 （3）将图2中的三角尺 绕点 旋转至图3的位置，使 在 的内部. ①求 的度数. 17 思路点拨 由题意得出 ， 再代入计算即可. 解题过程 ②求 的度数. 思路点拨 由题意得 ， 再代入计算即可. 解题过程 19 方法提炼 本题考查三角尺中角的和差计算、角平分线的定义等，找出图形运动变化中各角之间的数量关系是解题的关键. 20 如图1，射线 在 的内部，图中共有3个角： 和 若其中有一 个角的度数是另一个角度数的两倍， 则称射线 是 的“妙分线”. 21 （1）如图1，若 ，且射线 是 的“妙分线”，求 的度数. [答案] ①当 时， ②当 时， ③当 时， 综上所述， 的度数为 或 或 22 （2）如图2，若 ，射线 绕点 从 位置开始，以每秒 的速度顺时针旋转，同时，射线 绕点 以每秒 的速度顺时针旋转，当 与 成 时，射线 同时停止旋转，设旋转的时间为 ，求 为何值时，射线 是 的“妙分线”. 23 [答案] 由题意得 ①当 时， ，解得 ②当 时， ，即 ， 解得 ③当 时， ，即 ， 解得 . 综上所述，当 或6或10时，射线 是 的“妙分线”. 24 平面内一定点 在直线 的上方， 为直线 上一动点，作射线 ，当点 在直线 上运动时，始终保持 ，将射线 绕点 顺时针旋转 得到 射线 25 （1）如图，当点 运动到使点 在射线 的左侧时，若 平分 ，求 的度数. 思路点拨 设 ，根据题意列式计算得出 的值，即可得解. 26 解题过程 设 平分 ， ，解得 27 （2）当点 运动到使点 在射线 的左侧，且 时， 求 的度数. 思路点拨 根据射线 在直线 的上方或下方，射线 在 内部或外部，分四种情况进行讨论，分别求解即可. 28 解题过程 设 ，则 ①当射线 在直线 的上方，射线 在 内部时，如图1. . 29 ②当射线 在直线 的上方，射线 在 外部时，如图2. 30 ③当射线 在直线 的下方，射线 在 外部时，如图3. . 31 ④当射线 在直线 的下方，射线 在 内部时，如图4. 综上所述， 的度数为 或 或 或 32 （3）当点 运动到某一时刻时，满足 ，直接写出此时 的度数. 思路点拨 分两种情况求解即可:当射线 在直线 的上方时;当 射线 在直线 的下方时. [答案] ①由图5可得 ， 33 ②由图6可得 ， ③由图7可得 ， ④由图8可得 ， 34 综上所述， 的度数为 或 或 或 35 方法提炼 本题考查角的计算，熟练掌握分类讨论的思想方法以及角的和、差、倍、分的计算是解题的关键. 36 1.在数轴上，点 表示的数是-2，点 表示的数是 是数轴上的动点， 则 的最小值为 ( ) D A.0 B.1 C.2 D.3 2.如图， 是射线 上的动点， 则线段 的长度不可能是( ) A A.2 B.3 C.4 D.5 37 3.如图，线段 ，现有点 绕着点 以每秒 的速度顺时针旋转一周后 C A. B. C. 或 D. 停止，同时点 沿直线 自点 向点 运动，假若 两点能相遇， 则点 运动的速度是 ( ) 38 [解析] 点 只能在直线 上相遇，则点 旋转到直线 上的时间为 或 设点 的速度为 ，则有 或 ，解得 或 点 运动的速度为 或 故选C. 39 4.已知数轴上点 表示的数分别为-10和30，现有一动点 以每秒2个 单位长度的速度从点 出发，沿数轴正方向运动，当 时，运 动的时间为 ( ) D A. B. C. 或 D. 或 40 [解析] 设运动的时间为 ，则点 表示的数为 当 时， ，即 或 ，解得 或 ， 运动的时间为 或 故选D. 41 5.如图，在数轴上， 两点同时从原点 出发，分别以每秒2个单位 长度和4个单位长度的速度向右运动，运动的时间为 ，若线段 上 恰好有4个整数点，则时间 的最小值是_ _. <m></m> 6.如图，将一张正方形的桌布折叠两次， 就得到了一个漂亮的图案，在图3中， 的度数为_ ____. <m></m> 42 7.如图， 为直线 上一点，将一把三角尺 的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的上方.将三角尺绕点 以 每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周.经过________ 后， 10或70 43 8.如图，在长方形 中， ，动点 沿 边从点 开 始，向点 以 的速度运动；动点 从点 开 始沿 边向点 以 的速度运动 两点同时开始运动，当点 到达点 时，点 和点 同时停止运动， 用 表示运动的时间. 44 （1）当点 在 边上运动， 为 _ _ 时， <m></m> [解析] 当点 在 边上运动，运动时间为 时， 由题意得 ，解得 .故答案为 . （2）当 为___ 时，点 追上点 8 [解析] 由题意得 ，解得 故答案为8. 45 9.如图，以直线 上一点 为端 点作射线 ，使 ， 将一把三角尺的直角顶点放在点 处.（注： ） （1）如图1，将三角尺 绕点 逆时针转动到某个位置，若 恰好 平分 ，求 的度数. [答案] 平分 46 （2）如图2，将三角尺 绕点 转动，如果 始终在 的内 部，试猜想 和 有怎样的数量关系？并说明理由. [答案] 理由如下： ， ，即 47 10.如图， 是线段 上一点， 两点分别从点 出 发以 的速度沿直线 向左运动（点 在线段 上， 点 在线段 上），运动的时间为 48 （1）当 时， ，求 的长. [答案] 当 时，根据点 的运动速度知 ，则 ，即 49 （2）若点 运动到任一时刻，总有 ，求 的长. [答案] 根据点 的运动速度知 ，即 50 （3）在（2）的条件下， 是直线 上一点，且 ，求 的长. [答案] 如图1，当点 在线段 上时， 又 51 如图2，当点 在 的延长线上时， 综上所述， 的长为 或 52 11.如图，已知点 在线段 上， ，点 在线段 上， 点 在点 的左侧.若 ，线段 在线段 上移动，且满足 关系式 ，则 的值为 ( ) B A. B. C. 或 D. 53 [解析] 设 ，则 ①当点 在点 的左侧时，如图1，此时 ， 而 ，不满足 ，不符合题意. 54 ②当点 在点 的右侧时，如图2，此时 ， ， ，即 ， . 综上所述， 的值为 .故选B. 55 12.如图， 为线段 上一点， 比 的4倍少 两 点分别从 两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度在 射线 上沿 方向运动，运动时间为 为 的中点， 为 的中点，有下列结论：① ；②运动过程中， 的长度保持 不变；③ ；④当 时， 其中正确结论的个数 是 ( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 56 [解析] 设 ，则 . ，解得 ，故①成立. 57 由题意得 当 时，此时点 在线段 上，如图 是 的中点， 为 的中点， 58 当 时，此时点 在线段 的延长线上，且点 在点 的左侧，如图2， . 是 的中点， 为 的中点， . 59 当 时，此时点 在线段 的延长线上，且点 在点 的右侧， 如图3， 是 的中点， 为 的中点， 60 运动过程中， 的长度保持不变， ，故②③正确. 当 时，此时点 在线段 上， 当 时，此时点 在线段 的延长线上，且点 与点 重合， 当 时，此时点 在线段 的延长线上，且点 在点 的右 侧， 当 时， 或30，故④错误. 正确的结论有3个.故选C. 61 13.如图， 于点 ， 射线 从 出发，绕点 以每秒 的速度顺时 针向终边 旋转，同时，射线 从 出发，绕 点 以每秒 的速度顺时针向终边 旋转，当 <m></m> 或 <m></m> 中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止.在旋转过程 中，设 ，则 与 之间的数量关系为_________ ___________________. 62 [解析] 设运动的时间为 于点 当 与 成一条直线时， ， 旋转 时停止运动. 当 时， . 63 当 时， ， . 故答案为 或 14.【新知理解】如图1，点 在线段 上，图中共有三条线段 和 ，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称 是 线段 的“巧点”. （1）线段的中点____（填“是”或“不是”）这条线段的“巧点”. 是 65 （2）若 是线段 的“巧点”，则 ___ 4 [解析] 当 时， 当 时， 当 时， 的长为 或 或 故答案为6或8或4. 66 【解决问题】 （3）如图2，已知 ，动点 从点 出发，以 的速度 沿 向点 匀速移动，点 从点 出发，以 的速度沿 向点 匀速移动，点 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设 移动的时间为 当 为何值时， 三点中的其中一点恰好是以另 外两点为端点的线段的“巧点”？ 67 [答案] 当 时， 两点相遇. ①当 时，如图1， 此时 当 时， . 当 时， 当 时， . 68 ②当 时，如图2， 此时 . 当 时， 当 时， . 当 时， （不合题意，舍去）. 综上所述，当 的值为 或 或3或6或 时， 三点中的其中一 点恰好是以另外两点为端点的线段的“巧点”. 69 15.【数学之美】三角尺中的数学. 70 （1）如图1，将两把三角尺的直角顶点 叠放在一起， ①若 ，则 ______；若 ，则 _ ____. <m></m> <m></m> 71 ②猜想 与 的数量关系，并说明理由. [答案] 理由如下： ， 72 （2）如图2，将两把同样的三角尺 锐角的顶点重合在一起， ，请猜想 与 的数量关系并说明理由. [答案] 理由如下： ， 73 （3）如图 为直线 上一点， 在直线 上方， ，在三角尺 绕点 旋转一周的过程中，直接写出 与 的数量关系. 74 [答案] 当三角尺绕点 旋转至一边 在 的内部时，如图1. ， 75 当三角尺绕点 旋转至一边 不在 的内部，且 在直线 左侧时，如图2. 当三角尺绕点 旋转至一边 不在 的内部，且 在直线 右侧时，如图3. 76 当三角尺绕点 旋转至一边 在 的内部，且 在直线 右 侧时，如图4. 当三角尺绕点 旋转至一边 在 的内部，且 在直线 左 侧时，易证得 77 综上所述， 与 的数量关系为 或 或 或 78 $$