精品解析：陕西省咸阳市永寿县仪井中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

陕西省咸阳市永寿县仪井中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的正整数解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图，将的边沿方向平移得到（点、的对应点分别为点），连接，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的边上一点，连接，则（ ） A. B. C. D. 6. 某化工厂要在规定时间内搬运千克化工原料，现有，两种机器人可供选择，已知型机器人每小时完成的工作量是型机器人每小时完成工作量的倍，型机器人单独完成所需的时间比型机器人单独完成所需的时间少小时，如果设型机器人每小时搬运千克化工原料，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，直线经过的对角线的交点，且分别交、于点、，交、的延长线于点、，连接，下列结论：①；②；③若，则垂直平分；④．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 如果分式有意义，那么的取值范围是_________． 10. 请用不等式表示“与的和不大于”：_________． 11. 如图，是由绕点按顺时针方向旋转后得到的，点B、C的对应点分别为点，已知，则的长为_________． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 13. 如图，在四边形中，，点在线段上，连接，，若，则的长为_________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 分解因式： 15. 解不等式组： 16. 解分式方程： 17. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1个单位长度，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）将绕点顺时针旋转后得到，点A，C的对应点分别为点，请在图中画出； （2）将向右平移4个单位长度后得到，点A、B、C的对应点分别为点、，请在图中画出． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，D是边上的一点，且．请用尺规作图法在边上找一点M，使得（保留作图痕迹，不写作法）． 20. 某小区为了绿化环境，计划购买甲，乙两种花卉共100株，甲种花卉每株15元，乙种花卉每株9元，若购买甲、乙两种花卉的总费用不超过1200元，最多能购买甲种花卉多少株？ 21. 如图，在中，，是的中位线，连接和交于点． （1）求证： （2）求证： 22. 蓝山县供销超市用6000元购进一批“红富士”苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨13000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果的质量是试销时的2倍．试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？ 23. 如图，在中，，将绕着点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，． （1）若，求的长； （2）若，连接，求证：是等边三角形． 24. 如图，在中，点，在对角线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长度． 25. 阅读以下材料： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式，原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： （1）根据材料1，利用配方法进行因式分解：； （2）根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． 26. 如图，在等边中，与的平分线交于点，点在边AB上，连接OD． 【问题发现】 （1）求证：； 【问题探究】 （2）如图1，为上一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点恰好落在边上，且，猜想、、三者之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图2，点在的延长线上，连接，在的延长线上截取，连接、，猜想线段是否在的垂直平分线上，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省咸阳市永寿县仪井中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：B． 2. 不等式的正整数解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握理解不等式的解是解题的关键． 求不等式的正整数解，明确正整数范围并筛选符合条件的值，即可求解． 【详解】解：不等式表示的取值为所有小于或等于3的数． ∴的正整数为1， 2， 3；符合条件的正整数共有3个． 故选：C． 3. 如图，将的边沿方向平移得到（点、的对应点分别为点），连接，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，得到，即可求解． 【详解】解：∵将的边沿方向平移得到（点、的对应点分别为点），， ∴， 故选：C． 4. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式，即可求解． 【详解】解：A． 是整式的乘法运算，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意； B． 右边为乘积与常数的和，不是积的形式，不符合因式分解，故该选项不正确，不符合题意； C． 仅对左边进行分配律展开，未分解为更简整式的积，不属于因式分解，故该选项不正确，不符合题意； D． 将二次三项式转化为完全平方形式，符合因式分解的定义，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 如图，为的边上一点，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，根据，得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 6. 某化工厂要在规定时间内搬运千克化工原料，现有，两种机器人可供选择，已知型机器人每小时完成的工作量是型机器人每小时完成工作量的倍，型机器人单独完成所需的时间比型机器人单独完成所需的时间少小时，如果设型机器人每小时搬运千克化工原料，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，设型机器人每小时搬运千克，则型机器人每小时搬运千克，根据工作时间与效率的关系建立方程，即可求解． 【详解】解：设型机器人每小时搬运千克，则型机器人每小时搬运千克 根据题意得： 故选：B． 7. 如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数交点解不等式，理解图示，掌握一次函数图象的性质，交点的意义是解题的关键． 根据一次函数图象的交点，数形结合分析即可求解． 【详解】解：直线与直线交于点， ∴不等式的解集为， 故选：A ． 8. 如图，在中，直线经过的对角线的交点，且分别交、于点、，交、的延长线于点、，连接，下列结论：①；②；③若，则垂直平分；④．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键，根据平行四边形的性质可得，不能得到，即可判断①，根据得到，即可判断②，根据，即可得出垂直平分，即垂直平分，即可判断③，根据结合即可判断④，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，不能得到，故①错误 ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴，故②正确， ∵， ∴垂直平分， ∵在的延长线上， ∴垂直平分，故③正确， 同理可得 又∵ ∴，故④正确 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 如果分式有意义，那么的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟知分式的分母不为零是解答的关键．根据分式的分母不为零求解即可. 【详解】解：分式有意义，得：． 解得， 故答案为． 10. 请用不等式表示“与的和不大于”：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列一元一次不等式，不大于1即“”，据此可得答案． 【详解】解：“与的和不大于”即： 故答案为：． 11. 如图，是由绕点按顺时针方向旋转后得到的，点B、C的对应点分别为点，已知，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，含度角的直角三角形的性质，根据题意得出，进而根据旋转的性质，即可求解． 【详解】在中，， ∴． 又因为是绕点旋转后得到的， 所以，且，，三点共线， 所以． 故答案为：． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 13. 如图，在四边形中，，点在线段上，连接，，若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，勾股定理，根据得出，进而根据证明得出，进而证明，得出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 分解因式： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式，即可求解． 【详解】解： 15. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键；因此此题可根据一元一次不等式组的解法进行求解即可 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 16. 解分式方程： 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．方程两边都乘以化为整式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解： 方程两边都乘以得， 解得： 当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 17. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1个单位长度，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）将绕点顺时针旋转后得到，点A，C的对应点分别为点，请在图中画出； （2）将向右平移4个单位长度后得到，点A、B、C的对应点分别为点、，请在图中画出． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了旋转和平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置作出所需图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质求解即可； （2）根据平移的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，实数的计算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： 当时，原式 19. 如图，在中，D是边上的一点，且．请用尺规作图法在边上找一点M，使得（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 如图所示，点M即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——角平分线，作出的角平分线交于，则点到的距离与到的距离相等，根据进而可得，即可求解，熟练掌握尺规作图作角平分线的方法是解题的关键． 【详解】解：作出的角平分线交于， 点到的距离与到的距离相等， ， ， 20. 某小区为了绿化环境，计划购买甲，乙两种花卉共100株，甲种花卉每株15元，乙种花卉每株9元，若购买甲、乙两种花卉的总费用不超过1200元，最多能购买甲种花卉多少株？ 【答案】50株 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设购买甲种花卉x株，则购买乙种花卉株，根据总费用不超过1200元列一元一次不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【详解】解：设购买甲种花卉x株， 由题意得，， 解得， 故最多能购买甲种花卉50株． 21. 如图，在中，，是的中位线，连接和交于点． （1）求证： （2）求证： 【答案】（1） 证明：∵，是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形 ∵对角线、相交于点O， ∴； （2） 证明：∵，是的中位线， ∴D，F分别是的中点 ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． （1）根据中位线的性质得出，，证明四边形是平行四边形，得出； （2）根据中位线的性质得出D，F分别是的中点，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 蓝山县供销超市用6000元购进一批“红富士”苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨13000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果的质量是试销时的2倍．试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？ 【答案】每千克6元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，则再次购进该品种苹果的进价是每千克元，利用数量=总价÷单价，结合再次购进苹果的质量是试销时的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设试销时该品种苹果的进价是每千克元．依题意可得： ， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：试销时该品种苹果的进价是每千克6元． 23. 如图，在中，，将绕着点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，． （1）若，求的长； （2）若，连接，求证：是等边三角形． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据旋转的性质以及勾股定理，即可求解； （2）根据已知条件得出旋转角为，根据旋转的性质可得，即可证明是等边三角形． 【小问1详解】 解：∵将绕着点顺时针旋转得到，，， ∴， ∴在中，， 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，点，在对角线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长度． 【答案】（1） 证明：在中， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是得出，再由全等三角形的性质得出结论． （1）根据平行四边形的对边相等可得，对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“边角边”证明，故可得出结论； （2）根据平行四边形的性质得，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴． 25. 阅读以下材料： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式，原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： （1）根据材料1，利用配方法进行因式分解：； （2）根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解； （2）利用完全平方进行因式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：设， ∴． 26. 如图，在等边中，与的平分线交于点，点在边AB上，连接OD． 【问题发现】 （1）求证：； 【问题探究】 （2）如图1，为上一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点恰好落在边上，且，猜想、、三者之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图2，点在的延长线上，连接，在的延长线上截取，连接、，猜想线段是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵在等边中，，与的平分线交于点， ∴， ∴； （2）， ∵线段绕点按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵，， ∴， （3）线段在的垂直平分线上，理由如下， ∵在等边中，，与的平分线交于点， ∴，则， ∴，， ∴， 由（1）可得， 又∵， ∴， ∴，， ∴即， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴在的垂直平分线上． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据等边三角形的性质可得，根据角平分线的定义可得，根据等边对等角，即可得证； （2）根据旋转的性质可得，进而根据，，即可得出结论； （3）先证明得出，，进而证明得出，，根据垂直平分线的判定定理，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $