第3章 实数第13讲 非负数的性质与条件求值 培优提分课件-2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第13讲 非负数的性质与条件求值 1 2 1.非负数的性质:几个非负数相加的和为零，则每一个非负数都必须为零，常见的非负数有绝对值、偶次幂和非负数的算术平方根. 2.条件求值:通常是指一定条件下求代数式的值，这里的条件可以是直接的条件，如字母的取值，也可以是间接的条件，如代数式的值，等式或不等式等. 3 1. 的绝对值： ，即一个数的绝对值是非负数； 的偶次幂： 表示自然数 ，即一个数的偶数次幂是非负数； 的算术平 方根： 有双重非负性，即被开方数 ，开方的结果 . 2.非负数大于或等于0.非负数中含有有理数和无理数.非负数的和或积仍 是非负数.若非负数的和为0，则每个非负数必等于0. 4 3.条件求值问题既要关注问题的条件，又要关注所求的代数式，不仅涉及代数式的化简、变形和运算，而且由于给出条件的多样性，需要掌握各种数学方法处理条件或所求代数式，解决这类问题的关键在于找出条件与结论之间的联系，主要解题思路有：（1）利用非负数的性质处理条件.（2）利用整体代入思想求值.（3）利用逐步降次法或缩放法求值. （4）利用倒数法或设参法求值等. 5 知识点一：利用非负数的性质化简 已知实数 在数轴上的位置如图，化简 . 思路点拨 通过数轴先判断 以及 的正负， 再利用算术平方根的性质和绝对值的意义把代数式化简. 6 解题过程 由实数 在数轴上的位置知 ， 7 方法提炼 本题考查非负数的性质，解决这类问题的步骤如下：利用算术平方根的性质将 转化为 ，再利用绝对值的意义去绝对值符号，最后再去括号合并同类项. 8 已知 ，求 的 值. [答案] 由非负数性质可知 ， . 9 知识点二：条件求值问题 理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：若 ，则 ________，我们将 作为一个整 体代入，则原式 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 10 （1）若 ，则 ______. 2025 思路点拨 把已知等式转化为 ，整体代入原式进行计算. 解题过程 ， 故答案为2025. 11 （2）若 ，求 的值. 思路点拨 原式化简后，把 代入计算即可求出其值. 解题过程 ， 12 （3）若 ，求 的值. 思路点拨 已知第一个等式两边同乘2，减去第二个等式两边同乘3，求出原式的值即可. 解题过程 13 方法提炼 本题考查条件求值问题，运用整体思想找出条件式与所求代数式之间的数量关系是解题的关键. 14 已知 （1）当 时，求 的值. [答案] ， 15 （2）若 的值与 的取值无关，则 的值为_ _，此时 的 值为_ __. <m></m> <m></m> [解析] 由（1）得， ， 的值与 的取值无关， . 此时 的值为 .故答案为 ； . 16 &5& 【探究】 （1）观察下列各式的大小关系： ； ； ； 归纳： _ __ （填“＞”“＜”“ ”“ ”或“ ”）. <m></m> 17 思路点拨 当 同号时， ;当 异号时， ;当 两数中有0时， ，由此可 得 . 解题过程 当 同号时， ； 当 异号时， ；当 两数中有0时， ， 故答案为 18 【应用】 （2）根据（1）中得出的结论，若 ，求 的值. 解题过程 异号. 当 时， 或 当 时， 或 综上所述， 的值为7或6或-6或-7. 19 思路点拨 根据(1)的结论可知 异号，当 时，可得 ，解得 或 ;当 时，可得 ，解得 或 . 20 【延伸】 （3）直接写出当 满足什么条件时， ？ 思路点拨 根据(1)的结论可知当 中有两个异号时， . 解题过程 当 中有两个异号时， 21 方法提炼 本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，由特殊归纳出一般规律是解题的关键. 22 1.能与5相加得0的是( ) D A. B. C. D. 2.已知 满足 ，则 的值是( ) A A.1 B.-1 C.2024 D.-2024 23 3.若 与 的值互为相反数，则 的值是( ) B A.5 B.-5 C.1 D.-1 4.若 为实数，且 与 互为相反数，则 的平 方根为 ( ) D A. B. C. D. 24 5.如果 是有理数，那么 的最小值是______. 2024 6.若 与 互为相反数，则 的值为____. 81 7.当 ___时， 有最小值，且最小值是___. 4 3 25 8.已知 满足 ，则 的平方 根是_ ______. <m></m> [解析] ， ， ， ， 的平方根是 .故答案为 . 26 9.先化简，再求值： ，其中 [答案] 原式 . ， ， ， ， ， . 原式 . 27 10.如图，点 在数轴上分别表示有理数 （1）比较大小： ____0； ____0； ____0.（填“＞”“＜” 或“ ”） ＜ ＜ ＞ 28 （2）化简： [答案] 29 11.已知 都是实数，若 ，则 的值为( ) C A.1 B. C.2 D.-2 30 [解析] ， ， ， , .故选C. 31 12.已知 ，且 ，则 的最小值为 ( ) D A.999 B.1000 C.1001 D.1002 [解析] 假设 个数中所有的正数和为 ，所有的负数和为 ，不妨设 ，那么由题意得 而每一个数的绝对值都小于 负数的个数 ＞ 500，最少501个. 而 正数的个数至少为501. 最少得有1002个数.故选D. 32 13.已知 都是实数，满足 ， 且 ，则代数式 的值为______. 2035 [解析] ， 故答案为2035. 33 14.若 为互不相等的正偶数，且满足 ， 则 的最小值为____. 18 [解析] 为互不相等的正偶数， 为互不相 等的偶数. 34 又 ， 分别为2014，2016，2018，2022，2026. 表示数轴上一 点 到 的距离之和， 当 时，原式有最小值，最小值为 故答案为18. 35 15.已知 ， （1）若 ，求 的值. [答案] ， 36 ， 原式 （2）若 取任何数值， 的值都是一个定值，求 的值. [答案] ， 取任何数值， 的值都是一个定值， 38 16. 的双重非负性是指被开方数 ，其化简的结果 利用 的双重非负性解决以下问题： （1）已知 ，则 的值为___. -2 [解析] ，且 ， ， ，且 故答案为 -2. 39 （2）若 为实数，且 9，求 的值. [答案] ， 且 且 当 时， ；当 时， 40 （3）已知实数 满足 ，求 的值. [答案] ， . ， ， 41 17.如图，点 在数轴上分别表示有理数 两 （1）数轴上表示2和6的两点之间的距离是___，数轴上表示1和-4的两 点之间的距离是___. 4 5 （2）数轴上表示 和-3的两点之间的距离表示为________，数轴上表 示 和6的两点之间的距离表示为_ _______. <m></m> <m></m> 点之间的距离表示为 ，在数轴上 两点之间的距离 利用数形结合思想回答下列问题： 42 （3）若 表示一个有理数，则 的最小值为___. 5 [解析] 根据绝对值的定义可知， 可表示为点 到1与 - 4两点的距离之和，根据几何意义分析可知，当 时， 有最小值5. 故答案为5. 43 （4）若 表示一个有理数，且 ，则满足条件的所 有整数 为_________________. - 1或0或1或2或3. [解析] 当 ＜ - 1时， ，解得 ，此 时不符合 ＜ - 1，舍去. 当 时， ，此时整 数 或0或1或2或3. 当 ＞ 3时， ，解得 ，此时不符合 ＞ 3，舍去. 故答案为 - 1或0或1或2或3. 44 （5）若 表示一个有理数，当 为___时，式子 有最小值，且最小值为___. 3 6 [解析] 原式可看作是数轴上表示 的点到 - 2，3，4三点的距离 之和， 当 时， 有最小值，且最 小值 故答案为3；6. 45 $$