第二十二章 二次函数 第14课 实际问题与二次函数(3)—— 抛物线型问题 课件-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 第14课 实际问题与二次函数(3)—— 抛物线型问题 　　1． 【例1】如图，一个高尔夫球在地面O点被击出，球的飞行路线 是抛物线y＝－ x2＋ x，其中y(m)是飞行高度，x(m)是球飞出的水平 距离． 　　(1)求球飞行过程中的最大高度； 　　解：(1)y＝－ x2＋ x＝－ (x－4)2＋ . 　　∴抛物线的顶点坐标为(4， )，即球飞行过程中的最大高度为 m． 　　(2)求球飞行过程中的最大水平距离． 　　(2)令y＝0，则－ x2＋ x＝0. 　　解得x1＝0，x2＝8. 　　∴球飞行过程中的最大水平距离为8 m． 　　2． 校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－ x2＋ x＋ . 　　(1)小明这次试掷的成绩； 　　解：(1)由题意可知，当y＝0时，－ x2＋ x＋ ＝0． 　　解得x1＝10，x2＝－2(舍去)． 　　答：小明这次试掷的成绩是10 m． 　　(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4 m． 　　(2)由x＝－ ，可知对称轴为x＝4. 　　当x＝4时，y最大＝－ ×42＋ ×4＋ ＝3＜4. 　　∴铅球行进高度不能达到4 m． 　　3． 【例2】 (人教九上P51探究3改编)如图是一个横断面为抛物线形 状的拱桥，当水面宽(AB)为4 m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m．当水面下降2.5 m时，求水面的宽度增加了多少． 　　解：如图，建立平面直角坐标系． 　　∵抛物线的顶点C的坐标为(0，2)， 　　∴设抛物线的解析式为y＝ax2＋2. 　　把点B(2，0)代入，得a＝－0.5. 　　∴抛物线的解析式为y＝－0.5x2＋2. 　　把y＝－2.5代入，得－2.5＝－0.5x2＋2. 　　解得x＝±3. 　　∴水面宽度增加了2×3－4＝2(m)． 　　4． 密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美 国最高的纪念碑．如图，拱门的地面宽度为200 m，两侧距地面高150 m 处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100 m，求拱门的最大高度． 　　解：建立如图所示的平面直角坐标系． 　　设抛物线的解析式为y＝ax2＋c. 　　∵抛物线关于y轴对称，AB＝100，CD＝200， 　　∴B，D两点的坐标分别为(50，150)，(100，0)． 　　∴ 解得 　　∴抛物线的解析式为y＝－ x2＋200. 　　∴拱门的最大高度为200 m． 　　 解决抛物线型实际问题三步骤：(1)根据题意，建立恰当的平 面直角坐标系，设抛物线的解析式；(2)准确转化线段长与点坐标之间的 关系，得到抛物线上点的坐标，代入解析式，求出抛物线的解析式；(3) 应用所求解析式及性质解决问题． 　　1． 跨学科根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40 m/s的速度 将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h(单位：m)与飞 行时间t(单位：s)之间的函数关系是h＝(-5 ) ＋20t，当飞行时间t 为 s时，小球达到最高点． 2 　　2． (兰州中考)一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体(看成一 点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离 起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A 的水平距离为1 m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m 时离水面的距离为7 m. 　　(1)求y关于x的函数表达式； 　　解：(1)根据题意，得抛物线过(0，10)和(3，7)，对称轴为x＝1. 　　设y关于x的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 　　∴ 解得 　　∴y关于x的函数表达式为y＝－x2＋2x＋10． 　　(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长． 　　(2)令y＝0，得0＝－x2＋2x＋10. 　　解得x1＝ ＋1，x2＝－ ＋1(舍去)． 　　答：运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(＋1)米． 　　3． 新情境(2024陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索 桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直 于桥面，如图所示，以点O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所 在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知：缆索L1所在抛物线与缆 索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100 m，AO＝BC＝17 m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2 m．(桥塔 的粗细忽略不计) 　　(1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式； 　　解：(1)由题意，得顶点P的坐标为(50，2)，点A的坐标为(0，17)． 　　设缆索L1所在抛物线的函数表达式为 　　y＝a(x－50)2＋2(a≠0)． 　　把(0，17)代入，得17＝a(0－50)2＋2. 　　解得a＝ . 　　∴缆索L1所在抛物线的函数表达式为y＝ (x－50)2＋2. 　　(2)点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6 m，FO<OD，求FO 的长． 　　(2)∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称， 　　∴缆索L2所在抛物线的函数表达式为 　　y＝ (x＋50)2＋2. 　　∵EF＝2.6， 　　∴把y＝2.6代入，得2.6＝ (x＋50)2＋2． 　　解得x1＝－40，x2＝－60. 　　∵FO<OD，∴FO的长为40 m． $$