第二十二章 二次函数 第12课 实际问题与二次函数(1)—— 面积最值问题课件 -2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 第12课 实际问题与二次函数(1)—— 面积最值问题 　　 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是 ⁠，对 称轴是 ．当a＞0时，图象开口向 ，函数有最 ⁠ 值 ；当a＜0时，图象开口向 ，函数有最 ⁠ 值 ⁠． (- ) x＝－ 上 小 下 大 　　知识点1 利用二次函数解决图形面积问题 　　1． 【例1】(人教九上P49探究1改编)用总长为60 m的篱笆围成一矩 形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化． 　　(1)矩形另一边长为 m(用含l的代数式表示，下同)，S与 l的函数关系式为 ，其中自变量l的取值范围是 ⁠ ⁠． (30－l) S＝－l2＋30l 0＜l ＜30 　　(2)场地面积S有无最大值？若有最大值，请求出S的最大值；若没有 最大值，请说明理由． 　　解：有最大值． 　　∵S＝－l2＋30l，且0＜l＜30， 　　∴当l＝－ ＝－ ＝15时，S有最大值， 　　S最大＝ ＝225. 　　∴当l为15 m时，场地面积有最大值，为225 m2. 　　2． (北师九下P47习题T2)如图，小亮父亲想用长为80 m的栅栏，再 借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50 m，设矩 形ABCD的边AB＝x m，面积为S m2. 　　(1)写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围． 　　解：(1)∵AB＝CD＝x m， 　　∴BC＝(80－2x)m. 　　∵AB＞0，0＜BC≤50， 　　∴ 　　解得15≤x＜40. 　　∴S＝x(80－2x)＝－2x2＋80x(15≤x＜40)． 　　(2)当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多 少？ 　　(2)S＝－2(x2－40x＋400－400)＝－2(x－20)2＋800． 　　∵15≤x＜40，－2＜0， 　　∴当x＝20时，S有最大值，为800. 　　∴当AB＝20 m，BC＝40 m时，羊圈的面积最大，最大面积是800 m2. 　　知识点2 动点问题 　　3． 【例2】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝ 24 cm，动点P以2 cm/s的速度从点A向点B移动(不与点B重合)，动点 Q以4 cm/s的速度从点B向点C移动(不与点C重合)．若点P，Q同时出 发，试问经过几秒后，四边形APQC的面积最小？并求出最小值． 　　解：设点P，Q运动的时间为t s，四边形APQC的面积为S cm2. 　　由题可知，AP＝2t cm，BQ＝4t cm，0<t<6. 　　∵AB＝12 cm，BC＝24 cm，∴BP＝(12－2t)cm. 　　∴S＝S△ABC－S△PBQ＝ ×12×24－ ×4t·(12－2t)＝4(t－3)2＋ 108. 　　∴当t＝3时，S最小＝108. 　　答：经过3 s后，四边形APQC的面积最小，最小值为108 cm2. 　　4． 如图，一张正方形纸板ABCD的边长为10 cm，将它割去四个全 等的直角三角形(图中阴影部分)，留下一个正方形．设AF＝x cm，正方 形EFGH的面积为y cm2.当x为何值时，正方形EFGH的面积达到最小？ 　　解：由题意，得AF＝BE＝CH＝DG＝x cm. 　　在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝10 cm， 　　则BF＝CE＝DH＝AG＝(10－x)cm. 　　∴y＝x2＋(10－x)2＝2x2－20x＋100＝2(x－5)2＋50. 　　∵2>0，0＜x＜10， 　　∴当x＝5时，正方形EFGH的面积达到最小． 　　1． 用12 cm长的绳子围成一个矩形，设其一边长为x cm，面积为y cm2，则y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围均正确的是(　B　) A． y＝－x2＋6x(3＜x＜6) B． y＝－x2＋6x(0＜x＜6) C． y＝－x2＋12x(6＜x＜12) D． y＝－x2＋12x(0＜x＜12) B 　　2． (北师九下P47习题T1)一根铝合金型材长为6 m，用它制作一个 “日”字形窗户的框架ABCD(如图)，如果恰好用完整条铝合金型材，那么 AB，AD分别为多少米时，窗户的面积最大？ 　　解：设AD为x米，面积为y平方米，则宽AB为 米． 　　∴y＝ ·x＝－ x2＋2x＝－ ＋ (0＜x＜3)． 　　∵0＜x＜3，－ ＜0， 　　∴当x＝ 时，y有最大值为 . 　　∴ ＝1． 　　答：AB，AD分别为1米、 米时，窗户的面积最大． 　　3． (人教九上P52习题T5改编)如图，四边形ABCD的两条对角线 AC，BD互相垂直，AC＋BD＝12，当AC＝ ，BD＝ ⁠时， 四边形ABCD的面积最大为 ⁠． 6 6 18 　　4． (人教九上P52习题T6)一块三角形材料如图所示，∠A＝30°， ∠C＝90°，AB＝12.用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D， E，F分别在BC，AB，AC上．要使剪出的矩形CDEF的面积最大，点 E应选在何处？ 　　解：设AE＝x. 　　∵四边形CDEF是矩形，∴∠AFE＝90°. 　　又∠A＝30°，∴EF＝ AE＝ x， 　　AF＝ x. 　　在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12， 　　∴BC＝ AB＝6. 　　由勾股定理，得AC＝ ＝6 . 　　∴CF＝AC－AF＝6 x. 　　∴S矩形CDEF＝CF·EF＝(6 x)· x＝－ (x－6)2＋9 . 　　∵0＜x＜12，－ ＜0， 　　∴当x＝6时，矩形CDEF的面积最大，即当点E为AB的中点时，矩 形CDEF的面积最大． $$